数学（江苏无锡卷）-学易金卷：2025年中考第一次模拟考试

1 2025年中考第一次模拟考试（无锡卷） 数学·答题卡 第Ⅰ卷(请用 2B铅笔填涂) 第Ⅱ卷 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 二、填空题（每小题 3分，共 25分） 11．_________________ 12．___________________ 12．__________________ 14．__________________ 15. ___________________ 16．__________________ 17.___________________ 18．__________________ 一、选择题（每小题 3分，共 30分） 1.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 2.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 3.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 4.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 5.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 6.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 7.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 8.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 9.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 10.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 姓 名：__________________________ 准考证号： 贴条形码区 考生禁填： 缺考标记 违纪标记 以上标志由监考人员用 2B铅笔填涂 选择题填涂样例： 正确填涂 错误填涂 [×] [√] [／] 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准 条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 2．选择题必须用 2B铅笔填涂；非选择题必须用 0.5 mm黑色签字笔 答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案 无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 注意事项 三、（本大题共 10个小题，共 96分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19．（10分） 20. （8分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21. （10分） 22.（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23.（10分） 24.（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 25. （10分） 26. (10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 27. （10分） 28. （10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025年中考第一次模拟考试（无锡卷） 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．-2的倒数是（    ） A．-2 B． C． D．2 2．如图所示的几何体是由一个球体和一个正方体组成的，它的左视图是（    ） A． B． C． D． 3．计算（﹣5）﹣（﹣3）的结果等于（    ） A．﹣8 B．8 C．﹣2 D．2 4．某中学开展“读书伴我成长”活动，为了解八年级学生四月份的读书册数，对从中随机抽取的20名学生的读书册数进行调查，结果如下表： 册数/册 1 2 3 4 5 人数/人 2 5 7 4 2 根据统计表中的数据，这20名同学读书册数的众数，中位数分别是（    ） A．3，3 B．3，7 C．2，7 D．7，3 5．如图，在中，于点，于点和交于点，则下列结论不正确的是（    ）    A． B． C． D． 6．上海与北京之间的铁路距离约为1400km，乘坐高铁列车比乘坐普通列车能提前4h到达．已知高铁列车的平均行驶速度是普通快车的2倍，设普通快车的平均行驶速度为xkm/h，根据题意所列出的方程为（    ） A． B． C． D． 7．已知抛物线的对称轴为直线，若关于x的一元二次方程（t为实数）在的范围内有解，则t的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．如图，点、、都在正方形网格的格点上，则的值是（    ） A． B． C． D． 9．如图，在平面直角坐标系中，点，点在双曲线上，，分别过点A，点B作x轴的平行线，与双曲线分别交于点C，点D，若的面积为，则的值为（    ） A． B． C． D． 10．如图，在边长为的正方形中，点为的中点，将沿翻折得，点落在四边形内．点为线段上的动点，过点作交于点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分） 11．2024年3月24日，无锡马拉松盛况空前，共吸引了约260000名选手踊跃报名．数据260000用科学记数法表示为 ． 12．二次根式有意义的条件是 13．若反比例函数 的图象位于第一，第三象限，则k的值可以是（只要写出一个满足条件的k值） ． 14．已知圆锥的底面圆半径为，母线长为，该圆锥的侧面积为 ． 15．如图1，一张矩形纸片，将纸片沿过点的直线折叠，使点落到边上点处，折痕为，再将纸片沿过点的直线折叠，使点与点重合，折痕为，如图2，已知的面积与的面积之和为，，则的长为 ． 16．已知α、β均为锐角，且满足+=0，则α+β= ． 