专题02 二次根式的乘除重难点题型专训（12大题型+15道提优训练）-2024-2025学年八年级数学下册重难点专题提升精讲精练（人教版）

专题02 二次根式的乘除重难点题型专训（12大题型+15道提优训练） 题型一 二次根式的乘法 题型二 二次根式的除法 题型三 二次根式的乘除混合运算 题型四 最简二次根式的判断 题型五 化为最简二次根式 题型六 已知最简二次根式求参数 题型七 分母有理化及其应用 题型八 二次根式的大小比较 题型九 用二次根式的乘除法解决实际问题 题型十 二次根式的估值问题 题型十一 二次根式乘除法中的新定义问题 题型十二 二次根式乘除法中的规律计算问题 【知识梳理】 知识点一、二次根式的乘法 二次根式的乘法 ·＝．（a≥0，b≥0） 文字语言：二次根式与二次根式相乘，等于各个被开数的积的算术平方根. 推广： 知识点二、二次根式的除法 二次根式的除法：=（a≥0，b>0） 文字语言：二次根式与二次根式相乘，等于各个被开数的商的算术平方根. 【经典例题一 二次根式的乘法】 【例1】（2025八年级下·全国·专题练习）计算的正确结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次根式的混合运算，首先利用同底数幂的乘法逆运算，再利用积的乘方的逆运算法则变形为，根据平方差公式可得：原式，再根据乘方的定义进行计算可得结果． 【详解】解： 故选： D． 1．（23-24八年级下·河南郑州·期中）计算的结果为（    ） A． B． C．1 D．3 【答案】A 【分析】本题考查了二次根式的运算，积的乘方的逆用，平方差公式，将原式变形为，再利用积的乘方的逆运算和平方差公式求解即可． 【详解】解： ， 故选：A． 2．（23-24八年级下·山东烟台·期中）计算的结果为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查二次根式的乘法运算，逆用积的乘方以及平方差公式进行计算即可． 【详解】解：原式 ； 故答案为：． 3．（24-25八年级上·山西晋城·期中）阅读与思考 请阅读下列材料，并完成相应的任务． 在学习完实数的相关运算之后，数学兴趣小组的同学们提出了一个有趣的问题：两个数的积的算术平方根与这两个数的算术平方根的积存在什么样的关系？ 小南用自己的方法进行了探究：，而，即． 任务： (1)结合材料，猜想：当时，请直接写出和之间的关系． (2)运用以上结论，计算：①，② (3)运用上述规律，解决实际问题：已知一个长方形的长为，宽为，求长方形的面积． 【答案】(1)当时， (2)①；② (3) 【分析】本题主要考查了二次根式的乘法与性质， （1）根据阅读材料中的例题，即可解答； （2）①利用（1）的结论，进行计算即可解答；②利用（1）的结论，进行计算即可解答； （3）根据长方形的面积公式，并利用（1）的结论，进行计算即可解答． 熟练掌握二次根式的乘法法则和性质是关键． 【详解】（1）根据阅读材料中的例题得，当时，； （2）①， ②； （3）由题意，得长方形的面积． 【经典例题二 二次根式的除法】 【例2】（24-25八年级下·山东烟台·期中）若成立，则的值可以是（    ） A．-4 B．2 C．4 D．5 【答案】B 【分析】根据被开方数大于等于零，分母不能为零，建立不等式组计算即可． 【详解】因为成立， 所以， 解得， 只有m=2符合题意， 故选B． 【点睛】本题考查了二次根式除法运算的基本条件，熟练掌握运算具备的条件是解题的关键． 1．（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）若，则化简的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了非负数的性质，二次根式的性质，二次根式的除法等知识，先根据非负数的性质求出a、b的值，然后代入，根据二次根式的除法法则和二次根式的性质化简即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，， ∴， 故选：B． 2．（24-25八年级上·上海·阶段练习）计算： ． 【答案】 【分析】根据二次根式的除法运算法则即可求解． 【详解】解： ． 【点睛】此题主要考查了二次根式的运算，解题的关键是熟练掌握相关运算法则． 3．（24-25八年级上·山东青岛·期中）小路在学习了后， 认为也成立，因此他认为一个化简过程： 是正确的． (1)你认为他的化简对吗？ 如果不对，请写出正确的化简过程； (2)说明成立的条件． 【答案】(1)不对，见解析 (2)且 【分析】本题考查了二次根式的化简，熟练掌握二次根式的性质是解题关键． （1）根据二次根式的被开方数的非负性可得他的化简不对，利用二次根式的性质化简即可得； （2）根据二次根式的被开方数的非负性、分式的分母不能等于0即可得． 【详解】（1）解：因为二次根式的被开方数不能小于0，所以他的化简不对． 正确的化简过程如下： ． （2）解：因为二次根式的被开方数不能小于0、分式的分母不能等于0， 所以成立的条件是且． 【经典例题三 二次根式的乘除混合运算】 【例3】（2023八年级下·江苏·专题练习）计算（）的结果是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，利用二次根式的性质进行化简，正确化简二次根式是解题关键． 直接利用二次根式的混合运算法则，计算化简即可． 【详解】解： ， 故选：A． 1．（24-25八年级下·四川南充·期末）已知，，则的值为（  ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【分析】根据二次根式的混合运算和完全平方公式进行计算，即可得到结果． 【详解】解：∵，， ∴ ∴ 故选：B． 【点睛】本题主要考查了二次根式的混合运算和完全平方公式，熟悉相关运算法则是解题的关键 2．（24-25八年级上·上海·单元测试）已知 ， 且，则 ． 【答案】 【分析】先根据，且，判断出x、y的关系代入求出算式的值是多少即可． 【详解】∵， ∴， 又，， ∴，， ∴，即， 当时， 原式 ， 故答案为：2． 【点睛】本题考查了二次根式的化简求值，熟练掌握二次根式的运算法则是解答本题的关键． 3．（2024八年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)2 (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了二次根式的乘除法计算，熟知二次根式的乘除法计算法则是解题的关键． （1）先计算二次根式乘法，再计算二次根式除法即可得到答案； （2）直接根据二次根式乘法计算法则求解即可； （3）把根号外面的式子进行乘除法计算，再把根号里面的式子根据二次根式的乘除法计算法则计算，据此可得答案； （4）把根号外面的式子进行乘除法计算，再把根号里面的式子根据二次根式的乘除法计算法则计算，据此可得答案． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 【经典例题四 最简二次根式的判断】 【例4】（23-24九年级上·四川乐山·期中）下列各式①，②，③，④，⑤（＞0）中是最简二次根式的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了最简二次根式的定义，先根据二次根式的性质化简，再根据最简二次根式的定义判断即可．能理解最简二次根式的定义是解题的关键． 【详解】解：①是最简根式；②，故不是最简根式；③是最简根式；④，故不是最简根式；⑤，故不是最简根式．所以最简根式有：①、③，共2个． 故选：B． 1．（23-24八年级上·上海松江·阶段练习）在二次根式，，，，，中，最简二次根式个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据二次根式的性质化简，根据最简二次根式的概念判断即可． 【详解】解：不能再化简，是最简二次根式； ，不是最简二次根式， ，不是最简二次根式， 不能再化简，是最简二次根式； ，不是最简二次根式， 即最简二次根式有2个， 故选：B． 【点睛】本题考查的是最简二次根式的概念，掌握二次根式的性质、最简二次根式的概念是解题的关键． 2．（24-25九年级上·全国·课后作业）下列二次根式中，不是最简二次根式的有 个． ①； ②； ③； ④. 【答案】3 【分析】根据最简二次根式的条件判定即可.一是被开方数是整数或整式；二是被开方数中不能含有能尽方的数或整式. 【详解】解：①中被开方数中x的指数是2，所以它不是最简二次根式； ②中被开方数0.3不是整数，所以它不是最简二次根式； ③中被开方数不是整数，所以它不是最简二次根式； ④符合最简二次根式的条件，是最简二次根式. 所以不是最简二次根式的有3个． 【点睛】本题考查了最简二次根式的定义，熟练掌握最简二次根式的条件是解题关键. 3．（2024八年级上·全国·专题练习）在下列各式中，哪些是最简二次根式？哪些不是？对不是最简二次根式的式子进行化简． 【答案】是最简二次根式；其余的式子都不是最简二次根式，化简见解析 【分析】本题考查最简二次根式的定义．最简二次根式必须满足两个条件：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式．判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是． 【详解】解： 是最简二次根式 【经典例题五 化为最简二次根式】 【例5】（23-24八年级上·全国·单元测试）式子化简的结果是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查二次根式的性质：时，；时，；时，，二次根式有意义的条件，熟练掌握是解决问题的关键．由得，得到，得到，再根据二次根式的性质化简即可． 【详解】解：∵中，， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 1．（23-24八年级下·山东聊城·期中）把化成最简二次根式，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查最简二次根式．解题的关键是掌握二次根式的性质并能够正确利用二次根式的性质进行化简． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ． 故选：C． 2．（24-25九年级上·四川眉山·阶段练习）把根号外面的因式移到根号里面化简的结果是 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了化简二次根式，二次根式有意义的条件及分式有意义的条件，根据题意可得，据此利用二次根式的性质化简即可． 【详解】解：， ， ， 故答案为：． 3．（24-25八年级下·广东珠海·期中）观察式子：， 反过来：， ∴， 仿照上面的例子： (1)化简 ①； ②； (2)如果，且，化简． 【答案】(1)①；②； (2) 【分析】（1）①由，再化简即可；②由，再化简即可； （2）由，且，可得，，，再化简即可． 【详解】（1）解：①∵， ； ②∵， ∴． （2）∵，且， ∴，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查的是二次根式的乘方运算，二次根式的化简，熟练地把二次根式化为最简二次根式是解本题的关键． 【经典例题六 已知最简二次根式求参数】 【例6】（23-24八年级上·河南驻马店·期末）若与最简二次根式能合并，则的值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】本题考查了利用二次根式的性质进行化简，最简二次根式．熟练掌握利用二次根式的性质进行化简，最简二次根式是解题的关键． 由题意知，，则，计算求解即可． 【详解】解：由题意知，， ∴， 解得，， 故选：B． 1．（24-25九年级上·四川遂宁·期中）若和最简二次根式是同类二次根式，则m的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】把化成最简二次根式，由最简二次根式的含义：被开方数相同，可得关于m的方程，解方程即可． 【详解】∵，而最简二次根式与是同类二次根式， ∴， 解得：； 故选：B． 