专题3.2 三视图与表面展开图（直通中考）（专项练习）-2024-2025学年九年级数学下册全章复习与专题突破讲与练（浙教版）

专题3.2 三视图与表面展开图（直通中考）（专项练习） 1、 选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分,每小题均有四个选项,其中只有一项符合题目要求） 1．（2024·内蒙古·中考真题）如图所示的几何体，其主视图是（    ） A． B． C． D． 2．（2024·山西·中考真题）斗拱是中国古典建筑上的重要部件．如图是一种斗形构件“三才升”的示意图及其主视图，则它的左视图为（　　） A． B． C． D． 3．（2024·黑龙江绥化·中考真题）下列叙述正确的是（    ） A．顺次连接平行四边形各边中点一定能得到一个矩形 B．平分弦的直径垂直于弦 C．物体在灯泡发出的光照射下形成的影子是中心投影 D．相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦心距也相等 4．（2024·四川凉山·中考真题）如图，一块面积为的三角形硬纸板（记为）平行于投影面时，在点光源的照射下形成的投影是，若，则的面积是（    ） A． B． C． D． 5．（2024·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）如图是由七个完全相同的小正方体组成的立体图形，选项给出的四个平面图形中不属于其三视图的是（    ） A． B． C． D． 6．（2024·内蒙古包头·中考真题）如图，正方形边长为2，以所在直线为轴，将正方形旋转一周，所得圆柱的主视图的面积为（    ） A．8 B．4 C． D． 7．（2024·黑龙江绥化·中考真题）某几何体是由完全相同的小正方体组合而成，下图是这个几何体的三视图，那么构成这个几何体的小正方体的个数是（    ） A．5个 B．6个 C．7个 D．8个 8．（2014·黑龙江牡丹江·中考真题）由一些大小相同的小正方体搭成的几何体的主视图和左视图如图，则搭成该几何体的小正方体的个数最少是（        ） A．3 B．4 C．5 D．6 9．（2024·云南·中考真题）某校九年级学生参加社会实践，学习编织圆锥型工艺品．若这种圆锥的母线长为厘米，底面圆的半径为厘米，则该圆锥的侧面积为（   ） A．平方厘米 B．平方厘米 C．平方厘米 D．平方厘米 10．（2024·广东广州·中考真题）如图，圆锥的侧面展开图是一个圆心角为的扇形，若扇形的半径是5，则该圆锥的体积是（    ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（2024·江苏宿迁·中考真题）已知圆锥的底面半径为3，母线长为12，则其侧面展开扇形的圆心角的度数为 °． 12．（2024·黑龙江大兴安岭地·中考真题）若圆锥的底面半径为3，侧面积为，则这个圆锥侧面展开图的圆心角是 ． 13．（2023·四川成都·中考真题）一个几何体由几个大小相同的小立方块搭成，它的主视图和俯视图如图所示，则搭成这个几何体的小立方块最多有 个．    14．（2022·青海·中考真题）由若干个相同的小正方体构成的几何体的三视图如图所示，那么构成这个几何体的小正方体的个数是 . 15．（2024·山东烟台·中考真题）如图，在边长为6的正六边形中，以点F为圆心，以的长为半径作，剪下图中阴影部分做一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径为 ． 16．（2022·广西·中考真题）数学兴趣小组通过测量旗杆的影长来求旗杆的高度，他们在某一时刻测得高为2米的标杆影长为1.2米，此时旗杆影长为7.2米，则旗杆的高度为 米． 17．（2024·内蒙古·中考真题）如图是平行四边形纸片，，点M为的中点，若以M为圆心，为半径画弧交对角线于点N，则 度；将扇形纸片剪下来围成一个无底盖的圆锥（接缝处忽略不计），则这个圆锥的底面圆半径为 ． 18．（2022·浙江温州·中考真题）如图是某风车示意图，其相同的四个叶片均匀分布，水平地面上的点M在旋转中心O的正下方．某一时刻，太阳光线恰好垂直照射叶片，此时各叶片影子在点M右侧成线段，测得，垂直于地面的木棒与影子的比为2∶3，则点O，M之间的距离等于 米．转动时，叶片外端离地面的最大高度等于 米． 三、解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（2015·江苏镇江·中考真题）某兴趣小组开展课外活动．如图，A，B两地相距12米，小明从点A出发沿AB方向匀速前进，2秒后到达点D，此时他（CD）在某一灯光下的影长为AD，继续按原速行走2秒到达点F，此时他在同一灯光下的影子仍落在其身后，并测得这个影长为1.2米，然后他将速度提高到原来的1.5倍，再行走2秒到达点H，此时他（GH）在同一灯光下的影长为BH（点C，E，G在一条直线上）． （1）请在图中画出光源O点的位置，并画出他位于点F时在这个灯光下的影长FM（不写画法）； （2）求小明原来的速度． 20．（本小题满分8分）（2023·陕西·中考真题）一天晚上，小明和爸爸带着测角仪和皮尺去公园测量一景观灯（灯杆底部不可到达）的高．如图所示，当小明爸爸站在点处时，他在该景观灯照射下的影子长为，测得；当小明站在爸爸影子的顶端处时，测得点的仰角为．已知爸爸的身高，小明眼睛到地面的距离，点、、在同一条直线上，，，．求该景观灯的高．（参考数据：，， 21．（本小题满分10分）（2015·甘肃兰州·中考真题）如图，在一面与地面垂直的围墙的同侧有一根高10米的旗杆AB和一根高度未知的电线杆CD，它们都与地面垂直，为了测得电线杆的高度，一个小组的同学进行了如下测量：某一时刻，在太阳光照射下，旗杆落在围墙上的影子EF的长度为2米，落在地面上的影子BF的长为10米，而电线杆落在围墙上的影子GH的长度为3米，落在地面上的影子DH的长为5米，依据这些数据，该小组的同学计算出了电线杆的高度． （1）该小组的同学在这里利用的是　 　投影的有关知识进行计算的； （2）试计算出电线杆的高度，并写出计算的过程． 22．（本小题满分10分）（2019·湖南邵阳·中考真题）如图，在等腰中，，AD是的角平分线，且，以点A为圆心，AD长为半径画弧EF，交AB于点E，交AC于点F， （1）求由弧EF及线段FC、CB、BE围成图形（图中阴影部分）的面积； （2）将阴影部分剪掉，余下扇形AEF，将扇形AEF围成一个圆锥的侧面，AE与AF正好重合，圆锥侧面无重叠，求这个圆锥的高h． 23．（本小题满分10分）（2021·山东潍坊·中考真题）如图，半圆形薄铁皮的直径AB＝8，点O为圆心（不与A，B重合），连接AC并延长到点D，使AC＝CD，作DH⊥AB，交半圆、BC于点E，F，连接OC，∠ABC=θ，θ随点C的移动而变化． （1）移动点C，当点H，B重合时，求证：AC=BC； （2）当θ＜45°时，求证：BH•AH＝DH•FH； （3）当θ＝45°时，将扇形OAC剪下并卷成一个圆锥的侧面，求该圆锥的底面半径和高． 24．（本小题满分12分）（2020·四川攀枝花·中考真题）实验学校某班开展数学“综合与实践”测量活动．有两座垂直于水平地面且高度不一的圆柱，两座圆柱后面有一斜坡，且圆柱底部到坡脚水平线的距离皆为．王诗嬑观测到高度矮圆柱的影子落在地面上，其长为；而高圆柱的部分影子落在坡上，如图所示．已知落在地面上的影子皆与坡脚水平线互相垂直，并视太阳光为平行光，测得斜坡坡度，在不计圆柱厚度与影子宽度的情况下，请解答下列问题： （1）若王诗嬑的身高为，且此刻她的影子完全落在地面上，则影子长为多少？ （2）猜想：此刻高圆柱和它的影子与斜坡的某个横截面一定同在一个垂直于地面的平面内．请直接回答这个猜想是否正确？ （3）若同一时间量得高圆柱落在坡面上的影子长为，则高圆柱的高度为多少？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A C C D C A A B C D 1．A 【分析】本题考查了主视图“从正面观察物体所得到的视图是主视图”，熟记主视图的定义是解题关键． 根据主视图的定义求解即可得． 解：这个几何体的主视图是 故选：A． 2．C 【分析】本题考查了简单组合体的三视图，利用三视图的定义是解题关键． 主视图：从正面看到的物体的形状图；左视图：从左面看到的物体的形状图；俯视图：从上面看到的物体的形状图．根据三视图的定义求解，注意看不见的线应当画虚线，即可． 解：从左面看，上面部分是矩形，下面部分是梯形，矩形部分有一条看不见的线，应该画虚线，形状如图所示： 故选：C． 3．C 【分析】本题考查了矩形的判定，垂径定理，中心投影，弧、弦与圆心角的关系，根据相关定理逐项分析判断，即可求解． 解：A. 顺次连接平行四边形各边中点不一定能得到一个矩形，故该选项不正确，不符合题意； B. 平分弦（非直径）的直径垂直于弦，故该选项不正确，不符合题意； C. 物体在灯泡发出的光照射下形成的影子是中心投影，故该选项正确，符合题意； D. 在同圆或等圆 中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦心距也相等，故该选项不正确，不符合题意； 故选：C． 4．D 解：∵一块面积为的三角形硬纸板（记为）平行于投影面时，在点光源的照射下形成的投影是，， ∴， ∴位似图形由三角形硬纸板与其灯光照射下的中心投影组成，相似比为， ∵三角形硬纸板的面积为， ∴， ∴的面积为． 故选：D． 5．C 【分析】根据立方体的结构，按照三视图的要求判断选项中是否是三视图． 解：A项为左视图，B项为俯视图，C项不属于三视图，D项为主视图， 故选：C． 【点拨】本题主要考查了立体图形的三视图问题，主要训练学生的空间想象力． 6．A 【分析】本题考查三视图，根据题意，得到主视图为长为4，高为2的长方形，进行求解即可． 解：由图可知：圆柱体的主视图为长为4，高为2的长方形， ∴面积为； 故选A． 7．A 【分析】此题主考查了三视图，由主视图易得这个几何体共有2层，由俯视图可得第一层立方体的个数，由主视图和左视图可得第二层立方体的个数，相加即可． 解：由三视图易得最底层有个正方体，第二层有个正方体，那么共有个正方体组成． 故选：A． 8．B 【分析】根据三视图的知识，主视图是由4个小正方形组成，而左视图是由4个小正方形组成，故这个几何体的底层最少有3个小正方体，第2层最少有1个小正方体． 解：根据左视图和主视图，这个几何体的底层最少有1+1+1=3个小正方体， 第二层最少有1个小正方体， 因此组成这个几何体的小正方体最少有3+1=4个． 故选B． 【点拨】本题考查了由三视图判断几何体，意在考查学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考查．如果掌握口诀“俯视图打地基，正视图疯狂盖，左视图拆违章”就容易得到答案． 9．C 【分析】本题考查了圆锥的侧面积，先求出圆锥底面圆的周长，再根据圆锥的侧面积计算公式计算即可求解，掌握圆锥侧面积计算公式是解题的关键． 解：圆锥的底面圆周长为厘米， ∴圆锥的侧面积为平方厘米， 故选：． 10．D 【分析】本题考查了弧长公式，圆锥的体积公式，勾股定理，理解圆锥的底面周长与侧面展开图扇形的弧长相等是解题关键，设圆锥的半径为，则圆锥的底面周长为，根据弧长公式得出侧面展开图的弧长，进而得出，再利用勾股定理，求出圆锥的高，再代入体积公式求解即可． 解：设圆锥的半径为，则圆锥的底面周长为， 圆锥的侧面展开图是一个圆心角为的扇形，且扇形的半径是5， 扇形的弧长为， 圆锥的底面周长与侧面展开图扇形的弧长相等， ， ， 圆锥的高为， 圆锥的体积为， 故选：D． 11． 【分析】本题考查圆锥的侧面积，以及扇形面积，解决本题的关键是掌握圆锥的侧面积公式，以及扇形面积公式．设侧面展开扇形的圆心角的度数为度，根据“圆锥的侧面积扇形面积”建立等式求解，即可解题． 解：设侧面展开扇形的圆心角的度数为度， 侧面展开扇形的面积为：， 解得， 故答案为：． 12． 【分析】此题主要考查了圆锥的侧面积公式以及与展开图扇形面积关系，求出圆锥的母线长是解决问题的关键．根据圆锥的侧面积公式求出圆锥的母线长，再结合扇形面积公式即可求出圆心角的度数． 解：根据圆锥侧面积公式：，可得 解得：， ， 解得， 侧面展开图的圆心角是． 故答案为：． 13． 【分析】根据主视图和俯视图可得第一列最多2个，第二列最多1个小正方形，即可求解． 解：根据主视图和俯视图可得第一列最多2个，第二列最多1个小正方形，如图所示，    ∴搭成这个几何体的小立方块最多有， 故答案为：． 【点拨】本题考查了三视图，熟练掌握三视图的定义是解题的关键． 14．5 【分析】根据三视图得出这个几何体的构成情况，由此即可得． 解：由三视图可知，这个几何体的构成情况如下：（数字表示相应位置上小正方形的个数） 则构成这个几何体的小正方体的个数是， 故答案为：5． 【点拨】本题考查了三视图，熟练掌握三视图是解题关键． 15． 【分析】本题考查正多边形的性质，求圆锥的底面半径，先求出正六边形的一个内角的度数，进而求出扇形的圆心角的度数，过点作，求出的长，再利用圆锥底面圆的周长等于扇形的弧长，进行求解即可． 解：∵正六边形， ∴，， ∴，， ∴， 过点作于点，则：， 设圆锥的底面圆的半径为，则：， ∴； 故答案为：． 16．12 【分析】根据同时、同地物高和影长的比不变，构造相似三角形，然后根据相似三角形的性质解答． 解：设旗杆为AB，如图所示： 根据题意得：， ∴ ∵米，米，米， ∴ 解得：AB=12米． 故答案为：12． 【点拨】本题考查了中心投影、相似三角形性质的应用，解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解决问题． 17． 40 2 【分析】本题考查了平行四边形的性质、弧长公式、圆锥等知识，熟练掌握弧长公式是解题关键．先根据平行四边形的性质可得，再根据三角形的内角和定理可得，然后根据等腰三角形的性质可得，最后根据三角形的外角性质可得的度数；先利用弧长公式求出扇形的弧长，再根据圆锥的底面圆的周长等于扇形的弧长求解即可得． 解：∵四边形是平行四边形，， ∴， ∵， ∴， 由圆的性质可知，， ∴， ∴， ∴扇形的弧长为， ∴圆锥的底面圆半径为， 故答案为：40；2． 18． 10 【分析】过点O作AC、BD的平行线，交CD于H，过点O作水平线OJ交BD于点J，过点B作BI⊥OJ，垂足为I，延长MO，使得OK＝OB，求出CH的长度，根据，求出OM的长度，证明，得出，，求出IJ、BI、OI的长度，用勾股定理求出OB的长，即可算出所求长度． 解：如图，过点O作AC、BD的平行线，交CD于H，过点O作水平线OJ交BD于点J，过点B作BI⊥OJ，垂足为I，延长MO，使得OK＝OB， 由题意可知，点O是AB的中点， ∵， ∴点H是CD的中点， ∵， ∴， ∴， 又∵由题意可知：， ∴，解得， ∴点O、M之间的距离等于， ∵BI⊥OJ， ∴， ∵由题意可知：， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴四边形OHDJ是平行四边形， ∴， ∵， ∴，，， ∵在中，由勾股定理得：， ∴， ∴， ∴， ∴叶片外端离地面的最大高度等于， 故答案为：10，． 【点拨】本题主要考查了投影和相似的应用，及勾股定理和平行四边形的判定与性质，正确作出辅助线是解答本题的关键． 19．（1）作图见试题解析；（2）1.5m/s． 【分析】（1）利用中心投影的定义作图； （2）设小明原来的速度为xm/s，则CE=2xm，AM=（4x﹣1.2）m，EG=3xm，BM=13.2﹣4x，由△OCE∽△OAM，△OEG∽△OMB，得到，即代入解方程即可． 解：（1）如图， （2）设小明原来的速度为xm/s， 则CE=2xm，AM=AF﹣MF=（4x﹣1.2）m，EG=2×1.5x=3xm，BM=AB﹣AM=12﹣（4x﹣1.2）=13.2﹣4x， ∵点C，E，G在一条直线上，CG∥AB， ∴△OCE∽△OAM，△OEG∽△OMB， ∴，， ∴，即， 解得x=1.5，经检验x=1.5为方程的解， ∴小明原来的速度为1.5m/s． 答：小明原来的速度为1.5m/s． 【点拨】本题考查相似三角形的应用以及中心投影，掌握中心投影的定义以及相似三角形的判定与性质是解题关键． 20． 【分析】过点作，垂足为，根据题意可得：，，然后设，在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而求出的长，再根据垂直定义可得，从而证明字模型相似三角形，最后利用相似三角形的性质可得，从而列出关于的方程，进行计算即可解答． 解：过点作，垂足为，      由题意得：，， 设， 在中，， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， 解得：， ， 该景观灯的高约为． 【点拨】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，相似三角形的应用，中心投影，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 21．（1） 平行；（2）电线杆的高度为7米． 【分析】（1）有太阳光是平行光线可得利用的是平行投影； （2）连接AM、CG，过点E作EN⊥AB于点N，过点G作GM⊥CD于点M，根据平行投影时同一时刻物体与他的影子成比例求出电线杆的高度． 解：（1）平行； （2）连接AM、CG，过点E作EN⊥AB于点N，过点G作GM⊥CD于点M， 则BN=EF=2,GH=MD=3，EN=BF=10，DH=MG=5 所以AN=10-2=8， 由平行投影可知：即 解得CD=7 所以电线杆的高度为7m． 22．（1）；（2）. 【分析】（1）利用等腰三角形的性质得到，，则可计算出，然后利用扇形的面积公式，利用由弧EF及线段FC、CB、BE围成图形（图中阴影部分）的面积进行计算；（2）设圆锥的底面圆的半径为r，利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和弧长公式得到，解得，然后利用勾股定理计算这个圆锥的高h． 解：∵在等腰中，， ∴， ∵AD是的角平分线， ∴，， ∴， ∴， ∴由弧EF及线段FC、CB、BE围成图形（图中阴影部分）的面积. （2）设圆锥的底面圆的半径为r， 根据题意得，解得， 这个圆锥的高． 【点拨】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．也考查了等腰三角形的性质和扇形的面积公式． 23．（1）见分析（2）见分析（3）底面半径为1，高为 【分析】（1）根据直角三角形的性质即可求解； （2）证明△BFH∽△DAH，即可求解； （3）根据扇形与圆锥的特点及求出圆锥的底面半径，再根据勾股定理即可求出圆锥的高． 解：（1）如图，当点H，B重合时，∵DH⊥AB ∴△ADB是直角三角形， ∵AC＝CD， ∴BC是△ADB的中线 ∴BC= ∴AC=BC （2）当θ＜45°时，DH交半圆、BC于点E，F， ∵AB是直径 ∴∠ACB=90° ∵DH⊥AB ∴∠B+∠A=∠A+∠D=90° ∴∠B=∠D ∵∠BHF=∠DHA=90° ∴△BFH∽△DAH， ∴ ∴BH•AH＝DH•FH； （3）∵∠ABC=θ=45° ∴∠AOC=2∠ABC=90° ∵直径AB＝8， ∴半径OA=4， 设扇形OAC卷成圆锥的底面半径为r ∴ 解得r=1 ∴圆锥的高为． 【点拨】此题主要考查圆内综合求解，解题的关键是熟知直角三角形的性质、相似三角形的判定与性质及弧长的求解与圆锥的特点． 24．（1）120cm；（2）正确；（3）280cm 【分析】（1）根据同一时刻，物长与影从成正比，构建方程即可解决问题． （2）根据落在地面上的影子皆与坡脚水平线互相垂直，并视太阳光为平行光，结合横截面分析可得； （3）过点F作FG⊥CE于点G，设FG=4m，CG=3m，利用勾股定理求出CG和FG，得到BG，过点F作FH⊥AB于点H，再根据同一时刻身高与影长的比例，求出AH的长度，即可得到AB. 解：（1）设王诗嬑的影长为xcm， 由题意可得：， 解得：x=120， 经检验：x=120是分式方程的解， 王诗嬑的影子长为120cm； （2）正确， 因为高圆柱在地面的影子与MN垂直，所以太阳光的光线与MN垂直， 则在斜坡上的影子也与MN垂直，则过斜坡上的影子的横截面与MN垂直， 而横截面与地面垂直，高圆柱也与地面垂直， ∴高圆柱和它的影子与斜坡的某个横截面一定同在一个垂直于地面的平面内； （3）如图，AB为高圆柱，AF为太阳光，△CDE为斜坡，CF为圆柱在斜坡上的影子， 过点F作FG⊥CE于点G， 由题意可得：BC=100，CF=100， ∵斜坡坡度， ∴， ∴设FG=4m，CG=3m，在△CFG中， ， 解得：m=20， ∴CG=60，FG=80， ∴BG=BC+CG=160， 过点F作FH⊥AB于点H， ∵同一时刻，90cm矮圆柱的影子落在地面上，其长为72cm， FG⊥BE，AB⊥BE，FH⊥AB， 可知四边形HBGF为矩形， ∴， ∴AH==200， ∴AB=AH+BH=AH+FG=200+80=280， 故高圆柱的高度为280cm. 【点拨】本题考查了解分式方程，解直角三角形，平行投影，矩形的判定和性质等知识，解题的关键是理解实际物体与影长之间的关系解决问题，属于中考常考题型． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$