17．某临街店铺在窗户上方安装如图1所示的遮阳棚，其侧面如图2所示，遮阳棚展开长度，遮阳棚前端自然下垂边的长度，遮阳棚固定点距离地面高度，遮阳棚与墙面的夹角，如图3，某一时刻，太阳光线与地面的夹角，则遮阳棚在地面上的遮挡宽度的长为 （结果保留根号）． 18．若二次函数的图象如图所示，则不等式的解集为 ． 三、解答题（本大题共10个小题，共96分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19．（8分）（1）解方程：；     （2）解不等式组： 20． （8分）（1）计算：；     （2）化简：． 21．（10分）（如图，在平行四边形ABCD中，点E在BC边上，点F在DC的延长线上，且∠DAE＝∠F． （1）求证：△ABE∽△ECF； （2）若AB＝5，AD＝8，BE＝2，求FD的长． 22．（10分）沧浪亭（C），狮子林（S）、拙政园（Z）、留园（L）被誉为苏州四大园林．周末小明一家准备到苏州四大园林游玩． (1)若小明一家随机选择其中一个园林游玩，恰好选中狮子林（S）的概率是 ； (2)若小明一家随机选择其中两个不同园林游玩，求恰好选中拙政园（Z）和留园（L）的概率（用画树状图或列表的方法求解）． 23．（10分）某校在八年级开展了以“争创文明城市，建设文明校园”为主题的系列艺术展示活动，活动项目有“绘画展示”“书法展示”“文艺表演”“即兴演讲”四组（依次记为A，B，C，D）．学校要求八年级全体学生必须参加且只能参加其中的一个项目，为了解八年级学生对这几项活动的喜爱程度，随机抽取了部分八年级学生进行调查，并将调查的结果绘制成两幅不完整的统计图． 根据以上信息，解答下列问题： (1)本次一共抽样调查了______名学生； (2)表示“书法展示”的扇形圆心角的度数为________°； (3)将条形统计图补充完整； (4)若该校八年级共有1200名学生，请估计该校八年级学生选择“文艺表演”的人数． 24．（10分）如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，图中都是格点，是上一点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图． (1)如图，先画点，使四边形为平行四边形，连接，再画的中点； (2)如图，若是与网格线的交点，先画点绕点逆时针旋转的对应点，再在上画点，使得． 25．（10分）“端午节”吃粽子是中国传统习俗，在“端午节”来临前，某超市购进一种品牌粽子，每盒进价是40元，并规定每盒售价不得少于50元，日销售量不低于350盒，根据以往销售经验发现，当每盒售价定为50元时，日销售量为500盒，每盒售价每提高1元，日销售量减少10盒，设每盒售价为x元，日销售量为p盒． (1)当时，__________； (2)当每盒售价定为多少元时，日销售利润W（元）最大？最大利润是多少？ (3)小强说：“当日销售利润最大时，日销售额不是最大，”小红说：“当日销售利润不低于8000元时，每盒售价x的范围为．”你认为他们的说法正确吗？若正确，请说明理由；若不正确，请直接写出正确的结论． 26．（10分）如图，是的直径，点D在直径上（D与A，B不重合），且，连接，与交于点F，在上取一点E，使与相切． (1)求证：； (2)若D是的中点，，求的长． 27．（10分）如图1，在平面直角坐标系中，的直角边在轴的正半轴上，且，，点为线段上一动点． (1)若动点在的平分线上时，求此时点的坐标； (2)如图2，若点为线段的中点，连接，以为折痕，在平面内将折叠，点的对应点为，当时，求折痕的长； (3)如图3，若为线段上一点，且，连接，将线段绕点顺时针方向旋转得线段，连接，直接写出周长的最小值及此时点的坐标． 28．（10分）如图，二次函数的图象与x轴的负半轴和正半轴分别交于，两点，与轴交于点，顶点为，对称轴交轴于点，点是抛物线对称轴上一动点，直线交轴于点，且． (1)请直接写出，两点的坐标：______，______； (2)当顶点与点关于轴对称时，． ①求此时抛物线的函数表达式； ②在抛物线的对称轴上是否存在点，使．若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 试题 第7页（共8页） 试题 第8页（共8页） 试题 第5页（共8页） 试题 第6页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年中考第一次模拟考试（无锡卷） 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．-2的倒数是（    ） A．-2 B． C． D．2 2．如图所示的几何体是由一个球体和一个正方体组成的，它的左视图是（    ） A． B． C． D． 3．计算（﹣5）﹣（﹣3）的结果等于（    ） A．﹣8 B．8 C．﹣2 D．2 4．某中学开展“读书伴我成长”活动，为了解八年级学生四月份的读书册数，对从中随机抽取的20名学生的读书册数进行调查，结果如下表： 册数/册 1 2 3 4 5 人数/人 2 5 7 4 2 根据统计表中的数据，这20名同学读书册数的众数，中位数分别是（    ） A．3，3 B．3，7 C．2，7 D．7，3 5．如图，在中，于点，于点和交于点，则下列结论不正确的是（    ）    A． B． C． D． 6．上海与北京之间的铁路距离约为1400km，乘坐高铁列车比乘坐普通列车能提前4h到达．已知高铁列车的平均行驶速度是普通快车的2倍，设普通快车的平均行驶速度为xkm/h，根据题意所列出的方程为（    ） A． B． C． D． 7．已知抛物线的对称轴为直线，若关于x的一元二次方程（t为实数）在的范围内有解，则t的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．如图，点、、都在正方形网格的格点上，则的值是（    ） A． B． C． D． 9．如图，在平面直角坐标系中，点，点在双曲线上，，分别过点A，点B作x轴的平行线，与双曲线分别交于点C，点D，若的面积为，则的值为（    ） A． B． C． D． 10．如图，在边长为的正方形中，点为的中点，将沿翻折得，点落在四边形内．点为线段上的动点，过点作交于点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分） 11．2024年3月24日，无锡马拉松盛况空前，共吸引了约260000名选手踊跃报名．