第五章一元一次方程 课件 2024-2025学年华东师大版数学七年级下册

5.2.2　解一元一次方程 第1课时　解含括号的一元一次方程 知识点1　一元一次方程的概念 基础过关全练 1.(2024河南周口沈丘月考)下列方程中,是一元一次方程的 是 (　    ) A.x2=16　　　     B.x-7=3 C. =6　　　    D.x+y+z=9 B 解析    A.未知数的次数是2,所以不是一元一次方程;B.x-7=3 是一元一次方程;C.不是整式方程,所以不是一元一次方 程;D.含有三个未知数,所以不是一元一次方程.故选B. 2.(易错题)(2024吉林长春南关博硕学校月考)已知关于x的方 程(a-1)x|a|-1=0是一元一次方程,则a的值为 (　    ) A.1或-1　　　    B.1　　　    C.-1　　　    D.0 C 解析　由题意得|a|=1,且a-1≠0,解得a=-1,故选C. 易错警示     　　本题的易错之处是因忽略a-1≠0而出错. 知识点2　解含括号的一元一次方程 3.(一题多解)(新独家原创)方程3(x-2)=6的解为 (　    ) A.x=2　　　    B.x=4 　　　    C.x=-4　　　    D.x=-2 B 解析　【解法一】去括号,得3x-6=6,移项,得3x=6+6,合并同 类项,得3x=12,系数化为1,得x=4.故选B. 【解法二】方程两边同时除以3,得x-2=2,所以x=4.故选B. 4.(2024浙江金华金东期末)解方程2-3(2-3x)=2,去括号正确的 是 (　    ) A.2-6-9x=2　　　    B.2-6-3x=2 C.2-6+9x=2　　　    D.2-6+3x=2 C 解析　去括号,得2-6+9x=2.故选C. 5.(2024河南周口沈丘月考)若代数式-x-4与1-2x的值互为相 反数,则x的值是 (　    ) A.-2　　　    B.-1　　　    C.1　　　    D.2 B 解析　∵代数式-x-4与1-2x的值互为相反数, ∴(-x-4)+(1-2x)=0,解得x=-1,故选B. 6.(教材变式)解下列方程: (1)(2024福建厦门思明莲花中学期末)5x-2(x-1)=3. (2)(2024河南周口商水希望中学月考)5x-1=2(x+1). (3)(2024重庆南川期末)5(x-2)-4=4(x-1). (4)(2024山西吕梁临县月考)5(5x+1)=1-3(x-3). (5)(2024四川宜宾叙州龙文学校月考)4x-3(12-x)=6x-2(8-x). 解析    (1)去括号,得5x-2x+2=3,移项,得5x-2x=3-2,合并同类 项,得3x=1,系数化为1,得x= . (2)去括号,得5x-1=2x+2,移项,得5x-2x=2+1,合并同类项,得3x= 3,系数化为1,得x=1. (3)去括号,得5x-10-4=4x-4,移项,得5x-4x=-4+10+4,合并同类 项,得x=10. (4)去括号,得25x+5=1-3x+9,移项,得25x+3x=1+9-5,合并同类 项,得28x=5,系数化为1,得x= . (5)去括号,得4x-36+3x=6x-16+2x,移项、合并同类项,得-x=20, 系数化为1,得x=-20. 7.(教材变式)(2024河南鹤壁月考)已知A=5x-1,B=2-3x. (1)当x取何值时,A=B? (2)当x取何值时,A比B大3? 解析    (1)∵A=5x-1,B=2-3x,A=B,∴5x-1=2-3x,解得x= ,即当x = 时,A=B. (2)∵A=5x-1,B=2-3x,A比B大3,∴5x-1-(2-3x)=3,解得x= ,即当 x= 时,A比B大3. 8.(2024河南周口沈丘月考,4,★☆☆)设M=2x-2,N=2x+3,若2M -N=1,则x的值为 (　    ) A.4　　　    B.0.4　　　    C.-0.4　　　    D.-2.5 能力提升全练 A 解析　∵M=2x-2,N=2x+3,2M-N=1,∴2(2x-2)-(2x+3)=1,去括 号,得4x-4-2x-3=1,移项、合并同类项,得2x=8,系数化为1,得x =4,故选A. 9.(新考法)(2024河南鹤壁部分学校联考月考,9,★★☆)李乐 在做数学作业时,不小心将方程-2×(■-6)=3x+4中■处的一 个常数污染了,通过询问老师,他得知方程的解是x=-2,那么■ 处的常数是 (　    ) A.1　　　    B.5　　　    C.7　　　    D.9 C 解析　本题以方程某个常数被污染为背景,考查方程的解的 意义和解方程,培养学生的探究意识和应变能力. 把x=-2代入-2×(■-6)=3x+4,得-2×(■-6)=3×(-2)+4,∴■=7.故 选C. 10.(2024广东深圳罗湖期末,7,★★☆)若x=3是方程ax+2=-4 的解,则关于x的方程a(1-2x)+3=-1的解是 (　    ) A.x=- 　　　    B.x=1　　　    C.x=-1　　　    D.x=-2 A 解析　由题意可得3a+2=-4,解得a=-2,把a=-2代入a(1-2x)+3= -1,得-2(1-2x)+3=-1,解得x=- ,故选A. 11.(2024陕西宝鸡陇县期末,4,★★☆)关于x的一元一次方程 2xa-2+m=4+2(m-1)的解为x=-2,则m-a的值是 (　    ) A.3　　　    B.-3　　　    C.9　　　    D.-9 D 解析　∵2xa-2+m=4+2(m-1)是关于x的一元一次方程,∴a-2=1, 即a=3,∴2x+m=4+2(m-1),∵2x+m=4+2(m-1)的解为x=-2,∴2× (-2)+m=4+2(m-1),解得m=-6,∴m-a=-6-3=-9.故选D. 12.(新考向·新定义试题)(2024湖北襄阳枣阳期末,18,★☆☆) a,b,c,d为有理数,现规定一种运算: =ad-bc,那么当  =18时,x的值是　　　    . 3 解析　根据题意,得2×5-4(1-x)=18,解得x=3. 13.(新考向·新定义试题)(2024河南信阳淮滨期末,15,★★☆) 规定:用{m}表示大于m的最小整数,例如:{2.6}=3,{8}=9,{-4. 9}=-4.用[m]表示不大于m的最大整数,例如: =3,[-4]=-4,[-1. 5]=-2.如果整数x满足2[x]-5{x-2}=29,那么x=　　　    . -8 解析　∵x为整数,[m]表示不大于m的最大整数,{m}表示大于 m的最小整数,∴[x]=x,{x-2}=x-1,∵2[x]-5{x-2}=29,∴2x-5(x- 1)=29,解得x=-8. 14.(数形结合思想)(2024山东枣庄市中期末,15,★★☆)如图, 数轴上A、B、C三点所表示的数分别是a、6、c,已知AB=8, a+c=0,且c的值是关于x的方程(m-4)x+16=0的解,则m的值为 　　　    .   -4 解析　∵AB=8,∴6-a=8,解得a=-2,∵a+c=0,∴c=2,∵c的值是 关于x的方程(m-4)x+16=0的解,∴2(m-4)+16=0,解得m=-4. 15.(2024山东临沂河东桃园中学月考,19,★★☆)若ab<0,且m = - ,则关于x的一元一次方程(m+2)x+4=2(x+1)的解是     　　    . x=±1 解析　∵ab<0,∴a、b异号,当a>0,b<0时,m= - =1-(-1)=2, 当a<0,b>0时,m= - =-1-1=-2.化简(m+2)x+4=2(x+1),得mx +2=0,当m=2时,2x+2=0,解得x=-1,当m=-2时,-2x+2=0,解得x=1. 综上,关于x的一元一次方程(m+2)x+4=2(x+1)的解是x=±1. 16.(新考向·新定义试题)(2024河北衡水景县期末,19,★★☆) 定义一种新运算:m*n=mn+n,如4*3=4×3+3=15.请解决下列问 题: (1)直接写出结果:2*(-3)=　　　    . (2)若2*(x-1)=x*5,则x=　　　    . -9 -4 解析    (1)根据题中的新定义得原式=2×(-3)-3=-9. (2)根据题中的新定义得2(x-1)+(x-1)=5x+5,去括号,得2x-2+x- 1=5x+5,移项、合并同类项,得-2x=8,系数化为1,得x=-4. 17.(2024河北沧州孟村期末,16,★★☆)解方程:  x-  x-   - =x+ . 解析　去小括号,得 x-  - =x+ , 去括号,得 x- x+ x- - =x+ , 移项、合并同类项,得- x= , 系数化为1,得x=- . 18.(2024吉林长春九台城子街中心学校月考,17,★★☆)已知方程 x-4=2x-8与关于x的方程3a+8=3(x+a)-2a的解相同,求a的值. 解析　解方程x-4=2x-8,得x=4,∵方程x-4=2x-8与关于x的方 程3a+8=3(x+a)-2a的解相同,∴3a+8=3(4+a)-2a,解得a=2. 