【点睛】本题考查了最简二次根式，掌握最简二次根式的概念是解题的关键．但要注意，要把化成最简二次根式． 2．（24-25八年级上·安徽宿州·期末）最简二次根式与是同类最简二次根式，则 ． 【答案】2 【分析】根据最简二次根式、同类二次根式的性质计算，即可得到a和b的值；再将a和b的值代入到代数式，通过计算即可得到答案． 【详解】根据题意得： ∴ ∵最简二次根式与是同类最简二次根式 ∴ ∴ ∴ 故答案为：2． 【点睛】本题考查了二次根式的知识；解题的关键是熟练掌握最简二次根式、同类二次根式、代数式的性质，从而完成求解． 3．（24-25八年级上·全国·课后作业）已知a、b是整数，如果是最简二次根式，求的值，并求的平方根． 【答案】4，±2． 【分析】根据最简二次根式的定义得出a=1，2b﹣5=1，进而求出答案． 【详解】解：∵是最简二次根式， ∴a=1，2b﹣5=1， 解得：a=1，b=3， ∴==4， ∴的平方根为±2． 【点睛】本题考查最简二次根式以及平方根，熟悉最简二次根式的定义是解题关键． 【经典例题七 分母有理化及其应用】 【例7】（24-25八年级上·山东枣庄·期中）化简时，甲的解法是：原式，乙的解法是： 原式，以下判断正确的是（   ） A．甲的解法正确，乙的解法不正确 B．甲的解法不正确，乙的解法正确 C．甲、乙的解法都正确 D．甲、乙的解法都不正确 【答案】C 【分析】本题考查了分母有理化、运用平方差公式进行计算，根据甲的做法是将分母有理化，乙的做法是将分子转化为平方差公式，然后约分化简，判断即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：甲的做法是将分母有理化，运用分数的基本性质，分子、分母都乘以不为0的同一个数；乙的做法是将分子转化为平方差公式，然后约分化简；均正确， 故选：C． 1．（24-25八年级上·上海·期中）把式子分母有理化过程中，错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了分母有理化，涉及到了因式分解等知识，解题关键是掌握式子恒等变形的方法，注意分子分母同乘或除以一个不为零的数或式子，原式的值才不变，本题据此依次判断即可． 【详解】解：A、将式子的分子分母同乘以，式子的值不变，故该选项正确，不符合题意； B、将分子因式分解为，与分母约分后得到，故该选项正确，不符合题意； C、因为有可能为0，所以分子分母同时乘以错误，故该选项符合题意； D、将分子因式分解为，与分母约分后得到，故该选项正确，不符合题意； 故选：C ． 2．（2025八年级下·全国·专题练习）若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的化简，完全平方公式的变形，先将，b分母有理化，再对代数式进行变形后代入求解即可．解题的关键是对原代数式进行适当的变形，以简化运算． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 故答案为：． 3．（24-25八年级上·山东青岛·期末）在数学小组探究学习中，小华与他的小组成员遇到这样一道题： 已知，求的值． 他们是这样解答的： ， ， ，即， ， ． 请你根据小华小组的解题方法和过程，解决以下问题： (1)______； (2)化简：； (3)若，求的值． 【答案】(1) (2)10 (3)6 【分析】本题考查了二次根式的化简求值：二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值．也考查了分母有理化． （1）把分子分母都乘以，然后利用平方差公式计算； （2）先分母有理化，然后合并二次根式即可； （3）先分母有理化得到，移项后平方得到，再把原式变形为，接着利用整体代入的方法计算得到原式，然后再运用同样方法计算即可． 【详解】（1）解：； 故答案为：； （2）解：原式 ； （3）解：， ， ， ， ． 【经典例题八 二次根式的大小比较】 【例8】（23-24八年级下·山东烟台·期中）已知，，则x与y的大小关系为（　　） A． B． C． D．无法比较 【答案】C 【分析】本题主要考查二次根式的大小比较，解题的关键是熟练掌握二次根式的大小比较的方法和二次根式的运算法则．将、分别平方后，比较即可得． 【详解】解：∵，， ∴、， ∵， ∴． 故选C 1．（24-25八年级上·福建泉州·期末）若，则a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分别将a、b、c平方，利用完全平方公式和二次根式的性质化简后对平方进行比较得出结论． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， ， ∵，即， ∵a、b、c都是大于0的实数， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查了完全平方公式、二次根式大小的比较等知识点，利用完全平方公式计算出值，是解决本题的关键． 2．（24-25八年级上·陕西西安·期末）比较大小： （填“>”或“<”或“=”）． 【答案】 【分析】本题考查比较实数的大小，二次根式值的大小比较，根据作差法和平方法进行比较即可． 【详解】解：， ∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 3．（24-25八年级上·广东梅州·阶段练习）分母有理化应用： (1)填空：的有理化因式是________；将分母有理化得________； (2)化简：； (3)利用以上解题方法比较与的大小，并说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)，理由见解析 【分析】本题考查了二次根式的混运算； （1）根据平方差公式以及二次根式的性质化简，即可求解； （2）分别分母有理化，然后再合并 二次根式，即可求解； （3）比较两数的倒数的大小，即可求解． 【详解】（1）解： ； 故答案为： ，； （2） ； （3）理由如下： 由题意得：，， ∵， ∴． 