第4章 因式分解课件 2024-2025学年浙教版（2024）数学七年级下册

第4章 因式分解 4.3 用乘法公式分解因式 第2课时 用完全平方公式分解因式 1 知识过关 1.两数的平方和，加上（或者减去）这两数的积的___倍，等 于这两数和（或者差）的平方.即 ； . 2 2.一般地，利用公式 ，或 把一个多项式分解因式的方法，叫 作________.公式中的， 可以是数，也可以是整式. 公式法 知识过关 2 夯实基础巩固练 知识点1 完全平方式 1. 下列各式中，为完全平方式的是( ) C A. B. C. D. 2. [2024·湖州吴兴区期中] 若多项式 是完全平 方式，则 的值是( ) C A. 6 B. 12 C. D. 返回 夯实基础巩固练 3 知识点2 用完全平方公式分解因式 3. [2024·杭州之江实验中学二模] 把 分解因式， 正确的是( ) D A. B. C. D. 4. [2024·金华期末] 因式分解 的结果是( ) A A. B. C. D. 返回 夯实基础巩固练 4 5.分解因式： （1） _________； （2） ____________. 6.若一个正方形的面积为 ，则此正方形的周长为 _______. 返回 夯实基础巩固练 5 7.用简便方法计算： （1） ___________； （2） ___. 1 000 000 4 返回 夯实基础巩固练 6 知识点3 提取公因式法与完全平方公式的综合运用 8.分解因式： （1） ____________. （2） ___________； （3） ____________. 9.已知，，则 的值为 ____. 返回 夯实基础巩固练 7 10.分解因式： （1） ； 【解】 . （2） . . 返回 夯实基础巩固练 8 整合方法提升练 11. 已知一个圆的面积为 , 则该圆的半径是( ) A A. B. C. D. 12.多项式 加上一个单项式后，使它能成为一个多项 式的完全平方，那么加上的单项式可以是________________ （填一个即可）. （答案不唯一） 返回 整合方法提升练 9 13.若实数,满足方程组 则 ____. 45 返回 整合方法提升练 10 14.[2024·舟山定海区校级模拟] 先阅读材料，再解答下列问题. 材料：因式分解： . 解：将看成整体，令 ,则原式 ,再将 还原，得到 原式 . 上述解题过程用到的是整体思想，整体思想是数学中常用的 方法，请根据上面的方法将下面的式子分解因式： . 整合方法提升练 11 【解】设 ,则原式 ，再将 还 原，得到原式, . 返回 整合方法提升练 12 培优探究拓展练 15.我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提取公因式 法和公式法，其实分解因式的方法还有分组分解法、拆项法等. ①分组分解法： 例如： . 培优探究拓展练 13 ②拆项法： 例如： . （1）仿照以上方法，按照要求分解因式： ①（分组分解法） ; 【解】 . 培优探究拓展练 14 ②（拆项法） . . 培优探究拓展练 15 （2）已知：,,为三角形 的三条边， ,求三角形 的周长. 【解】因为 , 所以 , 所以 , 所以,, , 所以 . 所以三角形 的周长为7. 返回 培优探究拓展练 16 $$第4章 因式分解 4.1 因式分解的意义 1 知识过关 1.把一个多项式化成______________的形式，叫作因式分解， 有时我们也把这一过程叫分解因式. 几个整式的积 2.因式分解和整式的乘法的关系： （1）因式分解和整式的乘法是过程______的变形，因此， 可以用________________来检验因式分解的正确性; （2）整式乘法因式分解 . 相反 整式的乘法运算 知识过关 2 夯实基础巩固练 知识点1 因式分解的认识 1. 下列由左到右的变形，属于因式分解的 是( ) B A. B. C. D. 返回 夯实基础巩固练 3 2. 对于 , ,从左到右的变形，表述正确 的是( ) C A. 都是因式分解 B. 都是乘法运算 C. ①是因式分解，②是乘法运算 D. ①是乘法运算，②是因式分解 返回 夯实基础巩固练 4 3. [2024·丽水莲都区校级月考] 是下列哪一 个多项式因式分解的结果( ) C A. B. C. D. 返回 夯实基础巩固练 5 知识点2 因式分解与整式乘法的关系 4. 如果把多项式因式分解为 ，那 么 的值为( ) A A. B. 2 C. 12 D. 返回 夯实基础巩固练 6 5. 若,则 ( ) C A. B. C. D. 6. 若多项式可分解成 ，则 的值是( ) A A. B. 13 C. 12 D. 返回 夯实基础巩固练 7 知识点3 简便运算 7. 用简便方法计算 正确的是( ) B A. B. C. D. 返回 夯实基础巩固练 8 8.计算： （1） ； 【解】 . （2） ； . 夯实基础巩固练 9 （3） . . 返回 夯实基础巩固练 10 整合方法提升练 9. [2024·杭州西湖区校级月考] 已知 有一个因式 为 ，则另一个因式为( ) C A. B. C. D. 返回 整合方法提升练 11 10. 因式分解时，甲看错了 的值，分解的结果 是，乙看错了 的值，分解的结果为 ,那么 分解因式正确的结果为 ( ) C A. B. C. D. 整合方法提升练 12 【点拨】因为甲看错了 的值， ,所以;因为乙看错了 的值，,所以 ,所以 分解因式正确的结果为 ,故选C. 返回 整合方法提升练 11.二次三项式（ 是整数），在整数范围内可 分为两个一次因式的积，则 的所有可能值有___个. 12.将分解因式的结果为,则 的值为___. 6 4 返回 整合方法提升练 14 13. 如图甲，某工人师傅在一个边长为 的正方 形的四个角截去了4个边长为 的正方形，再沿图甲中的虚线把 图中的①，②两个长方形剪下来，拼成了如图乙所示的一个大 长方形.试根据图甲与图乙，写出一个关于因式分解的等式. 整合方法提升练 15 【解】图甲中阴影部分的面积为 , 图乙中阴影部分的长方形长为 ,宽 为,则面积为 . 因为两个图形中阴影部分的面积相等， 所以 . 返回 整合方法提升练 16 培优探究拓展练 14.【阅读理解】例题:已知二次三项式 有一个因 式是，求另一个因式以及 的值. 解：设另一个因式为 ,得 . 因为 , 培优探究拓展练 17 所以 , 所以由等式恒等原理可知： ,① ,② 由①②解得, , 所以另一个因式为,的值为 . 培优探究拓展练 【活学活用】 （1）若,则 _____. 147 【点拨】因为 , 所以 , 所以由等式恒等原理可知：, ,② 由①②解得, , 所以 . 培优探究拓展练 19 （2）若二次三项式有一个因式是 ，求 另一个因式. 培优探究拓展练 20 【解】设另一个因式为 , 得 . 因为 , 所以 , 所以由等式恒等原理可知： , 解得 , 所以另一个因式为 . 返回 培优探究拓展练 21 $$第4章 因式分解 4.2 提取公因式法 1 知识过关 1.一般地，一个多项式中每一项都含有的____________，叫 作这个多项式各项的公因式. 相同的因式 2.如果一个多项式的各项含有________，那么可把该_______ __提取出来进行因式分解.这种分解因式的方法，叫作提取公 因式法. 公因式 公因式 3.添括号法则：括号前面是“ ”号，括到括号里的各项都 ______号；括号前面是“-”号，括到括号里的各项都____号. 不变 变 知识过关 2 夯实基础巩固练 知识点1 确定公因式 1. [2024·杭州月考] 多项式 的公因式是( ) B A. 2 B. C. D. 2. 多项式 的公因式是( ) D A. B. C. D. 返回 夯实基础巩固练 3 3.写出下列多项式中各项的公因式. （1） ___; （2） ____; （3） ______; （4） ______. 返回 夯实基础巩固练 4 知识点2 提取公因式法分解因式 4. 因式分解： ( ) A A. B. C. D. 5. 将提取公因式 后，另一个因式为 ( ) A A. B. C. D. 6.[2024·丽水校级模拟] 已知实数,满足, ， 则 的值为____. 54 返回 夯实基础巩固练 5 7.分解因式： （1） ； 【解】 . （2） ； . （3） . . 返回 夯实基础巩固练 6 知识点3 添括号的法则 8. 下列各式添括号正确的是( ) D A. B. C. D. 返回 夯实基础巩固练 7 9. 在括号前面添上“ ”或“-”： （1）__ ; （2）__ ; （3）___ ; （4）__ ; （5）___ ; （6）__ . - - - - 返回 夯实基础巩固练 8 整合方法提升练 10. [2024·台州椒江区校级月考] 将多项式 因式分解，结果为( ) C A. B. C. D. 11. 下列各组多项式中，没有公因式的是( ) A A. 和 B. 和 C. 和 D. 和 返回 整合方法提升练 9 12. 若多项式 ，则 是( ) C A. B. C. D. 整合方法提升练 10 【点拨】 , 所以 ,故选C. 返回 整合方法提升练 11 13. 对于任意的有理数,,, ，我们规定 ,如 .则 的值为( ) A A. B. C. D. 整合方法提升练 12 【点拨】因为 ,所以 .故选A. 返回 整合方法提升练 13 14.计算： （1） ； 【解】原式 . （2） ； 原式 . （3） ； 原式 . 整合方法提升练 14 （4） . 【解】原式 . 返回 整合方法提升练 15 培优探究拓展练 15. 阅读下列因式分解的过程，再解答所提 出的问题： . （1）上述分解因式的方法是______________,共用了___次； （2）若把 分解因式，则结果是____________； 提取公因式法 2 培优探究拓展练 16 （3）依照上述方法分解因式： （ 为正整数）. 【解】 （ 为正整数） . 返回 培优探究拓展练 17 $$第4章 因式分解 4.3 用乘法公式分解因式 第1课时 用平方差公式分解因式 1 知识过关 1.两个数的平方差，等于这两个数的____与这两个数的____ 的积. 即 . 和 差 知识过关 2 2.能用平方差公式分解因式的多项式的特点： （1）只有____项（或____个整体）； （2）两项都能写成平方的形式且符号______（一项为____， 一项为____）. 两 两 相反 正 负 知识过关 3 夯实基础巩固练 知识点1 用平方差公式分解因式 1. 下列各式中，能用平方差公式分解因 式的是( ) B A. B. C. D. 返回 夯实基础巩固练 4 2. 分解因式： ( ) A A. B. C. D. 3. [2024·嘉兴校级月考] 将多项式“ ?”因式分解，结果 为 ,则“?”是( ) C A. 3 B. C. 9 D. 返回 夯实基础巩固练 5 4.（1）分解因式： ______________； （2）若，，则 ____； （3）分解因式： ______________________. 21 返回 夯实基础巩固练 6 5.分解因式： （1） ； 【解】 . （2） . . 返回 夯实基础巩固练 7 知识点2 提取公因式法和平方差公式的综合运用 6. 分解因式： ( ) A A. B. C. D. 7.分解因式： （1） _______________； （2） _________________. 返回 夯实基础巩固练 8 8.分解因式或用简便方法计算： （1） ； 【解】 . （2） ； 夯实基础巩固练 9 （3） . . 返回 夯实基础巩固练 10 整合方法提升练 9. 将 分解因式的结果是( ) C A. B. C. D. 10. [2024·宁波海曙区校级期中] 某同学在分解因式时不小心 把等式 中的两个数弄污了， 则代数式中的 , 分别对应的一组数是( ) B A. 8,1 B. 16,2 C. 24,3 D. 64,8 返回 整合方法提升练 11 11. 已知, 互为相反数，且 ,则 ___. 1 返回 整合方法提升练 12 12.若为正整数，则 能否被8整除?请说明理由. 【解】 能被8整除. 理由： . 因为 为正整数， 整合方法提升练 13 所以, 为两个相邻的正整数，其中必有一个是偶数，即 必有一个是2的倍数， 所以 能被8整除， 故 能被8整除. 返回 整合方法提升练 13.已知,.求 的值. 【解】 . 当,时，原式 . 返回 整合方法提升练 15 14.计算： . 【解】原式 . 返回 整合方法提升练 16 培优探究拓展练 15. 在当今“互联网 ”的时代，密码与我们生 活已经紧密联系在一起.有一种用“因式分解”法获得的密码， 其原理是先将一个多项式进行因式分解，再计算各因式所得的 值，最后将各因式的值进行组合.例如，将多项式 进行因式分解，结果为 ,当时，, , ,此时，可获得密码171812或171218或181712等.根据 上述方法，解答以下问题. 培优探究拓展练 17 （1）将某多项式进行因式分解，结果为 ,当 时，用“因式分解”法获得的密码为____________. 2320或2023 （2）当,时，对于多项式 ,用“因式分解” 法可以获得哪些密码? 【解】 , 当, 时， , , 此时，可获得密码 202218,201822,182022,182220,222018,221820. 培优探究拓展练 18 （3）已知多项式 可因式分解成三个一次式， 当时，用“因式分解”法可以获得密码202224,求, 的值. 【解】当 时，用“因式分解”法可以获得密码202224, 所以 用“因式分解”法可以分解出的三个一 次因式分别为,, . 因为 , 所以, . 返回 培优探究拓展练 19 $$