专题28.3 锐角三角函数（3大考点10类题型）（全章中考真题分类专题）-2024-2025学年九年级数学下册基础知识专项突破讲与练（人教版）

专题28.3 锐角三角函数（3大考点10类题型）（全章中考真题分类专题） 锐角三角函数是平面几何中重要的内容之一,既可以独立命题,也可以与其他知识联系在一起,起着工具的作用同时也是继续高中数学学习的一个基础.所以在中考试题中所占比例比较大,或是填空题、选择题或简单计算题,难度不是很大,属于得分题:或是出现在大题中,难度相对较大,对考生的要求比较高,目的是考察学生的逻辑思维能力和严密的推理能力.本专题按难度分为基础篇、综合篇、压轴篇精选部分中考真题，供参考使用！ 题型目录 【考点一】基础篇 【题型1】正弦、余弦、正切的定义..............................................1 【题型2】30°、45°、60°角的三角函数值......................................2 【题型3】解直角三角形........................................................3 【题型4】用三角函数解决直角三角形有关的简单实际问题..........................4 【考点二】综合篇 【题型5】考察正弦、余弦、正切的定义（求函数值）..............................5 【题型6】考察正弦、余弦、正切的定义（求线段长）..............................6 【题型7】考察正弦、余弦、正切的定义（反比例数中的三角函数）..................7 【题型8】考察三角函数解决与直角三角形有关的简单实际问题......................9 【考点三】压轴篇 【题型9】考察正弦、余弦、正切的定义.........................................10 【题型10】解直角三角形......................................................10 第二部分【题型展示与方法点拨】 【考点一】基础篇 【题型1】考察正弦、余弦、正切的定义 1．（2023·四川攀枝花·中考真题）中，、、的对边分别为、、．已知，，，则的值为（    ） A． B． C． D． 2．（2024·吉林长春·中考真题）2024年5月29日16时12分，“长春净月一号”卫星搭乘谷神星一号火箭在黄海海域成功发射．当火箭上升到点时，位于海平面处的雷达测得点到点的距离为千米，仰角为，则此时火箭距海平面的高度为（　　）      A．千米 B．千米 C．千米 D．千米 3．（2021·浙江·中考真题）如图，已知在中，，则的值是 ． 4．（2019·浙江杭州·中考真题）在直角三角形ABC中，若，则 . 5．（2023·江苏·中考真题）如图，在中，，点D在边AB上，连接CD．若，，则 ．    【题型2】考察30°、45°、60°角的三角函数值并能利用这些值进行简单计算 6． （2024·黑龙江齐齐哈尔·中考真题） （1）计算： （2）分解因式： 7．（2024·四川成都·中考真题） （1）计算：． （2）解不等式组： 8．（2023·山东日照·中考真题） （1）化简：； （2）先化简，再求值：，其中． 9．（2022·四川内江·中考真题） （1）计算：； （2）先化简，再求值：（）÷，其中a＝﹣，b＝+4． 【题型3】解直角三角形 10．（2024·甘肃临夏·中考真题）如图，在中，，，则的长是（    ） A．3 B．6 C．8 D．9 11．（2023·浙江杭州·中考真题）第二十四届国际数学家大会会徽的设计基础是1700多年前中国古代数学家赵爽的“弦图”．如图，在由四个全等的直角三角形（）和中间一个小正方形拼成的大正方形中，，连接．设，若正方形与正方形的面积之比为，则（    ）    A．5 B．4 C．3 D．2 12．（2023·青海西宁·中考真题）在中，，，，则的长约为 ．（结果精确到．参考数据：，，） 13．（2013·江苏南通·中考真题）如图，在中，是斜边上的中线，已知，，则的值是 ．    【题型4】考察三角函数解决与直角三角形有关的简单实际问题 14．（2020·吉林长春·中考真题）比萨斜塔是意大利的著名建筑，其示意图如图所示．设塔顶中心点为点，塔身中心线与垂直中心线的夹角为，过点向垂直中心线引垂线，垂足为点．通过测量可得、、的长度，利用测量所得的数据计算的三角函数值，进而可求的大小．下列关系式正确的是（    ） A． B． C． D． 15．（2019·山东·中考真题）如图，甲乙两楼相距30米，乙楼高度为36米，自甲楼顶A 处看乙楼楼顶B处仰角为30°，则甲楼高度为（  ） A．11米 B．（36﹣15）米 C．15米 D．（36﹣10）米 16．（2020·湖北省直辖县级单位·中考真题）如图，海中有个小岛A，一艘轮船由西向东航行，在点B处测得小岛A位于它的东北方向，此时轮船与小岛相距20海里，继续航行至点D处，测得小岛A在它的北偏西60°方向，此时轮船与小岛的距离为 海里． 17．（2019·辽宁葫芦岛·中考真题）如图，河的两岸a，b互相平行，点A，B，C是河岸b上的三点，点P是河岸a上的一个建筑物，某人在河岸b上的A处测得∠PAB＝30°，在B处测得∠PBC＝75°，若AB＝80米，则河两岸之间的距离约为 米．（≈1.73，结果精确到0.1米） 【考点二】综合篇 【题型5】考察正弦、余弦、正切的定义（求函数值） 18．（2024·内蒙古包头·中考真题）如图，在矩形中，是边上两点，且，连接与相交于点，连接．若，，则的值为（    ） A． B． C． D． 19．（2024·四川眉山·中考真题）如图，在矩形中，，，点在上，把沿折叠，点恰好落在边上的点处，则的值为（    ） A． B． C． D． 20．（2024·江苏常州·中考真题）如图，在矩形中，对角线的垂直平分线分别交边于点E、F．若，，则 ． 21．（2024·四川雅安·中考真题）如图，把矩形纸片沿对角线折叠，使点C落在点E处，与交于点F，若，，则的值是 ． 【题型6】考察正弦、余弦、正切的定义（求线段长） 22．（2023·江苏扬州·中考真题）在中，，，若是锐角三角形，则满足条件的长可以是（   ） A．1 B．2 C．6 D．8 23．（2022·内蒙古鄂尔多斯·中考真题）如图，菱形ABCD中，AB＝2，∠ABC＝60°，矩形BEFG的边EF经过点C，且点G在边AD上，若BG＝4，则BE的长为（　　） A． B． C． D．3 24．（2024·山东青岛·中考真题）如图，中，，以为直径的半圆O分别交于点D，E，过点E作半圆O的切线，交于点M，交的延长线于点N．若，，则半径的长为 ． 25．（2024·山东泰安·中考真题）如图，是的直径，是的切线，点为上任意一点，点为的中点，连接交于点，延长与相交于点，若，，则的长为 ．    26．（2023·湖南娄底·中考真题）如图，点E在矩形的边上，将沿折叠，点D恰好落在边上的点F处，若．，则 ．    【题型7】考察正弦、余弦、正切的定义（反比例数中的三角函数） 27．（2023·内蒙古·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为与关于直线对称，反比例函数的图象与交于点．若，则的值为（    ）    A． B． C． D． 28．（2019·山东潍坊·中考真题）如图，中，，顶点，分别在反比例函数与的图象上，则的值为 ． 29．（2024·江苏盐城·中考真题）小明在草稿纸上画了某反比例函数在第二象限内的图像，并把矩形直尺放在上面，如图． 请根据图中信息，求： （1）反比例函数表达式； （2）点C坐标． 30．（2024·山东烟台·中考真题）如图，正比例函数与反比例函数的图象交于点，将正比例函数图象向下平移个单位后，与反比例函数图象在第一、三象限交于点B，C，与x轴，y轴交于点D，E，且满足．过点B作轴，垂足为点F，G为x轴上一点，直线与关于直线成轴对称，连接． （1）求反比例函数的表达式； （2）求n的值及的面积． 31．（2023·辽宁营口·中考真题）如图，点A在反比例函数的图象上，轴于点B，，． （1）求反比例函数的解析式； （2）点C在这个反比例函数图象上，连接并延长交x轴于点D，且，求点C的坐标． 【题型8】考察三角函数解决与直角三角形有关的简单实际问题 32．（2024·宁夏·中考真题）如图，是的外接圆，为直径，点是的内心，连接并延长交于点，过点作的切线交的延长线于点． （1）求证：； （2）连接，若的半径为2，，求阴影部分的面积（结果用含的式子表示）． 33．（2024·江苏徐州·中考真题）如图，在徐州云龙湖旅游景区，点为“彭城风华”观演场地，点为“水族展览馆”，点为“徐州汉画像石艺术馆”．已知，，．求“彭城风华”观演场地与“水族展览馆”之间的距离（精确到）．（参考数据：，） 34．（2024·四川巴中·中考真题）某兴趣小组开展了测量电线塔高度的实践活动．如图所示，斜坡的坡度，，在处测得电线塔顶部的仰角为，在处测得电线塔顶部的仰角为． （1）求点离水平地面的高度． （2）求电线塔的高度（结果保留根号）． 【考点三】压轴篇 【题型9】考察正弦、余弦、正切的定义 35．（2024·四川泸州·中考真题）宽与长的比是的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形给我们以协调、匀称的美感．如图，把黄金矩形沿对角线翻折，点落在点处，交于点，则的值为（    ） A． B． C． D． 36．（2023·四川自贡·中考真题）如图，分别经过原点和点的动直线，夹角，点是中点，连接，则的最大值是（    ）    A． B． C． D． 【题型10】解直角三角形 37．（2024·黑龙江牡丹江·中考真题）如图，在正方形中，E是延长线上一点，分别交于点F、M，过点F作，分别交、于点N、P，连接．下列四个结论：①；②；③若P是中点，，则；④；⑤若，则．其中正确的结论是 ． 38．（2024·江苏宿迁·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点A在直线上，且点A的横坐标为4，直角三角板的直角顶点C落在x轴上，一条直角边经过点A，另一条直角边与直线交于点B，当点C在x轴上移动时，线段的最小值为 ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题28.3 锐角三角函数（3大考点10类题型）（全章中考真题分类专题） 锐角三角函数是平面几何中重要的内容之一,既可以独立命题,也可以与其他知识联系在一起,起着工具的作用同时也是继续高中数学学习的一个基础.