广东省深圳市桃源居中澳实验学校2024-2025学年高二上学期期末考试数学试题

( …………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ) ( ※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※ ) ( …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ) ( …………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ) ( 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ ) ( …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ) 一、单选题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.若直线与直线互相垂直，则的值为(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【解析】【分析】 本题考查两直线垂直的性质，属于基础题． 利用两直线的位置关系得到方程，求解参数即可． 【解答】 解：因为直线与直线互相垂直， 所以，解得． 故选：． 2.在长方体中，，，则异面直线与所成角的余弦值为(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】【分析】 本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，属于基础题． 以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线与所成角的余弦值． 【解答】 解：以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系， 在长方体中，，， ，，，， ，， 设异面直线与所成角为， 则， 异面直线与所成角的余弦值为． 故选C． 3.设等差数列的前项和为，若，，则等于(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】【分析】 本题考查灵活运用等差数列的性质化简求值，属于中档题． 由等差数列性质知、、成等差数列，求出即得． 【解答】 解：由等差数列性质知、、成等差数列，即，，成等差数列， ， ， ． 故选：． 4.如图，点，，分别在空间直角坐标系的三条坐标轴上，，平面的法向量为，设二面角的大小为，则(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】【分析】 本题考查利用法向量求二面角的余弦值的求法，考查运算求解能力，属于基础题． 利用直接求解，注意为锐角． 【解答】 解：点，，分别在空间直角坐标系的三条坐标轴上， ，平面的法向量为， 二面角的大小为，且为锐角， ． 故选C． 5.若直线与直线交于点，与直线交于点，且线段的中点是，则的斜率为(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】【分析】 本题考查过两点的斜率公式，两条直线的交点坐标，属于基础题． 设，结合在上，在上及中点坐标公式求解． 【解答】 解：设， 由题意得，， 又的中点是， 则，故， 又在上， 则，故， 又，故， 所以， 根据斜率公式，得． 故选：． 6.已知点，，直线，在直线上找一点使得最小，则这个最小值为(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【解析】【分析】 本题考查求一个点关于某直线的对称点的坐标的方法，属于基础题． 求出关于直线的对称点的坐标，利用两点间的距离公式，即可求得最小值． 【解答】 解：设关于直线的对称点的坐标为， 则 最小值为， 故选D． 7.已知两条平行直线与间的距离为，则的值为(    ) A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 【答案】D  【解析】【分析】 本题考查两条平行直线间的距离，属于基础题． 直接根据平行线间距离公式求解即可． 【解答】 解：由题意，根据平行线间的距离公式， ， 即，解得或． 故选：． 8.已知两点和到直线距离相等，则值为(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】【分析】 本题考查点到直线的距离公式的运用，解题时要认真审题，仔细解答． 根据点到直线的距离公式列出等式，由此能求出． 【解答】 解：两点和到直线距离相等， ， 解得，或． 故选：． 9.已知圆心为的圆经过，两点，且点在直线上，则此圆的标准方程为(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【解析】【分析】 本题考查圆的标准方程，属于基础题． 设出圆的方程，列出方程组可得答案． 【解答】 解：设圆的方程为，因为经过，两点，且点在直线上， 所以 解得 所以圆的标准方程为． 故答案为：． 10.若椭圆的弦被点平分，则所在直线的方程为(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】【分析】 本题考查直线与椭圆的位置关系，直线的点斜式方程，中点坐标公式，考查计算能力，属于中档题． 