第3章 整式的乘除课件 2024-2025学年浙教版（2024）数学七年级下册

第3章 整式的乘除 3.3 多项式的乘法 第1课时 两个一次多项式相乘的乘法 1 知识过关 1.多项式与多项式相乘的法则：多项式与多项式相乘，先用 一个多项式的________乘另一个多项式的________，再把所 得的积相加. 每一项 每一项 2.符号语言： ___________________. 知识过关 2 夯实基础巩固练 知识点1 多项式与多项式相乘 1. 计算 的结果为( ) C A. B. C. D. 2. [2024·杭州西溪中学期中] 如果 ，那么， 的值分别是( ) B A. , B. , C. , D. , 返回 夯实基础巩固练 3 3. [2024·金华东阳市期中] 若且 ，则代数式 的值等于( ) A A. 2 B. 1 C. D. 0 4. [2024·绍兴越城区期末] 如果与 的乘积中 不含的一次项，那么 的值为( ) A A. 12 B. C. 0 D. 5.计算： . 【解】原式 . 返回 夯实基础巩固练 4 6.先化简，再求值： ， 其中 . 【解】原式 . 当时，原式 . 返回 夯实基础巩固练 5 知识点2 多项式与多项式相乘的应用 7. 有一块长为、宽为 的长方形纸片，剪去一个 长为、宽为 的小长方形，则剩余部分的面积是( ) A A. B. C. D. 返回 夯实基础巩固练 6 8. 从前，一位庄园主把一块长为，宽为 的长方形土地租给租户张老汉，第二年，他对张老汉说：“我 把这块地的长增加，宽减少 ，继续租给你，租金不 变，你也没有吃亏，你看如何？”你觉得张老汉的租地面积 ( ) A A. 变小了 B. 变大了 C. 没有变化 D. 无法确定 返回 夯实基础巩固练 7 易错题 弄不清符号而出错 9. 某同学化简 时 出现了错误，其解答过程如下： 解：原式 （第一步） （第二步） .（第三步） （1）该同学的解答过程从第____步开始出错，错误原因是 ______________________________； 二 去括号时括号内第二项没有变号 夯实基础巩固练 8 （2）写出此题正确的解答过程. 【解】原式 . 返回 夯实基础巩固练 9 整合方法提升练 10. 若三个连续奇数的中间一个数为 ，则它们的积是( ) C A. B. C. D. 返回 整合方法提升练 10 11. 如图，小明制作了类， 类， 类卡片各15张，其中 ，两类卡片都是正方形， B A. 够用，剩余0张 B. 够用，剩余2张 C. 不够用，还缺1张 D. 不够用，还缺2张 12.若无论为何值，都有 ，则 ___. 1 类卡片是长方形，若小明要拼出一个宽为 ，长为 的大长方形，则他准备的 类卡片( ) 返回 整合方法提升练 11 13.[2024·台州椒江区校级模拟] 已知等式 ，其中,, 均为正整数，你 认为可取哪些值？它与, 的取值有关吗？请你写出所有满 足题意的 的值. 【解】方程整理得 ,所以 ,与,的取值有关,当, 时， ;当,时，;当,时， . 返回 整合方法提升练 12 培优探究拓展练 14.【知识回顾】 学习代数式求值时，常会遇到这样一类题“代数式 的值与的取值无关，求 的值”， 通常的解题方法是把，看作字母， 看作系数合并同类项， 因为代数式的值与的取值无关，所以含 的项的系数为0， 即原式，所以，则 . 培优探究拓展练 13 【理解应用】 （1）若关于的多项式的值与 的取 值无关，求 的值； 【解】 . 因为该多项式的值与 的取值无关， 所以,解得 . 培优探究拓展练 14 【能力提升】 （2）七张如图①的小长方形，长 为，宽为 ，按照图②方式不重 叠地放在大长方形 内，大 长方形中有两个未被覆盖的部分 （图中阴影部分），设右上角部分的面积为 ，左下角部分 的面积为，当的长变化时， 的值始终保持不变， 求与 的等量关系. 培优探究拓展练 15 【解】设 ,由图可知 , , 所以 . 因为当的长变化时， 的 值始终保持不变， 所以的取值与 无关. 所以.所以 . 返回 培优探究拓展练 16 $$第3章 整式的乘除 3.4 乘法公式 第1课时 平方差公式 1 知识过关 平方差公式：两数和与这两数差的积等于这两数的________. 几何语言： ________. 平方差 知识过关 2 夯实基础巩固练 知识点1 平方差公式的几何意义 将图①中阴影部分的小 长方形变换到图②位置，根据两个图形的面积 关系可以得到一个关于, 的恒等式为 ( ) A. B. C. D. C 返回 夯实基础巩固练 3 知识点2 直接利用平方差公式计算 2. 计算 的结果是( ) C A. B. C. D. 返回 夯实基础巩固练 4 3. [2024·温州第二中学期中] 下列算式能用平方差公式计算 的是( ) A A. B. C. D. 4. 已知，，则 的值为( ) C A. 11 B. 15 C. 56 D. 60 返回 夯实基础巩固练 5 5.填空： （1）（_______） ； （2）（____________） . 返回 夯实基础巩固练 6 6. 简便计算： （1） ； 【解】原式 . （2） . 原式 . 返回 夯实基础巩固练 7 7.运用平方差公式计算： （1） ； 【解】原式 . （2） . 原式 . 