所以在中考试题中所占比例比较大,或是填空题、选择题或简单计算题,难度不是很大,属于得分题:或是出现在大题中,难度相对较大,对考生的要求比较高,目的是考察学生的逻辑思维能力和严密的推理能力.本专题按难度分为基础篇、综合篇、压轴篇精选部分中考真题，供参考使用！ 题型目录 【考点一】基础篇 【题型1】正弦、余弦、正切的定义..............................................1 【题型2】30°、45°、60°角的三角函数值......................................4 【题型3】解直角三角形........................................................7 【题型4】用三角函数解决直角三角形有关的简单实际问题..........................9 【考点二】综合篇 【题型5】考察正弦、余弦、正切的定义（求函数值）.............................13 【题型6】考察正弦、余弦、正切的定义（求线段长）.............................17 【题型7】考察正弦、余弦、正切的定义（反比例数中的三角函数）.................22 【题型8】考察三角函数解决与直角三角形有关的简单实际问题.....................29 【考点三】压轴篇 【题型9】考察正弦、余弦、正切的定义.........................................34 【题型10】解直角三角形......................................................36 第二部分【题型展示与方法点拨】 【考点一】基础篇 【题型1】考察正弦、余弦、正切的定义 1．（2023·四川攀枝花·中考真题）中，、、的对边分别为、、．已知，，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先判断是直角三角形，再根据余弦的定义可直接进行求解． 解：∵，，， ∴， ∴， ∴； 故选C． 【点拨】本题主要考查余弦，熟练掌握求一个角的余弦值是解题的关键． 2．（2024·吉林长春·中考真题）2024年5月29日16时12分，“长春净月一号”卫星搭乘谷神星一号火箭在黄海海域成功发射．当火箭上升到点时，位于海平面处的雷达测得点到点的距离为千米，仰角为，则此时火箭距海平面的高度为（　　）      A．千米 B．千米 C．千米 D．千米 【答案】A 【分析】本题考查解直角三角形，熟记锐角三角函数的定义是解题关键，根据锐角的正弦函数的定义即可求解 解：由题意得： ∴千米 故选：A 3．（2021·浙江·中考真题）如图，已知在中，，则的值是 ． 【答案】 【分析】在直角三角形中，锐角的正弦=锐角的对边：直角三角形的斜边，根据定义直接可得答案． 解： ， 故答案为： 【点拨】本题考查的是锐角的正弦的含义，掌握锐角的正弦的定义是解题的关键． 4．（2019·浙江杭州·中考真题）在直角三角形ABC中，若，则 . 【答案】或. 【分析】对AC分两种情况讨论，根据三角函数即可得到答案. 解：如图所示，分两种情况讨论，AC可以是直角边，也可以是斜边 ①当AC是斜边，设AB＝x，则AC＝2x，由勾股定理可得： BC＝x，则 ②当AC是直角边，设AB＝x，则AC＝2x，由勾股定理可得： BC＝x，则 综上所述，或. 【点拨】本题考查三角函数，解题的关键是对AC分情况讨论. 5．（2023·江苏·中考真题）如图，在中，，点D在边AB上，连接CD．若，，则 ．    【答案】/ 【分析】由题意可设，则，，在中求得，在中求出答案即可． 解： ，， 设，则，， 在中，由勾股定理得：， 在中，． 【点拨】本题考查的是求锐角三角函数，解题关键是根据比值设未知数，表示出边长从而求出锐角三角函数值． 【题型2】考察30°、45°、60°角的三角函数值并能利用这些值进行简单计算 6．（2024·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）（1）计算： （2）分解因式： 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了实数的混合运算，因式分解； （1）根据算术平方根，特殊角的三角函数值，零指数幂，负整数指数幂，进行计算即可求解； （2）先提公因式，进而根据平方差公式因式分解，即可求解． 解：（1）解：原式 ； （2）解：原式 7．（2024·四川成都·中考真题）（1）计算：． （2）解不等式组： 【答案】（1）5；（2） 【分析】本题考查实数的混合运算、解一元一次不等式组，熟练掌握相关运算法则并正确求解是解答的关键． （1）先计算算术平方根、特殊角的三角函数值、零指数幂、化简绝对值，然后加减运算即可； （2）先求得每个不等式的解集，再求得它们的公共部分即为不等式组的解集． 解：（1） ； （2）解不等式①，得， 解不等式②，得， ∴该不等式组的解集为． 