19.(新考向·新定义试题)(2024湖南衡阳蒸湘华新实验中学月 考,22,★★☆)规定一种新的运算:a※b=2a-3b. (1)求5※(-5)的值. (2)若2※(2※x)=1※x,求x的值. 解析    (1)根据题中的新定义得5※(-5)=2×5-3×(-5)=10+15=25. (2)根据题中的新定义得2※(2※x)=4-3(4-3x),1※x=2-3x, ∴4-3(4-3x)=2-3x,解得x= . 5.2.2　解一元一次方程 第2课时　解含分母的一元一次方程 知识点3　解含分母的一元一次方程 基础过关全练 1.(易错题)(2024河南周口淮阳中学月考)解方程 - = 1,去分母正确的是 (　    ) A.2(x-1)-3(2x+3)=1 B.2(x-1)-3(2x+3)=6 C.2x-1-6x+9=1 D.2x-1-6x+3=6 B 解析　方程两边同时乘6,得2(x-1)-3(2x+3)=6,故选B. 易错警示     　　本题的易错之处是去分母时,方程两边同时乘6时漏乘 不含分母的项“1”. 2.(2024河北廊坊霸州期末)已知x=-2是关于x的方程 =x+ a的解,则a的值是 (　    ) A.1　　　    B.2　　　    C.0　　　    D.  A 解析　∵x=-2是方程 =x+a的解,∴ =-2+a,两边同时 乘3,得-2-a=-6+3a,移项、合并同类项,得-4a=-4,解得a=1,故 选A. 3.(新独家原创)解方程 - =1,去分母,得2x+6-2x-1=6, 错在　　　 　　　　　    . 去分母时分子没有加括号,出现符号错误 解析　两边同时乘6,得2(x+3)-(2x-1)=6,故错在去分母时分子 没有加括号,出现符号错误. 4.(1)(2024北京十一学校月考)方程 - =1的解是　    　    . (2)(2024山西临汾尧都期中)一元一次方程 - + =1的解为 　　　    . x=4  x=3 解析    (1)去分母,得2(1+x)-(x-2)=8,去括号,得2+2x-x+2=8,移 项、合并同类项,得x=4. (2)去分母,得3x-2x+x=6,合并同类项,得2x=6,解得x=3. 5.(新独家原创)若代数式 比 小2,则x的值为　　        . - 解析　根据题意得 = -2,去分母,得4(x+1)=3(1-2x)-24, 去括号,得4x+4=3-6x-24,移项、合并同类项,得10x=-25,解 得x=- . 6.(跨物理·滑轮拉动物体)(2024辽宁鞍山期末)如图,利用滑轮 组拉动物体可以省力,其计算公式是F= (G1+G2)(F表示拉力, n表示绳子股数,G1为滑轮重量,G2为所拉物体重量),已知F=500,n=2,G1=200,则G2=　　　    .   800 解析　把F=500,n=2,G1=200代入F= (G1+G2), 得500= (200+G2),去分母,得1 000=200+G2, 解得G2=800. 7.(教材变式)解下列方程: (1)(2024上海浦东新区建平实验中学期中) + =1. (2)(2024福建厦门思明莲花中学期末) -1= . (3)(2024浙江丽水莲都期末) =2- . (4)(2024黑龙江哈尔滨六十九中开学测试)1- = -x. (5)(2024上海杨浦期中)x- = . 解析    (1)去分母,得3(x-1)+4(2x+1)=12,去括号,得3x-3+8x+4= 12,移项,得3x+8x=12+3-4,合并同类项,得11x=11,系数化为1, 得x=1. (2)去分母,得3(3x-1)-12=2(5x-7),去括号,得9x-3-12=10x-14,移 项,得9x-10x=3+12-14,合并同类项,得-x=1,系数化为1,得x=-1. (3)去分母,得2(3x-1)=12-(4x-1),去括号,得6x-2=12-4x+1,移项, 得6x+4x=12+1+2,合并同类项,得10x=15,两边同时除以10,得x = . (4)去分母,得8-(7+3x)=2(3x-10)-8x,去括号,得8-7-3x=6x-20- 8x,移项,得-3x-6x+8x=-20-8+7,合并同类项,得-x=-21,系数化 为1,得x=21. (5)方程可化为x- = ,去分母,得3x-(x-20)=10+15x, 去括号,得3x-x+20=10+15x,移项,得3x-x-15x=10-20,合并同类 项,得-13x=-10,系数化为1,得x= . 8.(2024吉林延边敦化期末)若式子 的值比式子 的值 大1,求x的值. 解析　由题意得 - =1,去分母,得2(1-x)-(x-2)=6,去括 号,得2-2x-x+2=6,移项、合并同类项,得-3x=2,解得x=- . 9.(2024四川遂宁射洪中学月考,17,★★☆)小虎在解关于x的 方程 = -1去分母时,方程右边的“-1”没有乘6,最 后他求得方程的解为x=3,则方程正确的解为 (　    ) A.x=3　　　    B.x=8　　　    C.x= 　　　    D.x=6 能力提升全练 B 解析　按照小虎的方法去分母,得2(x-1)=3(x+2m)-1,此时方 程的解为x=3,∴2×(3-1)=3(3+2m)-1,解得m=- ,∴原方程为  = -1,解得x=8.故选B. 10.(2024福建泉州泉港期中,10,★★☆)张明同学的家庭作业 中有这样一道题: -2=x,□处被墨水覆盖了,张明打电话 问李晓同学,李晓告诉张明这个方程的解是x=-1,那么□处的 数是 (　    ) A.3　　　    B.4　　　    C.5　　　    D.-5 B 解析　设□处的数是a,把x=-1代入方程 -2=x,得 -2= -1,解得a=4,即□处的数是4.故选B. 11.(2024甘肃武威凉州三模,11,★★☆)已知关于x的方程  =x+ 与3x-(x-1)=5的解相同,则m=　　　    . -  解析　∵3x-(x-1)=5,∴3x-x+1=5,∴2x=4,∴x=2,把x=2代入  =x+ ,得 =2+ ,去分母,得3(2-m)=12+2m,解得m= - .   12.(新考向·代数推理)(2024辽宁铁岭五中期末,14,★★☆)已 知a,b为定值,关于x的方程 =1- ,无论k为何值,它的 解总是x=1,则a+b=　　　    . 0 解析　把x=1代入方程 =1- ,得 =1- ,整 理得(2+b)k+2a-4=0,∵无论k为何值,方程的解总是x=1,∴2+b =0,2a-4=0,∴b=-2,a=2,∴a+b=2-2=0. 13.(新考向·新定义试题)(2023江苏扬州中学教育集团树人学 校三模,14,★★☆)规定一种新的运算:a*b=2-a-b,则 *  =1的解是　　　    . x=  解析　由题意可得2- - =1,去分母,得12-2(2x-1)-3(1+ x)=6,去括号,得12-4x+2-3-3x=6,移项、合并同类项,得-7x=-5, 解得x= . 14.(2024江苏苏州高新区期末,23,★★☆)已知关于x的方程  =x+ 与方程 =3x-2的解互为倒数,求2m2-4m+3的值. 解析　解方程 =x+ ,得x=- ,解方程 =3x-2,得x= , ∵两个方程的解互为倒数,∴- × =1,∴m=-1.当m=-1时,2m2 -4m+3=2+4+3=9. 15.(2024湖南湘潭雨湖期末,22,★★☆)七(3)班数学老师在批 改小红的作业时发现,小红在解方程 -1=a+ 时,把“2- x”抄成了“x-2”,解得x=8,而且“a”处的数字也模糊不清 了. (1)请你求出“a”处的数字. (2)请你正确地解出原方程. 解析    (1)将x=8代入 -1=a+ ,得 -1=a+ ,解得a =2, ∴“a”处的数字为2. (2)将a=2代入原方程得 -1=2+ ,去分母,得2(x+1)-4=8 +(2-x),去括号,得2x+2-4=8+2-x,移项、合并同类项,得3x=12, 系数化为1,得x=4. 5.2.2　解一元一次方程 第3课时　一元一次方程的应用 知识点4　列一元一次方程解应用题 基础过关全练 1.(2024广东揭阳揭西期末)某班分成两个小组活动,第一组2 6人,第二组22人,根据学校活动器材的数量,需要将第一组人 数调整为第二组人数的一半,设应从第一组调x人到第二组 去,下列方程正确的是 (　    ) A.26+x=22-x　　　     B.26-x=22+x C. (26-x)=22+x　　　    D.26-x= (22+x) D 解析　根据相等关系:调整后第一组人数为第二组人数的一 半,可得26-x= (22+x).故选D. 2.(教材变式)(2024广东汕尾海丰沙港中学一模)一只船在静 水中的速度为20 km/h,水流速度为4 km/h,从甲码头顺流航行 到乙码头,再返回甲码头共用5 h.若设甲、乙两码头之间的 距离为x km,则下列方程正确的是 (　    ) A.