数据260000用科学记数法表示为 ． 12．二次根式有意义的条件是 13．若反比例函数 的图象位于第一，第三象限，则k的值可以是（只要写出一个满足条件的k值） ． 14．已知圆锥的底面圆半径为，母线长为，该圆锥的侧面积为 ． 15．如图1，一张矩形纸片，将纸片沿过点的直线折叠，使点落到边上点处，折痕为，再将纸片沿过点的直线折叠，使点与点重合，折痕为，如图2，已知的面积与的面积之和为，，则的长为 ． 16．已知α、β均为锐角，且满足+=0，则α+β= ． 17．某临街店铺在窗户上方安装如图1所示的遮阳棚，其侧面如图2所示，遮阳棚展开长度，遮阳棚前端自然下垂边的长度，遮阳棚固定点距离地面高度，遮阳棚与墙面的夹角，如图3，某一时刻，太阳光线与地面的夹角，则遮阳棚在地面上的遮挡宽度的长为 （结果保留根号）． 18．若二次函数的图象如图所示，则不等式的解集为 ． 三、解答题（本大题共10个小题，共96分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19．（8分）（1）解方程：； （2）解不等式组： 20． （8分）（1）计算：； （2）化简：． 21．（10分）（如图，在平行四边形ABCD中，点E在BC边上，点F在DC的延长线上，且∠DAE＝∠F． （1）求证：△ABE∽△ECF； （2）若AB＝5，AD＝8，BE＝2，求FD的长． 22．（10分）沧浪亭（C），狮子林（S）、拙政园（Z）、留园（L）被誉为苏州四大园林．周末小明一家准备到苏州四大园林游玩． (1)若小明一家随机选择其中一个园林游玩，恰好选中狮子林（S）的概率是 ； (2)若小明一家随机选择其中两个不同园林游玩，求恰好选中拙政园（Z）和留园（L）的概率（用画树状图或列表的方法求解）． 23．（10分）某校在八年级开展了以“争创文明城市，建设文明校园”为主题的系列艺术展示活动，活动项目有“绘画展示”“书法展示”“文艺表演”“即兴演讲”四组（依次记为A，B，C，D）．学校要求八年级全体学生必须参加且只能参加其中的一个项目，为了解八年级学生对这几项活动的喜爱程度，随机抽取了部分八年级学生进行调查，并将调查的结果绘制成两幅不完整的统计图． 根据以上信息，解答下列问题： (1)本次一共抽样调查了______名学生； (2)表示“书法展示”的扇形圆心角的度数为________°； (3)将条形统计图补充完整； (4)若该校八年级共有1200名学生，请估计该校八年级学生选择“文艺表演”的人数． 24．（10分）如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，图中都是格点，是上一点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图． (1)如图，先画点，使四边形为平行四边形，连接，再画的中点； (2)如图，若是与网格线的交点，先画点绕点逆时针旋转的对应点，再在上画点，使得． 25．（10分）“端午节”吃粽子是中国传统习俗，在“端午节”来临前，某超市购进一种品牌粽子，每盒进价是40元，并规定每盒售价不得少于50元，日销售量不低于350盒，根据以往销售经验发现，当每盒售价定为50元时，日销售量为500盒，每盒售价每提高1元，日销售量减少10盒，设每盒售价为x元，日销售量为p盒． (1)当时，__________； (2)当每盒售价定为多少元时，日销售利润W（元）最大？最大利润是多少？ (3)小强说：“当日销售利润最大时，日销售额不是最大，”小红说：“当日销售利润不低于8000元时，每盒售价x的范围为．”你认为他们的说法正确吗？若正确，请说明理由；若不正确，请直接写出正确的结论． 26．（10分）如图，是的直径，点D在直径上（D与A，B不重合），且，连接，与交于点F，在上取一点E，使与相切． (1)求证：； (2)若D是的中点，，求的长． 27．（10分）如图1，在平面直角坐标系中，的直角边在轴的正半轴上，且，，点为线段上一动点． (1)若动点在的平分线上时，求此时点的坐标； (2)如图2，若点为线段的中点，连接，以为折痕，在平面内将折叠，点的对应点为，当时，求折痕的长； (3)如图3，若为线段上一点，且，连接，将线段绕点顺时针方向旋转得线段，连接，直接写出周长的最小值及此时点的坐标． 28．（10分）如图，二次函数的图象与x轴的负半轴和正半轴分别交于，两点，与轴交于点，顶点为，对称轴交轴于点，点是抛物线对称轴上一动点，直线交轴于点，且． (1)请直接写出，两点的坐标：______，______； (2)当顶点与点关于轴对称时，． ①求此时抛物线的函数表达式； ②在抛物线的对称轴上是否存在点，使．若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年中考第一次模拟考试（无锡卷） 数学·全解全析 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．-2的倒数是（ ） A．-2 B． C． D．2 【答案】B 【分析】根据倒数的定义（两个非零数相乘积为1，则说它们互为倒数，其中一个数是另一个数的倒数）求解． 【详解】解：-2的倒数是-， 故选：B． 【点睛】本题难度较低，主要考查学生对倒数等知识点的掌握． 2．如图所示的几何体是由一个球体和一个正方体组成的，它的左视图是（   ） A． B． C． D． 2.A 【分析】本题考查了简单组合体的三视图，从左边看得到的图形是左视图．根据左视图的意义和画法即可解题． 【详解】解：球的左视图一个大圆，正方体的左视图是一个正方形， 该几何体的左视图是一个大圆与一个正方形， 故选：A． 3．计算（﹣5）﹣（﹣3）的结果等于（　　） A．﹣8 B．8 C．﹣2 D．2 3.C 【详解】分析：减去一个数，等于加上这个数的相反数． 依此计算即可求解． 详解：（-5）-（-3）=-2． 故选C． 点睛：考查了有理数的减法，方法指引：①在进行减法运算时，首先弄清减数的符号； ②将有理数转化为加法时，要同时改变两个符号：一是运算符号（减号变加号）； 二是减数的性质符号（减数变相反数）． 4．某中学开展“读书伴我成长”活动，为了解八年级学生四月份的读书册数，对从中随机抽取的20名学生的读书册数进行调查，结果如下表： 册数/册 1 2 3 4 5 人数/人 2 5 7 4 2 根据统计表中的数据，这20名同学读书册数的众数，中位数分别是（  ） A．3，3 B．3，7 C．2，7 D．7，3 4.A 【分析】由人数最多所对应的册数可得出众数，由总人数是20人可得，中位数是将数据从小到大排序后的第10和11个所对应册数的平均数即可求得结果； 【详解】由表中数据可得，人数基数最大的7人所应的册数是3，所以众数是3． 将数据从小到大排序后，第10和第11个数据均为3，所以中位数为：， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了中位数和众数的求解，准确分析表中数据得出结果是解题的关键． 5．如图，在中，于点，于点和交于点，则下列结论不正确的是（    ）    A． B． C． D． 5.C 【分析】根据垂直的定义、直角三角形的两个锐角互余及三角形外角的性质可进行求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴，故A、B正确； 由三角形外角的性质可知，故D正确； 题干中并未给出，所以无法得出；故C错误； 故选C． 【点睛】本题主要考查垂直的定义、直角三角形的两个锐角互余及三角形外角的性质，熟练掌握垂直的定义、直角三角形的两个锐角互余及三角形外角的性质是解题的关键． 6．上海与北京之间的铁路距离约为1400km，乘坐高铁列车比乘坐普通列车能提前4h到达．已知高铁列车的平均行驶速度是普通快车的2倍，设普通快车的平均行驶速度为xkm/h，根据题意所列出的方程为（　　） A． B． C． D． 6.D 【分析】根据题意可直接列出方程． 【详解】解：由题意可列出方程为； 故选D． 【点睛】本题主要考查分式方程的应用，解题的关键是理解题意． 7．已知抛物线的对称轴为直线，若关于x的一元二次方程（t为实数）在的范围内有解，则t的取值范围是（　　） A． B． C． D． 7.D 【分析】本题主要考查了二次函数与一元二次方程之间的关系，先根据对称轴计算公式求出，再根据题意可得二次函数与直线在的范围内有交点，据此求出时，二次函数的函数值的取值范围即可得到答案． 【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线， ∴， ∴， ∵关于x的一元二次方程（t为实数）在的范围内有解， ∴二次函数与直线在的范围内有交点， ∵二次函数的对称轴为直线且开口向下， ∴离对称轴越远函数值越小， 当时，， 当时，， 当时，， ∴当时，， ∴当时，二次函数与直线在的范围内有交点， 故选：D． 8．如图，点、、都在正方形网格的格点上，则的值是 （    ） A． B． C． D． 8.C 【分析】此题考查了求角的正切值，勾股定理与网格问题，正确作出辅助线是解答本题的关键． 过点作，垂足为，先根据勾股定理求出，再根据求出，然后在求出，在中求出，最后根据求解即可． 【详解】解：如图：过点作，垂足为， 在，，， ， ， ， ， 解得：， 在，，， ， 在，， ． 故选：C． 9．如图，在平面直角坐标系中，点，点在双曲线上，，分别过点A，点B作x轴的平行线，与双曲线分别交于点C，点D，若的面积为，则的值为（    ） A． B． C． D． 9.A 【分析】过点作轴于点，过点作 轴于点， 由点在双曲线 上， 可得 ，即得，根据的面积为，可得 即解得 然后计算得到即可求解． 【详解】如图，过点作轴于点，过点作 轴于点， 点 在双曲线上， ， ， ， ， ， ，即 设，则 解得：或 (舍去) ， ， 轴，点，点在双曲线 图象上， ∴点，点 ， ， ， 故选： A. 【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例系数k的几何意义，分式方程，一元二次方程的知识，解题的关键是熟练掌握反比例函数系数k的几何意义. 10．如图，在边长为的正方形中，点为的中点，将沿翻折得，点落在四边形内．点为线段上的动点，过点作交于点，则的最小值为（　　） A． B． C． D． 10.C 【分析】作点关于的对称点，过点作于，交于点，连接，，根据折叠的性质可得点在上，推得的最小值为的长，根据折叠的性质可得为线段的垂直平分线，根据勾股定理可得和的值，根据同位角相等，两直线平行可得，根据两直线平行，内错角相等可得，根据垂直平分线上的点到两端点的距离相等可得，根据两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等，全等三角形的对应边相等可得，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，有一个角是直角的平行四边形是菱形可得四边形为菱形，根据菱形的对角线互相平分可得，，求得的值，根据两组对角相等的两个三角形是相似三角形，相似三角形的对应边之比相等可求得的值，即可求解． 【详解】解：作点关于的对称点，过点作于，交于点，连接，，如图： 由折叠的性质知是的平分线， ∴点在上， ∵， ∴的最小值为的长， 由折叠的性质知为线段的垂直平分线， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵为线段的垂直平分线， ∴，， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为菱形， ∴，， ∴， ∵， 即， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， ∴的最小值为． 故选：C． 【点睛】本题考查了轴对称的应用——最短路径问题，勾股定理，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，菱形的判定和性质，平行线的判定和性质等，熟练掌握以上判定和性质是解题的关键． 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分） 11．2024年3月24日，无锡马拉松盛况空前，共吸引了约260000名选手踊跃报名．数据260000用科学记数法表示为 ． 11. 【分析】本题考查科学记数法，将260000写成的形式即可，注意，n的值与小数点移动位数相同． 【详解】解：， 故答案为：． 12．二次根式有意义的条件是 12. 【分析】根据二次根式有意义的条件求出3x-1≥0，求出即可． 【详解】∵要使有意义，必须3x-1≥0， ∴， 故答案为． 【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件的应用，注意：要使有意义，必须a≥0． 13．若反比例函数 的图象位于第一，第三象限，则k的值可以是（只要写出一个满足条件的k值） ． 