8．（2023·山东日照·中考真题）（1）化简：； （2）先化简，再求值：，其中． 【答案】（1）；（2）， 【分析】（1）根据平方根，绝对值，负整数指数幂，特殊角的三角函数，实数的混合运算法则进行计算即可； （2）根据分式的性质进行化简，再将代入求解即可． 解：（1）解： （2）解： 将代入可得，原式． 【点拨】本题考查了平方根，绝对值，负整数指数幂，特殊角的三角函数，实数的混合运算法则，分式的化简求值等，熟练掌握以上运算法则是解题的关键． 9．（2022·四川内江·中考真题）（1）计算：； （2）先化简，再求值：（）÷，其中a＝﹣，b＝+4． 【答案】（1）2；（2）， 【分析】（1）首先代入特殊角的三角函数值，进行乘方、绝对值运算，再进行乘法和加法运算； （2）首先把分式化简，再代入a和b的值计算． 解：（1）原式＝ ＝+2﹣ ＝2； （2）原式＝[]• ＝ ＝． 当a＝﹣，b＝+4时， 原式＝ ． 【点拨】本题考查二次根式的混合运算、分式的化简求值、特殊角的三角函数值以及负整数指数幂的运算，掌握解题步骤是解决问题的关键． 【题型3】解直角三角形 10．（2024·甘肃临夏·中考真题）如图，在中，，，则的长是（    ） A．3 B．6 C．8 D．9 【答案】B 【分析】本题考查解直角三角形，等腰三角形的性质，勾股定理．正确作出辅助线是解题关键．过点A作于点D．由等腰三角形三线合一的性质得出．根据，可求出，最后根据勾股定理可求出，即得出． 解：如图，过点A作于点D． ∵， ∴． 在中，， ∴， ∴， ∴． 故选B． 11．（2023·浙江杭州·中考真题）第二十四届国际数学家大会会徽的设计基础是1700多年前中国古代数学家赵爽的“弦图”．如图，在由四个全等的直角三角形（）和中间一个小正方形拼成的大正方形中，，连接．设，若正方形与正方形的面积之比为，则（    ）    A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】C 【分析】设，，首先根据得到，然后表示出正方形的面积为，正方形的面积为，最后利用正方形与正方形的面积之比为求解即可． 解：设，， ∵，， ∴，即， ∴，整理得， ∴， ∵， ∴， ∴正方形的面积为， ∵正方形的面积为， ∵正方形与正方形的面积之比为， ∴， ∴解得． 故选：C． 【点拨】此题考查了勾股定理，解直角三角形，赵爽“弦图”等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点． 12．（2023·青海西宁·中考真题）在中，，，，则的长约为 ．（结果精确到．参考数据：，，） 【答案】 【分析】根据锐角三角函数的定义进行计算即可． 解：在中，，，，    ∵, ∴， 则， 故选： 【点拨】此题考查了解直角三角形，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 13．（2013·江苏南通·中考真题）如图，在中，是斜边上的中线，已知，，则的值是 ．    【答案】/ 【分析】根据直角三角形斜边上中线性质求出，根据锐角三角函数的定义得出，代入求出即可． 解：∵在中，是斜边上的中线，， ∴， ∵， ∴， 故答案为． 【点拨】本题考查了直角三角形的性质、锐角三角函数定义的应用，解此题的关键是求出的长，是一道简单的题目． 【题型4】考察三角函数解决与直角三角形有关的简单实际问题 14．（2020·吉林长春·中考真题）比萨斜塔是意大利的著名建筑，其示意图如图所示．设塔顶中心点为点，塔身中心线与垂直中心线的夹角为，过点向垂直中心线引垂线，垂足为点．通过测量可得、、的长度，利用测量所得的数据计算的三角函数值，进而可求的大小．下列关系式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】确定所在的直角三角形，找出直角，然后根据三角函数的定义求解； 解：由题可知，△ABD是直角三角形，， ，,． 选项B、C、D都是错误的， 故答案选A． 【点拨】本题主要考查了解直角三角形中三角函数的定义理解，准确理解是解题的关键． 15．（2019·山东·中考真题）如图，甲乙两楼相距30米，乙楼高度为36米，自甲楼顶A 处看乙楼楼顶B处仰角为30°，则甲楼高度为（  ） A．11米 B．（36﹣15）米 C．15米 D．（36﹣10）米 【答案】D 【分析】分析题意可得：过点A作AE⊥BD，交BD于点E；可构造Rt△ABE，利用已知条件可求BE；而乙楼高AC＝ED＝BD﹣BE． 解：过点A作AE⊥BD，交BD于点E， 在Rt△ABE中，AE＝30米，∠BAE＝30°， ∴BE＝30×tan30°＝10（米）， ∴AC＝ED＝BD﹣BE＝（36﹣10）（米）． ∴甲楼高为（36﹣10）米． 故选D． 【点拨】此题主要考查三角函数的应用，解题的关键是熟知特殊角的三角函数值. 16．（2020·湖北省直辖县级单位·中考真题）如图，海中有个小岛A，一艘轮船由西向东航行，在点B处测得小岛A位于它的东北方向，此时轮船与小岛相距20海里，继续航行至点D处，测得小岛A在它的北偏西60°方向，此时轮船与小岛的距离为 海里． 【答案】20 【分析】过点A作AC⊥BD，根据方位角及三角函数即可求解． 解：如图，过点A作AC⊥BD， 依题意可得∠ABC=45° ∴△ABC是等腰直角三角形，AB=20（海里） ∴AC=BC=ABsin45°=10（海里） 在Rt△ACD中，∠ADC=90°-60°=30° ∴AD=2AC=20 （海里） 故答案为：20． 【点拨】此题主要考查解直角三角形，解题的关键是熟知特殊角的三角函数值． 17．（2019·辽宁葫芦岛·中考真题）如图，河的两岸a，b互相平行，点A，B，C是河岸b上的三点，点P是河岸a上的一个建筑物，某人在河岸b上的A处测得∠PAB＝30°，在B处测得∠PBC＝75°，若AB＝80米，则河两岸之间的距离约为 米．（≈1.73，结果精确到0.1米） 【答案】54.6. 【分析】过点A作AE⊥a于点E，过点B作BD⊥PA于点D，然后锐角三角函数的定义分别求出AD、PD后即可求出两岸之间的距离． 解： 过点A作AE⊥a于点E，过点B作BD⊥PA于点D， ∵∠PBC＝75°，∠PAB＝30°， ∴∠DPB＝45°， ∵AB＝80， ∴BD＝40，， ∴PD＝DB＝40， ∴， ∵a∥b， ∴∠EPA＝∠PAB＝30°， ∴， 故答案为54.6. 【点拨】本题考查解直角三角形，解题的关键是熟练运用含30度角的直角三角形性质以及锐角三角函数的定义，本题属于中等题型． 【考点二】综合篇 【题型5】考察正弦、余弦、正切的定义（求函数值） 18．（2024·内蒙古包头·中考真题）如图，在矩形中，是边上两点，且，连接与相交于点，连接．若，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查矩形的性质，相似三角形的判定和性质，求角的正弦值：过点作，证明，得到，再证明，分别求出的长，进而求出的长，勾股定理求出的长，再利用正弦的定义，求解即可． 解：∵矩形，，，， ∴，， ∴，， ∴， ∴ 过点作，则：， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴； 故选A． 19．（2024·四川眉山·中考真题）如图，在矩形中，，，点在上，把沿折叠，点恰好落在边上的点处，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，求角的三角函数等知识点，正确利用折叠的性质是解题的关键． 根据折叠的性质，可求得，，从而求得，，在中，由勾股定理，得，即可求得结果． 解：四边形是矩形， ，， 把沿折叠，点恰好落在边上的点处， ，， ， ， 在中， ， 由勾股定理，得， ， ， ， ， 故选：A． 20．（2024·江苏常州·中考真题）如图，在矩形中，对角线的垂直平分线分别交边于点E、F．若，，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查三角形相似的判定和性质以及勾股定理，熟练掌握三角形的判定和性质是解题的关键．设与相交于点，证明，根据相似的性质进行计算即可； 解：的垂直平分线分别交边于点E、F． ，， ， ， ， ， ，，， ， ， ， 令， ， 解得或（舍去）， ． 故答案为：． 21．（2024·四川雅安·中考真题）如图，把矩形纸片沿对角线折叠，使点C落在点E处，与交于点F，若，，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查矩形的性质、折叠的性质、勾股定理等知识，熟练掌握相关知识点是解题关键． 折叠问题优先考虑利用勾股定理列方程，证，再利用求出边长，从而求解即可． 解：∵折叠， ， ∵四边形是矩形， ， ， ， ， ， 在中，， ， 解得， ， 故答案为：． 【题型6】考察正弦、余弦、正切的定义（求线段长） 22．（2023·江苏扬州·中考真题）在中，，，若是锐角三角形，则满足条件的长可以是（   ） A．1 B．2 C．6 D．8 【答案】C 【分析】如图，作，，则，，，，由是锐角三角形，可得，即，然后作答即可． 解：如图，作，，交的延长线于点E    ∴，， ∴，， ∵是锐角三角形， ∴，即， ∴满足条件的长可以是6， 故选：C． 【点拨】本题考查了余弦，锐角三角形．解题的关键在于确定的取值范围． 23．（2022·内蒙古鄂尔多斯·中考真题）如图，菱形ABCD中，AB＝2，∠ABC＝60°，矩形BEFG的边EF经过点C，且点G在边AD上，若BG＝4，则BE的长为（　　） A． B． C． D．3 【答案】B 【分析】过点G作GM⊥BC于点M，过点C作CN⊥AD于点N，由菱形的性质得出AB＝BC＝CD＝ ，AD＝BC，∠ABC＝∠D＝60°，AD∥BC，由直角三角形的性质求出MG＝3，证明△GBM∽△BCE，由相似三角形的性质得出 ，则可求出答案． 解：过点G作GM⊥BC于点M，过点C作CN⊥AD于点N， ∵四边形ABCD为菱形， ∴AB＝BC＝CD＝，AD＝BC，∠ABC＝∠D＝60°，AD∥BC， ∴∠MGN＝90°， ∴四边形GMCN为矩形， ∴GM＝CN， 在△CDN中，∠D＝60°，CD＝， ∴CN＝CD•sin60°＝， ∴MG＝3， ∵四边形BEFG为矩形， ∴∠E＝90°，BG∥EF， ∴∠BCE＝∠GBM， 又∵∠E＝∠BMG， ∴△GBM∽△BCE， ∴， ∴， ∴BE＝ ， 故选：B． 【点拨】本题考查了菱形的性质，直角三角形的性质，矩形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握菱形的性质是解题的关键． 24．（2024·山东青岛·中考真题）如图，中，，以为直径的半圆O分别交于点D，E，过点E作半圆O的切线，交于点M，交的延长线于点N．若，，则半径的长为 ． 【答案】6 【分析】本题主要考查了切线的性质，解直角三角形，等边对等角，平行线的性质与判定等等，解题的关键在于证明，根据等边对等角推出，则可证明得到，再由切线的性质得到，则解求出的长即可． 解：如图所示，连接， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵是的切线， ∴， ∴在中，， ∴， ∴半径的长为6， 故答案为：． 25．（2024·山东泰安·中考真题）如图，是的直径，是的切线，点为上任意一点，点为的中点，连接交于点，延长与相交于点，若，，则的长为 ．    【答案】 【分析】本题主要考查相似三角形的判定和性质、切线的性质、圆周角定理等知识，熟练掌握相关知识是解题关键． 先证可得从而得到，求得，再运用勾股定理可得，再根据圆周角定理以及角的和差可得，最后根据等角对等边即可解答． 解：∵是的直径， ∴， ∵是的切线， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点为的中点， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴． 故答案为：． 26．（2023·湖南娄底·中考真题）如图，点E在矩形的边上，将沿折叠，点D恰好落在边上的点F处，若．，则 ．    【答案】5 【分析】利用矩形的性质及折叠的性质可得，，可得，，设，则，利用勾股定理可得，进而可得结果． 解：∵四边形是矩形， ∴，，， 根据折叠可知，可知，， 则，在中，，则， ∴，则， 设，则， 在中，，即：， 解得：， 即：， 故答案为：5． 【点拨】本题考查矩形的性质、折叠的性质、解直角三角形，灵活运用折叠的性质得到相等线段是解决问题的关键． 【题型7】考察正弦、余弦、正切的定义（反比例数中的三角函数） 27．（2023·内蒙古·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为与关于直线对称，反比例函数的图象与交于点．若，则的值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】过点B作轴，根据题意得出，再由特殊角的三角函数及等腰三角形的判定和性质得出，，利用各角之间的关系，确定，B，D三点共线，结合图形确定，然后代入反比例函数解析式即可． 解：如图所示，过点B作轴，    ∵， ∴， ∴，， ∴，， ∴，， ∵与关于直线对称， ∴， ∴， ∴，B，D三点共线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 将其代入得：， 故选：A． 【点拨】题目主要考查等腰三角形的判定和性质，特殊角的三角函数及反比例函数的确定，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键． 28．（2019·山东潍坊·中考真题）如图，中，，顶点，分别在反比例函数与的图象上，则的值为 ． 【答案】． 【分析】过作轴，过作轴于，于是得到，根据反比例函数的性质得到，，根据相似三角形的性质得到，求得，根据三角函数的定义即可得到结论． 解：过作轴，过作轴于， 则， ∵顶点，分别在反比例函数与的图象上， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为． 【点拨】本题考查了相似三角形的判定与性质、反比例函数的性质以及直角三角形的性质．解题时注意掌握数形结合思想的应用，注意掌握辅助线的作法． 29．（2024·江苏盐城·中考真题）小明在草稿纸上画了某反比例函数在第二象限内的图像，并把矩形直尺放在上面，如图． 请根据图中信息，求： （1）反比例函数表达式； （2）点C坐标． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查反比例函数、锐角三角函数： （1）设反比例函数表达式为，将点A的坐标代入表达式求出k值即可； （2）设点C的坐标为，则，，根据平行线的性质得，进而根据求出m的值即可． 解：（1）解：由图可知点A的坐标为， 设反比例函数表达式为， 将代入，得：，解得， 因此反比例函数表达式为； （2）解：如图，作轴于点E，轴于点D， 由图可得，， 设点C的坐标为，则，， ， 矩形直尺对边平行， ， ， ，即， 解得或， 点C在第二象限， ，， 点C坐标为． 30．（2024·山东烟台·中考真题）如图，正比例函数与反比例函数的图象交于点，将正比例函数图象向下平移个单位后，与反比例函数图象在第一、三象限交于点B，C，与x轴，y轴交于点D，E，且满足．过点B作轴，垂足为点F，G为x轴上一点，直线与关于直线成轴对称，连接． （1）求反比例函数的表达式； （2）求n的值及的面积． 