专题23 图形的变化——对称（中考高频题型归纳与训练）-备战2025年中考数学真题题源解密（山东专用）

专题23 图形的变化——对称 课标要求 考点 考向 1．通过具体实例理解轴对称的概念，探索它的基本性质:成轴对称的两个图形中对应点的连线被对称轴垂直平分。 2. 能画出简单平面图形(点、线段、直线、三角形等)关于给定对称轴的对称图形。 3. 理解轴对称图形的概念;探索等腰三角形、矩形、菱形、正多边形、圆的轴对称性质。 4. 认识并欣赏自然界和现实生活中的轴对称图形。 5. 了解中心对称、中心对称图形的概念，探索它们的基本性质:成中心对称的两个图形中，对应点的连线经过对称中心，且被对称中心平分。 6. 探索线段、平行四边形、正多边形、圆的中心对称性质。 7. 认识并欣赏自然界和现实生活中的中心对称图形。 图形的变化——对称 考向一 对称图形的识别 考向二 翻折问题 考点 图形的变化——对称 ►考向一 对称图形的识别 1.（2024•山东）用一个平面截正方体，可以得到以下截面图形，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念，常见的中心对称图形有平行四边形、圆形、正方形、长方形等等．常见的轴对称图形有等腰三角形，矩形，正方形，等腰梯形，圆等等．根据中心对称图形与轴对称图形的概念，进行判断即可．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形． 【详解】解：A．该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意； B．该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意； C．该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意； D．该图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项符合题意． 故选：D． 2.（2024•德州）下列图形是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查的是中心对称图形的识别，掌握中心对称图形的定义是解决此题的关键． 根据中心对称图形的概念，中心对称图形是图形沿对称中心旋转180度后与原图重合，即可解题． 【详解】解：选项A、C、D都不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转度后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形． 选项B能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转度后与原来的图形重合，所以是中心对称图形． 故选：B． 3.（2024•青岛）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.94 【分析】本题考查轴对称图形，中心对称图形，熟练掌握相关定义是解题的关键．如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形；把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；据此进行判断即可． 【详解】解：A．不是轴对称图形，但它是中心对称图形，故不符合题意； B．是轴对称图形，但它不是中心对称图形，故不符合题意； C．不是轴对称图形，但它是中心对称图形，故不符合题意； D．既是轴对称图形，也是中心对称图形，故符合题意； 故选：D． 4.（2024•泰安）下面图形中，中心对称图形的个数有（    ）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了中心对称图形的概念，熟练掌握概念是解题的关键．根据中心对称图形的概念对各图形分析判断即可求解． 【详解】解：第一个是中心对称图形，符合题意； 第二个是是中心对称图形，符合题意； 第三个是是中心对称图形，符合题意； 第四个不是中心对称图形，不符合题意； 所以符合题意的有3个． 故选：C． 5.（2024•潍坊）下列著名曲线中，既是轴对称图形也是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查轴对称图形以及中心对称图形，熟练掌握轴对称图形以及中心对称图形是解题的关键．根据轴对称图形以及中心对称图形的定义即可得到答案． 【详解】 解：既不是轴对称图形也不是中心对称图形，故选项A不符合题意； 不是轴对称图形，是中心对称图形，故选项B不符合题意； 既是轴对称图形也是中心对称图形，故选项C符合题意； 是轴对称图形，不是中心对称图形，故选项D不符合题意； 故选：C． 6.