13.3（答案不唯一） 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，反比例函数(k是常数，)的图象是双曲线，当，反比例函数图象的两个分支在第一、三象限；当，反比例函数图象的两个分支在第二、四象限．根据反比例函数 的图象位于第一，第三象限求出k的取值范围即可求解． 【详解】解：∵比例函数 的图象位于第一，第三象限， ∴， ∴， ∴k的值可以是3 故答案为：3（答案不唯一）． 14．已知圆锥的底面圆半径为，母线长为，该圆锥的侧面积为 ． 14. 【分析】本题主要考查了求圆锥的侧面积，根据圆锥的侧面积公式求解即可． 【详解】解：∵底面圆半径为， ∴底面周长， ∴圆锥的侧面积为， 故答案为：． 15．如图1，一张矩形纸片，将纸片沿过点的直线折叠，使点落到边上点处，折痕为，再将纸片沿过点的直线折叠，使点与点重合，折痕为，如图2，已知的面积与的面积之和为，，则的长为 ． 15.3.2 【分析】本题考查矩形的折叠问题，正方形的判定，利用完全平方公式变形求值，根据题意可知四边形是正方形，四边形是正方形，四边形是矩形，设，，结合题意可得，，根据，得，再结合，求得（负值舍去），即可求解．利用完全平方公式变形等式是解决问题的关键． 【详解】解：在矩形中，，，， 由折叠可知，，，，， ∴四边形是正方形，四边形是正方形，四边形是矩形， ∴设，， ∴，，则， ∴，则， 则， ∴（负值舍去）， 则， 故答案为：3.2． 16．已知α、β均为锐角，且满足+=0，则α+β= ． 16.75° 【分析】根据非负数的性质得到sinα=，tanβ=1，利用特殊角的三角函数值分别求出α、β，计算即可． 【详解】由已知得sinα－=0，tanβ－1=0， ∴α=30°，β=45°， ∴α+β=75°． 【点睛】本题考查的是特殊角的三角函数值、非负数的性质，掌握绝对值和算术平方根的非负性是解题的关键． 17．某临街店铺在窗户上方安装如图1所示的遮阳棚，其侧面如图2所示，遮阳棚展开长度，遮阳棚前端自然下垂边的长度，遮阳棚固定点距离地面高度，遮阳棚与墙面的夹角，如图3，某一时刻，太阳光线与地面的夹角，则遮阳棚在地面上的遮挡宽度的长为 （结果保留根号）． 17./ 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，矩形的判定和性质．作于点E，于点H，延长交于点K，则，则四边形是矩形，在中，可得，，从而得到，然后在中，根据，可得，即可求解． 【详解】解：如图，作于点E，于点H，延长交于点K，则，则四边形是矩形， ∴， 在中，，， ∴，， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴． 故答案为： 18．若二次函数的图象如图所示，则不等式的解集为 ． 18.或 【分析】直接利用函数图象即可得出结论． 【详解】∵由函数图象可知，当x<1或x>3时，函数图象在x轴的下方， ∴函数y=a（x-2）2+b（x-2）+c的图象与x轴的交点为3，5，（把x-2作为一个整体，代入上面的函数中，） ∴不等式a（x-2）2+b（x-2）+c<0<0的解集为x<3或x>5， 故答案为x<3或x>5． 【点睛】本题考查的是二次函数与不等式组，能根据题意利用数形结合求出不等式的解集是解答此题的关键． 三、解答题（本大题共10个小题，共96分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19．（1）解方程：；     （2）解不等式组： 19.（1），；（2）． 【分析】（1）利用因式分解法求解即可； （2）分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可． 【详解】解：（1） ∴或 ∴解得，； （2） 解不等式①，移项，合并同类项得， 系数化为1得，； 解不等式②，移项，合并同类项得， 系数化为1得， 故不等式组的解集为：． 【点睛】此题考查了解一元二次方程和解一元一次不等式组，解题的关键是熟练掌握以上运算法则． 20．（1）计算：；     （2）化简：． 20.（1）；（2） 【分析】本题考查了实数的混合运算，完全平方公式，单项式乘以多项式； （1）根据有理数的乘方，化简绝对值，求一个数的算术平方根进行计算即可求解； （2）根据完全平方公式，单项式乘以多项式进行计算即可求解． 【详解】解：（1） ； （2） 21．如图，在平行四边形ABCD中，点E在BC边上，点F在DC的延长线上，且∠DAE＝∠F． （1）求证：△ABE∽△ECF； （2）若AB＝5，AD＝8，BE＝2，求FD的长． 如图所示，在▱ABCD中，点E在BC边上，点F在DC的延长线上，且∠DAE=∠F． 求证：△ABE∽△ECF； 21.（1）详见解析；（2） 【分析】（1）由平行四边形的性质可知AB∥CD，AD∥BC．所以∠B＝∠ECF，∠DAE＝∠AEB，又因为又∠DAE＝∠F，进而可证明△ABE∽△ECF； （2）由（1）可知：△ABE∽△ECF，得出＝，由平行四边形的性质可知BC＝AD＝8，所以EC＝BC﹣BE＝8﹣2＝6，代入计算求出CF，即可得出答案． 【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，AD∥BC,CD＝AB， ∴∠B＝∠ECF，∠DAE＝∠AEB． 又∵∠DAE＝∠F， ∴∠AEB＝∠F． ∴△ABE∽△ECF； （2）解：∵△ABE∽△ECF， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴BC＝AD＝8．CD＝AB＝5， ∴EC＝BC﹣BE＝8﹣2＝6． ∴ ∴CF＝， ∴FD＝CD+CF＝ 【点睛】本题主要考查相似三角形的判定及性质，掌握相似三角形的判定方法及性质是解题的关键. 22．沧浪亭（C），狮子林（S）、拙政园（Z）、留园（L）被誉为苏州四大园林．周末小明一家准备到苏州四大园林游玩． (1)若小明一家随机选择其中一个园林游玩，恰好选中狮子林（S）的概率是 ； (2)若小明一家随机选择其中两个不同园林游玩，求恰好选中拙政园（Z）和留园（L）的概率（用画树状图或列表的方法求解）． 22.(1) (2) 【分析】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． （1）由题意知，共有4种等可能的结果，其中恰好选中狮子林的结果有1种，利用概率公式可得答案． （2）列表可得出所有等可能的结果数以及恰好选中拙政园和留园的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】（1）解：由题意知，共有4种等可能的结果，其中恰好选中狮子林的结果有1种， 恰好选中狮子林的概率是． 