【答案】（1）；（2）， 【分析】本题考查反比例函数与一次函数的综合应用： （1）先求出的值，进而求出反比例函数的解析式即可； （2）根据平移规则，得到平移后的解析式，联立两个解析式，表示出的坐标，过点，作轴的平行线交轴于点,根据，进而求出的值，进而根据对称性得出，勾股定理求得，进而求得的长，即可求解． 解：（1）解：∵正比例函数与反比例函数的图象交于点， ∴， ∴， ∴； ∴； （2）∵ ∴ ∴ ∴ ∵将正比例函数图象向下平移个单位， ∴平移后的解析式为：， 如图所示，过点，作轴的平行线交轴于点，则，是等腰直角三角形， ∴ ∴ ∴ 设，则 ∴， ∴， ∵，，在上 ∴ 解得：（负值舍去） ∴， ∴的解析式为， 当时，，则， ∴，，则 ∵直线与关于直线成轴对称，轴， ∴，和是等腰直角三角形， ∴ ∴， ∵和是等腰直角三角形， ∴ ∴ 31．（2023·辽宁营口·中考真题）如图，点A在反比例函数的图象上，轴于点B，，． （1）求反比例函数的解析式； （2）点C在这个反比例函数图象上，连接并延长交x轴于点D，且，求点C的坐标． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）利用正切值，求出，进而得到，即可求出反比例函数的解析式； （2）过点A作轴于点E，易证四边形是矩形，得到，，再证明是等腰直角三角形，得到，进而得到，然后利用待定系数法求出直线的解析式为，联立反比例函数和一次函数，即可求出点C的坐标． 解：（1）解：轴， ， ， ， ， ， ， 点A在反比例函数的图象上， ， 反比例函数的解析式为； （2）解：如图，过点A作轴于点E， ， 四边形是矩形， ，， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， 设直线的解析式为， ，解得：， 直线的解析式为， 点A、C是反比例函数和一次函数的交点， 联立，解得：或， ， ．    【点拨】本题是反比例函数综合题，考查了锐角三角函数值，矩形的判定和性质，待定系数法求函数解析式，反比例函数和一次函数交点问题等知识，求出直线的解析式是解题关键． 【题型8】考察三角函数解决与直角三角形有关的简单实际问题 32．（2024·宁夏·中考真题）如图，是的外接圆，为直径，点是的内心，连接并延长交于点，过点作的切线交的延长线于点． （1）求证：； （2）连接，若的半径为2，，求阴影部分的面积（结果用含的式子表示）． 【答案】（1）见分析；（2） 【分析】本题考查了三角形的内切圆与内心，三角函数的定义，圆周角定理，三角形的外接圆与外心，扇形面积的计算． （1）连接，交于点G，根据等腰三角形的性质得到，由D为的内心，得到，求得，根据圆周角定理得到∠，求得，根据切线的性质得到，根据平行线的判定定理得到结论； （2）根据三角函数的定义得到，求得，求得，根据扇形和三角形的面积公式即可得到结论． 解：（1）证明：连接，交于点， ， ， 又为的内心， ， ， ∴， 又为的直径， ， 又为的切线且为的半径， ， ， ∴； （2）解：， ， ， ， ， ． 33．（2024·江苏徐州·中考真题）如图，在徐州云龙湖旅游景区，点为“彭城风华”观演场地，点为“水族展览馆”，点为“徐州汉画像石艺术馆”．已知，，．求“彭城风华”观演场地与“水族展览馆”之间的距离（精确到）．（参考数据：，） 【答案】“彭城风华”观演场地与“水族展览馆”之间的距离约是 【分析】本题考查解直角三角形的应用，关键是过作于，构造包含特殊角的直角三角形，用解直角三角形的方法来解决问题． 过作于，设，由含度角的直角三角形的性质得到，由锐角的正切定义得到，判定是等腰直角三角形，因此，得到，求出，即可得到的长． 解：过作于， 设， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴． 答：“彭城风华”观演场地与“水族展览馆”之间的距离约是． 34．（2024·四川巴中·中考真题）某兴趣小组开展了测量电线塔高度的实践活动．如图所示，斜坡的坡度，，在处测得电线塔顶部的仰角为，在处测得电线塔顶部的仰角为． （1）求点离水平地面的高度． （2）求电线塔的高度（结果保留根号）． 【答案】（1）；（2）电线塔的高度． 【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用． （1）由斜坡的坡度，求得，利用正切函数的定义得到，据此求解即可； （2）作于点，设，先解得到，解得到米，进而得到方程，解方程即可得到答案． 解：（1）解：∵斜坡的坡度， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； （2）解：作于点，则四边形是矩形，，， 设， 在中，， ∴， 在中，， 在中，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ 答：电线塔的高度． 【考点三】压轴篇 【题型9】考察正弦、余弦、正切的定义 35．（2024·四川泸州·中考真题）宽与长的比是的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形给我们以协调、匀称的美感．如图，把黄金矩形沿对角线翻折，点落在点处，交于点，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了折叠的性质，矩形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，三角函数等知识点，利用黄金比例表示各线段的长是解题的关键． 