(20+4)x+(20-4)x=15 B.20x+4x=5 C. + =5 D. + =5 D 解析　根据题意得 + =5,故选D. 3.(跨生物·最佳运动心率)(2024山西太原二模)运动心率(次/分) 是指人体在运动时保持的心率状态,保持最佳运动心率对 于运动效果和运动安全都很重要,对于一般人来说,最佳运动 心率控制区域计算方法如下:(220-年龄)×0.8=最大运动心率, (220-年龄)×0.6=最小运动心率.若健身教练给一位正常成年 男性制订的运动方案中,最大运动心率与最小运动心率之差 为33次/分,则这位男性的年龄是　　　    岁. 55 解析　设这位男性的年龄是x岁,由题意可得(220-x)×0.8-(220 -x)×0.6=33,解得x=55,故这位男性的年龄是55岁. 4.(情境题·数学文化)(2024河南洛阳宜阳期中)《孙子算经》 是我国古代重要的数学著作,成书大约在四、五世纪.书中著 名的“雉(鸡)兔同笼”问题是“今有鸡兔同笼,上有三十五 头,下有九十四足,问鸡兔各几何?”此问题中鸡有　　　     只. 23 解析　设有x只鸡,则有(35-x)只兔子,根据题意得2x+4(35-x)= 94,解得x=23,即此问题中鸡有23只. 5.(2024陕西西安三中模拟)某中学举办运动会,学校选派志 愿者负责运动会的秩序维持和联络服务工作,刚开始负责秩 序维持工作的有35人,负责联络服务工作的有24人.因工作需 要,又调30人去支援这两处工作,使得负责秩序维持工作的人 数比负责联络服务工作人数的2倍少1,应调往联络服务、秩 序维持工作各多少人? 解析　设应调往联络服务工作x人,则应调往秩序维持工作 (30-x)人,根据题意得2(24+x)-1=35+30-x,解得x=6,∴30-x=30-6 =24. 答:应调往联络服务工作6人,秩序维持工作24人. 6.(2023江苏扬州仪征期末)某小组计划做一批中国结,如果 每人做5个,那么比计划多9个;如果每人做4个,那么比计划少 15个.该小组共有多少人?计划做多少个中国结?小明和小红 在认真思考后,根据题意分别列出了以下两个不同的方程:① 5x-9=4x+15;② = . (1)①中的x表示　　　　　    ;②中的y表示　　　　　    . (2)请选择其中一种方法,写出完整的解答过程. 解析    (1)小组人数;计划做中国结的个数. (2)①设小组共有x人, 根据题意可得5x-9=4x+15,解得x=24,故5x-9=111. 答:小组共有24人,计划做111个中国结. ②设计划做y个中国结, 根据题意可得 = , 解得y=111,故 =24. 答:小组共有24人,计划做111个中国结. (选其中一种方法解答即可) 7.(2024浙江衢州一模,6,★☆☆)今有三人共车,二车空;二人 共车,九人步,问人与车各几何?(选自《孙子算经》)现假设有 x辆车,则有方程 (　    ) A.3(x-2)=2x+9 B.3x-2=2x+9 C.3x-2=2(x+9) D.3(x-2)=2(x+9) A 能力提升全练 解析　由题意得3(x-2)=2x+9,故选A. 8.(2024河南南阳镇平月考,9,★★☆)小王同学想根据方程8x +3=6(x+8)-5编一道应用题:“几个人为学校建花坛搬砖,     　　    ,求参与搬砖的人数.”若设参与搬砖的有x人,则横线 部分的条件应描述为 (　    ) A.若每人搬8块,则缺3块砖;若再添8人一起搬,则每人搬6块, 缺5块砖 B.若每人搬8块,则剩3块砖未搬;若再添8人一起搬,则每人搬 6块,缺5块砖 C.若每人搬8块,则缺3块砖;若再添8人一起搬,则每人搬6块, 剩5块砖未搬 D.若每人搬8块,则剩3块砖未搬;若再添8人一起搬,则每人搬 6块,剩5块砖未搬 解析　参与搬砖的有x人,∵列出的方程为8x+3=6(x+8)-5,∴ 方程的左、右两边均为这批砖的块数,∴方程的左边为若每 人搬8块,则剩下3块砖未搬,方程的右边为若再添8人一起搬, 则每人搬6块,缺5块砖.故选B. 答案    B 9.(情境题·数学文化)(2024江苏扬州中考,15,★★☆)《九章 算术》是中国古代的数学专著,是《算经十书》中最重要的 一部,书中第八章“方程”里面记载了一个有趣的追及问题, 可理解为速度快的人每分钟走100米,速度慢的人每分钟走 60米,让速度慢的人先走100米,再让速度快的人去追他,则速 度快的人追上他需要　　　    分钟.   2.5 解析　设速度快的人需要x分钟才能追上速度慢的人,根据 题意可得100+60x=100x,解得x=2.5.故速度快的人追上速度 慢的人需要2.5分钟. 10.(2024甘肃武威十中三模,13,★★☆)请你阅读下面的诗 句:“栖树一群鸦,鸦树不知数,三只栖一树,五只没去处,五只 栖一树,闲了一棵树,请你仔细数,鸦树各几何?”诗句中谈到 的鸦有　　　    只,树有　　　    棵. 20 5 解析　设树有x棵,则鸦有(3x+5)只,根据题意得5(x-1)=3x+5, 解得x=5,则3x+5=20,所以鸦有20只,树有5棵. 11.(新考法)(2024山西模拟,14,★★☆)根据下列对话可知n的 值为　　　    .    4 解析　本题以对话形式呈现题目条件,考查学生的观察能力 和阅读理解能力. 根据题意得3(8+n)=32+n,解得n=4. 12.(2024陕西师大附中模拟,19,★★☆)随着毕业季的到来, 众多学校开始订制班服.某制衣厂接到一批班服的生产任务, 学校要求6天内完成.若工厂安排12台机器开工,则6天后还有 800件衣服未完成;若工厂安排16台机器开工,则恰好提前一 天完成任务.假设每台机器的工作效率相同,求每台机器每天 可以生产多少件衣服. 解析　设每台机器每天可以生产x件衣服, 由题意得12×6x+800=16×(6-1)x,解得x=100. 答:每台机器每天可以生产100件衣服. 13.(情境题·现实生活)(2024海南海口十四中月考,21,★★☆) 某公园门票价格规定如下: 购票数量 1~50张 51~100张 100张以上 每张票的 价格 14元 12元 10元 七年级一班和七年级二班共101人去公园游玩,其中七年级 一班人数不足50,经计算,若两个班级都以班级为单位购票, 则一共应付1 310元. (1)两班学生各有多少人? (2)如果两个班联合起来作为一个团体购票,可省多少钱? (3)如果七年级一班单独组织去公园游玩,你是组织者,如何 购票更省钱? 解析    (1)设七年级一班有x人,则七年级二班有(101-x)人,根 据题意得14x+12(101-x)=1 310,解得x=49,∴101-x=101-49=52. 答:七年级一班有49人,七年级二班有52人. (2)1 310-101×10=300(元). 答:两个班联合起来作为一个团体购票,可省300元. (3)七年级一班按照人数买票的花费为49×14=686元,七年级 一班买51张票的花费为51×12=612(元),∵612<686,∴七年级 一班单独组织去公园游玩,购买51张票更省钱. 14.(创新意识)(转化与化归思想)(2023福建泉州安溪期中)阅 读与探究:我们把绝对值符号内含有未知数的方程叫做含有 绝对值的方程.例如:|x|=3,|-2x+1|=2都是含有绝对值的方程. 怎样求含有绝对值的方程的解呢?基本思路是把含有绝对值 的方程转化为不含有绝对值的方程.例如: 解方程:x+3|x|=4. 素养探究全练 解:当x≥0时,原方程可化为x+3x=4,解得x=1,符合题意; 当x<0时,原方程可化为x-3x=4,解得x=-2,符合题意. 所以原方程的解为x=1或x=-2. 根据以上材料,解决下列问题: (1)若|x-2|=x-2,则x的取值范围是　　　    . (2)解方程:x+2|x-1|=4. 解析    (1)由题意得,|x-2|=x-2≥0,∴x≥2.故答案为x≥2. (2)x+2|x-1|=4,当x-1≥0,即x≥1时,原方程可化为x+2(x-1)=4,整 理得3x-2=4,解得x=2,符合题意;当x-1<0,即x<1时,原方程可化 为x+2(1-x)=4,整理得-x+2=4,解得x=-2,符合题意.所以原方程 的解为x=2或x=-2. 方法解读     　　转化与化归思想是将新知识转化为已有的旧知识,将复 杂的知识转化为简单的、易于接受的知识.本题运用绝对值 的意义将含绝对值的方程转化为不含绝对值的方程. $$5.1　从实际问题到方程 知识点1　方程的有关概念 基础过关全练 1.(2024河南周口淮阳月考)下列四个式子中,是方程的是  (　    ) A.3+2=5　　　    B.x-1=2 C.2x-1<0　　　    D.a+b B 解析　根据含有未知数的等式叫做方程,可知x-1=2是方程, 故选B. 2.(2024吉林长春九台城子街中心学校月考)下列方程中,解 为x=1的是 (　    ) A.2x-2=1　　　     B.2x+3=1 C.0.5=1+ 　　　    D.2x-3=-x D 解析　将x=1代入选项中的方程进行检验,只有选项D中的方 程成立,故选D. 3.(新独家原创)在有理数-3,0, 中,是方程|x-4|=3x+2的解的是 　　　    .     解析　将x=-3代入方程左、右两边,得左边=7,右边=-7,左边 ≠右边,所以x=-3不是该方程的解;将x=0代入方程左、右两 边,得左边=4,右边=2,左边≠右边,所以x=0不是该方程的解; 将x= 代入方程左、右两边,得左边= ,右边= ,左边=右边, 所以x= 是该方程的解. 4.(教材变式)检验下列方程后面小括号内x的值是不是相应 方程的解. (1)2x+5=10x-3(x=1). (2)2(x-1)- (x+1)=3(x+1)- (x-1)(x=0). 解析    (1)当x=1时,左边=2×1+5=2+5=7,右边=10×1-3=10-3= 7,左边=右边,∴x=1是此方程的解. (2)当x=0时,左边=2×(0-1)- ×(0+1)=-2- =- ,右边=3×(0+1)-  ×(0-1)=3+ = ,左边≠右边,∴x=0不是此方程的解. 知识点2　根据实际问题列方程 5.(2024河北张家口二模)“嘉嘉和琪琪从甲地到乙地,嘉嘉 以6 km/h的速度用时30 min,琪琪以4 km/h的速度用时x h.” 在这个问题中,求x的值时,所列方程正确的是 (　    ) A.6× =4x　　　 B.6×30=4x C. = 　　　    D. = x A 解析　本题的相等关系是两人的路程相等,根据路程=时间× 速度,可列方程为6× =4x,故选A. 6.(情境题·现实生活)(2024浙江台州仙居二模)在一次学农活 动中,在甲处劳动的有27人,在乙处劳动的有19人.现在另调20 人去支援两处,使得在甲处的人数为在乙处人数的2倍,设调 往甲处x人,则 (　    ) A.27-x=2(19+20-x)　　　     B.27+x=2(19-20-x) C.27-x=2(19+20+x)　　　    D.27+x=2(19+20-x) D 解析　由题意可知,调往乙处的人数为20-x,根据在甲处的人 数为在乙处人数的2倍,得27+x=2(19+20-x).故选D. 7.(情境题·现实生活)(2024甘肃天水秦安兴丰中学三模)某商 场销售的一件衣服标价为600元,商场在开展促销活动中,该 件衣服按8折销售仍可获利20元.设这件衣服的进价为x元,根 据题意,下面所列方程正确的是 (　    ) A.600×8-x=20　　　    B.600×0.8-x=20 C.600×8=x-20　　　    D.600×0.8=x-20 B 解析　根据衣服的标价可知实际售价为600×0.8元,然后根据 利润=售价-成本价,可列方程为600×0.8-x=20.故选B. 8.(2024江苏盐城三模)已知九年级某班30位学生共种树72 棵,其中男生每人种3棵树,女生每人种2棵树.设男生有x人,则 可列方程为(　    ) A.2x+3(72-x)=30　　　    B.3x+2(72-x)=30 C.2x+3(30-x)=72　　　    D.3x+2(30-x)=72 D 解析　由题意可知女生有(30-x)人,则可列方程为3x+2(30-x) =72.故选D. 9.小林家来了客人,妈妈叫他去水果市场买一些水果招待客 人,小林在水果市场看中了一家店的苹果和橘子,询问后得知 苹果的单价要比橘子多9元,且买2千克苹果与买5千克橘子 的费用相等.设橘子的单价为x元. (1)根据题意列出方程. (2)在x=5,x=6,x=7中,哪一个是(1)中所列方程的解? 解析    (1)根据题意得,2(x+9)=5x. (2)把x=5,x=6,x=7分别代入方程检验,当x=5时,左边=2×(5+9)= 28,右边=5×5=25,左边≠右边,所以x=5不是方程的解;当x=6 时,左边=2×(6+9)=30,右边=5×6=30,左边=右边,所以x=6是方 程的解;当x=7时,左边=2×(7+9)=32,右边=5×7=35,左边≠右 边,所以x=7不是方程的解.故x=6是所列方程的解. 10.(2023湖南永州中考改编,4,★☆☆)关于x的方程2x+m=5的 解为 x=1,则m的值为(　    ) A.3　　　    B.-3　　　    C.7　　　    D.-7 能力提升全练 A 解析　∵x=1是关于x的方程2x+m=5的解,∴2×1+m=5,∴m=3, 故选A. 11.(2024福建龙岩武平期末,9,★☆☆)下列各方程中,解为x=0 的有 (　    ) ①x+5x=0;②x=5x;③2x=2;④2x-1=3x+1;⑤2x=1+x. A.2个　　　    B.3个　　　    C.4个　　　    D.5个 A 解析　将x=0代入方程检验,只有①②成立,故选A. 12.(2022浙江金华永康模拟,9,★★☆)唐代大诗人李白喜好 饮酒作诗,民间有“李白斗酒诗百篇”之说.《算法统宗》中 记载了一个“李白沽酒”的故事.诗云:今携一壶酒,游春郊 外走.逢朋加一倍,入店饮斗九.相逢三处店,饮尽壶中酒.试问 能算士,如何知原有?(注:古代一斗是10升)大意:李白在郊外 春游时,遇见一个朋友,先将壶里的酒增加一倍,再喝掉其中 的19升酒.按照这样的约定,在第3次遇到朋友后正好喝光了 壶中的酒,问原来壶中有酒多少升?设壶中原有酒x升,则可列 出方程为(　    ) A.2x-19=0 B.2(2x-19)-19=0 C.2(2x+19)-19=0 D.2[2(2x-19)-19]-19=0 解析　根据题意得2[2(2x-19)-19]-19=0,故选D. 答案    D 13.(跨物理·自由落体运动)(2024浙江嘉兴海宁三模,8,★★★) 已知物体自由下落的距离可以表示为s= v末t,其中s表示 下落的距离,v末表示物体下落的末速度,t表示物体下落的时 间,声音传播的速度为340米/秒.若将一块石头从井口自由落 下,7秒后听到它落水的声音,测得v末=60米/秒,设石头下落的 时间为x秒,则可列方程为 (　    ) A.30x=340×7　　　     B.30x=340(7-x) C.30(7-x)=340x　　　    D.30(7+x)=340×7 B 解析　石头下落的时间为x秒,则从石头落水到声音传到井 口用的时间为(7-x)秒,所以从井中水面到井口的距离为340(7 -x)米,将s=340(7-x)米,v末=60米/秒,t=x秒代入s= v末t,得 ×60x =340(7-x),即30x=340(7-x).故选B. 14.(新考法)(2024湖北孝感孝昌期末,11,★☆☆)在方程2+▲ =3x中,▲处被墨水盖住了,已知方程的解是x=2,那么▲处的 数字是　　　    . 4 解析　本题以数字被墨水盖住为背景考查方程的解的意义, 设计新颖,能激发学生的探究意识,提高积极思考能力. 把x=2代入方程,得2+▲=6,∴▲=4. 15.(2024河南南阳宛城黄台岗一中月考,19,★★☆)已知12a2bn与 - amb3是同类项,判断m+n的值是不是方程2y-3=-3y+22的解. 解析　∵12a2bn与- amb3是同类项,∴m=2,n=3,∴m+n=5,当y= 5时,方程左边=2×5-3=7,方程右边=-3×5+22=7,∴左边=右边, ∴m+n的值是方程2y-3=-3y+22的解. 16.(模型观念)根据图中的信息,求梅花鹿和长颈鹿现在的高 度.(只列方程,不解答)   素养探究全练 解析　设梅花鹿现在的高度为x m,则长颈鹿现在的高度为(x +4)m.根据题意得x+4=3x+1.(所设未知数不唯一) 谢谢观看 谢谢观看 $$5.3　实践与探索 第1课时　图形问题与和、差、倍、分问题 知识点1　图形问题 基础过关全练 1.(2024广西南宁青秀三美学校模拟改编)如图,完全相同的8 块小长方形地砖拼成一个大长方形,则每块小长方形地砖的 长是 (　    ) A.2 cm　　　    B.  cm C.4 cm　　　    D.6 cm D 解析　设每块小长方形地砖的长是x cm,则宽为(8-x)cm,根据 题意得2x=x+3(8-x),解得x=6,∴每块小长方形地砖的长是6 cm.故选D. 2.(2024上海普陀期中)已知一个长方形的周长为24厘米,如 果将这个长方形的长减少3厘米,宽增加1厘米,就可以变成一 个正方形,那么这个长方形的长为　　　    厘米. 8 解析　设长方形的长为x厘米,则长方形的宽为(24÷2-x)厘米, 依题意得x-3=24÷2-x+1,解得x=8.故这个长方形的长为8厘米. 3.图1是边长为30的正方形纸板,裁掉阴影部分后将其折叠成 如图2所示的长方体盒子,已知该长方体的宽是高的2倍,则它 的体积是多少?   图1 图2 解析　设长方体的高为x,则长方体的宽为2x,长方体的长为 (30-2x), 根据题意得2x+x+2x+x=30,解得x=5, ∴2x=10,30-2x=20. ∴长方体的体积为20×10×5=1 000. 4.