利用点差法求解得  ，再根据点斜式求解即可得答案． 【解答】 解：设  ，则 所以  ，整理得  ， 因为  为弦  的中点， 所以  ， 所以  ， 所以弦  所在直线的方程为  ，即  ． 故选A． 11.记为等差数列的前项和．若，，则的公差为(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】【分析】 本题考查等差数列的通项公式和等差数列的前项和的公式，属于基础题． 利用等差数列的通项公式及前项和公式列出方程组，求出首项和公差，即得出的公差． 【解答】 解：设公差为，则，， 联立，解得． 故答案选：． 12.设，是双曲线：的左，右焦点，是坐标原点．过作的一条渐近线的垂线，垂足为若，则的离心率为(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】【分析】 本题考查了双曲线的简单性质，点到直线的距离公式，余弦定理，离心率，属于中档题． 先根据点到直线的距离求出，再求出，在与中，由余弦定理可得，代值化简整理可得，问题得以解决． 【解答】 解：不妨设双曲线：的一条渐近线方程为， 则到的距离， 在中，，所以， 所以，又， 所以在与中，根据余弦定理得 ， 即，得． 所以． 故选C． 二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。 13.在数列中，，且，则          ． 【答案】  【解析】【分析】 本题考查利用等差数列的通项公式求数列的项，是基础题． 根据，可得数列是以为公差的等差数列，再根据等差数列的通项公式即可求出． 【解答】解：， 数列是以为公差的等差数列， ， ． 故答案为． 14.直线与直线平行，则            【答案】  【解析】【分析】 本题考查两条直线平行，斜率的关系，属于基础题． 两直线斜率存在时，由两直线平行，可得斜率相等，进而可求解． 【解答】 解：由，可得， 所以直线的斜率为， 所以的斜率存在，且为 由两直线平行，可得， 解得或， 经检验，，两直线重合，符合题意． 故答案为：． 15.已知双曲线：的一条渐近线为，则的焦距为          ． 【答案】  【解析】【分析】 本题考查双曲线的几何性质，涉及双曲线的渐近线方程的分析，属于基础题． 根据题意，由双曲线的性质可得，解可得的值，即可得双曲线的标准方程，据此计算的值，即可得答案． 【解答】 解：根据题意，双曲线：的一条渐近线为， 则有，解可得， 则双曲线的方程为，则， 其焦距； 故答案为：． 16.已知为等差数列，，，则          ． 【答案】  【解析】【分析】 本题主要考查了等差数列的性质，属于基础题． 根据等差数列的性质可知，把，代入即可求得． 【解答】 解：为等差数列， ， ． 故答案为． 17.过点作圆的弦，其中最短的弦长为          ． 【答案】  【解析】【分析】 此题考查了直线与圆的位置关系，涉及的知识有：圆的标准方程，点与圆的位置关系，垂径定理，以及勾股定理，找出最短弦是解本题的关键，属于基础题． 由圆的方程找出圆心与半径，判断得到在圆内，过此点最短的弦即为与过此点直径垂直的弦，利用垂径定理及勾股定理即可求出． 【解答】 解：根据题意得：圆心，半径， ，在圆内， 圆心到此点的距离，， 最短的弦长为． 故答案为：． 18.已知曲线与直线有两个相异的交点，那么实数的取值范围是          ． 【答案】  【解析】【分析】 本题主要考查了直线与圆的位置关系，参数取值范围的求解，属于中档题． 由解析式可知曲线为半圆，直线与平行；画出半圆的图象，找到直线与半圆有两个交点的临界状态，利用圆的切线的求解方法和两点连线斜率公式求得斜率的取值范围． 【解答】 解：            而 与平行， 则曲线图象如下图所示： 由图象可知， 当直线过点时，曲线与直线有两个相异交点，， 向上平移直线，当与半圆相切， 可得：解得：或不合题意舍去， 故答案为． 三、解答题：本题共4小题，共48分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 19.本小题分 如图，在几何体中，，，平面平面，，，，为的中点． Ⅰ证明：平面； Ⅱ求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】Ⅰ证明：取中点，连接，， 又为的中点，，， ，且， 四边形是平行四边形， ， 而且平面，平面， 平面； Ⅱ解：，平面平面，且交于， 面， 由Ⅰ知， 平面， 又，为中点， ， 如图， 以，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系， 则，，，， ，，， 设平面的一个法向量为， 则，即， 令，得， 所以． 直线与平面所成角的正弦值为．  【解析】本题考查线面平行的证明、线面角的正弦值的求法，以及运用数形结合的思想进行逻辑推理和直观想象的能力，属于基础题． Ⅰ取中点，连接，推导出四边形是平行四边形，从而，由此能证明平面； Ⅱ推导出面，平面，，以，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线与平面所成角的正弦值． 20.本小题分 已知等差数列中，，公差．  求数列的通项公式；  求数列的前项和的最大值及相应的的值． 