【经典例题九 用二次根式的乘除法解决实际问题】 【例9】（24-25八年级上·广东深圳·期末）如图，是由四个全等的直角三角形拼成的“赵爽弦图”，得到正方形与正方形，连接．若，，则正方形的面积为（    ） A．16 B．9 C．8 D．12 【答案】D 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，线段垂直平分线的性质与判定．由全等三角形的性质得到，进而证明，则垂直平分线，可得，再利用正方形的面积计算公式即可得到答案． 【详解】解：由题意得，， ∵， ∴， 又∵， ∴垂直平分线， ∴， ∴， 故选：D． 1．（24-25八年级上·河北保定·阶段练习）农场打算修建一个底面为长方形的蓄水池，若蓄水池的长为，宽为，则蓄水池的占地面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次根式的乘法，利用二次根式的性质化简等知识点，熟练掌握二次根式的性质和运算法则是解题的关键． 根据题意可得，蓄水池的占地面积为蓄水池的长乘以蓄水池的宽，即，然后利用二次根式的性质化简即可． 【详解】解：根据题意可得： 蓄水池的占地面积为： ， 故选：． 2．（2024八年级上·全国·专题练习）如图，等边三角形和长方形有一条公共边，长方形内有一个正方形，其四个顶点都在长方形的边上．若等边三角形的边长是，正方形的面积是2，则图中阴影部分的面积是 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查等边三角形的性质、二次根式运算的应用，解题关键在于求出正方形的边长． 首先由正方形的面积是2求出正方形的边长为，然后用长方形的面积减去正方形的面积即可求解． 【详解】解：∵正方形的面积是2， ∴正方形的边长为 ∵等边三角形的边长是， ∴长方形的长为， ∴图中阴影部分的面积是． 故选：D． 3．（24-25八年级上·河北石家庄·期中）（1）如图1，已知：在中，，，直线经过点，直线，直线，垂足分别为点、．证明：． （2）如图2，将（1）中的条件改为：在中，，、、三点都在直线上，并且有，其中为任意锐角或钝角．请问结论是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由． （3）运用这个知识来解决问题：如图3，过的边、向外作等腰直角和等腰直角，是边上的高，延长交于点，，．请直接写出的面积________． 【答案】（1）见解析（2）成立，理由见解析（3） 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，等腰三角形的定义，解题的关键是熟练掌握全等三角形的性质和判定； （1）证明，可得，即可得证； （2）证明，可得，即可得证； （3）延长，过D作于M，的延长线于N，如图，则，由（1）和（2）的结论可知，证明，再证明，根据面积关系可得，再求解即可． 【详解】（1） 证明：直线，直线， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （2）解：成立，理由如下， ， ， ， ，， ， ， ； （3）解：延长，过D作于M，的延长线于N，如图，则， 由（1）和（2）的结论可知， ， ， ， ， 和是等腰直角三角形， ， ， ， ， 故答案为：． 【经典例题十 二次根式的估值问题】 【例10】（24-25九年级上·重庆·阶段练习）估计的值应在（   ） A．和之间 B．和之间 C．和之间 D．和之间 【答案】D 【分析】本题考查无理数的估算，二次根式的乘法和二次根式的性质，利用二次根式乘法法则得到，再利用二次根式的性质可得到，然后估算出的值即可，正确估算出的值是解题的关键． 【详解】解：由， ∵， ∴， ∴， 故选：． 1．（23-24九年级下·重庆·开学考试）估计的值应在（   ） A．4和5之间 B．5和6之间 C．6和7之间 D．7和8之间 【答案】B 【分析】直接利用二次根式乘法运算法则化简，进而估算无理数的大小即可． 此题主要考查了估算无理数的大小，正确进行二次根式的运算是解题关键． 【详解】解：， ∵， ∴， ∴的值应在5和6之间， 故选：B． 2．（24-25九年级上·山西晋城·阶段练习）交通警察通常根据刹车后车轮滑过的距离估计车辆行驶的速度，所用的经验公式是，其中表示车速（单位：千米/时），表示刹车后车轮滑过的距离（单位：米），表示动摩擦因数．在某次交通事故调查中，测得米，，肇事汽车的车速大约是 千米/时．（结果保留根号） 【答案】 【分析】本题考查了算术平方根的应用，利用二次根式的性质进行化简，二次根式的乘法运算．熟练掌握算术平方根的应用，利用二次根式的性质进行化简，二次根式的乘法运算是解题的关键． 由题意知，，计算求解即可． 【详解】解：由题意知，（千米/时）， 故答案为：． 3．（24-25八年级上·四川成都·阶段练习）阅读下面的文字，解答问题． 例如：，即， 的整数部分为2．小数部分为． 请解答：已知整数部分是，小数部分是，且，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了无理数的估算，二次根式的运算；熟练掌握用夹逼法估算无理数的大小是解题的关键．仿照题中给出的方法求出m、n的值，即可求出x的值． 【详解】解：，即， 的整数部分为4，小数部分为， ，， ∵， ， 解得：． 【经典例题十一 二次根式乘除法中的新定义问题】 【例11】（23-24八年级下·河北廊坊·阶段练习）对于正整数a，b定义新运算“◎”，规定，则的运算结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了新定义计算，二次根式乘法运算，根据题意列出算式，利用二次根式乘法运算法则进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴． 故选：A． 1．（23-24九年级上·河南南阳·阶段练习）定义新运算“”，规定，则的运算结果为（    ） A．10 B．8 C．4 D．2 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次根式的运算、新定义运算等知识点，先根据新定义运算列出算式，然后根据二次根式的运算法则计算即可；掌握二次根式的运算法则是解题的关键． 