(教材变式)(2024河南郑州中牟期末)好朋友给小亮过生日, 如图,现有底面直径为16 cm,高为30 cm的圆柱形容器,里面 装满了果汁,小亮要把果汁分装到底面直径为8 cm的10个小 圆柱形杯子里(每个杯子刚好装满),与好朋友分享,请你帮他 计算杯子的高度. 解析　设杯子的高度为x cm, 根据题意,得10π× ×x=π× ×30, 解得x=12. 答:杯子的高度是12 cm. 知识点2　和、差、倍、分问题 5.(2024福建莆田九中模拟)2023年杭州亚运会上,我国获得 奖牌383枚,其中银牌数是111枚,金牌数比铜牌数的3倍少12 枚.若设金牌数是x枚,则可列出方程为 (　    ) A.(3x-12)+x=383-111 B.3(x+12)+x=383-111 C. +x=383-111 D. +x=383-111 C 解析　∵金牌数比铜牌数的3倍少12枚,且金牌数是x枚,∴铜 牌数是 枚.根据题意得x+111+ =383,即 +x=38 3-111.故选C. 6.(2024广东广州中考)某新能源车企今年5月交付新车35 060辆,且今年5月交付新车的数量比去年5月交付的新车数量 的1.2倍还多1 100辆.设该车企去年5月交付新车x辆,根据题 意,可列方程为 (　    ) A.1.2x+1 100=35 060 B.1.2x-1 100=35 060 C.1.2(x+1 100)=35 060 D.x-1 100=35 060×1.2 A 解析　本题的数量关系:今年5月交付新车的数量比去年5月 交付的新车数量的1.2倍还多1 100辆.根据题意,得1.2x+1 100 =35 060.故选A. 7.(2024湖南长沙宁乡期末,10,★★☆)如图,根据图中的信息, 可得正确的方程是 (　    ) A.π× ×x=π× ×(x-5) 能力提升全练 B.π× ×x=π× ×(x+5) C.π×82×x=π×62×(x+5) D.π×82×x=π×62×5 答案    B 解析　根据题意得π× ×x=π× ×(x+5).故选B. 8.(情境题·数学文化)(2024河北邯郸馆陶期中,12,★★☆)如 图所示的是《九章算术》中著名的“盈不足”问题,其内容 大致意思是“今有几个人合伙购买一件物品,每人出8钱,会 多3钱;每人出7钱,又差4钱.问人数和物品价格分别是多 少?”下列结论不正确的是 (　    )   A.设有x人合伙购买物品,根据题意得8x-3=7x+4 B.设物品的价格为y钱,根据题意得 =  C.合伙购买的人数是7 D.物品的价格是53钱 答案    B 解析    A.有x人合伙购买物品,根据题意得8x-3=7x+4,故选项 A不符合题意;B.物品的价格为y钱,根据题意得 = ,故 选项B符合题意;C.解方程8x-3=7x+4,得x=7,∴合伙购买的人 数是7,故选项C不符合题意;D.解方程 = ,得y=53, ∴物品的价格是53钱,故选项D不符合题意.故选B. 9.(2024河北保定高碑店三模,21,★★☆)琪琪家新栽了两棵 树,上午8:00开始给这两棵树输营养液,甲营养液的输液速度 是5 mL/min,乙营养液的输液速度是4 mL/min,两种营养液每 袋均为600 mL. (1)上午10:00能否输完一整袋乙营养液? (2)某时刻,袋中剩余的甲营养液恰好是袋中剩余的乙营养液 的 ,求此刻是几点几分.(甲、乙营养液各只输一袋) 解析    (1)输完一整袋乙营养液需要 =150(min),上午8:00 到10:00共有(10-8)×60=120(min), ∵150>120, ∴上午10:00不能输完一整袋乙营养液. (2)设经过x min袋中剩余的甲营养液恰好是袋中剩余的乙营 养液的 ,由题意得600-5x= (600-4x),解得x=75,上午8:00开 始,经过75 min是上午9:15,∴此刻是9点15分. 10.(2024河北保定高碑店期末,25,★★☆)如图,将一张正方 形纸片剪去一个宽为3 cm的长方形纸条,再从剩下的长方形 纸片上剪去一个宽为1 cm的长方形纸条. (1)如果第一次剪下的长方形纸条的周长恰好是第二次剪下 的长方形纸条的周长的2倍,求原正方形纸片的边长. (2)第一次剪下的长方形纸条的面积可不可能是第二次剪下 的长方形纸条的面积的3倍?(用方程的知识解释) 解析    (1)设原正方形纸片的边长为x cm, 根据题意得2(x+3)=2×2(x-3+1),解得x=7. 答:原正方形纸片的边长为7 cm. (2)若第一次剪下的长方形纸条的面积是第二次剪下的长方 形纸条面积的3倍,设原正方形纸片的边长为a cm,则3a=3×1 ×(a-3),整理得3a=3a-9,方程无解,所以第一次剪下的长方形 纸条的面积不可能是第二次剪下的长方形纸条面积的3倍. 第2课时　行程问题、配套问题与销售问题 知识点3　行程问题 基础过关全练 1.(2024山西吕梁临县月考)一个自行车队进行训练,训练时 所有队员都以40 km/h的速度前进,突然,6号队员以50 km/h的 速度独自行进,行进20 km后掉转车头,仍以50 km/h的速度往 回骑,直到与其他队员会合,设6号队员从离队开始到与队员 重新会合经过了x h,则x的值是(不考虑车队的长度) (　    ) A. 　　　    B. 　　　    C. 　　　    D.  D 解析    6号队员从离队开始到与队员重新会合经过了x h,由 题意得40x+50x=2×20,解得x= .故选D. 2.(2024吉林长春九台城子街中心学校月考改编)某同学骑自 行车从学校到家,每分钟行驶0.15千米,某天回家时,速度提高 到每分钟0.2千米,结果提前5分钟到家,设原来从学校到家需 骑x分钟,则可列方程为　　　　　    . 0.15x=0.2(x-5) 解析　原来从学校到家骑x分钟,则提速后从学校到家只需 要(x-5)分钟,根据题意得0.15x=0.2(x-5). 知识点4　销售问题 3.(2024河北沧州献县期末)如图所示的是某超市电子表的价 格标签,一服务员不小心将墨水滴在标签上,使得原价看不清 楚,请你帮助服务员算一算,该电子表的原价是 (　    )   A.21元　　　    B.22元 C.23元　　　    D.24元 D 解析　设该电子表的原价为x元,依题意,得0.8x=19.2,解得x= 24.故该电子表的原价为24元.故选D. 4.(2024海南期末)新年将至,小明的母亲准备为小明网购一 件羽绒服,某服装电商销售某新款羽绒服,标价为250元/件,若 按标价的8折出售,则每件仍可获利50元,设这款羽绒服的进 价为x元/件,根据题意可列方程为 (　    ) A.250×0.8-x=50　　　    B.250-0.8x=50 C.250×0.2-x=50　　　    D.250-0.2x=50 A 解析　由题意得250×0.8-x=50.故选A. 5.(情境题·爱国主义教育)(2024陕西西安新城西光中学模拟) 某班级为参加学校五月份组织的“爱国情,成才志”朗诵比 赛,准备给同学们购买班服.通过调查发现,某网店在销售可 以订制图案与文字的白色T恤时,有两种不同的销售方案.方 案一:按每件T恤标价的7折销售.方案二:按每件T恤的标价降 价10元进行销售.通过计算发现,按照方案一购买20件T恤的 金额与按照方案二购买24件T恤的金额相等,求每件T恤的标 价. 解析　设每件T恤的标价为x元, 由题意可得20×0.7x=24(x-10),解得x=24. 答:每件T恤的标价是24元. 知识点5　配套问题 6.(2024重庆沙坪坝凤鸣山中学月考)某车间60名工人生 产A、B两种类型的零件,其中每名工人每天可生产10个A零 件或15个B零件,若1个A零件和3个B零件配成一套,则应如何 安排工人让每天生产的A零件和B零件刚好完全配套?如果 设每天安排x名工人生产A零件,那么可列方程为 (　    ) A.10x=3×15(60-x) B.10x=  C.10x=15(60-x) D.10(60-x)=3×15x B 解析　每天安排x名工人生产A零件,则每天安排(60-x)名工 人生产B零件,根据题意列方程为10x= ,故选B. 7.(2024黑龙江哈尔滨南岗三模)用铝片可以制饮料瓶,现有100张 铝片,每张铝片可制瓶身16个或瓶底45个,一个瓶身和两 个瓶底可配成一套.设用x张铝片制瓶身,则下面所列方程正 确的是 (　    ) A.2×16x=45(100-x)　　　    B.16x=45(100-x) C.16x=2×45(100-x)　　　    D.16x=45(50-x) A 解析　用x张铝片制瓶身,则用(100-x)张铝片制瓶底,根据题 意可列方程为2×16x=45(100-x),故选A. 8.(新考法)(2024贵州贵阳云岩期末,12,★★☆)文具店推出某种新 年文具盲盒,每个盲盒18元,小明购买了若干个这种盲盒,请认 真阅读结账时店员与小明的对话,求出小明结账时实际付款金额.甲同学根据题意列出一元一次方程为18×0.9x+36=18(x-1), 则甲同学设的未知数x表示的是 (　    )   能力提升全练 A.小明实际购买盲盒的数量 B.小明实际的付款金额 C.小明原计划购买的盲盒数量 D.小明原计划的付款金额 答案    A 解析　本题根据方程确定未知数的意义,考查学生的逆向思 维能力. 由一元一次方程为18×0.9x+36=18(x-1)可知未知数x表示的 是小明实际购买的盲盒数量.故选A. 9.(2024山东德州德城一模,8,★★☆)某个体商贩在一次买卖中,同时卖出两件上衣,售价都是120元,若按进价计算,其中一件盈利 20%,另一件亏本20%,则两件上衣的进价之和为 (        ) A.230元　　　    B.240元　　　   C.250元　　    D.260元 C 解析　设盈利20%的那件进价为x元,亏本20%的那件进价为 y元,则(1+20%)x=120,(1-20%)y=120,解得x=100,y=150,故两件 上衣进价之和为100+150=250(元),故选C. 10.(易错题)(2024黑龙江哈尔滨南岗萧红中学月考,17,★★☆)A、B 两地相距150 km,甲、乙两人分别从A、B两地同时出发相向而行(甲、乙均匀速行驶),已知甲的速度是乙的2倍,经过1 h两人 相距30 km,则甲的速度为　　　　　　     .  80 km/h或120 km/h 解析    设甲的速度为x km/h,则乙的速度为 x km/h,根据题 意得x+ x=150-30或x+ x=150+30,解得x=80或x=120,∴甲的 速度为80 km/h或120 km/h. 易错警示     　　本题易因对“两人相距30 km”理解不准确而漏解. 11.(2024陕西西安雁塔高新一中模拟,20,★★☆)甲、乙两人 在与铁轨平行的人行道上反向而行(同时同地出发).一列火 车匀速地从甲身旁开过,用了15 s,然后从乙身旁开过,用了17s,已知两人的步行速度都是1 m/s,这列火车有多长? 解析　设这列火车的速度是x m/s, 根据题意得15(x+1)=17(x-1),解得x=16, 15×(16+1)=15×17=255(m). 答:这列火车长255 m. 12.(2023新疆阿克苏阿瓦提期末,20,★★☆)一套仪器由一个 A部件和两个B部件构成,用1 m3钢材可以做40个A部件或240 个B部件,现在要用4 m3钢材制作这种仪器.问:用多少钢材做 A部件,多少钢材做B部件,可以恰好制成整套的仪器? 解析　设用x m3钢材做A部件, 则用(4-x)m3钢材做B部件, 由题意可得2×40x=240(4-x), 解得x=3,所以4-x=1. 答:用3 m3钢材做A部件,1 m3钢材做B部件,可以恰好制成整套 的仪器. 第3课时　工程问题及其他问题 知识点6　工程问题 基础过关全练 1.(2024河北保定唐县期末)为加快某区城市更新改造,全面 推进全区基础设施建设,提升城市档次和品位,该区部分道路 开始封闭施工工程.其中某条地下管线由甲工程队单独铺设 需要20天,由乙工程队单独铺设需要30天,现计划由乙工程队 先从一端铺设5天,之后甲工程队从另一端和乙工程队同时 铺设.设甲、乙两个工程队共同铺设x天后,恰好完成这条地 下管线的铺设,则下列方程正确的是 (　    ) A. + =1　　　     B. + =1 C. + + =1　　　    D. + + =1 解析　根据题意得 + + =1,故选D. 答案    D 2.(2024湖南衡阳三中月考)某项工作由甲单独做3小时完成, 由乙单独做4小时完成,现在乙单独做了1小时后,甲、乙合作 完成剩下的工作,则要完成这项工作共需要 (　    ) A. 小时　　　     B. 小时 C. 小时　　　    D. 小时 C 解析　设乙单独做了1小时后,甲、乙合作还需要x小时才可 以完成,根据题意得 + x=1,解得x= ,所以要完成这项 工作共需要 +1= (小时),故选C. 知识点7　其他问题 3.(情境题·生命安全与健康)(2024山西吕梁临县月考)某班在 校园安全教育主题班会上举行安全知识抢答赛,每组一共30 个抢答题,规则为每道题答对得5分,答错或不答扣2分,晓红 最后得80分,则晓红答对题目的道数是 (　    ) A.18　　　    B.19 C.20　　　    D.22 C 解析　设晓红答对x道题,则答错或不答(30-x)道题,根据题意 得5x-(30-x)×2=80,解得x=20,所以晓红答对20道题.故选C. 4.(教材变式)(2024四川成都金牛期末)有一个两位数,个位上 的数字与十位上的数字的和为9,如果将个位上的数字与十 位上的数字对调后所得新数比原数大45,设原两位数的十位 上的数字是x,则可列方程为 (　    ) A.(9-x)x-[10x+(9-x)]=45 B.[10(9-x)+x]-[10x+(9-x)]=45 C.[10(9-x)+x]=[10x+(9-x)]-45 D.(9-x)x-x(9-x)=45 B 解析　原两位数的十位上的数字是x,则个位上的数字为9-x, 由题意可得[10(9-x)+x]-[10x+(9-x)]=45,故选B. 5.(跨化学·配制盐水)(2024湖南十三校联考模拟)为配制含盐 率为8%的盐水1 000 g,已有含盐率为5%的盐水200 g,还需要 含盐率为10%的盐水　　　    g. 700 解析　设还需要含盐率为10%的盐水x g,根据题意得200× 5%+10%x=1 000×8%,解得x=700.故还需要含盐率为10%的 盐水700 g. 6.(跨物理·弹簧变形)(2024浙江台州临海期末)如图,在一定范 围内,弹簧会随着所挂物体质量的增加均匀伸长,如果要使弹 簧长度为20 cm,根据下表给出的信息,应挂相同砝码　　   个. 砝码个数 0 1 2 … 弹簧长度 /cm 10 12 14 … 5 解析　由题表可知,每增加一个砝码,弹簧的长度就增加2 cm, 设挂x个相同砝码,能使弹簧长度为20 cm,根据题意,得10+2x= 20,解得x=5.故应挂相同砝码5个. 7.(2024上海建平实验中学期中)小明的妈妈在银行里存入人 民币50 000元,存期为一年,若到期可得人民币50 750元,则这 项储蓄的年利率是　　　    . 1.5% 解析　设这项储蓄的年利率是x,由题意可得50 000(1+x)= 50 750,解得x=0.015=1.5%,即这项储蓄的年利率是1.5%. 8.(2024福建泉州安溪期中)春节期间,除了贴对联、买年 货、看春晚等传统习俗外,抢红包、扫福字等活动逐渐成为 新习俗,线上红包为人们创造了新的感情沟通方式,通过参与 抢红包等活动可以增进与亲人朋友的沟通.为了活跃气氛,让 春节更有“味道”,铁铁同学在微信群发了一个“友谊地久 天长”的红包,总金额为15元,所发红包被随机分配给五个群 员,被抢的五个红包金额如图所示,现在不知道小安和小溪所 抢的金额,但知道小安比小溪多抢0.48元.请算出小安和小溪 所抢的红包金额各是多少元.   解析　设小安所抢的红包金额为x元,则小溪所抢的红包金 额为(x-0.48)元,根据题意得2.54+0.65+x+(x-0.48)+5.41=15,解 得x=3.44,∴x-0.48=3.44-0.48=2.96. 答:小安所抢的红包金额为3.44元,小溪所抢的红包金额为2.96元. 9.(2024浙江台州三模,9,★★☆)学校要制作一块广告牌,请 来两名工人,已知甲单独完成需4天,乙单独完成需6天,若先 由乙做1天,再两人合作,完成任务后共得到报酬900元,若按 各人的工作量计算报酬,则分配方案为 (　    ) A.甲360元,乙540元　　　    B.甲450元,乙450元 C.甲300元,乙600元　　　    D.甲540元,乙360元 B 能力提升全练 解析　设乙做1天后,两人一起还要y天才能完成剩余工作量, 由题意,得 y+ y=1- ,解得y=2,所以乙完成总工作量的 ×(2 +1)= ,报酬为 ×900=450(元),甲完成总工作量的 ×2= ,报 酬为 ×900=450(元),故选B. 10.(跨物理·杠杆原理)(2024江西吉安城北中学三模,11,★★ ☆)小亮在实验室做实验时,没有找到天平称取实验所需药品 的质量,于是利用杠杆原理制作天平称取药品的质量(杠杆原 理:动力×动力臂=阻力×阻力臂).如图1,当天平左盘放置质量 为60克的物品时,右盘中放置20克砝码,天平平衡;如图2,将待 称的药品放在右盘后,左盘放置15克砝码,才可使天平再次平 衡,则该药品的质量是　　　    克.  5     解析　设该药品的质量为x克,根据“动力×动力臂=阻力×阻 力臂”得“ = ”,所以可列方程为 = ,解得x=5. 故该药品的质量为5克. 11.