返回 夯实基础巩固练 8 知识点3 平方差公式的运用 8. [2024·宁波奉化区校级月考] 一个长方形的长为 ， 宽为 ，则这个长方形的面积为( ) A A. B. C. D. 返回 夯实基础巩固练 9 9.某中学为了响应国家“发展体育运动，增强人民体质”的号召， 决定建一个长方体游泳池.已知游泳池长为 ,宽为 ，深为 ，请你计算这个游泳池的容积. 【解】长方体游泳池的容积为 . 返回 夯实基础巩固练 10 易错题 对平方差公式的特征理解不到位而出错 10. 下列计算正确的是( ) D A. B. C. D. 返回 夯实基础巩固练 11 整合方法提升练 11. 若，，，则 的 值为( ) B A. 10 B. 12 C. 14 D. 20 返回 整合方法提升练 12 12. 一个正整数若能表示为两个正整数的平方 差，则称这个正整数为“创新数”.例如： ， ，所以27，63都是“创新数”.下列各数不是“创新 数”的是( ) D A. 31 B. 41 C. 16 D. 54 整合方法提升练 13 【点拨】因为 , , , 54不能表示成两个正整数的平方差. 所以31,41和16是“创新数”,而54不是“创新数”. 返回 整合方法提升练 14 13. 运用简便方法计算： . 【解】 . 返回 整合方法提升练 15 14.（1）若,,求与 的值; 【解】因为,, , 所以 . 联立 解得 整合方法提升练 16 （2）若，求 的值. 【解】因为 , 所以 . 所以 . 所以.所以 . 所以 . 返回 整合方法提升练 17 培优探究拓展练 15.[2024·台州校级期中] 阅读材料后解决问题： 小明遇到一个问题：计算 .经 过观察，小明发现如果将原式进行适当的变形后可以出现特 殊的结构，进而可以运用平方差公式解决问题，具体解法如 下： . 培优探究拓展练 18 请你根据小明解决问题的方法，试着解决下面的问题： （1） ________; （2） _ _____; 培优探究拓展练 19 （3）化简： . 【解】当 时， 原式 . 当时，原式 . 返回 培优探究拓展练 20 $$第3章 整式的乘除 3.3 多项式的乘法 第2课时 多项式的乘法计算 1 知识点1 较复杂多项式的乘法运算 1. 计算 的结果是( ) B A. B. C. D. 2. 若的乘积中不含 的一次项，则常 数 的值为( ) C A. 0 B. C. 2 D. 1 返回 2 3.[2024·丽水校级期中] 已知是关于的三次多项式， 是关 于的四次多项式，则下列结论： 是七次式； 是一次式；是七次式； 是四次式.其中 正确的是______（填序号）. ③④ 返回 3 4.化简： （1） ; 【解】原式 . （2） . 原式 . 返回 4 知识点2 多项式乘法的应用 5. 一条水渠的横断面为梯形，该梯形的上底为 ，下底比 上底多，高比上底少 ，那么这个梯形的面积为 ( ) B A. B. C. D. 6.一个长方体的长、宽、高分别是米， 米和 米，则这个长方体的体积是______________________ ____. 立方米 返回 5 7.[2024·湖州开学考] 三个连续整数中， 是最大的一个，则 这三个数的乘积为______________. 8.已知 恒成立， 则____, ___. 6 返回 6 9. 解方程： （1） ; 【解】整理，得 ， 去括号，得 ， 移项，合并同类项，得 ， 两边同时除以，得 . 7 （2） . 【解】整理，得 ， 移项，合并同类项，得 ， 两边同时除以，得 . 返回 8 易错题 因乘法计算时漏项而出错 10.计算： . 【解】 . 返回 9 整合方法提升练 11.已知 ，则代数式 的值为_____. 180 返回 整合方法提升练 10 12.若,则 ______. 整合方法提升练 11 【点拨】因为 ,所以,,,, , .所以 . 返回 整合方法提升练 13. 对于实数,,, ,规定一种运算： ,如 ,那么当 时， ____. 22 返回 整合方法提升练 13 14. 如图，有一块长、 宽分别为米和 米的长 方形土地，现准备在这块土地上修建 一个长为米，宽为 米 的游泳池，剩余部分修建成休息区域. 整合方法提升练 14 （1）请用含和 的代数式表示休 息区域的面积；（结果要化简） 【解】休息区域的面积 平方米. 整合方法提升练 15 （2）若, ，求休息 区域的面积. 【解】当, 时， . 所以休息区域的面积为325平方米. 返回 整合方法提升练 16 15.[2024·杭州上城区校级月考] 甲、乙二人共同计算 ，由于甲把第一个多项式中 前面的符号抄成 了“-”，得到的结果为 ；由于乙漏抄了2，得到 的结果为 . 整合方法提升练 17 （1）求, 的值; 【解】因为甲把第一个多项式中 前面的符号抄成了“-”,得到 的结果为 , 所以 . 所以 . 因为乙漏抄了2,得到的结果为 , 整合方法提升练 18 所以 . 所以 . 解方程组得 整合方法提升练 （2）求出正确的结果. 【解】由题意得 . 返回 整合方法提升练 20 培优探究拓展练 16. 观察等式. 第1个等式： ; 第2个等式： ; 第3个等式： ; 第4个等式： ; … 培优探究拓展练 21 总结规律，解答下列问题： （1）写出第5个等式：________________________________ _______________; （2）写出第 个等式：________________________________ _____________（,用含 的式子表示）; （3）求 的值. . 返回 培优探究拓展练 22 $$第3章 整式的乘除 3.2 单项式的乘法 1 知识过关 1.单项式与单项式相乘的法则：单项式与单项式相乘，把它 们的______、__________分别______，其余字母连同它的指 数不变，作为积的因式. 系数 同底数幂 相乘 2.单项式与多项式相乘的法则：单项式与多项式相乘，就是 用________去乘多项式的________，再把所得的积相加. 单项式 每一项 知识过关 2 夯实基础巩固练 知识点1 单项式与单项式相乘 1. [2024·杭州拱墅区期末] 计算： ( ) C A. B. C. D. 2. 下列各式中，计算正确的是( ) C A. B. C. D. 返回 夯实基础巩固练 3 3.计算式子 ，结果用科学记数法表 示为__________. 返回 夯实基础巩固练 4 4.计算： （1） ； 【解】原式 . （2） ； 原式 （3） . 原式 . 返回 夯实基础巩固练 5 知识点2 单项式与多项式相乘 5. 下列运算中，正确的是( ) B A. B. C. D. 6. 计算 的结果是( ) C A. B. C. D. 返回 夯实基础巩固练 6 7.计算： （1）[2024·杭州期中] ； 【解】原式 . （2） ； 原式 . 夯实基础巩固练 7 （3） . 【解】原式 . 返回 夯实基础巩固练 8.先化简，再求值： ，其中 . 【解】原式 . 当时，原式 . 返回 夯实基础巩固练 9 知识点3 单项式乘法的应用 9.若三角形的底边长为，该底边上的高为 ,则此三 角形的面积为_________. 10.某市环保局将一个长为分米，宽为 分米， 高为 分米的长方体废水池中的满池废水注入正方体贮 水池净化，若有一个正方体贮水池将这些废水刚好装满，则 该正方体贮水池的棱长为________分米. 返回 夯实基础巩固练 10 整合方法提升练 11. 若单项式与 是同类 项，那么这两个单项式的积是( ) D A. B. C. D. 12. 若计算的结果中不含有 项， 则 的值为( ) A A. B. C. 0 D. 3 返回 整合方法提升练 11 13.[2024·杭州校级月考] 某同学在计算一个多项式乘 时， 因抄错运算符号，算成了加上 ，得到的结果是 ，那么正确的计算结果是____________________. 返回 整合方法提升练 12 14.（1）如图是小颖家新房的户型图， 小颖的爸爸打算把两个卧室以外的部 分都铺上地砖，至少需要多少平方米 的地砖？如果某种地砖的价格为每平 方米 元，那么购买地砖至少需要多少 元？ 整合方法提升练 13 【解】由题意知，两个卧室以外的部 分面积为 （平方米）. 所以购买地砖所需的费用为 （元）. 整合方法提升练 14 （2）如果房屋的高度是 米，现在需要在客厅和两个卧室四 周的墙上贴墙纸，那么至少需要多少平方米的墙纸？如果某 种墙纸的价格为每平方米 元，那么购买所需的墙纸至少要 多少元？（计算时不扣除门、窗所占的面积，忽略墙的厚度） 整合方法提升练 15 【解】客厅贴墙纸的面积为 , 两个卧室贴墙纸的面积为 , 所以贴墙纸的总面积为 （平方米）. 所以购买墙纸所需的费用为 （元）. 返回 整合方法提升练 16 培优探究拓展练 15. 阅读材料： 已知,求 的值. 分析：考虑到, 的可能值较多，不能逐一代入求解，故考虑 整体思想，将 整体代入. 解： 培优探究拓展练 17 . 培优探究拓展练 请用上述方法解决以下问题： （1）已知，求 的值； 【解】 因为 ,所以原式 . 培优探究拓展练 19 （2）已知，求代数式 的值. 【解】因为,所以 .所以 . 返回 培优探究拓展练 20 $$第3章 整式的乘除 3.6 同底数幂的除法 第1课时 同底数幂的除法 1 知识过关 同底数幂的除法法则：同底数幂相除， _________________ ___. 符号语言：______，， 都是正整数， 底数不变，指数相减 知识过关 2 夯实基础巩固练 知识点1 同底数幂的除法 1. 计算 的结果是( ) D A. 6 B. C. D. 2. 计算 的结果是( ) C A. B. C. D. 3. 是 的( ) D A. 2倍 B. 3倍 C. 25倍 D. 125倍 返回 夯实基础巩固练 3 4. 若,则, 的值分别为( ) A A. , B. , C. , D. , 返回 夯实基础巩固练 4 5. 如图，甲、乙、丙三人合作完成一道计算题目，规则是： 每人只能看到前一个人给的式子，并进行一步计算，再将结 果传递给下一人.其中自己负责的一步出现错误的是( ) C A. 只有甲 B. 乙和丙 C. 甲和丙 D. 甲、乙、丙 6.若,则 _____. 7.已知，则 ____. 49 返回 夯实基础巩固练 5 8.计算： （1） ； 【解】原式 . （2） ； 原式 . （3） ; 原式 . 夯实基础巩固练 6 （4） ； 【解】原式 . （5） ； 原式 . （6） . 原式 . 返回 夯实基础巩固练 7 知识点2 同底数幂的除法的逆用 9. 若，，则 的值为( ) C A. 18 B. 11 C. D. 72 10.已知，则 的值为_ _. 11.[2024·舟山岱山县校级月考] 已知， ，求 的值. 【解】因为.所以 .所以 返回 夯实基础巩固练 8 12.（1）已知,,求 的值； 【解】因为, , 所以 . （2）已知，试求 的值. 因为,所以.所以 . 所以 . 返回 夯实基础巩固练 9 整合方法提升练 13. 若，则, 的值分别 为( ) C A. , B. , C. , D. , 返回 整合方法提升练 10 14.若,,，试用含,的代数式表示 . 【解】因为,，所以 . 因为,所以 . 所以 . 返回 整合方法提升练 11 15.[2024·绍兴上虞区校级模拟] 若 ，且 ,求 的值. 【解】因为 , 所以,即 . 又因为,所以,.所以 . 返回 整合方法提升练 12 16. 细菌繁殖时，一个细菌分裂成两个，一个细 菌在分裂次后，数量变为 个.有一种细菌分裂速度很快， 它每12分钟分裂一次，如果现在细菌培养皿里有1 000个这 样的细菌，那么60分钟后，细菌培养皿里有多少个细菌？2 小时后细菌的数量是1小时后的多少倍？ 整合方法提升练 13 【解】 ,所以60分钟后细菌培养皿里有 （个）细菌. 因为2小时分钟， ,所以2小时后细菌个数 是1小时后细菌个数的 倍. 返回 整合方法提升练 14 17.已知 ，试说明： . 【解】因为,所以 . 所以 .① 同理可得： .② 由①②两式得 , 即 , 所以 . 返回 整合方法提升练 15 18. 用“ ”“ ”定义两种新运算：对于两数, ， 规定, . 例如：, . （1）求 的值. 【解】 . （2）求 的值. . 整合方法提升练 16 （3）当为何值时，的值与 的值相等? 【解】由题意得 , 则 , 所以,即,解得 . 所以当时,的值与 的值相等. 返回 整合方法提升练 17 培优探究拓展练 19.已知关于,的方程组 有下列结论：① 当时，是方程组的解；②当时，, 的值互 为相反数；③若,则 ；④若方程组的解也是 方程的解，则 .其中正确的有__________. （填序号） ①②③④ 培优探究拓展练 18 【点拨】解方程组 得 当 时,故①正确.②当时， 所以, 的值互为相反数，故②正确.③因为 ,所以 .所以.所以 ,解 得,故③正确.④因为方程组的解也是方程 培优探究拓展练 19 的解，所以,解得 ,故④正确.综上 所述，正确的有①②③④. 返回 培优探究拓展练 $$第3章 整式的乘除 3.6 同底数幂的除法 第2课时 零次幂与负整数指数幂 1 知识过关 1.任何不等于零的数的零次幂都等于1，即___ . 1 2.任何不等于零的数的（是正整数）次幂,等于这个数的 次幂的倒数. 即___（， 是正整数）. 知识过关 2 夯实基础巩固练 知识点1 零次幂和负整数指数幂 1. 等于( ) C A. 0 B. C. 1 D. 2. 计算 的结果是( ) C A. 2 025 B. C. D. 返回 夯实基础巩固练 3 3. 下列计算正确的是( ) C A. B. C. D. 4. 下列各数中，最小的是( ) A A. B. C. D. 5.要使成立，则 的取值范围为_______. 返回 夯实基础巩固练 4 6.计算： （1） _ _； （2） ____； （3） ___； （4） ___. 1 返回 夯实基础巩固练 5 知识点2 用科学记数法表示绝对值小于1的数 7. “山茶向阳 奋进花乡”2024年金华市茶 花文化交流周暨婺城区乡村网络文化宣传周启动仪式在古子 城保宁门举行.金花茶素有“茶族皇后”的美称，已知金花茶普 通花粉的平均直径约为 米，数 用科学记数法表示为( ) B A. B. C. D. 返回 夯实基础巩固练 6 8. “墙角数枝梅，凌寒独自开.遥知不是雪， 为有暗香来.”出自宋代诗人王安石的《梅花》，梅花的花粉 直径约为，用科学记数法表示为 ， 则 的值为( ) B A. B. C. 4 D. 5 返回 夯实基础巩固练 7 9. 用小数表示下列各数： （1） ； 【解】用小数表示为 . （2） . 用小数表示为 . 返回 夯实基础巩固练 8 易错题 对负指数幂的概念理解不清导致错误 10. 下列各式计算正确的有( ) ； ； ； ； ； . B A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 返回 夯实基础巩固练 9 整合方法提升练 11. 若，,，则,, 的大小 关系是( ) B A. B. C. D. 12. 定义一种新的运算：若 ，则有 .可求得 的值是( ) B A. B. 5 C. D. 返回 整合方法提升练 10 13.若有意义，则 的取值范围为 ______________. 且 返回 整合方法提升练 11 14.计算： （1） ； 【解】原式 . （2） . 原式 . 返回 整合方法提升练 12 15. 纳米 是非常小的长度单位， ，把 的物体放到乒乓球上，就如同把乒 乓球放在地球上.的空间可以放多少个 的物体 （物体之间的间隙忽略不计）？ 整合方法提升练 13 【解】因为 ， 所以.所以 . 因为 . 所以 . 故的空间可以放个 的物体. 返回 整合方法提升练 14 16.[2024·台州校级月考] 若三个实数,, 满足 ,,求 的值. 【解】因为 , 所以 . 所以,即 . 所以 整合方法提升练 15 . 因为 , 所以 . 所以 . 返回 整合方法提升练 17.（1）已知，求 的值; 【解】 .因为 ,所以.所以 . 整合方法提升练 17 （2）若,,请用只含的代数式表示 . 【解】由题意，得, . 因为 , 所以.所以 . 所以,即 . 返回 整合方法提升练 18 培优探究拓展练 18.若,求整数 的值. 【解】分三种情况讨论：①当,, 时，;②当时， ;③当指数是偶数， 和互为相反数时，,所以 . 此时指数,符合题意.综上所述， 或1或3. 返回 培优探究拓展练 19 $$第3章 整式的乘除 3.1 同底数幂的乘法 第3课时 积的乘方 1 知识过关 积的乘方法则：积的乘方，等于把积的________________乘 方，再把所得的幂______. 符号语言：______（ 为正整数）. 每一个因式分别 相乘 知识过关 2 夯实基础巩固练 知识点1 积的乘方法则 1. [2024·杭州期末] 计算 的结果是( ) D A. B. C. D. 2. [2024·绍兴嵊州市期末] 下列等式中，从左到右计算正确 的是( ) D A. B. C. D. 返回 夯实基础巩固练 3 3. 计算： ，其中，第一 步运算的依据是( ) D A. 幂的乘方法则 B. 同底数幂的乘法法则 C. 分配律 D. 积的乘方法则 返回 夯实基础巩固练 4 4.计算： （1） _________； （2） __________； （3） _________； （4） ___________； （5） ______. 返回 夯实基础巩固练 5 5.填空： （1）（_____） ； （2）（_______） . 返回 夯实基础巩固练 6 6.计算： （1） ； 【解】原式 . （2） ； 原式 . （3） . 原式 . 返回 夯实基础巩固练 7 知识点2 积的乘方法则的逆应用 7. 计算 的结果是( ) B A. 4 B. 1 C. D. 8.计算： ____. 9.用简便方法计算： . 【解】 . 返回 夯实基础巩固练 8 知识点3 积的乘方法则的应用 10.太阳可以近似地看作球体，如果用， 分别代表球的体积 和半径，那么.已知太阳的半径约为 ，则 它的体积大约是多少立方千米？ 【解】它的体积是 . 返回 夯实基础巩固练 9 整合方法提升练 11. 如果 成立，那么( ) A A. ， B. ， C. ， D. ， 12. 已知，，则 的值为( ) B A. 25 B. 36 C. 10 D. 12 返回 整合方法提升练 10 13.若，均为实数，， ，则： （1）（_______） ； 2 028 【点拨】 . 整合方法提升练 11 （2） ___. 1 【点拨】 ，所以易得 ，所以，所以 . 返回 整合方法提升练 12 14.计算： （1） ; 【解】原式 . （2） ； 原式 . 整合方法提升练 13 （3） . . 返回 整合方法提升练 14 15.[2024·宁波镇海区校级期中] 已知是正整数，且 ， 求 的值. 【解】由题意得 . 返回 整合方法提升练 15 培优探究拓展练 16.定义：如果（,为正数），那么我们把叫作 的数，记作 . （1）根据数的定义，填空：___； ___. 1 4 培优探究拓展练 16 （2）数有如下运算性质： , ,其中 . 根据上述运算性质，计算： ①若,求 . 【解】因为 , 所以 . 培优探究拓展练 17 ②若已知,.试求， , ,的值（用含,, 的代数式表示）. 培优探究拓展练 18 . . . 培优探究拓展练 19 . 返回 培优探究拓展练 $$第3章 整式的乘除 3.5 整式的化简 1 知识过关 整式化简的运算顺序：先______，再______，最后算______， 如果有括号，先算括号里面的. 乘方 乘除 加减 知识过关 2 夯实基础巩固练 知识点1 整式的化简 1. 下列运算中，正确的是( ) C A. B. C. D. 返回 夯实基础巩固练 3 2. 计算 ，结果是( ) C A. B. C. D. 3. [2024·杭州拱墅区校级期中] 已知 ，则代 数式 的值为( ) C A. 2 023 B. 2 024 C. 2 025 D. 2 026 返回 夯实基础巩固练 4 4. 下列各式：; ; ;; 中，计算结果 相同的是( ) B A. ①④ B. ①⑤ C. ②③ D. ②④ 返回 夯实基础巩固练 5 5.化简： （1） ; 【解】原式 . （2） . 原式 . 返回 夯实基础巩固练 6 6.先化简，再求值： （1）,其中, ; 【解】原式 . 当,时，原式 . 夯实基础巩固练 7 （2）,其中, 满 足, . 夯实基础巩固练 8 【解】原式 . 因为, , 所以 . 所以 . 所以原式 . 返回 夯实基础巩固练 9 知识点2 运用整式的化简解决实际问题 7. [2024·金华义乌市开学考] 某商品原价为 元，因需求量增 大，经营者连续两次提价，两次分别提价 ，后因市场物 价调整，又一次性降价 ，则降价后这种商品的价格是 ( ) C A. 元 B. 元 C. 元 D. 元 返回 夯实基础巩固练 10 8. 科技点亮 未来，创新改变生活，某校七年级1班 同学参加了学校科技节比赛，制作了 如图①所示的航天火箭模型，为了向 全校同学宣传自己的科技作品，用 板制作了如图②所示的宣传版面，它是由一个三角形和两个 梯形组成的，已知 板（阴影部分）的尺寸如图②所示. 夯实基础巩固练 11 （1）用含,的代数式表示图②中 板的总面积（结果需化简）； 【解】阴影部分的面积为 . 夯实基础巩固练 12 （2）若，，求 板 的总面积. 【解】因为, , 所以 . 所以板的总面积为 . 返回 夯实基础巩固练 13 整合方法提升练 9. 已知，则 的值为 ( ) A A. 9 B. C. D. 返回 整合方法提升练 14 10.若,则 的值为____. 39 【点拨】因为 ，所以 ，.所以 . 返回 整合方法提升练 15 11.[2024·台州校级期中] 一个长方形的长为 ,宽为 ,从中剪去一个边长为 的正方形，则剩余部 分的面积为_________ . 返回 整合方法提升练 16 （1）求 的值； 【解】因为 , 所以, . 所以, . 所以 . 所以 . 所以 . 所以 . 12.已知,满足 . 整合方法提升练 （2）先化简，再求值： . . 因为, ， 所以原式 . 返回 整合方法提升练 18 培优探究拓展练 13. 图①是一个长为、宽为 的长方形， 沿图中虚线将长方形平均分成四个小长方形，然后按图②的 形状拼成一个正方形. （1）图②中的阴影部分的面积为_______________； 培优探究拓展练 19 （2）观察图②，请你写出三个代数,, 之 间的等量关系：__________________________； （3）若,，则 ___； 9 培优探究拓展练 20 （4）实际上有许多代数恒等式可以用图形的面积来表示， 如图③，它代表的恒等式是____________________________ __________; 培优探究拓展练 21 （5）试画出一个几何图形，使它的面积能表示 . 【解】如图. 返回 培优探究拓展练 22 $$第3章 整式的乘除 3.7 整式的除法 1 知识过关 1.单项式除以单项式的法则：单项式相除，把______、 ___________ 分别______，作为商的因式，对于只在被除式 里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式. 系数 同底数幂 相除 2.多项式除以单项式的法则：多项式除以单项式，先把这个 多项式的________除以这个单项式，再把所得的商相加. 每一项 知识过关 2 夯实基础巩固练 知识点1 单项式除以单项式 1. 的运算结果是( ) D A. B. C. D. 2. 若,则, 的值分别为( ) C A. , B. , C. , D. , 返回 夯实基础巩固练 3 3. 一种长方体零件的体积为，底面积为 ，则该 零件的高为( ) D A. B. C. D. 返回 夯实基础巩固练 4 4.计算： （1）[2024·杭州拱墅区期中] ; 【解】原式 . （2） ； 原式 . （3） . 原式 . 返回 夯实基础巩固练 5 知识点2 多项式除以单项式 5. 计算 的结果是( ) B A. B. C. D. 6. 若长方形的面积是，其中一边长是 ， 则它的邻边长是( ) D A. B. C. D. 7.若，则 的值为___. 4 返回 夯实基础巩固练 6 8.计算： （1） ; 【解】原式 . （2） . 原式 . 返回 夯实基础巩固练 7 9.[2024·湖州吴兴区期中] 先化简，再求值： ，其中 , . 【解】原式 . 当,时，原式 . 返回 夯实基础巩固练 8 整合方法提升练 10. 已知，是多项式，在计算 时，小强同学把 误看成了，结果得到，则 正确的结 果是( ) D A. B. C. D. 返回 整合方法提升练 9 11. 若定义 表示 , 表示 ,则运算 的结果为( ) A A. B. C. D. 12.若关于的多项式 除以 ，所得商恰好为,则 ___. 3 返回 整合方法提升练 10 13.[2024·宁波奉化区校级模拟] 某天数学课上，学习了整式 的除法运算，放学后，小明回到家拿出课堂笔记，认真地复 习课堂上学习的内容，他突然发现一道三项式除法运算题： .被除式的第二项被钢笔水弄污了，商的第一项也被 钢笔水弄污了，你能算出两处被污染的内容是什么吗？ 整合方法提升练 11 【解】根据题意设被除式的第二项为,商的第一项为 ,则有 , 化简，得 .观察等式两边， 对比可得 解得 所以被除式的第二项是,商的第一项是 . 返回 整合方法提升练 12 培优探究拓展练 14. 阅读下面的材料： 因为 ，所以 ,这说明能被 整 除，同时也说明多项式有一个因式为 .另外， 当时，多项式 的值为0. 培优探究拓展练 13 请回答下列问题： （1）根据上面的材料猜想：当 时，多项式的值为0；多 项式有因式；多项式能被 整除，这三者之间存在 着怎样的联系？ 【解】当时，多项式的值为0、多项式有因式 、多 项式能被 整除，这三者之间若有一个成立，则另外两个 也必然成立. 培优探究拓展练 14 （2）探索规律：一般地，如果一个关于字母的多项式 ， 当时，的值为0，那么与代数式 之间有何关系？ 【解】根据（1）可知能被整除或有因式 . （3）应用：已知能整除，求 的值. 因为能整除 , 所以当,即时， . 