【详解】解：． 故选D． 2．（24-25九年级上·广西百色·期中）对于任意两个不相等的数，定义一种新运算，如，那么 ． 【答案】 【分析】本题考查了新定义运算，二次根式的除法运算，根据新定义，结合二次根式的运算计算即可得出答案，掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解：， 故答案为：． 3．（23-24八年级上·山西长治·阶段练习）如果一个数的平方等于，那么这个数叫做的平方根．即：若，则．反之．如果一个数是的平方根，那么这个数的平方等于．即：若，则．例如： 根据平方根的定义可得：∵，∴． 根据平方根的定义可得：∵是的一个平方根，∴． 根据平方根的定义，利用上述符号及例子解决下列问题： (1)求下列各式中的值． ； ． (2)求证：． 证明：∵是的平方根， ∴． ∵（依据） ，（依据） ∴． 填写推理依据， 依据：__________________； 依据：__________________． 计算：． 【答案】(1)或或； (2)积的乘方；平方根的定义；． 【分析】（）把看成一个整体，然后利用平方根的定义即可求解； 先化简，把看成一个整体，然后利用平方根的定义即可求解； （）根据积的乘方和平方根的定义即可； 根据二次根式乘法法则进行即可计算． 【详解】（1）， ， 或； ， ， 或； （2）积的乘方；平方根的定义； 原式． 【点睛】此题考查了平方根和二次根式的乘法，解题的关键是正确理解平方根的定义和熟练掌握二次根式的乘法运算． 【经典例题十二 二次根式乘除法中的规律计算问题】 【例12】（23-24八年级下·安徽滁州·期末）观察下列各式：应用运算规律化简的结果为（   ） A．2023 B．2024 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次根式规律问题，二次根式的乘法，解题的关键是学会探究规律，利用规律解决问题，属于中考常考题型． 探究出规律，然后利用规律即可解决问题． 【详解】∵ ∴用含的等式表示为 ∴． 故选C． 1．（23-24八年级下·安徽合肥·阶段练习）通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律：特例1：；特例2：；特例3：……应用发现的运算规律求的值（      ） A．2024 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查找规律，根据题中特例得到规律，代值求解即可得到答案，观察已知特例特征，准确找到规律是解决问题的关键． 【详解】解：特例1：； 特例2：； 特例3：； …… 以上规律为：， 当时，， 故选：B． 2．（24-25八年级下·安徽滁州·阶段练习）一组二次根式按一定规律排列：，，，3，6，，……，若a，b，c是这组式子中相邻的三个二次根式，则a，b，c之间的关系是 . 【答案】 【分析】在排列中任意将三个相邻的数定义给a，b，c的值，找出之间的运算关系即可． 【详解】解：∵， ， ……， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了与实数运算相关的规律性，解题的关键是找到三个数之间的关系． 3．（2024八年级上·全国·专题练习）先来看一个有趣的现象：，这里根号里的因数2经过适当的演变，2竟“跑”到了根号的外面．我们不妨把这种现象称为“穿墙”，具有这一性质的数还有许多．如：等等． (1)①请你写一个有“穿墙”现象的数； ②按此规律，若为正整数），则的值为______． (2)你能用含正整数的式子来表示含有上述规律的等式吗？证明你找到的规律． 【答案】(1)①；②71 (2)用含正整数的式子表示为，证明见解析 【详解】（1）①有“穿墙”现象的数为：． ②由题意，a=8，b=63， ∴a+b=8+63=71， 故答案为71. （2）第一个等式为，即 第二个等式为，即； 第三个等式为，即， 用含正整数的式子表示为， 验证如下： ． 1．（24-25八年级上·上海·假期作业）下列根式中，是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是最简二次根式，被开方数不含分母、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式，掌握最简二次根式的概念是解答本题的关键． 根据最简二次根式的概念判断即可． 【详解】解：A、，被开方数中含能开得尽方的因式，不是最简二次根式，不符合题意； B、，被开方数中含分母，不是最简二次根式，不符合题意； C、是最简二次根式，符合题意； D、，被开方数中含能开得尽方的因式，不是最简二次根式，不符合题意； 故选：C． 2．（24-25九年级上·四川宜宾·期中）如果，那么（    ） A． B． C． D．为一切实数 【答案】B 【分析】本题考查二次根式乘法法则成立的条件，解题的关键是掌握：二次根式的乘法法则是，注意：只有、都是非负数时法则才成立．据此列式求解即可．也考查一元一次不等式组的解法． 【详解】解：∵， ∴， 解得：． 故选：B． 3．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）计算：等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次根式的乘除运算和二次根式的性质，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．根据二次根式的乘除运算法则进行计算，最后根据二次根式的性质化简即可． 【详解】解： ， 故选：A． 4．（23-24八年级下·四川德阳·阶段练习）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的乘法运算，积的乘方的逆运算，平方差公式．熟练掌握二次根式的乘法运算，积的乘方的逆运算，平方差公式是解题的关键． 根据，计算求解即可． 【详解】解：原式 ． 故选：D． 5．（23-24八年级下·安徽合肥·阶段练习）通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律：特例1：；特例2：；特例3：……应用发现的运算规律求的值（      ） A．2024 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查找规律，根据题中特例得到规律，代值求解即可得到答案，观察已知特例特征，准确找到规律是解决问题的关键． 【详解】解：特例1：； 特例2：； 特例3：； …… 以上规律为：， 当时，， 故选：B． 6．（24-25八年级上·上海·期中）计算： ． 【答案】 【分析】本题主要考查二次根式的除法运算，根据二次根式的除法运算法则进行计算即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 7．（24-25九年级上·四川眉山·阶段练习）把根号外面的因式移到根号里面化简的结果是 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了化简二次根式，二次根式有意义的条件及分式有意义的条件，根据题意可得，据此利用二次根式的性质化简即可． 【详解】解：， ， ， 故答案为：． 8．（2024八年级上·全国·专题练习）下列二次根式：①；②；③；④．其中化简后的被开方数是3的是 （填序号）． 【答案】④ 【分析】本题考查了二次根式的化简，先将各二次根式化为最简二次根式，然后再找出被开方数是3的即可． 【详解】解：①； ②； ③是最简二次根式； ④． 故化简后被开方数是3的是④， 故答案为：④． 9．（23-24八年级下·四川泸州·阶段练习）观察下列二次根式的化简： ； ； ； … 则 ． 【答案】 【分析】 本题考查的是二次根式的化简，规律探究，根据规律确定，然后计算求解即可． 【详解】解：由题意知， ； ∴， 故答案为：． 10．（24-25八年级下·福建龙岩·阶段练习）如果最简根式和是同类二次根式，则 【答案】2 【分析】根据同类二次根式的定义：两个最简二次根式，被开方数相同，列式求解即可． 【详解】解：由题意，得， 解得：， 故答案为：2． 【点睛】本题考查同类二次根式．熟练掌握同类二次根式的定义是解题的关键． 11．（24-25八年级下·全国·阶段练习）已知，，求下列各式的值： (1)； (2)． 【答案】(1)14 (2) 【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值 （1）先计算出， 再利用完全平方公式得到，进而即可得解； （2）由（1）知出，再算出，然后利用平方差公式化简即可得解； 熟练掌握二次根式的运算法则是解决此题的关键． 【详解】（1）解：， ， ； （2）解：由（1）知 ， ∵， ． 12．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）先阅读下面的解答过程，再解决问题． 形如的化简，只要我们找到两个数，使，这样，于是； 举例：化简 解：这里 即， 用上述例题的方法化简： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】此题主要考查了二次根式的乘法与化简正确运用完全平方公式是解题关键． （1）直接利用完全平方公式将原式变形进而化简得出答案； （2）直接利用完全平方公式将原式变形进而化简得出答案． 【详解】（1）解：， 即， ∴ ； （2）解：， 即， ∴ ． 13．（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了实数的运算，零指数幂，负整数指数幂以及平方差公式，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）先计算乘方，零指数幂，再运用平方差公式，计算即可； （2）利用二次根式乘法法则，负整数指数幂法，则以及绝对值的代数意义，计算即可． 【小题1】解：原式 ； 【小题2】解：原式 ． 14．（2024八年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)2 (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了二次根式的乘除法计算，熟知二次根式的乘除法计算法则是解题的关键． （1）先计算二次根式乘法，再计算二次根式除法即可得到答案； （2）直接根据二次根式乘法计算法则求解即可； （3）把根号外面的式子进行乘除法计算，再把根号里面的式子根据二次根式的乘除法计算法则计算，据此可得答案； （4）把根号外面的式子进行乘除法计算，再把根号里面的式子根据二次根式的乘除法计算法则计算，据此可得答案． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 15．（2024八年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)，． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题主要考查了二次根式的乘除法计算： （1）先把带分数化为假分数，再根据二次根式乘除法计算法则求解即可； （2）根据二次根式乘除法计算法则求解即可． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 二次根式的乘除重难点题型专训（12大题型+15道提优训练） 题型一 二次根式的乘法 题型二 二次根式的除法 题型三 二次根式的乘除混合运算 题型四 最简二次根式的判断 题型五 化为最简二次根式 题型六 已知最简二次根式求参数 题型七 分母有理化及其应用 题型八 二次根式的大小比较 题型九 用二次根式的乘除法解决实际问题 题型十 二次根式的估值问题 题型十一 二次根式乘除法中的新定义问题 题型十二 二次根式乘除法中的规律计算问题 【知识梳理】 知识点一、二次根式的乘法 二次根式的乘法 ·＝．（a≥0，b≥0） 文字语言：二次根式与二次根式相乘，等于各个被开数的积的算术平方根. 推广： 知识点二、二次根式的除法 二次根式的除法：=（a≥0，b>0） 文字语言：二次根式与二次根式相乘，等于各个被开数的商的算术平方根. 【经典例题一 二次根式的乘法】 【例1】（2025八年级下·全国·专题练习）计算的正确结果为（   ） A． B． C． D． 1．（23-24八年级下·河南郑州·期中）计算的结果为（    ） A． B． C．1 D．3 2．（23-24八年级下·山东烟台·期中）计算的结果为 ． 3．（24-25八年级上·山西晋城·期中）阅读与思考 请阅读下列材料，并完成相应的任务． 在学习完实数的相关运算之后，数学兴趣小组的同学们提出了一个有趣的问题：两个数的积的算术平方根与这两个数的算术平方根的积存在什么样的关系？ 小南用自己的方法进行了探究：，而，即． 任务： (1)结合材料，猜想：当时，请直接写出和之间的关系． (2)运用以上结论，计算：①，② (3)运用上述规律，解决实际问题：已知一个长方形的长为，宽为，求长方形的面积． 【经典例题二 二次根式的除法】 【例2】（24-25八年级下·山东烟台·期中）若成立，则的值可以是（    ） A．-4 B．2 C．4 D．5 1．（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）若，则化简的结果是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·上海·阶段练习）计算： ． 3．（24-25八年级上·山东青岛·期中）小路在学习了后， 认为也成立，因此他认为一个化简过程： 是正确的． (1)你认为他的化简对吗？ 如果不对，请写出正确的化简过程； (2)说明成立的条件． 【经典例题三 二次根式的乘除混合运算】 【例3】（2023八年级下·江苏·专题练习）计算（）的结果是（　　） A． B． C． D． 1．（24-25八年级下·四川南充·期末）已知，，则的值为（  ） A．4 B．5 C．6 D．7 2．（24-25八年级上·上海·单元测试）已知 ， 且，则 ． 3．（2024八年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【经典例题四 最简二次根式的判断】 【例4】（23-24九年级上·四川乐山·期中）下列各式①，②，③，④，⑤（＞0）中是最简二次根式的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 1．（23-24八年级上·上海松江·阶段练习）在二次根式，，，，，中，最简二次根式个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（24-25九年级上·全国·课后作业）下列二次根式中，不是最简二次根式的有 个． ①； ②； ③； ④. 3．（2024八年级上·全国·专题练习）在下列各式中，哪些是最简二次根式？哪些不是？对不是最简二次根式的式子进行化简． 【经典例题五 化为最简二次根式】 【例5】（23-24八年级上·全国·单元测试）式子化简的结果是（ ） A． B． C． D． 1．（23-24八年级下·山东聊城·期中）把化成最简二次根式，正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·四川眉山·阶段练习）把根号外面的因式移到根号里面化简的结果是 ． 3．（24-25八年级下·广东珠海·期中）观察式子：， 反过来：， ∴， 仿照上面的例子： (1)化简 ①； ②； (2)如果，且，化简． 【经典例题六 已知最简二次根式求参数】 【例6】（23-24八年级上·河南驻马店·期末）若与最简二次根式能合并，则的值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 1．（24-25九年级上·四川遂宁·期中）若和最简二次根式是同类二次根式，则m的值为（     ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·安徽宿州·期末）最简二次根式与是同类最简二次根式，则 ． 3．（24-25八年级上·全国·课后作业）已知a、b是整数，如果是最简二次根式，求的值，并求的平方根． 【经典例题七 分母有理化及其应用】 【例7】（24-25八年级上·山东枣庄·期中）化简时，甲的解法是：原式，乙的解法是： 原式，以下判断正确的是（   ） A．甲的解法正确，乙的解法不正确 B．甲的解法不正确，乙的解法正确 C．甲、乙的解法都正确 D．甲、乙的解法都不正确 1．（24-25八年级上·上海·期中）把式子分母有理化过程中，错误的是（   ） A． B． C． D． 2．（2025八年级下·全国·专题练习）若，则 ． 3．（24-25八年级上·山东青岛·期末）在数学小组探究学习中，小华与他的小组成员遇到这样一道题： 已知，求的值． 他们是这样解答的： ， ， ，即， ， ． 请你根据小华小组的解题方法和过程，解决以下问题： (1)______； (2)化简：； (3)若，求的值． 【经典例题八 二次根式的大小比较】 【例8】（23-24八年级下·山东烟台·期中）已知，，则x与y的大小关系为（　　） A． B． C． D．无法比较 1．（24-25八年级上·福建泉州·期末）若，则a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·陕西西安·期末）比较大小： （填“>”或“<”或“=”）． 3．（24-25八年级上·广东梅州·阶段练习）分母有理化应用： (1)填空：的有理化因式是________；将分母有理化得________； (2)化简：； (3)利用以上解题方法比较与的大小，并说明理由． 【经典例题九 用二次根式的乘除法解决实际问题】 【例9】（24-25八年级上·广东深圳·期末）如图，是由四个全等的直角三角形拼成的“赵爽弦图”，得到正方形与正方形，连接．若，，则正方形的面积为（    ） A．16 B．9 C．8 D．12 1．（24-25八年级上·河北保定·阶段练习）农场打算修建一个底面为长方形的蓄水池，若蓄水池的长为，宽为，则蓄水池的占地面积为（   ） A． B． C． D． 2．