(情境题·现实生活)(2024湖南衡阳部分学校月考,24,★★☆)“水 是生命之源”,某市自来水公司为鼓励用户节约用水,按以下 规定收取水费: 每月用水量 单价/元 不超过10吨的部分 2.6 超过10吨但不超过18吨的部分 3.5 超过18吨的部分 4.3 注意:每吨用水加收0.8元的城市污水处理费 例如,某用户2月份用水16吨,共需缴纳水费10×2.6+(16-10)× 3.5+16×0.8=59.8元. (1)若小明家2月份用水12吨,则共需缴纳水费多少元? (2)若小明家2月份共缴纳水费64.1元,则小明家2月份用水多 少吨? (3)若小强家和小明家2月份一共用水23吨,共缴纳水费81.8 元,其中小强家用水量少于10吨,小明家用水量少于18吨,则 小强家和小明家2月份各用水多少吨? 解析    (1)由题意知,小明家2月份共需缴纳水费2.6×10+3.5× (12-10)+12×0.8=42.6(元). (2)当每月用水18吨时,共需缴纳水费2.6×10+3.5×(18-10)+18 ×0.8=68.4(元),∵68.4>64.1,∴小明家2月份用水超过10吨但 不超过18吨,设小明家2月份用水x吨,依题意得2.6×10+3.5×(x -10)+x×0.8=64.1,解得x=17,∴小明家2月份用水17吨. (3)设小强家2月份用水a吨,则小明家2月份用水(23-a)吨,依 题意得2.6a+2.6×10+3.5×(23-a-10)+23×0.8=81.8,解得a=9, ∴23-a=14,∴小强家2月份用水9吨,小明家2月份用水14吨. 12.(运算能力)(数形结合思想)(2024河南漯河郾城期末)如图, 数轴上A,B两点对应的有理数分别为-8和12,点P从点O出发, 以每秒1个单位长度的速度沿数轴负方向运动,点Q同时从点 O出发,以每秒2个单位长度的速度沿数轴正方向运动,设运 动时间为t秒,当AP=BQ时,t的值为　　　　    .   素养探究全练 或4 解析　∵点A表示的数为-8,点B表示的数为12,∴AP=|-t-(-8)| =|8-t|,BQ=|2t-12|.∵AP=BQ,∴|8-t|=|2t-12|,即8-t=2t-12或t-8=2t -12,解得t= 或t=4,∴当AP=BQ时,t的值为 或4. 方法解读     　　数形结合思想是一种重要的数学思想方法,它将抽象的 数学语言与直观的图形结合起来,通过数与形之间的相互转 化来解决数学问题.本题运用数轴上的动点问题和行程问题 相结合来解决问题. 13.(应用意识)(2023河北承德平泉期末)如图,棋盘旁有甲、 乙两个围棋盒. (1)若盒中都是黑子,共12个,乙盒中都是白子,共8个,嘉嘉从 甲盒中拿出a个黑子放入乙盒,使乙盒棋子总数是甲盒所剩 棋子数的3倍,求a的值. (2)若甲盒中都是黑子,共m(m>2)个,乙盒中都是白子,共3m个, 嘉嘉从甲盒中拿出a(1<a<m)个黑子放入乙盒,此时乙盒棋子 总数比甲盒所剩棋子数多　　　    ;接下来,嘉嘉又从乙盒拿 回a个棋子放到甲盒,其中含有x(0<x<a)个白子,此时乙盒中 有y个黑子,则x-y的值为　　　    .   解析    (1)∵甲盒中都是黑子,共12个,∴从甲盒中拿出a个黑 子放入乙盒后,甲盒剩(12-a)个棋子,乙盒有(8+a)个棋子,根据 题意可知3(12-a)=8+a,解得a=7. (2)∵甲盒中都是黑子,共m(m>2)个,乙盒中都是白子,共3m个, ∴从甲盒中拿出a(1<a<m)个黑子放入乙盒后,乙盒棋子的总 个数为3m+a,甲盒所剩棋子的总个数为m-a,∴乙盒棋子总个 数比甲盒所剩棋子个数多3m+a-(m-a)=2m+2a.∵又从乙盒拿 回a个棋子放到甲盒,其中含有x(0<x<a)个白子,乙盒中有y个 黑子,∴a-(a-x)=y,即y=x,∴x-y=0.故答案为2m+2a;0. $$5.2.1　等式的性质与方程的简单变形 第1课时　等式的基本性质 知识点1　等式的基本性质 基础过关全练 1.(2024甘肃武威十四中三模)若m=n,则下列等式不一定正确 的是 (　    ) A.-4m=-4n　　　    B.1+m=1+n C. = 　　　     D.3-m=3+n D 解析　等式m=n的两边同时乘-4,等式成立,故选项A中等式 正确;等式m=n的两边同时加上1,等式成立,故选项B中等式 正确;等式m=n的两边同时乘 ,等式成立,故选项C中等式正 确;根据3-m=3+n可得-m=n,当m≠0时,与m=n矛盾,故选项D中 等式不一定正确.故选D. 2.(教材变式)(2024山西临汾襄汾月考)下列利用等式的基本 性质进行的变形中,错误的是(　    ) A.若x=y,则x-5=y-5 B.若x=y,则5-x=5-y C.若-3x=3y,则x=y D.若 = ,则x=y C 解析　若x=y,两边同时减去5得x-5=y-5,则A中的变形正确;若 x=y,两边同时乘-1,再同时加上5得5-x=5-y,则B中的变形正确; 若-3x=3y,两边同时除以-3得x=-y,则C中的变形错误;若 = , 两边同时乘2得x=y,则D中的变形正确.故选C. 3.如果x=y-5,那么x-y=　　　    . -5 解析　在x=y-5两边同时减去y,得x-y=-5. 4.(新独家原创)如果a=b,那么 = 成立时,m应满足的 条件是　　　    .  m≠1 解析　根据除数不能为0可得m-1≠0,∴m≠1. 5.(易错题)下面是小明、小杭、小舟和小鑫对等式的基本性 质的运用的讨论.小明:若a+c=b+c,则a=b;小杭:若ac=bc,则a= b;小舟:若 = ,则a=b;小鑫:若a(m2+1)=b(m2+1),则a=b.他们的 观点正确吗?请说明理由. 解析　小明、小舟和小鑫的观点是正确的,小杭的观点是错 误的.理由:在a+c=b+c的两边同时减去c 可得a=b,所以小明的 观点正确;在ac=bc的两边同时除以c时,需要满足c≠0,而小杭 在运用等式的基本性质时没有注明c≠0,所以他的观点是错 误的;若 = 成立,则c≠0,在等式两边同时乘c可得a=b,所以 小舟的观点正确;因为m2≥0,所以m2+1>0,在a(m2+1)=b(m2+1) 的两边同时除以(m2+1)可得a=b,所以小鑫的观点正确. 易错警示    　本题的易错之处是运用等式的基本性质进行变形时,对字母的取值是不是零理解不准确. 6.(2023河北雄安容和红杰初级中学一模,2,★★☆)已知a-b= a+3- ,则下列表示b的式子是 (　    ) A. -3　　　     B.3-  C.3+ 　　　    D.- -3 能力提升全练 A 解析    a-b=a+3- ,两边同时减去a得-b=3- ,两边同时乘-1得 b=-3+ .故选A. 7.(跨物理·天平平衡状态)(2024河北石家庄裕华一模,7,★★ ☆)已知相同物体的质量相等,图①中天平保持平衡状态,则 图②中天平 (　    )       A.能平衡 B.不能平衡,右边比左边低 C.不能平衡,左边比右边低 D.无法确定 A 解析　设□的质量是a,△的质量是b,○的质量是c.根据题图 ①,得2a=2b.根据等式的基本性质2,将2a=2b两边同时除以2, 得a=b,根据等式的基本性质1,将a=b两边同时加上(b+c),得a+ b+c=b+b+c.∵题图②中天平左侧的质量为a+b+c,右侧的质 量为b+b+c,∴左侧的质量=右侧的质量,∴题图②中天平能 平衡.故选A. 8.(教材变式)(2024湖南怀化麻阳期末,17,★★☆)下列等式变 形:①若a=b,则a+x=b+x;②若ax=-ay,则x=-y;③若4a=3b,则4a- 3b=1;④若 = ,则4a=3b;⑤若 = ,则2x=3y.其中一定正确 的是　　　    .(填正确的序号) ①④⑤ 解析　①若a=b,则a+x=b+x,故变形正确;②若ax=-ay,则只有 当a≠0时,x=-y才成立,故变形不正确;③若4a=3b,则4a-3b=0, 故变形不正确;④若 = ,则4a=3b,故变形正确;⑤若 = , 则2x=3y,故变形正确.故答案为①④⑤. 9.(新考向·代数推理)(2024河北保定曲阳期末,12,★★☆)已 知8m+3n+2=4m+7n,利用等式的基本性质比较m与n的大小关 系:m　　　    n(填“>”“<”或“=”). < 解析    8m+3n+2=4m+7n,等式两边同时加上(-4m-7n-2),得4m- 4n=-2,根据乘法分配律的逆用得4(m-n)=-2,等式两边再同时 除以4,得m-n=- ,∵- <0,∴m<n. 方法解读　作差法 　　对于有理数a、b,若a-b>0,则a>b;若a-b=0,则a=b;若a-b< 0,则a<b.本题中比较m、n的大小,运用等式的基本性质得出 m-n<0,即可比较m、n的大小. 第2课时　方程的简单变形 知识点2　方程的变形规则 基础过关全练 1.(2024四川南充顺庆二模)已知5x=1,则x的值为 (　    ) A.5　　　    B. 　　　    C.-5　　　    D.-  B 解析　在等式5x=1的两边同时除以5可得x= .故选B. 2.(2024重庆七中期中)在解方程2x+1=3x-2时,下列移项正确 的是 (　    ) A.2x-3x=-2+1　　　    B.2x+3x=-2-1 C.1-2=3x-2x　　　    D.1+2=3x-2x D 解析　移项,得1+2=3x-2x(或2x-3x=-2-1),故选D. 3.(教材变式)(2024浙江丽水莲都期末)下列方程变形过程正 确的是 (　    ) A.由x+3=6,得x=6+3 B.由5x=3,得x=  C.由x+5=1,得x=5-1 D.由 x=0,得x=0 D 解析　将x+3=6的两边同时减去3,得x=6-3,∴A中变形不正 确;将5x=3的两边同时除以5,得x= ,∴B中变形不正确;将x+5 =1的两边同时减去5,得x=1-5,∴C中变形不正确;将 x=0的两 边同时除以 ,得x=0,∴D中变形正确.故选D. 4.(2024海南琼海嘉积中学模拟)若代数式3x-1的值为5,则x等 于 (　    ) A.2　　　    B.-2 C.3　　　    D.-3 A 解析　∵代数式3x-1的值为5,∴3x-1=5,解得x=2.故选A. 5.(2024湖南衡阳四校联考月考)下列移项正确的是 (　    ) A.由12-2x=-6,得12-6=2x B.由-8x+4=-5x-2,得8x+5x=-4-2 C.由5x+3=4x+2,得5x-2=4x-3 D.由-3x-4=2x-8,得8-4=2x-3x C 解析　对于选项A,12-2x=-6移项得到12+6=2x,故不符合题 意;对于选项B,-8x+4=-5x-2移项得到-8x+5x=-4-2,故不符合题 意;对于选项C,5x+3=4x+2移项得到5x-2=4x-3,故符合题意;对 于选项D,-3x-4=2x-8移项得到8-4=2x+3x,故不符合题意.故选 C. 6.(2024江苏泰州兴化期末)已知y1=5x-8,y2=8x+1,当y1=y2时,x 的值是 (　    ) A.3　　　    B.-3　　　    C. 　　　    D.-  B 解析　∵y1=5x-8,y2=8x+1,∴当y1=y2时,5x-8=8x+1,移项,得5x-8 x=1+8,合并同类项,得-3x=9,系数化为1,得x=-3.故选B. 7.(2024福建莆田涵江期末)如果5x+3=-7,那么5x=-7+　　        . (-3) 解析　方程两边同时加上-3得5x+3+(-3)=-7+(-3),所以5x=-7+ (-3). 8.(2024广东江门华侨中学一模)如果1-a=2,那么a=　　　    . -1 解析　∵1-a=2,∴a=-1. 9.(新独家原创)解方程2x= 时,在方程两边同时除以　　    ,可得方程的解为　　　    ;解方程 x=2时,在方程两边同 时乘　　　    或除以　　　    ,可得方程的解为　　　    . 2 x= 3 x=6 解析　解方程2x= 时,根据等式的基本性质2,在等式两边同 时除以2得x= . 解方程 x=2时,根据等式的基本性质2,在等式两边同时乘3 或除以 得x=6. 10.(教材变式)解下列方程: (1)(2024浙江丽水莲都期末)3x=10-2x. (2)(2024海南海口十四中月考)6x+5=3x-1. (3)(2024江苏常州溧阳期末)2x-6=3-x. (4)(2024浙江台州玉环期末)4x-5=2x+3. (5)(2024陕西西安雁塔高新一中期末)0.5x-0.7=6.5-1.3x. 解析    (1)移项,得3x+2x=10,合并同类项,得5x=10,系数化为1, 得x=2. (2)移项,得6x-3x=-5-1,合并同类项,得3x=-6,系数化为1,得x=- 2. (3)移项,得2x+x=6+3,合并同类项,得3x=9,系数化为1,得x=3. (4)移项,得4x-2x=3+5,合并同类项,得2x=8,系数化为1,得x=4. (5)移项,得0.5x+1.3x=6.5+0.7,合并同类项,得1.8x=7.2,系数化 为1,得x=4. 11.(新考向·新定义试题)(2024内蒙古巴彦淖尔、包头、乌兰 察布一模,4,★☆☆)定义新运算“※”,规定:a※b=2a-b,则方 程x※(-2)=6的解为 (　    ) A.x=-10　　　    B.x=-3　　　    C.x=2　　　    D.x=4 能力提升全练 C 解析　由题意得x※(-2)=2x-(-2)=6,解得x=2,故选C. 12.(2024重庆沙坪坝凤鸣山中学月考,3,★★☆)若关于x的方 程2x-4=-24和x+2=m有相同的解,则m的值是 (　    ) A.10　　　    B.-8　　　    C.-10　　　    D.8 B 解析　解方程2x-4=-24,得x=-10,把x=-10代入x+2=m,得m=-10 +2,即m=-8.故选B. 13.(2024河南周口商水四校联考期中,6,★★☆)方程|2x-1|=7 的解为 (　    ) A.x=-3　　　     B.x=4 C.x=4或x=-3　　　    D.x=-4或x=3 C 解析　∵|2x-1|=7,∴2x-1=7或2x-1=-7,当2x-1=7时,解得x=4;当 2x-1=-7时,解得x=-3.综上,方程的解为x=4或x=-3.故选C. 14.(2024福建泉州德化期中,7,★★☆)某同学在解关于x的方 程3a+x=13时,误将“+x”看成了“-x”,从而得到方程的解 为x=-1,则原方程正确的解为 (　    ) A.x=-4　　　    B.x=4 　　　    C.x=-1 　　　    D.x=1 D 解析　把x=-1代入方程3a-x=13,得3a+1=13,解得a=4,把a=4 代入方程3a+x=13,得12+x=13,解得x=1,即原方程的解是x=1. 故选D. 15.(跨物理·天平平衡状态)(2024辽宁沈阳皇姑期末,14,★★ ☆)如图,标有相同字母的物体的质量相同,若A的质量为15 克,则当B的质量为　　　    克时,天平处于平衡状态.   7.5 解析　设B的质量为x克,根据题图可知2×15+x=15+3x,解得x =7.5,即当B的质量是7.5克时,天平处于平衡状态. 16.(新考向·新定义试题)(2024浙江台州路桥期末,22,★★☆) 定义:若关于x的一元一次方程mx=n的解为x=n+2m,则称该方 程为“和合”方程,例如:一元一次方程2x=-8的解为x=-8+2× 2=-4,则方程2x=-8为“和合”方程. (1)若关于x的一元一次方程3x=a是“和合”方程,求a的值. (2)若关于x的一元一次方程6x=ab+b是“和合”方程,求ab+b 的值. 解析    (1)∵3x=a,∴x= ,∵关于x的一元一次方程3x=a是 “和合”方程,∴ =a+2×3,解得a=-9. (2)∵关于x的一元一次方程6x=ab+b是“和合”方程,∴x=ab +b+2×6,∴6(ab+b+2×6)=ab+b,∴5(ab+b)=-72,∴ab+b=-14.4. 17.(创新意识)对于两个不相等的有理数a、b,我们规定符号 min{a,b}表示a、b两数中较小的数,例如:min{-2,3}=-2.按照 这个规定,方程min{x,-x}=-2x-1的解为(　    ) A.x=- 　　　  B.x=-1 C.x=1　　　    D.x=-1或x=-  A 素养探究全练 解析　∵min{a,b}表示a、b两数中较小的数, ∴min{x,-x}=x或-x,当-2x-1=x时,x=- ,此时-x= ,∵x<-x,∴x=-  符合题意;当-2x-1=-x时,x=-1,此时-x=1,∵-x>x,∴x=-1不符 合题意. 综上,方程min{x,-x}=-2x-1的解为x=- .故选A. 18.(运算能力)(转化思想)(2024江西上饶信州期末)小明课后 利用方程的知识探索发现,所有纯循环小数都可以化为分数, 例如,化0. 为分数,解决方法:设x=0. ,即x=0.333…,将等式两 边都乘10,得10x=3.333…,即10x=3+0.333…,又因为x=0.333 …,所以10x=3+x,所以9x=3,即x= ,所以0. = . 尝试解决下列各题: (1)把0. 化成分数为　　　    . (2)请利用小明的方法,把纯循环小数0.  化成分数. 解析    (1)设a=0. ,即a=0.111 1…,将等式两边都乘10,得10a= 1.111 1…,即10a=1+0.111 1…,又因为a=0.111 1…,所以10a=1 +a,所以9a=1,即a= ,所以0. = .故答案为 . (2)设b=0.  ,即b=0.161 6…,将等式两边都乘100,得100b=16.1 61 6…,即100b=16+0.161 6…,又因为b=0.161 6…,所以100b= 16+b,所以99b=16,即b= ,所以0.  = . 方法解读     　　转化思想一般是将复杂问题通过变换转化为简单问题; 将难解的问题通过变换转化为容易求解的问题.本题运用无 限循环小数的意义,将其转化为方程,通过解方程将无限循环 小数转化为分数,体现了转化思想. $$