【答案】解：为等差数列， ， 解得：因，舍去， 或， ， 令，解得， 或时，取得最大值， ， 故当或时，取得最大值，其最大值为．  【解析】本题考查了等差数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 利用等差数列的性质可得，联立方程可得，，代入等差数列的通项公式可求． 令，解得，可得或时，取得最大值，利用求和公式即可得出． 21.本小题分 已知圆：． 过点向圆作切线，求切线的方程； 若为直线：上的动点，过向圆作切线，切点为，求的最小值． 【答案】解：切线的斜率不存在时，满足条件． 切线的斜率存在时，设方程为，即， 圆心到切线的距离，解得， 可得切线方程为：， 综上可得切线的方程为：，或． 当时，取得最小值，此时， ．  【解析】本题考查了直线与圆相切的性质、点到直线距离公式、勾股定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 切线的斜率不存在时，满足条件．切线的斜率存在时，设方程为，即，利用切线的性质、点到直线距离公式即可得出． 当时，取得最小值，利用点到直线距离公式可得，利用勾股定理可得． 22.本小题分 已知椭圆的两焦点为，，点为椭圆上一点，且 求此椭圆的方程 若点满足，求的面积． 【答案】解：依题意得， 又， ，， ，． 所求椭圆的方程为． 在中，由余弦定理得 ， 即， ， ， ．   【解析】本题考查椭圆的标准方程，考查椭圆的焦点三角形问题，考查学生的计算能力，属于中档题． 由焦点坐标求出，根据，求出，从而可求，即可得出椭圆方程； 运用余弦定理求出，再利用三角形的面积公式，可求的面积． 第2页，共2页 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$Grade 11 Math 深圳市桃源居中澳实验学校港澳台项目24-25学年度第一学期期末考试 高二年级数学学科 学生姓名Students Name 英文名 English 中文名 Chinese 题目 Questions Ⅰ Ⅱ Ⅲ 总分 Total 得分 Score 试卷说明Information 出卷人 Examination written by 审核人 Checked by 蔡承佑 CaiChengYou 试卷总分 The total mark for this paper is 150 考试时间 The total time is 120 minutes Notice: Calculator can`t be used in the examination. 一、单选题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.若直线与直线互相垂直，则的值为(    ) A. B. C. D. 2.在长方体中，，，则异面直线与所成角的余弦值为(    ) A. B. C. D. 3.设等差数列的前项和为，若，，则等于(    ) A. B. C. D. 4.如图，点，，分别在空间直角坐标系的三条坐标轴上，，平面的法向量为，设二面角的大小为，则(    ) A. B. C. D. 5.若直线与直线交于点，与直线交于点，且线段的中点是，则的斜率为(    ) A. B. C. D. 6.已知点，，直线，在直线上找一点使得最小，则这个最小值为(    ) A. B. C. D. 7.已知两条平行直线与间的距离为，则的值为(    ) A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 8.已知两点和到直线距离相等，则值为(    ) A. B. C. D. 9.已知圆心为的圆经过，两点，且点在直线上，则此圆的标准方程为(    ) A. B. C. D. 10.若椭圆的弦被点平分，则所在直线的方程为(    ) A. B. C. D. 11.记为等差数列的前项和．若，，则的公差为(    ) A. B. C. D. 12.设，是双曲线：的左，右焦点，是坐标原点．过作的一条渐近线的垂线，垂足为若，则的离心率为(    ) A. B. C. D. 二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。 13.在数列中，，且，则          ． 14.直线与直线平行，则            15.已知双曲线：的一条渐近线为，则的焦距为          ． 16.已知为等差数列，，，则          ． 17.过点作圆的弦，其中最短的弦长为          ． 18.已知曲线与直线有两个相异的交点，那么实数的取值范围是          ． 三、解答题：本题共4小题，共48分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 19.本小题分 如图，在几何体中，，，平面平面，，，，为的中点． Ⅰ证明：平面； Ⅱ求直线与平面所成角的正弦值． 20.本小题分 已知等差数列中，，公差．  求数列的通项公式；  求数列的前项和的最大值及相应的的值． 21.本小题分 已知圆：． 过点向圆作切线，求切线的方程； 若为直线：上的动点，过向圆作切线，切点为，求的最小值． 22.本小题分 已知椭圆的两焦点为，，点为椭圆上一点，且 求此椭圆的方程 若点满足，求的面积． 第 4 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $$