5.3.2 函数的极值与最大(小)值(第二课时）同步训练-2024-2025学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

5.3.2　函数的极值与最大(小)值(第二课时）（同步训练） 一、选择题 1.函数y＝的最大值为(　　) A.e－1 B.e C.e2 D. 2.关于函数f(x)＝说法正确的是(　　) A.没有最小值，有最大值 B.有最小值，没有最大值 C.有最小值，也有最大值 D.没有最小值，也没有最大值 3.函数y＝ln x－x在x∈(0，e]上的最大值为(　　) A.e B.1 C.－e D.－1 4.函数y＝xe－x，x∈[0，4]的最小值为(　　) A.0 B. C. D. 5.已知f(x)＝，其中e为自然对数的底数，则(　　) A.f(2)＞f(e)＞f(3) B.f(3)＞f(e)＞f(2) C.f(e)＞f(2)＞f(3) D.f(e)＞f(3)＞f(2) 6.已知函数f(x)，g(x)均为[a，b]上的可导函数，在[a，b]上连续且f ′(x)＜g′(x)，则f(x)－g(x)的最大值为(　　) A.f(a)－g(a) B.f(b)－g(b) C.f(a)－g(b) D.f(b)－g(a) 7.(多选)若函数f(x)＝3x－x3在区间(a2－12，a)上有最小值，则实数a的可能取值是(　　) A.0 B.1 C.2 D.3 8.(多选)下列关于函数f(x)＝(2x－x2)ex的判断，正确的有(　　) A.f(x)＞0的解集是{x|0＜x＜2} B.f(－)是极小值，f()是极大值 C.f(x)没有最小值，也没有最大值 D.f(x)有最大值，无最小值 二、填空题 9.函数f(x)＝x sin x＋cos x(0≤x≤2π)的最小值为________ 10.函数f(x)＝x－ln x在区间(0，e]上的最小值为________ 11.函数f(x)＝3x－x3在[0，m]上的最大值为2，最小值为0，则实数m的取值范围为_______ 12.函数f(x)＝|2x－1|－2ln x的最小值为________ 三、解答题 13.求下列函数的最值． (1)f(x)＝e－x－ex，x∈[0，a]，a为正常数； (2)求函数f(x)＝x＋sin x在区间[0，2π]上的最大值与最小值． 14.已知函数f(x)＝mx3＋nx，y＝f(x)的图象在以点P为切点的切线的倾斜角为． (1)求m，n的值；(2)求函数y＝f(x)在[－2，1]上的最大值和最小值． 15.已知a是实数，函数f(x)＝x2(x－a)，求f(x)在区间[0，2]上的最大值． 参考答案及解析： 一、选择题 1.A 2.A 解析：函数的定义域为R，由f(x)＝，得f′(x)＝＝，当x＜1时，f′(x)＞0，当x＞1时，f′(x)＜0，所以f(x)在(－∞，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，所以当x＝1时，f(x)取得最大值，f(x)没有最小值．故选A． 3.D 解析：f′(x)＝－1＝，当x∈(0，1)时，f′(x)＞0，当x∈(1，e]时，f′(x)＜0，所以f(x)在(0，1)上单调递增，在(1，e]上单调递减，故当x＝1时，f(x)取得极大值，也为最大值，即f(1)＝－1．故选D． 4.A 解析：令f(x)＝y＝xe－x，则f′(x)＝，当x∈[0，1)时，f′(x)＞0，f(x)单调递增；当x∈(1，4]时，f′(x)＜0，f(x)单调递减．∵f(0)＝0，f(4)＝＞0，∴当x＝0时，f(x)有最小值0． 5.D 解析：f(x)＝，f′(x)＝，令f′(x)＝0，解得x＝e．当x∈(0，e)时，f′(x)＞0，f(x)单调递增；当x∈(e，＋∞)时，f′(x)＜0，f(x)单调递减．故f(x)在x＝e处取得最大值f(e)．又∵f(2)－f(3)＝－＝＝＜0，∴f(2)＜f(3)，则f(e)＞f(3)＞f(2)． 6.A　解析：令F(x)＝f(x)－g(x)，则F′(x)＝f ′(x)－g′(x)，又∵f ′(x)＜g′(x)，故F′(x)＜0， ∴F(x)在[a，b]上单调递减，∴F(x)max＝F(a)＝f(a)－g(a)． 7.ABC　解析：由f ′(x)＝3－3x2＝0，得x＝±1．当x变化时，f ′(x)及f(x)的变化情况如下表： x (－∞，－1) －1 (－1,1) 1 (1，＋∞) f ′(x) － 0 ＋ 0 － f(x) ↘ －2 ↗ 2 ↘ 由此得a2－12＜－1＜a，解得－1＜a＜．又∵当x∈(1，＋∞)时，f(x)单调递减，且当x＝2时，f(x)＝－2．∴a≤2．综上，－1＜a≤2．故选ABC． 8.ABD 解析：由f(x)＞0得0＜x＜2，故A正确；f′(x)＝(2－x2)ex，令f′(x)＝0，得x＝±，当x＜－或x＞时，f′(x)＜0，当－＜x＜时，f′(x)＞0，∴当x＝－时，f(x)取得极小值，当x＝时，f(x)取得极大值，故B正确；当x→－∞时，f(x)＜0，当x→＋∞时，f(x)＜0，且f()＞0，结合函数的单调性可知，函数f(x)有最大值无最小值，故C不正确，D正确． 二、填空题 9.答案：－ 解析：f′(x)＝sin x＋x cos x－sin x＝x cos x，∴当x∈时，f′(x)＞0，f(x)单调递增，当x∈时，f′(x)＜0，f(x)单调递减，当x∈时，f′(x)＞0，f(x)单调递增．∵f(0)＝1，f＝－，∴f(x)的最小值为－． 10.答案：1　 解析：f ′(x)＝1－，令f ′(x)＝0，得x＝1．当x∈(0,1)时，f ′(x)＜0；当x∈(1，e]时，f ′(x)＞0，∴当x＝1时，f(x)有极小值，也是最小值，最小值为f(1)＝1． 11.答案：[1，] 解析：∵f(x)＝3x－x3，∴f′(x)＝3－3x2＝3(1＋x)(1－x)，令f′(x)＝0，则x＝1或x＝－1(舍去)，当0≤x＜1时，f′(x)＞0，f(x)单调递增；当x＞1时，f′(x)＜0，f(x)单调递减．∵函数f(x)在[0，m]上的最大值为2，最小值为0，且f(0)＝f()＝0，f(1)＝2，∴1≤m≤． 12.答案：1　 解析：函数f(x)＝|2x－1|－2ln x的定义域为(0，＋∞)． ①当x＞时，f(x)＝2x－1－2ln x，所以f ′(x)＝2－＝，当＜x＜1时，f ′(x)＜0，当x＞1时，f ′(x)＞0，所以f(x)min＝f(1)＝2－1－2ln 1＝1； ②当0＜x≤时，f(x)＝1－2x－2ln x在单调递减，所以f(x)min＝f ＝－2ln ＝2ln 2＝ln 4＞ln e＝1． 综上，f(x)min＝1． 三、解答题 13.解：(1)f′(x)＝′－(ex)′＝－－ex＝－． 当x∈[0，a]时，f′(x)＜0恒成立，即f(x)在[0，a]上单调递减． 故当x＝a时，f(x)有最小值f(a)＝e－a－ea； 当x＝0时，f(x)有最大值f(0)＝e－0－e0＝0． (2)f′(x)＝＋cos x，令f′(x)＝0，解得x＝或x＝． 因为f(0)＝0，f＝＋，f＝－，f(2π)＝π， 所以函数f(x)在[0，2π]上的最大值是π，最小值是0． 14.解：(1)易得f′(x)＝3mx2＋n， 由题意有解得m＝，n＝－1． (2)由(1)知f(x)＝x3－x，f′(x)＝2x2－1． 令f′(x)＞0，得x＜－或x＞；令f′(x)＜0，得－＜x＜． 所以f(x)在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增． 计算得f(－2)＝－，f＝，f＝－，f(1)＝－， 所以f(x)的最大值为，最小值为－． 15.解：f′(x)＝3x2－2ax， 令f′(x)＝0，解得x1＝0，x2＝． ①当≤0，即a≤0时，f(x)在[0，2]上单调递增， 从而f(x)max＝f(2)＝8－4a． ②当≥2，即a≥3时，f(x)在[0，2]上单调递减， 从而f(x)max＝f(0)＝0． ③当0＜＜2，即0＜a＜3时，f(x)在上单调递减，在上单调递增， 从而f(x)max＝ 综上所述，f(x)max＝ 1 学科网（北京）股份有限公司 $$