（2024八年级上·全国·专题练习）如图，等边三角形和长方形有一条公共边，长方形内有一个正方形，其四个顶点都在长方形的边上．若等边三角形的边长是，正方形的面积是2，则图中阴影部分的面积是 ． 3．（24-25八年级上·河北石家庄·期中）（1）如图1，已知：在中，，，直线经过点，直线，直线，垂足分别为点、．证明：． （2）如图2，将（1）中的条件改为：在中，，、、三点都在直线上，并且有，其中为任意锐角或钝角．请问结论是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由． （3）运用这个知识来解决问题：如图3，过的边、向外作等腰直角和等腰直角，是边上的高，延长交于点，，．请直接写出的面积________． 【经典例题十 二次根式的估值问题】 【例10】（24-25九年级上·重庆·阶段练习）估计的值应在（   ） A．和之间 B．和之间 C．和之间 D．和之间 1．（23-24九年级下·重庆·开学考试）估计的值应在（   ） A．4和5之间 B．5和6之间 C．6和7之间 D．7和8之间 2．（24-25九年级上·山西晋城·阶段练习）交通警察通常根据刹车后车轮滑过的距离估计车辆行驶的速度，所用的经验公式是，其中表示车速（单位：千米/时），表示刹车后车轮滑过的距离（单位：米），表示动摩擦因数．在某次交通事故调查中，测得米，，肇事汽车的车速大约是 千米/时．（结果保留根号） 3．（24-25八年级上·四川成都·阶段练习）阅读下面的文字，解答问题． 例如：，即， 的整数部分为2．小数部分为． 请解答：已知整数部分是，小数部分是，且，求的值． 【经典例题十一 二次根式乘除法中的新定义问题】 【例11】（23-24八年级下·河北廊坊·阶段练习）对于正整数a，b定义新运算“◎”，规定，则的运算结果为（    ） A． B． C． D． 1．（23-24九年级上·河南南阳·阶段练习）定义新运算“”，规定，则的运算结果为（    ） A．10 B．8 C．4 D．2 2．（24-25九年级上·广西百色·期中）对于任意两个不相等的数，定义一种新运算，如，那么 ． 3．（23-24八年级上·山西长治·阶段练习）如果一个数的平方等于，那么这个数叫做的平方根．即：若，则．反之．如果一个数是的平方根，那么这个数的平方等于．即：若，则．例如： 根据平方根的定义可得：∵，∴． 根据平方根的定义可得：∵是的一个平方根，∴． 根据平方根的定义，利用上述符号及例子解决下列问题： (1)求下列各式中的值． ； ． (2)求证：． 证明：∵是的平方根， ∴． ∵（依据） ，（依据） ∴． 填写推理依据， 依据：__________________； 依据：__________________． 计算：． 【经典例题十二 二次根式乘除法中的规律计算问题】 【例12】（23-24八年级下·安徽滁州·期末）观察下列各式：应用运算规律化简的结果为（   ） A．2023 B．2024 C． D． 1．（23-24八年级下·安徽合肥·阶段练习）通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律：特例1：；特例2：；特例3：……应用发现的运算规律求的值（      ） A．2024 B． C． D． 2．（24-25八年级下·安徽滁州·阶段练习）一组二次根式按一定规律排列：，，，3，6，，……，若a，b，c是这组式子中相邻的三个二次根式，则a，b，c之间的关系是 . 3．（2024八年级上·全国·专题练习）先来看一个有趣的现象：，这里根号里的因数2经过适当的演变，2竟“跑”到了根号的外面．我们不妨把这种现象称为“穿墙”，具有这一性质的数还有许多．如：等等． (1)①请你写一个有“穿墙”现象的数； ②按此规律，若为正整数），则的值为______． (2)你能用含正整数的式子来表示含有上述规律的等式吗？证明你找到的规律． 1．（24-25八年级上·上海·假期作业）下列根式中，是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·四川宜宾·期中）如果，那么（    ） A． B． C． D．为一切实数 3．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）计算：等于（   ） A． B． C． D． 4．（23-24八年级下·四川德阳·阶段练习）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 5．（23-24八年级下·安徽合肥·阶段练习）通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律：特例1：；特例2：；特例3：……应用发现的运算规律求的值（      ） A．2024 B． C． D． 6．（24-25八年级上·上海·期中）计算： ． 7．（24-25九年级上·四川眉山·阶段练习）把根号外面的因式移到根号里面化简的结果是 ． 8．（2024八年级上·全国·专题练习）下列二次根式：①；②；③；④．其中化简后的被开方数是3的是 （填序号）． 9．（23-24八年级下·四川泸州·阶段练习）观察下列二次根式的化简： ； ； ； … 则 ． 10．（24-25八年级下·福建龙岩·阶段练习）如果最简根式和是同类二次根式，则 11．（24-25八年级下·全国·阶段练习）已知，，求下列各式的值： (1)； (2)． 12．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）先阅读下面的解答过程，再解决问题． 形如的化简，只要我们找到两个数，使，这样，于是； 举例：化简 解：这里 即， 用上述例题的方法化简： (1) (2) 13．（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）计算： (1) (2) 14．（2024八年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 15．（2024八年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)，． 学科网（北京）股份有限公司 $$