所以,解得 . 返回 培优探究拓展练 15 $$第3章 整式的乘除 3.4 乘法公式 第2课时 完全平方公式 1 知识过关 1.两数和的完全平方公式： 两数和的平方，等于这两数的________，______这两数 __________，即 ______________. 平方和 加上 积的2倍 2.两数差的完全平方公式： 两数差的平方，等于这两数的________，______这两数 __________，即 ______________. 平方和 减去 积的2倍 知识过关 2 夯实基础巩固练 知识点1 完全平方公式的几何意义 1. 如图，是利用割补法求图形面 积的示意图，下列公式中与之相 对应的是( ) A A. B. C. D. 返回 夯实基础巩固练 3 2. 如图，由4个全等的小长方形与1个小正方 形密铺成的正方形图案，该图案的面积为64， 小正方形的面积为9，若分别用, 表 示小长方形的长和宽，则下列关系式中不正 确的是( ) C A. B. C. D. 返回 夯实基础巩固练 4 知识点2 直接利用完全平方公式计算 3. 计算 的结果是( ) C A. B. C. D. 4. 下列等式中能够成立的是( ) B A. B. C. D. 返回 夯实基础巩固练 5 5. [2024·杭州西溪中学期中] 若 ， 则 的值是( ) B A. B. C. D. 6. [2024·宁波鄞州区期末] 已知, ， 则 的值为( ) A A. 1 B. 2 C. 4 D. 返回 夯实基础巩固练 6 7.填空： （1） _____; （2）____ ; （3）（____） ___. 4 返回 夯实基础巩固练 7 8.计算： （1） ； 【解】 . （2） ； . （3） ； . 夯实基础巩固练 8 （4） ； . （5） . . 返回 夯实基础巩固练 9 知识点3 完全平方公式的应用 9.一个底面是正方形的长方体，高为 ，底面正方形边长 为.如果它的高不变，底面正方形的边长增加了 ，那 么它的体积增加了多少？ 【解】 . 答：它的体积增加了 . 返回 夯实基础巩固练 10 易错题 忘记完全平方公式有两种情况而出错 10.小明在利用完全平方公式计算一个一次二项式的平方时， 得到正确结果 ，但其中一项被小明不小心染黑了， 你认为这一项是_____. 返回 夯实基础巩固练 11 整合方法提升练 11. 设,则 ( ) A A. B. C. D. 返回 整合方法提升练 12 12. 如图，将一个正方形纸板按图中虚线裁剪成 9块，其中4块大正方形的边长为 ,1块小正方形 的边长为,4块长方形的长为、宽为 . 若每块长方形的面积是2, ,则原正方 形纸板的面积是( ) D A. 13 B. 16 C. 17 D. 25 返回 整合方法提升练 13 13.已知,, 是三角形的三边长，且满足 ，求三角形的周长. 【解】因为 . 所以 . 所以 . 所以,, . 所以, . 所以三角形的周长 . 返回 整合方法提升练 14 14. 定义新运算“”： ,化 简，并求出当, 时, 的值. 【解】原式 , 当, 时， 原式 . 返回 整合方法提升练 15 培优探究拓展练 15. 阅读下列解答过程. 已知,且满足，求 的值. 解：因为,所以 . 因为,所以，即 , 所以 . 培优探究拓展练 16 解答下列问题. 已知 ，且满足 ,求 的值. 培优探究拓展练 【解】因为 , 所以 , 化简，得 . 所以.所以 . 所以 . 返回 培优探究拓展练 18 $$第3章 整式的乘除 3.1 同底数幂的乘法 第1课时 同底数幂的乘法 1 知识过关 同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数______，指数 ______.符号语言：______（， 都是正整数）. 不变 相加 知识过关 2 夯实基础巩固练 知识点1 同底数幂的乘法法则 1. [2024·舟山定海区期末] 计算 结果正确的是( ) D A. B. C. D. 2. [2024·温州瑞安市二模] 计算 的结果是( ) C A. B. C. D. 3. 若，则 的值为( ) C A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 返回 夯实基础巩固练 3 4.计算下列各式，结果用幂的形式表示： （1） ____； （2） _______； （3） _____； （4） _______. 5.（1）已知，则 的值为___； （2）已知，则 ___. 9 1 返回 夯实基础巩固练 4 6. 计算： （1） ； 【解】原式 . （2） ; 原式 . （3） . 原式 . 返回 夯实基础巩固练 5 知识点2 同底数幂的乘法法则的逆应用 7. （ 为正整数）可以改写成( ) D A. B. C. D. 8.[2024·杭州拱墅区校级期中] 已知， ,则 ____. 30 返回 夯实基础巩固练 6 9.把写成,均为正整数， 的形式，有几种 结果？把它们全部列举出来. 【解】因为,均为正整数，, , 且 , 所以 . 所以把写成,均为正整数， 的形式共有4 种结果，它们分别是,,, . 返回 夯实基础巩固练 7 知识点3 同底数幂的运算法则的应用 10.一个长方形的长是，宽是 ，则此 长方形的面积为__________ . 