设宽，根据比例表示长，证明，在中，利用勾股定理即可求得结果． 解：设宽为， ∵宽与长的比是， ∴长为：， 由折叠的性质可知，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 设， 在中，， 变形得：， ，， ∴， 故选A． 36．（2023·四川自贡·中考真题）如图，分别经过原点和点的动直线，夹角，点是中点，连接，则的最大值是（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据已知条件，，得出的轨迹是圆，取点，则是的中位线，则求得的正弦的最大值即可求解，当与相切时，最大，则正弦值最大，据此即可求解． 解：如图所示，以为边向上作等边，过点作轴于点，则， 则的横坐标为，纵坐标为， ∴， 取点，则是的中位线， ∴， ∵， ∴点在半径为的上运动， ∵是的中位线， ∴， ∴，当与相切时，最大，则正弦值最大， 在中，， 过点作轴，过点作于点，过点作于点， 则 ∵与相切， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ 设，, 则 ∴ ∴ ∴ 解得： ∴ ∴的最大值为， 故选：A． 【点拨】本题考查了相似三角形的性质与判定，求正弦，等边三角形的性质。圆周角定理，得出点的轨迹是解题的关键． 【题型10】解直角三角形 37．（2024·黑龙江牡丹江·中考真题）如图，在正方形中，E是延长线上一点，分别交于点F、M，过点F作，分别交、于点N、P，连接．下列四个结论：①；②；③若P是中点，，则；④；⑤若，则．其中正确的结论是 ． 【答案】①②③⑤ 【分析】如图1，作于，则四边形是矩形，证明，则，可判断①的正误；如图2，作交于，连接，证明，则，，由，，可得，，，证明，则，由勾股定理得，，由，可得，可判断②的正误；如图3，连接，由勾股定理得，，，可求，设，则，，由勾股定理得，，由，可得，整理得，，可求满足要求的解为，则，，由，可得，可求，可判断③的正误；由题意知，，不相似，，可判断④的正误；由设，，，则，，，，证明，则，证明，则，即，可求，同理，，则，即，同理，，则，即，可得，将代入得，，整理得，，可得，，则，可判断⑤的正误． 解：∵正方形， ∴，，， 如图1，作于，则四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴，①正确，故符合要求； 如图2，作交于，连接， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 由勾股定理得，， ∵， ∴，②正确，故符合要求； ∵P是中点，， ∴， 如图3，连接， 由勾股定理得，，， 解得，， 设，则，， 由勾股定理得，， ∵， ∴，整理得，， 解得，或（舍去）， ∴，， ∵， ∴， 解得，，③正确，故符合要求； 由题意知，， ∴不相似，，④错误，故不符合要求； ∵， ∴，， 设，，，则，，，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， 解得，， 同理，， ∴，即， 同理，， ∴，即， ∴， 将代入得，，整理得，， 解得，， ∴，⑤正确，故符合要求； 故答案为：①②③⑤． 【点拨】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等角对等边，勾股定理，正弦，余弦，相似三角形的判定与性质．熟练掌握正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等角对等边，勾股定理，正弦，余弦，相似三角形的判定与性质是解题的关键． 38．（2024·江苏宿迁·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点A在直线上，且点A的横坐标为4，直角三角板的直角顶点C落在x轴上，一条直角边经过点A，另一条直角边与直线交于点B，当点C在x轴上移动时，线段的最小值为 ． 【答案】 【分析】利用一次函数求出点A的坐标，利用勾股定理求出，当点C在x轴上移动时，作与关于对称，且交x轴于点，由对称性质可知，，，当 轴于点时，最短，记此时点C所在位置为，作于点，有，设，则，利用锐角三角函数建立等式求出，证明，再利用相似三角形性质求出，最后根据求解，即可解题． 解：点A在直线上，且点A的横坐标为4， 点A的坐标为， ， 当点C在x轴上移动时，作与关于对称，且交x轴于点， 由对称性质可知，， 当 轴于点时，最短，记此时点C所在位置为， 由对称性质可知，， 作于点，有， 设，则， ， ， 解得， 经检验是方程的解， ，， ， ， ， ， ， 解得， ． 故答案为：． 【点拨】本题考查了轴对称性质，勾股定理，锐角三角函数，相似三角形性质和判定，角平分线性质，垂线段最短，一次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是根据轴对称性质和垂线段最短找出最短的情况． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$