故答案为：． （2）解：列表如下： 共有12种等可能的结果，其中恰好选中拙政园和留园的结果有：，，共2种， 恰好选中拙政园和留园的概率为． 23．某校在八年级开展了以“争创文明城市，建设文明校园”为主题的系列艺术展示活动，活动项目有“绘画展示”“书法展示”“文艺表演”“即兴演讲”四组（依次记为A，B，C，D）．学校要求八年级全体学生必须参加且只能参加其中的一个项目，为了解八年级学生对这几项活动的喜爱程度，随机抽取了部分八年级学生进行调查，并将调查的结果绘制成两幅不完整的统计图． 根据以上信息，解答下列问题： (1)本次一共抽样调查了______名学生； (2)表示“书法展示”的扇形圆心角的度数为________°； (3)将条形统计图补充完整； (4)若该校八年级共有1200名学生，请估计该校八年级学生选择“文艺表演”的人数． 23.(1)50名 (2)108 (3)见详解 (4)120名 【分析】本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． （1）根据组的人数和所占的百分比，可以计算出本次调查的总人数； （2）根据（1）中的结果和条形统计图中的数据，可以计算出选择的人数，即可计算出表示“书法展示”的扇形圆心角的度数； （3）根据（2）中的结果，将条形统计图补充完整即可； （4）根据样本估计总体即可得出答案． 【详解】（1）解：本次调查的学生总人数是(名)； 故答案为：50； （2）选择的有：(人)， ∴表示“书法展示”的扇形圆心角的度数为； 故答案为：108； （3）补全的条形统计图如图所示； （4）(人)， 答：估计该校八年级学生选择“文艺表演”的人数有120人． 24．如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，图中都是格点，是上一点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图． (1)如图，先画点，使四边形为平行四边形，连接，再画的中点； (2)如图，若是与网格线的交点，先画点绕点逆时针旋转的对应点，再在上画点，使得． 24.(1)作图见解析； (2)作图见解析． 【分析】（）根据平行四边形的性质即可画出点，连接，与相交于点，由网格可知，因为点为的中点，所以为的中位线，故点为的中点； （）取格点，连接，交网格于点，根据网格可证明，得到，进而可得，再利用由三角形全等可得；连接格点，与网格相交于点，连接，与相交于点，由正方形的性质可得，进而可得，即可证到，即得到，又因为，故，即； 本题考查了平行四边形的性质，三角形中位线的性质，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，掌握平行四边形和正方形的性质是解题的关键． 【详解】（1）解：如图，点即为所求； （2）解：如图，点即为所求． 25．“端午节”吃粽子是中国传统习俗，在“端午节”来临前，某超市购进一种品牌粽子，每盒进价是40元，并规定每盒售价不得少于50元，日销售量不低于350盒，根据以往销售经验发现，当每盒售价定为50元时，日销售量为500盒，每盒售价每提高1元，日销售量减少10盒，设每盒售价为x元，日销售量为p盒． (1)当时，__________； (2)当每盒售价定为多少元时，日销售利润W（元）最大？最大利润是多少？ (3)小强说：“当日销售利润最大时，日销售额不是最大，”小红说：“当日销售利润不低于8000元时，每盒售价x的范围为．”你认为他们的说法正确吗？若正确，请说明理由；若不正确，请直接写出正确的结论． 25.(1) (2)当每盒售价定为65元时，日销售利润W（元）最大，最大利润是元． (3)他们的说法正确，理由见解析 【分析】（1）根据每盒售价定为50元时，日销售量为500盒，每盒售价每提高1元，日销售量减少10盒，列式计算即可； （2）根据销售量乘以每盒的利润得到，根据二次函数的性质即可得到答案； （3）设日销售额为元，则，根据二次函数的性质即可判断当日销售利润最大时，日销售额不是最大，即可判断小强的说法；当时，由，解得，由抛物线开口向下，得到当时，，即可判断小红的说法． 【详解】（1）解：当时，（盒）， 故答案为： （2）由题意得， ， 又∵，即， 解得， ∵， ∴当时，W最大，最大值为， ∴当每盒售价定为65元时，日销售利润W（元）最大，最大利润是元． （3）他们的说法正确，理由如下： 设日销售额为元，则 ， ∵， ∴当时，最大，最大值为， ∴当时，最大，此时为， 即小强的说法正确； 当时，，解得， ∵抛物线开口向下， ∴当时，∵， ∴当日销售利润不低于元时，每盒售价x的范围为． 故小红的说法错误． 【点睛】此题考查了二次函数的应用，根据题意正确列出函数解析式是基础，熟练掌握二次函数的性质和正确计算是解题的关键． 26．如图，是的直径，点D在直径上（D与A，B不重合），且，连接，与交于点F，在上取一点E，使与相切． (1)求证：； (2)若D是的中点，，求的长． 26.(1)证明见详解 (2) 【分析】（1）连接，根据垂直定义可得，从而可得，然后利用等腰三角形的性质可得，由切线的性质得，继而得到，即可解答； （2）连接，根据已知可得，，从而在中，利用勾股定理求出，，然后利用直径所对的圆周角是直角可得，从而可证，进而利用相似三角形的性质可求出的长，最后进行计算即可解答． 【详解】（1）证明：连接， ， ， ， 是的半径，是的切线， ∴， ∴ ， ， ∴， ∴． （2）解：解：连接， ， ， 是的中点， ， ， 在中，， ， 是的直径， ， ，， ， ， ， ， ， 的长为． 【点睛】本题考查了切线的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，圆周角定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 27．如图1，在平面直角坐标系中，的直角边在轴的正半轴上，且，，点为线段上一动点． (1)若动点在的平分线上时，求此时点的坐标； (2)如图2，若点为线段的中点，连接，以为折痕，在平面内将折叠，点的对应点为，当时，求折痕的长； (3)如图3，若为线段上一点，且，连接，将线段绕点顺时针方向旋转得线段，连接，直接写出周长的最小值及此时点的坐标． 27.(1)点的坐标为； (2)； (3)周长的最小值为，点的坐标为．． 