（2024•烟台）下图是由8个大小相同的小正方体组成的几何体，若从标号为①②③④的小正方体中取走一个，使新几何体的左视图既是轴对称图形又是中心对称图形，则应取走（    ）    A．① B．② C．③ D．④ 【答案】A 【分析】本题考查几何体的三视图，熟练掌握三视图的画法是解题的关键．分别画出各选项得出的左视图，再判断即可． 【详解】 解：A、取走①时，左视图为  ，既是轴对称图形又是中心对称图形，故选项A符合题意； B、取走②时，左视图为  ，既不是轴对称图形也不是中心对称图形，故选项B不符合题意； C、取走③时，左视图为  ，既不是轴对称图形也不是中心对称图形，故选项C不符合题意； D、取走④时，左视图为  ，既不是轴对称图形也不是中心对称图形，故选项D不符合题意； 故选：A． 7.（2024•淄博）下列图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，根据定义逐项判断即可．将一个图形沿某直线折叠，直线两旁的部分能够重合，这样的图形是轴对称图形；将一个图形绕某点旋转，能与本身重合，这样的图形是中心对称图形． 【详解】因为图A是轴对称图形，不是中心对称图形，所以不符合题意； 因为图B是中心对称图形，不是轴对称图形，所以不符合题意； 因为图C是轴对称图形，又是中心对称图形，所以符合题意； 因为图D是轴对称图形，不是中心对称图形，所以不符合题意． 故选：C． ►考向二 翻折问题 解题技巧 （1） 折叠前后的图形全等：线段长度相等，角相等。 （2） 对应点的连线被折线垂直平分。 1.（2024•济宁）综合与实践 某校数学课外活动小组用一张矩形纸片（如图1，矩形中，且足够长）进行探究活动． 【动手操作】 如图2，第一步，沿点A所在直线折叠，使点D落在上的点E处，折痕为，连接，把纸片展平． 第二步，把四边形折叠，使点A与点E重合，点D与点F重合，折痕为，再把纸片展平． 第三步，连接． 【探究发现】 根据以上操作，甲、乙两同学分别写出了一个结论． 甲同学的结论：四边形是正方形． 乙同学的结论：． （1）请分别判断甲、乙两同学的结论是否正确．若正确，写出证明过程；若不正确，请说明理由． 【继续探究】 在上面操作的基础上，丙同学继续操作． 如图3，第四步，沿点G所在直线折叠，使点F落在上的点M处，折痕为，连接，把纸片展平． 第五步，连接交于点N． 根据以上操作，丁同学写出了一个正确结论：． （2）请证明这个结论． 【答案】（1）甲、乙同学的结论正确，证明见解析，（2）证明见解析 【分析】本题主要考查了折叠的性质，矩形的性质和判定，正方形的判定和性质，菱形的判定和性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的三线合一性质，解题的关键是正确作出辅助线并熟练掌握相关的性质定理， （1）先证明四边形为矩形，再根据即可证明四边形为正方形，设，由折叠性质可知：，，再根据等腰直角三角形的性质分别求出，，即可得出，进而可得出结论； （2）作交于点R，利用证明，得出，再证明四边形为菱形，得出，进而证明，再根据证明，得出，进而证明，即可得出结论 【详解】解：（1）甲、乙同学的结论都正确，理由如下： 四边形是矩形， 由第一步操作根据折叠性质可知： 四边形为矩形， 又 四边形为正方形， 故甲同学的结论正确； 作于点M， 四边形为正方形， 设， 由第二步操作根据折叠性质可知：， 在中， 在中，, 故乙同学的结论正确； （2）作交于点R，如图所示： 为折痕,      四边形为矩形， 在和中， 又 由折叠性质可知： 四边形为菱形， 即 在和中， 2.（2024•泰安）综合与实践 为了研究折纸过程蕴含的数学知识，某校九年级数学兴趣小组的同学进行了数学折纸探究活动． 【探究发现】 （1）同学们对一张矩形纸片进行折叠，如图1，把矩形纸片翻折，使矩形顶点的对应点恰好落在矩形的一边上，折痕为，将纸片展平，连结，与相交于点．同学们发现图形中四条线段成比例，即，请你判断同学们的发现是否正确，并说明理由． 【拓展延伸】 （2）同学们对老师给出的一张平行四边形纸片进行研究，如图2，是平行四边形纸片的一条对角线，同学们将该平行四边形纸片翻折，使点的对应点，点的对应点都落在对角线上，折痕分别是和，将纸片展平，连结，，，同学们探究后发现，若，那么点恰好是对角线的一个“黄金分剧点”，即．请你判断同学们的发现是否正确，并说明理由． 【答案】（1）正确，理由见解析；（2）正确，理由见解析 【分析】本题主要考查了矩形的性质、平行四边形的性质、相似三角形的判定和性质、折叠的性质等知识点，掌握相关知识是解题的关键． （1）如图：作于点M，再证可得，再证明四边形是矩形可得即可证明结论； （2）利用平行线分线段比例可得，再说明，进而得到；再由由平行四边形及折叠可得，，则即可证明结论． 【详解】解：（1）正确，理由如下， 作于点， ， ， ， ， ， ， 又， ． ∴． 是矩形，， 四边形是矩形． ， ． （2）同学们的发现说法正确，理由如下， ， ，， 由折叠知， ， ， ， 由平行四边形及折叠知，， ， ，即点为的一个黄金分割点． 3.（2024•威海）将一张矩形纸片（四边形）按如图所示的方式对折，使点C落在上的点处，折痕为，点D落在点处，交于点E．若，，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查矩形的折叠问题，全等三角形的判定和性质，勾股定理，先根据勾股定理求出，然后证明，得到，，即可得到，，然后在中，利用解题即可． 【详解】解：在中，， 由折叠可得，， 又∵是矩形， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴，， ∴，， 设，则， 在中，，即， 解得：， 故答案为． 4.（2024•淄博）如图所示，在矩形中，，点，分别在边，上．连接，将四边形沿翻折，点，分别落在点，处．则的值是（    ） A．2 B． C． D． 【答案】A 【分析】连接交于点F，设，则，利用勾股定理求得，由折叠得到，垂直平分，则，由代入求得，则，所以，于是得到问题的答案． 【详解】解：连接交于点F， 设，则， ∵四边形是矩形， ∴， ∴ ∵将四边形沿翻折，点C，D分别落在点A，E处， ∴点C与点A关于直线对称， ∴，垂直平分， ∴，，， ∵， ∴ ∴， ∴ ∴． 故选：A． 【点睛】此题考查矩形的性质、翻折变换的性质、勾股定理、解直角三角形等知识，正确地作出辅助线是解题的关键． 一、单选题 1．（24-25八年级上·山东泰安·期末）我国新能源汽车表现亮眼，连续9年摘得全球产销量第一桂冠，产销量全球占比均超过60%．以下新能源汽车图标既是中心对称，还是轴对称的是（    ） A．极氪 B．小鹏 C．理想 D．蔚来 【答案】B 【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心． 根据中心对称图形的定义和轴对称图形的定义进行逐项判断即可． 【详解】解：A．不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意； B．是轴对称图形，是中心对称图形，符合题意； C．不是轴对称图形，不中心对称图形，不符合题意； D．是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意． 故选B． 2．（24-25八年级上·山东济宁·期中）在平面直角坐标系中有五个点，变换其中一个点的坐标，使五个点组成一个轴对称图形．现有两种方法： ①把点B坐标变换成；②把点C坐标变换成．下面判断正确的是（） A．①②正确 B．①正确，②错误 C．①错误，②正确 D．①②都错误 【答案】A 【分析】本题考查了坐标与图形的轴对称，解决本题的关键是熟练掌握坐标与图形轴对称的性质，画出图形并进行判断即可． 【详解】解：如图，两种方法：①把点B坐标变换成；②把点C坐标变换成．形成的图形都是轴对称图形，    故选：A 3．（24-25八年级上·山东临沂·期中）时钟在水中的倒影如图所示，此时时钟显示的时间是（） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了应用轴对称的性质来分析实际问题．根据轴对称的性质解答即可． 【详解】解：在时钟在水中的倒影与现实中的时钟恰好上下对称．由图可知时钟在水中的倒影是，它与成轴对称， 所以它的实际时间是． 故选：A． 4．（23-24七年级下·山东青岛·期末）如图，在长方形的纸片上画出，按下列方式折叠，能得到边上的高的是（   ） A．对折边，使点B与点C重合，则高在折痕上 B．沿着过A点的直线对折，使点C落在直线上，则高在折痕上 C．沿着过B点的直线对折，使得边与边重合，则高在折痕上 D．延长，并沿着过B点的直线折叠，使得C落在直线上，则高在折痕上 【答案】D 【分析】本题主要考查了折叠的性质与三角形的相关知识，根据折叠的性质与三角形的高，角平分线等知识一一判断即可． 【详解】解：．对折边，使点B与点C重合，则的垂直平分线在折痕上，故该选项不符合题意； ．沿着过A点的直线对折，使点C落在直线上，则边上的高在折痕上 ，故该选项不符合题意； ．沿着过B点的直线对折，使得边与边重合，则的平分线在折痕上，故该选项不符合题意； ．延长，并沿着过B点的直线折叠，使得C落在直线上，则上的高在折痕上 ，故该选项符合题意； 故选：D． 5．（2024·山东济南·模拟预测）北京时间2024年5月3日，搭载嫦娥六号探测器的长征五号遥八运载火箭，在中国文昌航天发射场点火发射，准确进入地月转移轨道，发射任务取得圆满成功．嫦娥六号探测器将开启世界首次月球背面采样返回之旅，预选着陆和采样区为月球背面南极-艾特肯盆地，为中国未来的探月工程和载人登月奠定了基础．下列相关航天图标中，其文字上方的图案是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查中心对称图形的识别，中心对称图形：把一个图形绕着某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．