返回 夯实基础巩固练 8 11. 人类发射最多、用途最广的宇宙飞船是 卫星式载人飞船，这种飞船像卫星一样在离地面几百千米的 近地轨道上飞行.如果卫星式载人飞船的飞行速度大约是 米/秒，那么它飞行 秒所行的路程是多少？ 【解】 （米）. 答：它飞行秒所行的路程是 米. 返回 夯实基础巩固练 9 整合方法提升练 12. 若，则 的值为( ) C A. 0 B. 1 C. 2 D. 4 13. 我们知道，同底数幂的乘法法则为 （其中,, 为正整数）.类似地，我们规 定关于任意正整数, 的一种新运算： .若，则 的 结果是( ) D A. B. C. D. 返回 整合方法提升练 10 14.已知,,（,,为正整数），那么,, 之间满足的等量关系是__________. 15.若，，用含，的代数式表示 为_____. 返回 整合方法提升练 11 16.（1）若，求 的值； 【解】 , 所以，所以 . 整合方法提升练 12 （2）若，且，求 的值. 【解】由题意，得,则 . 因为所以 所以 . 返回 整合方法提升练 13 培优探究拓展练 17.规定两数,之间的一种运算，记作【,】.如果 ,那 么【,】,例如：因为,所以【2,8】 . （1）根据上述规定，填空：【4，16】 ___； 【7，7】___，【____，81】 . 2 1 培优探究拓展练 14 （2）小明在研究这种运算时发现一个现象： 【,】 【3，4】，小明给出了如下的理由： 设【,】,则,即 , 所以,即【3,4】,所以【,】 【3,4】. 请你尝试运用这种方法说明【6,9】【6,5】 【6,45】. 【解】设【6，9】,【6,5】,则, , 所以 . 所以【6,45】 . 所以【6,9】【6,5】 【6,45】. 返回 培优探究拓展练 15 $$第3章 整式的乘除 3.1 同底数幂的乘法 第2课时 幂的乘方 1 知识过关 1.幂的乘方法则：幂的乘方，底数______，指数______.符号 语言：_____（， 都是正整数）. .不变 相乘 知识过关 2 夯实基础巩固练 知识点1 幂的乘方法则 1. 若为正整数，则 可以表示成( ) C A. 2个相加 B. 3个 相加 C. 2个相乘 D. 5个 相乘 2. [2024·宁波鄞州区模拟] 计算 的结果正确的是 ( ) D A. B. C. D. 返回 夯实基础巩固练 3 3. 计算 的结果是( ) C A. B. C. D. 4. [2024·绍兴越城区期末] 下列运算正确的是( ) B A. B. C. D. 5.已知，则 的值为___. 9 返回 夯实基础巩固练 4 6. 计算下列各式，结果用幂的形式表示. （1） _____; （2） _____; （3） ______; （4） _______; （5） __________; （6） ____. 返回 夯实基础巩固练 5 7.计算： （1） ； 【解】 . （2） ； . （3） . . 返回 夯实基础巩固练 6 知识点2 幂的乘方法则的应用 8.一个正方体的棱长为 ，则该正方体的体积是 _________，表面积是_________. 9. 地球、木星、太阳可以近似地看作球体， 木星、太阳的半径分别约是地球的10倍和 倍，它们的体 积分别约是地球的_______倍和___________倍. 提示： 1 000 1 000 000 返回 夯实基础巩固练 7 10.阅读：已知正整数，， ，显然，当底数取大于1的正整 数且相同时，指数大的幂也大；若对于同指数，不同底数的 两个幂和，当时，则有 . 根据上述材料，回答下列问题. （1）比较大小：___；（填“ ”“ ”或“ ”） （2）比较与 的大小.（写出比较的具体过程） 【解】因为,, , 所以 . 返回 夯实基础巩固练 8 整合方法提升练 11. 下列式子中正确的有( ) ;; ; . C A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 12. 已知,,其中,为正整数，则 等于 ( ) A A. B. C. D. 返回 整合方法提升练 9 13. 规定新运算“ ”“”：, , 例如：,则 ____. 返回 整合方法提升练 10 14.乐于思考的小宏在学习《幂的运算》时发现：若 （，且,,都是正整数），则 .例如：若 ,则 .小宏将这个发现与老师分享，得到了老师 的肯定.请用小宏发现的这个正确结论解决下面的问题. （1）已知，求 的值； 【解】因为,所以 , 即.所以,解得 . 整合方法提升练 11 （2）已知，求 的值. 【解】因为 , 所以.所以 , 所以.所以,解得 . 返回 整合方法提升练 12 培优探究拓展练 15.已知,,求代数式 的值. 【解】由,得,即 ,所以 .① 由,得 ,即 ,所以 .② 联立,得解得 所以 . 返回 培优探究拓展练 13 16.[2024·金华义乌市校级月考] 已知 ， 其中,, 为正整数.求： （1）,, 的值; 【解】因为2 024＝8×11×23＝， 即2 024＝23×11×23＝ ， 所以a＝3，b＝1，c＝1. 培优探究拓展练 14 （2） 的值. 【解】 ＝(3－1－3)2 025×(3× 23)2＝－1×242＝－576. 返回 培优探究拓展练 15 $$