【分析】（1）利用正切函数的定义求得和的长，如图1中，过点作于点．利用角平分线定理以及三角形的面积公式求出即可； （2）如图2中，设交于点．利用相似三角形的性质求出，再求出，得到点的坐标，再利用勾股定理可得结论； （3）如图，以为边向右作等边，连接，延长交轴于点，过点作于点．于点，延长交于点，连接．证明，推出，推出点在直线上运动，当点共线时，的值最小，即的周长有最小值，最小值为的长，据此求解即可． 【详解】（1）解：在中，，，， ∴， ∴，， ； 如图1中，过点作于点． ∵点在的平分线上，， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴点的坐标为； （2）解：如图2中，设交于点． ，， ，点的坐标为， ， 由翻折的性质可知， ， ， ， ∴， ， ， ，， ， ， ， ， ∴点的坐标为，点的坐标为， ∴； （3）解：如图，以为边向右作等边，连接，延长交轴于点，过点作于点．于点，延长交于点，连接． ， ， ，， ， ， ∵， ∴， ∴是线段的垂直平分线， ∴， ∴点在直线上运动，当点共线时，的值最小，即的周长有最小值，最小值为的长， ，， ， 四边形是矩形， ，， ，，，， ，，， ， ， ， ， ∴，，， ∴周长的最小值为， 设直线的解析式为， 则， 解得，， ∴直线的解析式为， 同理直线的解析式为， 联立得， 解得， ， ∴点的坐标为． 【点睛】本题属于三角形综合题，考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题． 28．如图，二次函数的图象与x轴的负半轴和正半轴分别交于，两点，与轴交于点，顶点为，对称轴交轴于点，点是抛物线对称轴上一动点，直线交轴于点，且． (1)请直接写出，两点的坐标：______，______； (2)当顶点与点关于轴对称时，． ①求此时抛物线的函数表达式； ②在抛物线的对称轴上是否存在点，使．若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 28.(1)， (2)① ②或 【分析】（1）根据抛物线的解析式配方后可得对称轴，根据平行线分线段成比例定理可得点坐标，由对称性可得点坐标； （2）①根据的面积可得的长，表示点和点的坐标，根据两点的距离公式可列方程，解方程可得结论； ②如图2，当点在的下方时，连接，根据顶点与点关于轴对称，结合已知可证得，在此基础上求出直线的解析式和直线的解析式，进而求出点的坐标；当点在上方时，连接，设，，，，每个点的坐标易求出，可得，的长，所以有，易知是的平分线，因此有，然后过作轴，垂足为，由勾股定理可求出，根据等量代换进而求出点的坐标． 【详解】（1）∵ ∴这个抛物线的对称轴是：直线 ∴ 如图1所示， ∵轴 ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ 根据抛物线的对称性得 故答案为：， （2）①如图1， 将代入二次函数中得： ∴ ∵ ∴ ∵顶点与点关于轴对称， ∴，即 ∵ ∴ ∴ 设直线的解析式为： ∴ ∴ ∴直线的解析式为： ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴此时抛物线的函数解析式为：； ②如图2，当点在的下方时，连接， ∵顶点与点关于轴对称， ∴ ∵ ∴ ∴ 由①得： ∴ 设直线的解析式为 ∵， ∴ ∴ ∴直线的解析式 设直线的解析式为： ∵ ∴ 当时， ∴ 如图3，当点在的上方时，连接 设， ∵ ∴ ∵， ∴， 由勾股定理得 ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵， ∴ ∵ ∴ ∵，， ∴ 过作轴，垂足为， 在中 ∴ ∴或(舍去) ∴ 综上所述，在抛物线的对称轴上，存在点或，使． 【点睛】本题是二次函数的综合题，主要考查了一次函数解析式和二次函数解析式的确定，函数图象的平移，轴对称的性质，勾股定理等知识，熟练掌握待定系数法和一次函数与二次函数的图象与性质是解本题的关键． 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 $$ 11 2025年中考第一次模拟考试（无锡卷） 数学·答题卡 贴条形码区 考生禁填： 缺考标记 违纪标记 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 选择题填涂样例： 正确填涂 错误填涂 [×] [√] [／] 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5 mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 注意事项 姓 名：__________________________ 准考证号： 第Ⅰ卷(请用2B铅笔填涂) 一、选择题（每小题3分，共30分） 1.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 2.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 3.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 4.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 5.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 6.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 7.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 8.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 9.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 10.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 第Ⅱ卷二、填空题（每小题3分，共25分） 11． _________________ 12．___________________ 12． __________________ 14．__________________ 15. ___________________ 16．