据此逐项判断即可． 【详解】解：．不是中心对称图形，故该选项不符合题意； ．不是中心对称图形，故该选项不符合题意； ．是中心对称图形，故该选项符合题意； ．不是中心对称图形，故该选项不符合题意； 故选：C． 二、多选题 6．（24-25八年级上·山东潍坊·期中）如图，等腰三角形中，，将向下翻折，使点A，B重合，折痕为，交于点E，连接．则下列说法正确的是（   ） A．平分 B．若，则为等腰三角形 C． D． 【答案】ABD 【分析】本题主要考查折叠的性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质等知识，由折叠的性质得，可判断A正确；根据等腰三角形的性质和三角形定理得出，由三角形性质得，可判断B正确；当时，可判断C错误；根据可判断D正确． 【详解】解：由折叠得， ∴平分，故选项A正确，符合题意； ∵ ∴， 由折叠得， ∴， ∴ ∴ ∴是等腰三角形；故选项B正确；符合题意； 当时，； 当时，；故选项C错误；不符合题意； ∵， ∴ 由折叠得， ∴故选项D正确，符合题意； 综上，正确的结论是ABD， 故答案为：ABD． 三、填空题 7．（24-25八年级上·山东济南·期中）如图，一次函数的图象与轴交于点，点是线段OA上一点．过点作轴的垂线，直线l与一次函数的图象交于点，与正比例函数的图象交于点．当点与点关于轴对称时， ． 【答案】/ 【分析】本题考查的是一次函数与坐标轴的交点坐标问题，轴对称的性质，正比例函数的性质，先求解，设，可得，再结合一次函数的性质可得的值，从而可得答案. 【详解】解：∵一次函数的图象与与抽交于点， ∴当时，， ∴， ∵在正比例函数的图象上， 设， ∵点与点关于轴对称， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∴， 故答案为：. 四、解答题 8．（24-25八年级上·山东聊城·期中）（1）如图1，直线同旁有两个定点，，在直线上存在点，使得的值最小，请作出示意图，在直线上画出点（要有必要的画图痕迹，不用写画法）：      （2）如图2，中，，，，是的中点，是边上的一动点，画出点，使得的值最小，并直接写出的最小值； （3）如图3，点在内部，点，分别在射线，上，若周长最小，画出示意图，标出点，点． 【答案】（1）见详解；（2）6；（3）见详解 【分析】（1）作点A关于直线l的对称点，连接交直线l于点P，连接，点P即为所求； （2）作点E关于直线BC的对称点，连接，交于P，点P即为所求；． （3）分别作Q关于的对称点，连接，交于，则的周长最小，进而根据轴对称的性质推出为等边三角形，进一步得出结果． 【详解】解：（1）如图，点即为所求作的点．    （2）作点E关于直线的对称点，连接，则与直线的交点即为P，且的最小值为，作交的延长线于F，如图，    在中，， ， ，， 因为点E是的中点，由对称性可得， ， 的最小值E′A的值为：． （3）作法：（Ⅰ）作Q关于的对称点C， （Ⅱ）作点Q关于的对称点D， （Ⅲ）连接，分别交于点M，交于N， 则的周长最小．    【点睛】本题考查了轴对称的应用-最短距离问题，直角三角形的性质及勾股定理等知识，解决问题的关键是熟练掌握“将军饮马”等模型． 9．（24-25八年级上·山东潍坊·期中）如图，在长方形纸片的一组对边上分别取点A和点B，将该纸片沿折叠，点E、F的对应点分别为点、、与的交点为C，请判断的形状，并说明理由． 【答案】是等腰三角形，理由见解析 【分析】本题考查了翻折变换（折叠问题），等腰三角形的判断，根据折叠的性质得到，根据长方形的性质得到，根据平行线的性质得到，等量代换得到，于是得到结论． 【详解】解：是等腰三角形， 理由：∵将该纸片沿折叠，点E、F的对应点分别为点， ∴， 根据题意得，， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． 10．（22-23七年级下·山东青岛·期末）探究（一） 如图①，为了支持山庄经济开发，政府派出免费车为山庄A和山庄B向山外运农产品，免费车只能在公路l上行驶，你认为停在哪里，到两村庄距离相等？ 请通过尺规作图表达你的观点．    探究（二） 如图②，为了支持山庄经济开发，政府派出免费车为山庄A和山庄B向山外运农产品，免费车只能在公路l上行驶，你认为停在哪里，到两村庄距离和最短？请借助刻度尺、直角三角板或圆规等，通过画图表达你的观点；也可以文字叙述你的做法． 探究（三） 如图③，为了支持山庄经济开发，政府派出免费车为山庄A和山庄B向山外运农产品，免费车只能在公路l上行驶，你认为停在哪里，最大？ 请借助刻度尺、直角三角板或圆规等，通过画图表达你的观点；也可以文字叙述你的做法．      拓展应用 如图④，中，，，，E是的中点，P是边上的一动点，则的最小值为___________； 【答案】探究（一）：见解析；探究（二）：见解析；探究（三）：见解析；拓展应用：6 【分析】探究（一）：作线段的垂直平分线与直线l的交点即为所求； 探究（二）：作点A关于直线l的对称点，连接交直线l于 Q，点Q即为所求； 探索（三）：延长交直线l于P，点P即为所求； 拓展应用：如图所示，作点A关于直线的对称点F，连接交于G，连接，则当三点共线时最小，即，此时最小值为，点P与点G重合，根据含30度角的直角三角形的性质得到，进而证明，得到，则的最小值为6． 【详解】解：探究（一）：如图所示，线段的垂直平分线与直线l的交点P即为所求；    探究（二）：如图所示，作点A关于直线l的对称点，连接交直线l于 Q，点Q即为所求；    探索（三）：如图所示，延长交直线l于P，点P即为所求； 在直线l上任取一点不与点P重合的点， ∵， ∴， 又∵， ∴当点与点P重合时，， ∴直线l上任意一点一定满足， ∴点P即为所求；    拓展应用：如图所示，作点A关于直线的对称点F，连接交于G，连接， ∴， ∴， ∴当三点共线时最小，即，此时最小值为，点P与点G重合 ∵中，，， ∴， ∴， ∵是的中点，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴的最小值为6， 故答案为：6．    【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的实际应用，轴对称最短路径问题，含30度角的直角三角形的性质，全等三角形的性质与判定，三角形三边的关系等等，利用轴对称的性质去构造最短路径的情形是解题的关键． 11．（23-24七年级下·山东聊城·期末）将长方形纸片沿折叠，边与边的交点为E，将纸片展开铺平（图①）．然后过E点将纸片进行折叠，使被折痕分成的两部分重合，记折痕所在直线与的交点为G（图②），将纸片展开铺平．再过D点将纸片进行折叠，使被折痕分成的两部分重合，记折痕所在直线与的交点为H（图③），将纸片展开铺平．连接图④）． (1)折痕与有怎样的位置关系？请说明理由． (2)若，求的度数． 【答案】(1)，理由见解析 (2) 【分析】村题主要考查折叠的性质，平行线的判定等知识； （1）由折叠得，，可得，从而可得结论； （2）由折叠得，由（1）得，根据三角形内角和定理可得结论 【详解】（1）解：，理由如下： 由折叠的性质得：，， ， ， ， ， ， ． （2）解：∵， ∴， 由折叠的性质得， ∴， 由（1）得， ， ， ． 12．（2024·山东聊城·二模）综合与实践 教材重现：取一块质地均匀的三角形木板，用一枚铁钉顶在这个三角形的重心上，木板会保持平衡（如图），这是重心的物理性质．    莹莹提前准备了一个等腰三角形纸片，如图，，．为了找到重心，以便像教材上那样稳稳用笔尖顶起，她先把点与点重叠对折，得折痕，展开后，她把点与点重叠对折，得折痕，再展开后连接，交折痕于点，则点就是的重心．    (1)初步观察：连接，判断与的数量关系并说明理由； (2)猜想验证：莹莹通过测量发现与，与有同样的数量关系，写出它们的关系并说明理由； (3)尝试运用：利用（2）的结论计算的面积； (4)拓展探究：莹莹把剪下后得，发现可以与拼成四边形，且拼的过程中点不与点重合，直接写出拼成四边形时的长． 【答案】(1)，见解析 (2)，，见解析 (3) (4)的长为或 【分析】（1）利用折叠的性质即可得到答案； （2）连接，易得为的中位线，则，，于是，利用相似三角形的性质即可求解； （3）由折叠可知，，利用勾股定理求得，结合（2）的结论，根据三角形面积公式可求解； （4）连接，由（2）知，则，利用勾股定理求得，由折叠可知，易证，由相似三角形的性质可求得，则，分两种情况讨论：当与点重合时，此时；当点与点F重合时，利用勾股定理求出即可． 【详解】（1）解：∵点B与点A重叠对折，得折痕， ∴（折叠的性质）， ∴； 故答案为：； （2）解：猜想：， 理由如下：连接．    ∵点，分别为，的中点， ∴为的中位线， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴，； （3）解：由折叠可得，，， ∵， ∴， 由（2）知，， ∵， ∴， ∴； （4）解：如图，连接，    由（2）知，， ∴， 在中，， 由折叠可知，，， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， 当与点B重合时，如图①②，连接，    此时；    ∵， ∴， 此时拼成的图形为三角形，不符合题意； 当点与点F重合时，如图③④，       在中，， ∴． 综上所述，的长为或．． 【点睛】本题主要考查折叠的性质、中线的定义、勾股定理、全等三角形的判定与性质、三角形中位线的判定与性质、相似三角形的判定与性质，解题关键是读懂题意，熟知折叠的性质，学会利用数形结合和分类讨论思想解决问题． 13．（23-24八年级下·山东青岛·期中）如图，小颖同学在边长为1的小正方形组成的网格中，以为基本图形，绘制平面图形，请根据下列要求解答问题． (1)绕点A逆时针旋转______度得到； (2)在图中画出将关于点A中心对称后得到的． (3)在以点A为原点，以所在直线为y轴建立的平面直角坐标系中，若点，请写出它的对称点的坐标为______． 【答案】(1)90 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了利用旋转设计图案，旋转的性质，三角形的面积的计算，正确地作出图形是解题的关键． （1）根据旋转的性质结合图形即可得到结论； （2）根据旋转的性质作出图形即可； （3）根据中心对称的性质以及点的位置即可得到结论． 【详解】（1）解：绕点逆时针旋转90度得到； 故答案为：90； （2）解：如图所示，即为所求； ； （3）解：如图所示，点， 则点的坐标为． 故答案为：． 14．（23-24八年级下·山东枣庄·期中）【问题探究】 （1）如何用一条直线将一个中心对称图形分成面积相等的两部分？我们知道圆和长方形都是中心对称图形，由图①可总结规律：一个中心对称图形，______的直线将它分成面积相等的两部分． （2）图②是一个由正方形和圆构成的“组合图形”，用一条直线将图②的阴影部分分成面积相等的两部分．（不写画图过程，保留画图痕迹） 【总结规律】 （3）由两个中心对称图形组合成的图形，______的直线将它分成面积相等的两部分． 【拓展应用】 （4）如图③是一块农田的平面图，要分给两户村民种植（分成面积相等的两部分），请你帮助他们用一条直线分开．（不写画图过程，保留画图痕迹） 【答案】（1）经过对称中心；（2）见解析；（3）经过两个中心对称图形的对称中心；（4）见解析 【分析】本题考查作图中心对称设计图案，中心对称图形的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）根据中心对称图形的性质解答即可； （2）连接，交于点，作直线即可； （3）根据（2）总结规律即可； （4）把几何图形分割成两个矩形，分别作出两个矩形的对称中心，，作直线即可． 【详解】解：（1）一个中心对称图形，经过对称中心的直线将它分成面积相等的两部分． 故答案为：经过对称中心； （2）如图，直线即为所求； （3）由两个中心对称图形组合成的图形，经过两个中心对称图形的对称中心的直线将它分成面积相等的两部分． 故答案为：经过两个中心对称图形的对称中心； （4）如图，直线即为所求． ． 15．（22-23八年级下·山东潍坊·期末）材料：“八年级下册课本第187页例2：四边形是一块正方形的土地，要在这块土地上修建两条笔直的、互相垂直的小路，把这块土地分成面积相等的四部分．你有哪些不同的方案？画出图形，并说明理由．”    小亮在学习了上述解决方案后，发现三种分割方案的图形都是中心对称图形．这对于他创作数学社团图标注入了灵感，经过思考，小亮设计了一个中心对称图形的社团图标，如图所示．已知O为正方形的对称中心，为的直径，连接，． (1)请你说明此图标是中心对称图形； (2)若，则，，三者满足．请证明． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）由题意知，点D和点B关于点O中心对称，和关于点O中心对称，故图标是以点O为对称中心的中心对称图形． （2）连接，由中心对称图形知，，由勾股定理得，，，在Rt中，，进一步等量代换得． 【详解】（1）解：∵正方形、、直径是中心对称图形且对称中心均为点O ∴点D和点B关于点O中心对称 ∴和关于点O中心对称 ∴（由正方形、、直径、线段和组成的）图标是以点O为对称中心的中心对称图形． （2）证明：连接 ∵图标为中心对称图形 ∴，． ∵四边形正方形，     ∴， ∴．     ∵ ∴在Rt中， ∴， ∴， ∴．    【点睛】本题考查中心对称图形的定义，勾股定理，正方形的性质；添加辅助线，构造直角三角形，寻求线段间的数量关系是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题23 图形的变化——对称 课标要求 考点 考向 1．通过具体实例理解轴对称的概念，探索它的基本性质:成轴对称的两个图形中对应点的连线被对称轴垂直平分。 2. 能画出简单平面图形(点、线段、直线、三角形等)关于给定对称轴的对称图形。 3. 理解轴对称图形的概念;探索等腰三角形、矩形、菱形、正多边形、圆的轴对称性质。 4. 认识并欣赏自然界和现实生活中的轴对称图形。 5. 了解中心对称、中心对称图形的概念，探索它们的基本性质:成中心对称的两个图形中，对应点的连线经过对称中心，且被对称中心平分。 6. 探索线段、平行四边形、正多边形、圆的中心对称性质。 7. 认识并欣赏自然界和现实生活中的中心对称图形。 图形的变化——对称 考向一 对称图形的识别 考向二 翻折问题 考点 图形的变化——对称 ►考向一 对称图形的识别 1.（2024•山东）用一个平面截正方体，可以得到以下截面图形，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 2.（2024•德州）下列图形是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 3.（2024•青岛）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 4.（2024•泰安）下面图形中，中心对称图形的个数有（    ）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5.（2024•潍坊）下列著名曲线中，既是轴对称图形也是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 6.（2024•烟台）下图是由8个大小相同的小正方体组成的几何体，若从标号为①②③④的小正方体中取走一个，使新几何体的左视图既是轴对称图形又是中心对称图形，则应取走（    ）    A．① B．② C．③ D．④ 7.（2024•淄博）下列图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． ►考向二 翻折问题 解题技巧 （1） 折叠前后的图形全等：线段长度相等，角相等。 （2） 对应点的连线被折线垂直平分。 1.（2024•济宁）综合与实践 某校数学课外活动小组用一张矩形纸片（如图1，矩形中，且足够长）进行探究活动． 【动手操作】 如图2，第一步，沿点A所在直线折叠，使点D落在上的点E处，折痕为，连接，把纸片展平． 第二步，把四边形折叠，使点A与点E重合，点D与点F重合，折痕为，再把纸片展平． 第三步，连接． 【探究发现】 根据以上操作，甲、乙两同学分别写出了一个结论． 甲同学的结论：四边形是正方形． 乙同学的结论：． （1）请分别判断甲、乙两同学的结论是否正确．若正确，写出证明过程；若不正确，请说明理由． 【继续探究】 在上面操作的基础上，丙同学继续操作． 如图3，第四步，沿点G所在直线折叠，使点F落在上的点M处，折痕为，连接，把纸片展平． 第五步，连接交于点N． 根据以上操作，丁同学写出了一个正确结论：． （2）请证明这个结论． 2.（2024•泰安）综合与实践 为了研究折纸过程蕴含的数学知识，某校九年级数学兴趣小组的同学进行了数学折纸探究活动． 【探究发现】 （1）同学们对一张矩形纸片进行折叠，如图1，把矩形纸片翻折，使矩形顶点的对应点恰好落在矩形的一边上，折痕为，将纸片展平，连结，与相交于点．同学们发现图形中四条线段成比例，即，请你判断同学们的发现是否正确，并说明理由． 【拓展延伸】 （2）同学们对老师给出的一张平行四边形纸片进行研究，如图2，是平行四边形纸片的一条对角线，同学们将该平行四边形纸片翻折，使点的对应点，点的对应点都落在对角线上，折痕分别是和，将纸片展平，连结，，，同学们探究后发现，若，那么点恰好是对角线的一个“黄金分剧点”，即．请你判断同学们的发现是否正确，并说明理由． 3.（2024•威海）将一张矩形纸片（四边形）按如图所示的方式对折，使点C落在上的点处，折痕为，点D落在点处，交于点E．若，，，则 ． 4.（2024•淄博）如图所示，在矩形中，，点，分别在边，上．连接，将四边形沿翻折，点，分别落在点，处．则的值是（    ） A．2 B． C． D． 一、单选题 1．（24-25八年级上·山东泰安·期末）我国新能源汽车表现亮眼，连续9年摘得全球产销量第一桂冠，产销量全球占比均超过60%．以下新能源汽车图标既是中心对称，还是轴对称的是（    ） A．极氪 B．小鹏 C．理想 D．蔚来 2．（24-25八年级上·山东济宁·期中）在平面直角坐标系中有五个点，变换其中一个点的坐标，使五个点组成一个轴对称图形．现有两种方法： ①把点B坐标变换成；②把点C坐标变换成．下面判断正确的是（） A．①②正确 B．①正确，②错误 C．①错误，②正确 D．①②都错误 3．（24-25八年级上·山东临沂·期中）时钟在水中的倒影如图所示，此时时钟显示的时间是（） A． B． C． D． 4．（23-24七年级下·山东青岛·期末）如图，在长方形的纸片上画出，按下列方式折叠，能得到边上的高的是（   ） A．对折边，使点B与点C重合，则高在折痕上 B．沿着过A点的直线对折，使点C落在直线上，则高在折痕上 C．沿着过B点的直线对折，使得边与边重合，则高在折痕上 D．延长，并沿着过B点的直线折叠，使得C落在直线上，则高在折痕上 5．（2024·山东济南·模拟预测）北京时间2024年5月3日，搭载嫦娥六号探测器的长征五号遥八运载火箭，在中国文昌航天发射场点火发射，准确进入地月转移轨道，发射任务取得圆满成功．嫦娥六号探测器将开启世界首次月球背面采样返回之旅，预选着陆和采样区为月球背面南极-艾特肯盆地，为中国未来的探月工程和载人登月奠定了基础．下列相关航天图标中，其文字上方的图案是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 二、多选题 6．（24-25八年级上·山东潍坊·期中）如图，等腰三角形中，，将向下翻折，使点A，B重合，折痕为，交于点E，连接．则下列说法正确的是（   ） A．平分 B．若，则为等腰三角形 C． D． 三、填空题 7．（24-25八年级上·山东济南·期中）如图，一次函数的图象与轴交于点，点是线段OA上一点．过点作轴的垂线，直线l与一次函数的图象交于点，与正比例函数的图象交于点．当点与点关于轴对称时， ． 四、解答题 8．（24-25八年级上·山东聊城·期中）（1）如图1，直线同旁有两个定点，，在直线上存在点，使得的值最小，请作出示意图，在直线上画出点（要有必要的画图痕迹，不用写画法）：      （2）如图2，中，，，，是的中点，是边上的一动点，画出点，使得的值最小，并直接写出的最小值； （3）如图3，点在内部，点，分别在射线，上，若周长最小，画出示意图，标出点，点． 9．（24-25八年级上·山东潍坊·期中）如图，在长方形纸片的一组对边上分别取点A和点B，将该纸片沿折叠，点E、F的对应点分别为点、、与的交点为C，请判断的形状，并说明理由． 10．（22-23七年级下·山东青岛·期末）探究（一） 如图①，为了支持山庄经济开发，政府派出免费车为山庄A和山庄B向山外运农产品，免费车只能在公路l上行驶，你认为停在哪里，到两村庄距离相等？ 请通过尺规作图表达你的观点．    探究（二） 如图②，为了支持山庄经济开发，政府派出免费车为山庄A和山庄B向山外运农产品，免费车只能在公路l上行驶，你认为停在哪里，到两村庄距离和最短？请借助刻度尺、直角三角板或圆规等，通过画图表达你的观点；也可以文字叙述你的做法． 探究（三） 如图③，为了支持山庄经济开发，政府派出免费车为山庄A和山庄B向山外运农产品，免费车只能在公路l上行驶，你认为停在哪里，最大？ 请借助刻度尺、直角三角板或圆规等，通过画图表达你的观点；也可以文字叙述你的做法．      拓展应用 如图④，中，，，，E是的中点，P是边上的一动点，则的最小值为___________； 11．（23-24七年级下·山东聊城·期末）将长方形纸片沿折叠，边与边的交点为E，将纸片展开铺平（图①）．然后过E点将纸片进行折叠，使被折痕分成的两部分重合，记折痕所在直线与的交点为G（图②），将纸片展开铺平．再过D点将纸片进行折叠，使被折痕分成的两部分重合，记折痕所在直线与的交点为H（图③），将纸片展开铺平．连接图④）． (1)折痕与有怎样的位置关系？请说明理由． (2)若，求的度数． 12．（2024·山东聊城·二模）综合与实践 教材重现：取一块质地均匀的三角形木板，用一枚铁钉顶在这个三角形的重心上，木板会保持平衡（如图），这是重心的物理性质．    莹莹提前准备了一个等腰三角形纸片，如图，，．为了找到重心，以便像教材上那样稳稳用笔尖顶起，她先把点与点重叠对折，得折痕，展开后，她把点与点重叠对折，得折痕，再展开后连接，交折痕于点，则点就是的重心．    (1)初步观察：连接，判断与的数量关系并说明理由； (2)猜想验证：莹莹通过测量发现与，与有同样的数量关系，写出它们的关系并说明理由； (3)尝试运用：利用（2）的结论计算的面积； (4)拓展探究：莹莹把剪下后得，发现可以与拼成四边形，且拼的过程中点不与点重合，直接写出拼成四边形时的长． 13．（23-24八年级下·山东青岛·期中）如图，小颖同学在边长为1的小正方形组成的网格中，以为基本图形，绘制平面图形，请根据下列要求解答问题． (1)绕点A逆时针旋转______度得到； (2)在图中画出将关于点A中心对称后得到的． (3)在以点A为原点，以所在直线为y轴建立的平面直角坐标系中，若点，请写出它的对称点的坐标为______． 14．（23-24八年级下·山东枣庄·期中）【问题探究】 （1）如何用一条直线将一个中心对称图形分成面积相等的两部分？我们知道圆和长方形都是中心对称图形，由图①可总结规律：一个中心对称图形，______的直线将它分成面积相等的两部分． （2）图②是一个由正方形和圆构成的“组合图形”，用一条直线将图②的阴影部分分成面积相等的两部分．（不写画图过程，保留画图痕迹） 【总结规律】 （3）由两个中心对称图形组合成的图形，______的直线将它分成面积相等的两部分． 【拓展应用】 （4）如图③是一块农田的平面图，要分给两户村民种植（分成面积相等的两部分），请你帮助他们用一条直线分开．（不写画图过程，保留画图痕迹） 15．（22-23八年级下·山东潍坊·期末）材料：“八年级下册课本第187页例2：四边形是一块正方形的土地，要在这块土地上修建两条笔直的、互相垂直的小路，把这块土地分成面积相等的四部分．你有哪些不同的方案？画出图形，并说明理由．”    小亮在学习了上述解决方案后，发现三种分割方案的图形都是中心对称图形．这对于他创作数学社团图标注入了灵感，经过思考，小亮设计了一个中心对称图形的社团图标，如图所示．已知O为正方形的对称中心，为的直径，连接，． (1)请你说明此图标是中心对称图形； (2)若，则，，三者满足．请证明． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$