专题20 尺规作图（中考高频题型归纳与训练）-备战2025年中考数学真题题源解密（山东专用）

专题20 尺规作图 课标要求 考点 考向 1．能用尺规作图:作一个角等于已知角;作一个角的平分线。 2．能用尺规作图:作一条线段的垂直平分线;过一点作已知直线的垂线。 3．能用尺规作图:过直线外一点作这条直线的平行线。 4．能用尺规作图:已知三边、两边及其夹角、两角及其夹边作三角形;已知底边及底边上的高线作等腰三角形;已知一直角边和斜边作直角三角形. 5．能用尺规作图:过不在同一直线上的三点作圆;作三角形的外接圆、内切圆;作圆的内接正方形和内接正六边形。 6．能用尺规作图:过圆外一点作圆的切线． 尺规作图 考向一 尺规作图——等角 考向二 尺规作图——角平分线 考向三 尺规作图——平行 考向四 尺规作图——垂直平分线 考向五 尺规作图——综合 考点 尺规作图 ►考向一 尺规作图——等角 1.（2024•济宁）如图，中，，是的角平分线． （1）以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，． （2）以点为圆心，长为半径画弧，交于点． （3）以点为圆心，长为半径画弧，与（2）中所画的弧相交于点． （4）画射线． （5）以点为圆心，长为半径画弧，交射线于点． （6）连接，，分别交，于点，． 根据以上信息，下面五个结论中正确的是 ．（只填序号） ①；②；③；④；⑤． ►考向二 尺规作图——角平分线 1.（2024•日照）如图，以的顶点为圆心，长为半径画弧，交于点，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，画射线，交于点，交的延长线于点． (1)由以上作图可知，与的数量关系是_______ (2)求证： (3)若，，，求的面积． 2.（2024•烟台）某班开展“用直尺和圆规作角平分线”的探究活动，各组展示作图痕迹如下，其中射线为的平分线的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 ►考向三 尺规作图——平行 1.（2024•德州）已知，点P为上一点，用尺规作图，过点P作的平行线．下列作图痕迹不正确的是（   ） A． B． C． D． ►考向四 尺规作图——垂直平分线 1.（2024•济南）如图，在正方形中，分别以点A和为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点和，作直线，再以点A为圆心，以的长为半径作弧交直线于点（点在正方形内部），连接并延长交于点．若，则正方形的边长为（    ） A． B． C． D． ►考向五 尺规作图——综合 1.（2024•青岛）已知：如图，四边形，E为边上一点． 求作：四边形内一点P，使，且点P到的距离相等． 2.（2024•泰安）如图，中，，分别以顶点A，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧分别相交于点和点，作直线分别与，交于点和点；以点A为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点和点，再分别以点，点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线，若射线恰好经过点，则下列四个结论： ①；②垂直平分线段；③；④． 其中，正确结论的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3.（2024•山东）如图，已知，以点为圆心，以适当长为半径作弧，分别与、相交于点，；分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内部相交于点，作射线．分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点，，作直线分别与，相交于点，．若，，则到的距离为 ． 1.（2024山东威海中考真题）感悟 如图1，在中，点，在边上，，．求证：． 应用 （1）如图2，用直尺和圆规在直线上取点，点（点在点的左侧），使得，且（不写作法，保留作图痕迹）； （2）如图3，用直尺和圆规在直线上取一点，在直线上取一点，使得，且（不写作法，保留作图痕迹）． 一、单选题 1．（24-25八年级上·山东临沂·期中）如图，用圆规和直尺作图，不能把分成两个等腰三角形的是（   ） A． B． C． D． 二、解答题 2．（24-25八年级上·山东济宁·期中）中，，．D，E是直线上两动点，点D沿方向运动，点E沿方向运动，且．连接，作直线，垂足为F，交于点G，直线交（或延长线）于点H． (1)如图1，当点D，E在线段上时． ①过点B作交于点P；（要求：尺规作图，保留作图痕迹） ②求证：； ③猜想与之间的数量关系，并证明你的猜想： (2)如图2，当点D，E在直线上时，其他条件不变，（1）③中你猜想的结论是否还成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由． 3．（23-24七年级下·山东济宁·期末）综合与实践 学习了平行线后，某校七年级数学活动小组甲、乙两同学分别探究出了“过一点画一条直线的平行线”的新的方法． 【动手操作】 甲同学用的是尺规作图的方法（P是直线a外一点，过点P作．）具体作图步骤如图1所示． 乙同学用的是折纸的方法（P是直线a外一点，直线a与正方形的相邻两边分别相交于A，B，过点P折出）．具体折纸步骤如图2所示． 【探究发现】 根据以上信息，解答下列问题． (1)甲同学作图中，的依据是______； (2)写出乙同学每一步的具体做法及的依据． 第一步，______；第二步，______；第三步，______．的依据是______． 4．（24-25八年级上·山东临沂·期中）教科书第39页有下面一段文字： 思考： 如图1，把一长一短的两根木棍的一端固定在一起，摆出．固定住长木棍，转动短木棍，得到．这个实验说明了什么？ 图1中的与满足两边和其中一边的对角分别相等，即，，，但与不全等．这说明，有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等． 小明通过对上述问题的再思考，提出：两边和其中一边的对角（这个角是钝角）分别相等的两个三角形全等．即在和中，若，，（，为钝角），则．对于小明的结论，阿强和阿芳分别提出了验证方案． (1)阿强的验证方案：根据教科书中探究三角形全等判定方法的经验，利用尺规作图验证小明提出的结论．即先画一个，使为钝角，如图2，再画一个，使，，．把画好的剪下来，放到上，看它们是否重合． 请利用直尺和圆规画出符合条件的（不写画法，保留作图痕迹）； (2)阿芳的验证方案：利用三角形全等的判定方法证明小明提出的结论．即：在和中，已知，，（，为钝角），如图3． 求证：．请写出证明过程． 5．（23-24八年级上·山东菏泽·阶段练习）相传很久以前，为了显示谁的逻辑思维能力更强，古希腊人限制了几何作图的工具，结果一些普通的画图题，却让数学家们苦苦思索了两千年．可见，尺规作图有它特有的魅力，使无数人沉湎其中，在几何作图中，我们把用没有刻度的直尺和圆规完成的作图，叫做尺规作图．请完成以下作图，不用写作法，保留合理的作图痕迹． 已知线段、，求作：，使、． 6．（24-25七年级上·山东泰安·期中）在下图的每个三角形中，分别按要求作（画）图： (1)在图①中用尺规作出中线； (2)在图②中用尺规作出角平分线； (3)在图③中画出高线； (4)在图①中，若，（C表示周长）且，求的长． 7．（23-24八年级下·山东青岛·期末）请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹． 在公园中有一块四边形的空地，需要规划栽种不同品种的植物，空地图纸如图所示，已知四边形，，在边上求作一点M，在边上求作一点N，使得、、的面积都相等．    8．（24-25九年级上·山东青岛·期中）对于几何图形，我们通常是从它的定义、性质、判定和应用等方面进行研究，并且都是从组成图形的元素及相关元素之间的关系进行探究．观察、实验、归纳、类比、猜想、证明等是我们常用的探究方法． 【定义】 如图①，在四边形中，，，我们把这种有两组邻边分别相等的四边形叫做筝形．不相邻的两个顶点连成的线段叫做它的对角线，线段就是它的一条对角线． 【性质】 请结合图①，写出筝形具有的性质．（任意写出2条你认为正确的即可） 例如：∵四边形是筝形   ∴， 性质1：______； 性质2：______． 【判定】 下列条件能够判定四边形是筝形的有______．（将所有正确的序号填在横线上） ①且；②；③且；④． 【应用】 如图②，在筝形中，，，请利用无刻度的直尺和圆规，在筝形内部找一点，连接，，使折线恰好将筝形的面积分为相等的两部分．（保留作图痕迹，不写作法） 9．（2022·山东青岛·一模）如图，已知Rt△ABC，∠C=90°； 求作：一个面积最大的等腰直角△CDE，使等腰直角三角形的斜边CE在边BC上． 10．（2023·山东德州·一模）如图，外有一点P﹒ (1)请利用尺规作图法作出的两条切线，，切点分别为A、B两点；（保留作图痕迹，无需写作法） (2)点C是优弧上的一点，若，求的度数； (3)在（2）的条件下，若的半径长为，求图中线段、和劣弧所围成的封闭图形的面积． 11．（2024·山东青岛·一模）画长的线段，并以此为半径，点x为圆心画一个半径为的圆x． 12．（2023·山东济宁·二模）已知、是平面直角坐标系中的两点，连接． (1)如图，作的角平分线交于点，作与轴相切于点（要求：保留作图痕迹，不写作法）； (2)在（1）的基础上，求证与轴相切； (3)如图②，求过点的反比例函数表达式． 13．（2023·山东青岛·一模）请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹． 求作：以点为直角顶点的等腰直角三角形，使它的斜边落在直线上，并在三角形内部做出以斜边中点为圆心的面积最大的半圆． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题20 尺规作图 课标要求 考点 考向 1．能用尺规作图:作一个角等于已知角;作一个角的平分线。 2．能用尺规作图:作一条线段的垂直平分线;过一点作已知直线的垂线。 3．能用尺规作图:过直线外一点作这条直线的平行线。 4．能用尺规作图:已知三边、两边及其夹角、两角及其夹边作三角形;已知底边及底边上的高线作等腰三角形;已知一直角边和斜边作直角三角形. 5．能用尺规作图:过不在同一直线上的三点作圆;作三角形的外接圆、内切圆;作圆的内接正方形和内接正六边形。 6．能用尺规作图:过圆外一点作圆的切线． 尺规作图 考向一 尺规作图——等角 考向二 尺规作图——角平分线 考向三 尺规作图——平行 考向四 尺规作图——垂直平分线 考向五 尺规作图——综合 考点 尺规作图 ►考向一 尺规作图——等角 1.（2024•济宁）如图，中，，是的角平分线． （1）以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，． （2）以点为圆心，长为半径画弧，交于点． （3）以点为圆心，长为半径画弧，与（2）中所画的弧相交于点． （4）画射线． （5）以点为圆心，长为半径画弧，交射线于点． （6）连接，，分别交，于点，． 根据以上信息，下面五个结论中正确的是 ．（只填序号） ①；②；③；④；⑤． 【答案】①②⑤ 【分析】本题为尺规作图几何综合题，涉及到了等腰三角形的性质即判定，矩形的判定，含角的直角三角形的定义，锐角三角函数的比值关系，相似三角形的判定及性质等知识点，灵活运用角的等量代换是解题的关键． 根据等腰三角形的性质即可判断出①；过作于点，证出四边形为矩形，即可通过边的比值关系求出，即可求出判断②；利用三角形外角和分别求出两个角的值进行比较即可判断③；设，则，用含的式子分别表达出和的长度后即可判断④；判定出即可判断⑤． 【详解】解：∵，， ∴三角形为等腰直角三角形，， 又∵是的角平分线， ∴， ∴， ∴，故①正确； 根据题意作图可得：，， 过作于点，则，如图所示： ∵是的角平分线，由三线合一可得：，即， ∵， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ∴， ∴，故②正确； ∵，， ∴，故③错误； 设，则， ∵， ∴， ∴，即，，即， ∴，故④错误； ∵， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴，故⑤正确； 综上所述，正确的有：①②⑤； 故答案为：①②⑤． ►考向二 尺规作图——角平分线 1.（2024•日照）如图，以的顶点为圆心，长为半径画弧，交于点，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，画射线，交于点，交的延长线于点． (1)由以上作图可知，与的数量关系是_______ (2)求证： (3)若，，，求的面积． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】本题考查了角平分线定义，平行四边形的性质，等腰三角形的判定，相似三角形的判定与性质，解直角三角形，熟练掌握以上知识点并作出合适的辅助线是解题的关键． （1）根据作图可知，为的角平分线，即可得到答案； （2）根据平行四边形的性质可知，结合，从而推出，即可证明； （3）过点作的垂线交的延长线于点，根据平行四边形的性质，，，结合，推出，从而得到，，，最后由计算即可． 【详解】（1）解：由作图可知，为的角平分线 故答案为： （2）证明：四边形为平行四边形 （3）解：如图，过点作的垂线交的延长线于点 四边形为平行四边形， ， ， 又 ． 2.（2024•烟台）某班开展“用直尺和圆规作角平分线”的探究活动，各组展示作图痕迹如下，其中射线为的平分线的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查角平分线的判定，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，中垂线的性质和判定，根据作图痕迹，逐一进行判断即可． 【详解】解：第一个图为尺规作角平分线的方法，为的平分线； 第二个图，由作图可知：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴为的平分线； 第三个图，由作图可知， ∴，， ∴ ∴， ∴为的平分线； 第四个图，由作图可知：，， ∴为的平分线； 故选D． ►考向三 尺规作图——平行 1.（2024•德州）已知，点P为上一点，用尺规作图，过点P作的平行线．下列作图痕迹不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查作图-复杂作图．作一个角等于已知角，作一个角的平分线，平分线的判定，菱形的判定和性质，据此判断即可． 【详解】解：A、由作图知，是的平分线，且， ∴，， ∴， ∴，故本选项不符合题意； B、由作图知，是的平分线，且， ∴，，不能说明与相等， ∴与不平行，故本选项符合题意； C、由作图知，， ∴四边形是菱形， ∴，故本选项不符合题意； D、由作图知，， ∴，故本选项不符合题意； 故选：B． ►考向四 尺规作图——垂直平分线 1.（2024•济南）如图，在正方形中，分别以点A和为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点和，作直线，再以点A为圆心，以的长为半径作弧交直线于点（点在正方形内部），连接并延长交于点．若，则正方形的边长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接，设交于点H，正方形边长为，由作图知，，垂直平分，得到，，由勾股定理得到，证明，推出，推出，得到，即得． 【详解】连接，设交于点H，正方形边长为， 由作图知，，垂直平分， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了正方形和线段垂直平分线综合．熟练掌握正方形性质，线段垂直平分线性质，勾股定理解直角三角形，平行线分线段成比例定理，梯形中位线性质，是解决问题的关键． ►考向五 尺规作图——综合 1.（2024•青岛）已知：如图，四边形，E为边上一点． 求作：四边形内一点P，使，且点P到的距离相等． 【答案】见解析 【难度】0.65 【分析】本题考查作图-复杂作图，角平分线的性质，解题的关键是掌握作角平分线和作一个角等于已知角的尺规作图方法．作的平分线，以E为顶点，为一边作，交于P，点P即为所求． 【详解】解：作的平分线，以E为顶点，为一边作，交于P，如图，点P即为所求． 2.（2024•泰安）如图，中，，分别以顶点A，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧分别相交于点和点，作直线分别与，交于点和点；以点A为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点和点，再分别以点，点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线，若射线恰好经过点，则下列四个结论： ①；②垂直平分线段；③；④． 其中，正确结论的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题主要考查作图-复杂作图、角平分线的性质、线段的垂直平分线的性质等知识，读懂图象信息，灵活运用所学知识解决问题是解题的关键． 由作图可知垂直平分线段、平分，进而证明可判定①；再说明可得垂直平分线段可判定②；根据直角三角形的性质可得可判定③，根据三角形的面积公式即可判定④． 【详解】解：由作图可知垂直平分线段， ∴， ∴， 由作图可知平分， ∴， ∵， ∴，故①正确， ∴， ∵， ∴， ∴垂直平分线段，故②正确， ∵， ∴，故③正确， ∴， ∵， ∴， ∴，故④正确． 故选：D． 3.（2024•山东）如图，已知，以点为圆心，以适当长为半径作弧，分别与、相交于点，；分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内部相交于点，作射线．分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点，，作直线分别与，相交于点，．若，，则到的距离为 ． 【答案】 【分析】如图，过作于，证明，，，再证明，再结合勾股定理可得答案. 【详解】解：如图，过作于， 由作图可得：，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴到的距离为； 故答案为： 【点睛】本题考查了作图−复杂作图：基本作图，三角形的内角和定理的应用，勾股定理的应用，等腰三角形的判定，解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质，逐步操作． 1.（2024山东威海中考真题）感悟 如图1，在中，点，在边上，，．求证：． 应用 （1）如图2，用直尺和圆规在直线上取点，点（点在点的左侧），使得，且（不写作法，保留作图痕迹）； （2）如图3，用直尺和圆规在直线上取一点，在直线上取一点，使得，且（不写作法，保留作图痕迹）． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查全等三角形的判定及性质、尺规作图： 证明，即可求得； 应用（1）：以点为圆心，以长度为半径作弧，交直线于一点，该点即为点，以点为圆心，以长度为半径作弧，交直线于一点，该点即为点，连接，； 应用（2）：以点为圆心，以长为半径作弧，交的延长线于一点，该点即为点，以点为圆心，以长为半径作弧，交直线于一点，该点即为点，连接． 【详解】感悟： ∵， ∴． 在和中 ∴． ∴． 应用： （1）：以点为圆心，以长度为半径作弧，交直线于一点，该点即为点，以点为圆心，以长度为半径作弧，交直线于一点，该点即为点，连接，，图形如图所示． （2）：以点为圆心，以长为半径作弧，交的延长线于一点，该点即为点，以点为圆心，以长为半径作弧，交直线于一点，该点即为点，连接，图形如图所示． 根据作图可得：， 又， ∴， ∴. 一、单选题 1．（24-25八年级上·山东临沂·期中）如图，用圆规和直尺作图，不能把分成两个等腰三角形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查尺规作图，角平分线，垂直平分线，根据作图痕迹分辨尺规作图是解答本题的关键．根据角平分线，垂直平分线等尺规作图的作法，逐个分析即可． 【详解】A．尺规作图作的的角平分线， 由图可知，， ， ，， ， 和为等腰三角形， 能把分成两个等腰三角形，故A不符合题意； B．尺规作图作的线段的垂直平分线， 由图可知，， ， ， 和为等腰三角形， 能把分成两个等腰三角形，故B不符合题意； C．，， ，， 有尺规作图可得， ， 和为等腰三角形， 能把分成两个等腰三角形，故C不符合题意； D．， ， 但不能说明为等腰三角形， 不能把分成两个等腰三角形，故D符合题意； 故选：D． 二、解答题 2．（24-25八年级上·山东济宁·期中）中，，．D，E是直线上两动点，点D沿方向运动，点E沿方向运动，且．连接，作直线，垂足为F，交于点G，直线交（或延长线）于点H． (1)如图1，当点D，E在线段上时． ①过点B作交于点P；（要求：尺规作图，保留作图痕迹） ②求证：； ③猜想与之间的数量关系，并证明你的猜想： (2)如图2，当点D，E在直线上时，其他条件不变，（1）③中你猜想的结论是否还成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由． 【答案】(1)①图见解析；②见解析；③猜想：，证明见解析 (2)（1）③中的结论仍然成立，理由见解析 【分析】本题考查了作图—基本作图，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． （1）①作出，即可得解；②由平行线的性质可得，再根据同角的余角相等即可得证；③先证明，得出，再证明得出．最后证明出，再由等角对等边即可得证； （2）如图，过点B作交的延长线于点P．先证明得出，，再证明得出，从而得出，即可得解． 【详解】（1）解：①作图如图所示．（作法不唯一） ②证明：， ． 又， ． ， ． ③猜想：． 证明：在和中 ， ． ． ，． ， 在和中 ， ． ． ． ，， ． ． （2）解：（1）③中的结论仍然成立． 证明：如图，过点B作交的延长线于点P． ． ， ． ． 在和中 ， ． ，． 在和中 ， ． ． ． ． 3．（23-24七年级下·山东济宁·期末）综合与实践 学习了平行线后，某校七年级数学活动小组甲、乙两同学分别探究出了“过一点画一条直线的平行线”的新的方法． 【动手操作】 甲同学用的是尺规作图的方法（P是直线a外一点，过点P作．）具体作图步骤如图1所示． 乙同学用的是折纸的方法（P是直线a外一点，直线a与正方形的相邻两边分别相交于A，B，过点P折出）．具体折纸步骤如图2所示． 【探究发现】 根据以上信息，解答下列问题． (1)甲同学作图中，的依据是______； (2)写出乙同学每一步的具体做法及的依据． 第一步，______；第二步，______；第三步，______．的依据是______． 【答案】(1)同位角相等，两直线平行 (2)沿点P所在直线折叠，使点B落在直线a上，折痕为；把纸片展平，继续沿点P所在直线折叠，使点C落在折痕上，此时折痕为；把纸片展平，沿折痕画直线；在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行 【分析】本题主要考查了平行线的判定，尺规作图： （1）由作法得：，，再根据“同位角相等，两直线平行”，即可求解； （2）根据题中的折叠方法，写出步骤，即可． 【详解】（1）解：由作法得：， ∴（同位角相等，两直线平行）； 故答案为：同位角相等，两直线平行 （2）解：第一步，沿点P所在直线折叠，使点B落在直线a上，折痕为； 第二步，把纸片展平，继续沿点P所在直线折叠，使点C落在折痕上，此时折痕为； 第三步，把纸片展平，沿折痕画直线； 则 ． 依据是：在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行． 故答案为：沿点P所在直线折叠，使点B落在直线a上，折痕为；把纸片展平，继续沿点P所在直线折叠，使点C落在折痕上，此时折痕为；把纸片展平，沿折痕画直线；在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行 4．（24-25八年级上·山东临沂·期中）教科书第39页有下面一段文字： 思考： 如图1，把一长一短的两根木棍的一端固定在一起，摆出．固定住长木棍，转动短木棍，得到．这个实验说明了什么？ 图1中的与满足两边和其中一边的对角分别相等，即，，，但与不全等．这说明，有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等． 小明通过对上述问题的再思考，提出：两边和其中一边的对角（这个角是钝角）分别相等的两个三角形全等．即在和中，若，，（，为钝角），则．对于小明的结论，阿强和阿芳分别提出了验证方案． (1)阿强的验证方案：根据教科书中探究三角形全等判定方法的经验，利用尺规作图验证小明提出的结论．即先画一个，使为钝角，如图2，再画一个，使，，．把画好的剪下来，放到上，看它们是否重合． 请利用直尺和圆规画出符合条件的（不写画法，保留作图痕迹）； (2)阿芳的验证方案：利用三角形全等的判定方法证明小明提出的结论．即：在和中，已知，，（，为钝角），如图3． 求证：．请写出证明过程． 【答案】(1)作图见解析 (2)证明见解析 【分析】本题考查尺规作图，全等三角形的判定和性质， （1）作，作，即可； （2）过作，垂足为，过作，垂足为，证明得，证明得，最后利用即可得证； 解题的关键是掌握五个基本作图，全等三角形的判定和性质． 【详解】（1）解：如图， 则即为所作； （2）证明：过作，垂足为，过作，垂足为， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在和中， ， ∴． 5．（23-24八年级上·山东菏泽·阶段练习）相传很久以前，为了显示谁的逻辑思维能力更强，古希腊人限制了几何作图的工具，结果一些普通的画图题，却让数学家们苦苦思索了两千年．可见，尺规作图有它特有的魅力，使无数人沉湎其中，在几何作图中，我们把用没有刻度的直尺和圆规完成的作图，叫做尺规作图．请完成以下作图，不用写作法，保留合理的作图痕迹． 已知线段、，求作：，使、． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了尺规作图——作三角形，解题的关键是熟练掌握相关作图方法．作，在上截取，在上截取，连接即可． 【详解】解：作出，在上截取，在上截取，连接， ∴为所求三角形． 6．（24-25七年级上·山东泰安·期中）在下图的每个三角形中，分别按要求作（画）图： (1)在图①中用尺规作出中线； (2)在图②中用尺规作出角平分线； (3)在图③中画出高线； (4)在图①中，若，（C表示周长）且，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 (4)3 【分析】（1）作线段的垂直平分线，交于D，连接即为所求； （2）先以A为圆心，任意长为半径作圆，交、于两点，然后再以这两点为圆心，大于两点间距离的一半为半径作弧，两弧交于一点，连接此点和点A，即可得解． （3）由于是钝角三角形，因此高线在的外部，过A点作高交的延长线于点D，即可得到高线； （4）先根据中线得到，然后根据周长差得到，即可解题． 本题主要考查了三角形的中线、高线、角平分线的作法，熟练掌握尺规作图的基本作法，是解答此类题目的关键． 【详解】（1）如图，即为所作； （2）如图，即为所作； （3）如图，即为所作； （4）解：∵是的中线， ∴， ∴， 又∵， ∴． 7．（23-24八年级下·山东青岛·期末）请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹． 在公园中有一块四边形的空地，需要规划栽种不同品种的植物，空地图纸如图所示，已知四边形，，在边上求作一点M，在边上求作一点N，使得、、的面积都相等．    【答案】见解析 【分析】本题考查角平分线的性质，根据题意可知需要，且三条高相等，根据角平分线上的点到角两边的距离相等和即可求解． 【详解】解：如图所示，点M和点N即为所求．    8．（24-25九年级上·山东青岛·期中）对于几何图形，我们通常是从它的定义、性质、判定和应用等方面进行研究，并且都是从组成图形的元素及相关元素之间的关系进行探究．观察、实验、归纳、类比、猜想、证明等是我们常用的探究方法． 【定义】 如图①，在四边形中，，，我们把这种有两组邻边分别相等的四边形叫做筝形．不相邻的两个顶点连成的线段叫做它的对角线，线段就是它的一条对角线． 【性质】 请结合图①，写出筝形具有的性质．（任意写出2条你认为正确的即可） 例如：∵四边形是筝形   ∴， 性质1：______； 性质2：______． 【判定】 下列条件能够判定四边形是筝形的有______．（将所有正确的序号填在横线上） ①且；②；③且；④． 【应用】 如图②，在筝形中，，，请利用无刻度的直尺和圆规，在筝形内部找一点，连接，，使折线恰好将筝形的面积分为相等的两部分．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】[性质] 见解析； [判定] ①③；[应用]见解析 【分析】[性质]根据定义结合图形，从边，角，对角线分析即可得出结论； [判定]根据筝形定义分析即可求解； [应用]利用三角形的一条中线将三角形分成两个面积相等的三角形即可作出图形． 【详解】解：[性质]性质1：∵四边形是筝形   ∴ 性质2：∵四边形是筝形   ∴且； [判定] 解：①根据筝形定义可得且；故①正确 ②和④不能判定四边形是筝形   ③且；理由如下： 如图，设与交于点， ，， 点、均在线段的垂直平分线上， ∴垂直平分，即且； 故答案为：①③． [应用] 解：如图所示，点即为所求． 作出的中点，连接、，折线将筝形面积等分． 理由： ∴ 在中， 为边中点， ， ， 同理：， ， ， 即四边形的面积四边形的面积， 折线将筝形面积等分． 【点睛】本题考查了“筝形”的判定与性质，全等三角形的判定与性质、线段垂直平分线的判定与性质、作垂线；熟练掌握“筝形”的定义，正确地作出图形是解题的关键． 9．（2022·山东青岛·一模）如图，已知Rt△ABC，∠C=90°； 求作：一个面积最大的等腰直角△CDE，使等腰直角三角形的斜边CE在边BC上． 【答案】作图见解析 【分析】当B点与E点重合时，等腰直角△CDE面积最大．由此即可作线段BC的垂直平分线与BC交于点O，再以O为圆心，OC长为半径作弧，与线段BC的垂直平分线的交点即为点D（或），最后连接CD（或）、BD（或）即可． 【详解】如图，（或）即为所作． 【点睛】本题考查作图—等腰直角三角形，线段垂直平分线的性质，等腰直角三角形的性质．掌握作线段垂直平分线的方法和等腰直角三角形的性质是解题关键． 10．（2023·山东德州·一模）如图，外有一点P﹒ (1)请利用尺规作图法作出的两条切线，，切点分别为A、B两点；（保留作图痕迹，无需写作法） (2)点C是优弧上的一点，若，求的度数； (3)在（2）的条件下，若的半径长为，求图中线段、和劣弧所围成的封闭图形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)； (3) 【分析】（1）连接，以线段为直径作圆，交于点A，B，作直线，，则直线，即为所求； （2）根据切线的性质得到，连接、，利用圆周角定理求得，根据四边形内角和定理即可求解； （3）连接，由切线长定理求得，解直角三角形求得，根据阴影部分的面积计算即可求解． 【详解】（1）解：如图，直线，即为所作， ； （2）解：如图，连接、， 、是切线， ，， ， ， ， ， ， ； （3）解：如图，连接， ，是的两条切线， ，，平分， ，， 在中， ，，   ， ， ， 阴影部分的面积 ． 【点睛】本题考查了圆的切线性质，扇形的面积，解直角三角形等知识，解决问题的关键是找出角之间的关系，转化求解． 11．（2024·山东青岛·一模）画长的线段，并以此为半径，点x为圆心画一个半径为的圆x． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了画圆，根据圆的尺规作图方法作图即可． 【详解】解：如图所示，即为所求． 12．（2023·山东济宁·二模）已知、是平面直角坐标系中的两点，连接． (1)如图，作的角平分线交于点，作与轴相切于点（要求：保留作图痕迹，不写作法）； (2)在（1）的基础上，求证与轴相切； (3)如图②，求过点的反比例函数表达式． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据题意作的角平分线交于点，作与轴相切于点； （2）作轴于点，根据与轴相切于点，得出轴，根据角平分线的性质得出，进而可得是的半径，即可得证； （3）根据与轴相切，得出轴．可证矩形是正方形．设，根据，证明，根据相似三角形的性质得出，则，即可求解． 【详解】（1）解：如图①-1所示： （2）证明：如图①-2所示，作轴于点， 与轴相切于点， 轴， 是的平分线， ， 是的半径， 是的半径． 轴于点， 与轴相切． （3）解：如图②所示，与轴相切， 轴． 轴， 四边形是矩形． ， 矩形是正方形． 设， 、， ，， ， ， ， ， ，解得， ， 设过点的函数表达式为， ， ． 【点睛】本题考查了作角平分线，切线的性质与判定，相似三角形的性质与判定，正方形的性质与判定，待定系数法求反比例函数的解析式，熟练掌握以上知识是解题的关键． 13．（2023·山东青岛·一模）请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹． 求作：以点为直角顶点的等腰直角三角形，使它的斜边落在直线上，并在三角形内部做出以斜边中点为圆心的面积最大的半圆． 【答案】见详解 【分析】先过点作直线的垂线，垂足为点，再在直线上截取，连接，接着作的角平分线交于点，然后以点为圆心，为半径在内部作半圆即可． 【详解】解：如下图，和半圆为所作． 【点睛】本题主要考查了作图—复杂作图，解题关键是熟练掌握基本图形的性质，结合几何图形的特征把复杂作图分解为基本作图． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$