__________________ 17.___________________ 18．__________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 三、（本大题共10个小题，共96分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19．（10分） 20. （8分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21. （10分） 22.（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23.（10分） 24.（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 25. （10分） 26. (10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 27. （10分） 28. （10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年中考第一次模拟考试（无锡卷） 数学·参考答案 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 B A C A C D D C A C 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 11． 12． 13．3（答案不唯一） 14． 15． 3.2 16． 75° 17． 18.或 三、解答题（本大题共10个小题，共96分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19．（8分）【详解】解：（1） ∴或 ∴解得，； （2） 解不等式①，移项，合并同类项得， 系数化为1得，； 解不等式②，移项，合并同类项得， 系数化为1得， 故不等式组的解集为：． 20．（8分）【详解】解：（1） ； （2） 21．（10分）【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，AD∥BC,CD＝AB， ∴∠B＝∠ECF，∠DAE＝∠AEB． 又∵∠DAE＝∠F， ∴∠AEB＝∠F． ∴△ABE∽△ECF； （2）解：∵△ABE∽△ECF， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴BC＝AD＝8．CD＝AB＝5， ∴EC＝BC﹣BE＝8﹣2＝6． ∴ ∴CF＝， ∴FD＝CD+CF＝ 22．（10分）【详解】（1）解：由题意知，共有4种等可能的结果，其中恰好选中狮子林的结果有1种， 恰好选中狮子林的概率是． 故答案为：． （2）解：列表如下： 共有12种等可能的结果，其中恰好选中拙政园和留园的结果有：，，共2种， 恰好选中拙政园和留园的概率为． 23．（10分）【详解】（1）解：本次调查的学生总人数是(名)； 故答案为：50； （2）选择的有：(人)， ∴表示“书法展示”的扇形圆心角的度数为； 故答案为：108； （3）补全的条形统计图如图所示； （4）(人)， 答：估计该校八年级学生选择“文艺表演”的人数有120人． 24．（10分）【详解】（1）解：如图，点即为所求； （2）解：如图，点即为所求． 25．（10分）【详解】（1）解：当时，（盒）， 故答案为： （2）由题意得， ， 又∵，即， 解得， ∵， ∴当时，W最大，最大值为， ∴当每盒售价定为65元时，日销售利润W（元）最大，最大利润是元． （3）他们的说法正确，理由如下： 设日销售额为元，则 ， ∵， ∴当时，最大，最大值为， ∴当时，最大，此时为， 即小强的说法正确； 当时，，解得， ∵抛物线开口向下， ∴当时，∵， ∴当日销售利润不低于元时，每盒售价x的范围为． 故小红的说法错误． 26．（10分）【详解】（1）证明：连接， ， ， ， 是的半径，是的切线， ∴， ∴ ， ， ∴， ∴． （2）解：解：连接， ， ， 是的中点， ， ， 在中，， ， 是的直径， ， ，， ， ， ， ， ， 的长为． 27．（10分）【详解】（1）解：在中，，，， ∴， ∴，， ； 如图1中，过点作于点． ∵点在的平分线上，， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴点的坐标为； （2）解：如图2中，设交于点． ，， ，点的坐标为， ， 由翻折的性质可知， ， ， ， ∴， ， ， ，， ， ， ， ， ∴点的坐标为，点的坐标为， ∴； （3）解：如图，以为边向右作等边，连接，延长交轴于点，过点作于点．于点，延长交于点，连接． ， ， ，， ， ， ∵， ∴， ∴是线段的垂直平分线， ∴， ∴点在直线上运动，当点共线时，的值最小，即的周长有最小值，最小值为的长， ，， ， 四边形是矩形， ，， ，，，， ，，， ， ， ， ， ∴，，， ∴周长的最小值为， 设直线的解析式为， 则， 解得，， ∴直线的解析式为， 同理直线的解析式为， 联立得， 解得， ， ∴点的坐标为． 28．（10分）【详解】（1）∵ ∴这个抛物线的对称轴是：直线 ∴ 如图1所示， ∵轴 ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ 根据抛物线的对称性得 故答案为：， （2）①如图1， 将代入二次函数中得： ∴ ∵ ∴ ∵顶点与点关于轴对称， ∴，即 ∵ ∴ ∴ 设直线的解析式为： ∴ ∴ ∴直线的解析式为： ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴此时抛物线的函数解析式为：； ②如图2，当点在的下方时，连接， ∵顶点与点关于轴对称， ∴ ∵ ∴ ∴ 由①得： ∴ 设直线的解析式为 ∵， ∴ ∴ ∴直线的解析式 设直线的解析式为： ∵ ∴ 当时， ∴ 如图3，当点在的上方时，连接 设， ∵ ∴ ∵， ∴， 由勾股定理得 ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵， ∴ ∵ ∴ ∵，， ∴ 过作轴，垂足为， 在中 ∴ ∴或(舍去) ∴ 综上所述，在抛物线的对称轴上，存在点或，使． 7 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $$