专题01 二次根式重难点题型专训（11大题型+15道提优训练）-2024-2025学年八年级数学下册重难点专题提升精讲精练（人教版）

专题01 二次根式重难点题型专训（11大题型+15道提优训练） 题型一 二次根式的基本概念 题型二 求二次根式的值 题型三 根据二次根式有意义的条件求参 题型四 利用二次根式被开方数的非负性求值 题型五 根据二次根式是整数求字母的值 题型六 利用二次根式的性质化简 题型七 已知字母的范围化简二次根式 题型八 数轴与二次根式的化简问题 题型九 根据含隐含条件的参数范围化简二次根式 题型十 复合二次根式的化简 题型十一 二次根式的简单应用 【知识梳理】 知识点一.二次根式的定义 形如（a≥0）的式子叫做二次根式，“”称为二次根号； 判断一个式子是二次根式，需要满足以下条件：（1）根指数必须是2；（2）被开方数为非负数. 知识点二.二次根式有无意义的条件： （1）如果一个式子中含有多个二次根式，那么它们有意义的条件是：各个二次根式中的被开方数都必须是非负数． （2）如果所给式子中含有分母，则除了保证被开方数为非负数外，还必须保证分母不为零． 知识点三.二次根式的性质： （1），（双重非负性）． （2）（任何一个非负数都可以写成一个数的平方的形式）． 应用：在实数范围内分解因式： （3） （4）=·（a≥0，b≥0） （5）=（a≥0，b>0） 知识点四.二次根式的化简： （1）二次根式化简的步骤： ①把被开方数分解因式； ②利用积的算术平方根的性质，把被开方数中能开得尽方的因数（或因式）都开出来； ③化简后的二次根式中的被开方数中每一个因数（或因式）的指数都小于根指数2，所得结果为最简二次根式或整式． （2）最简二次根式的条件： 被开方数不含分母；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式． 【经典例题一 二次根式的基本概念】 【例1】（24-25八年级上·上海·假期作业）下列代数式，，，，中，二次根式有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】本题主要考查二次根式的定义，熟练掌握二次根式的定义是解题的关键； 形如的式子叫做二次根式．据此判断给出的式子有多少个二次根式． 【详解】解：形如的式子叫做二次根式． 在，，，，中， 不含根号，被开方数小于，不符合要求，不是二次根式，其余个是二次根式， 所以，二次根式有个． 故选：C 1．（2024八年级上·全国·专题练习）下列各式：①；②；③；④；⑤；⑥．其中一定是二次根式的有（　　） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的定义，二次根式的定义：一般地，我们把形如的式子叫做二次根式，根据二次根式的定义，分别判断各式即可． 【详解】解：①符合二次根式的定义，故正确； ②无意义，故错误； ③中的，符合二次根式的定义，故正确； ④中的，符合二次根式的定义，故正确； ⑤是开3次方，故错误； ⑥中的，符合二次根式的定义，故正确． 正确的有①③④⑥，共4个． 故选：B． 2．（24-25八年级上·甘肃张掖·阶段练习）数学课上，同学们探究二次根式的运算规律的过程如下，请补充完整：特例l：；特例2：；特例3：；观察、归纳，得出猜想：如果n为正整数，请用含n的式子表示这个运算规律， ． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的化简、数字的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现式子的变化特点． 根据题目中给出的式子可以发现，根号内的第二个分数的分母是第一个分数的分母的平方，结果的分母和等号左边根号内的第一个分数的分母相同，而分子是比分母小1的算术平方根，从而可以写出一个符合要求的等式，再证明即可． 【详解】∵n是正整数， ∴． 故答案为：． 3．（23-24八年级上·全国·单元测试）找出下列二次根式． (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)是二次根式 (2)是二次根式 (3)是二次根式 【分析】本题考查了二次根式的意义，熟练掌握二次根式被开放数为非负数是解此题的关键． （1）根据结合二次根式的意义判断即可得出答案； （2）根据结合二次根式的意义判断即可得出答案； （3）由题意得出，结合二次根式的意义判断即可得出答案． 【详解】（1）解：∵， ∴是二次根式； （2）解：∵， ∴是二次根式； （3）解：∵， ∴， ∴是二次根式． 【经典例题二 求二次根式的值】 【例2】（24-25八年级上·重庆·期中）已知，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了立方根的性质，相反数的性质，二次根式的求值，由立方根的性质可得与互为相反数，即得，得到，再代入二次根式计算即可求解，由立方根的性质得到是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴与互为相反数， ∴， ∴， ∴， 故选：． 1．（24-25八年级下·浙江绍兴·期末）当x＝1时，二次根式的值等于（    ） A．4 B．0 C． D．2 【答案】C 【分析】把代入解题即可 【详解】解：把代入得， 故选：C． 【点睛】此题考查了二次根式的定义和二次根式的性质，能灵活运用二次根式的性质进行计算是解题的关键． 2．（24-25八年级下·湖北荆门·阶段练习）已知，则 ． 【答案】 【分析】根据二次根式的性质将原式进行化简，注意要结合二次根式有意义的条件进行分情况讨论 【详解】求解． 解：∵， ∴与同号， ①当，时， 原式 ； ②当，时， 原式 ， 故答案为：． 【点睛】此题考查了二次根式的性质，解题的关键是利用二次根式有意义的条件． 3．（23-24八年级下·贵州黔南·期中）若求的值． 【答案】 【分析】此题主要考查了非负数性质以及二次根式，正确得出，的值是解题关键．直接利用算术平方根和偶次方的非负数性质得出，的值，进而得出答案． 【详解】解：， ， 解得， ． 【经典例题三 根据二次根式有意义的条件求参】 【例3】（24-25八年级上·广东河源·期中）若二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，由题意得且，据此即可求解，掌握二次根式和分式有意义的条件是 解题的关键． 【详解】解：∵二次根式在实数范围内有意义， ∴且， 解得， 故选：． 1．（24-25九年级上·四川宜宾·期中）等式成立的条件是（   ） A． B． C．且 D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件、分式有意义的条件．根据代数式有意义的条件是、可得关于的一元一次不等式组，解不等式组求出的取值范围． 【详解】解：等式成立， ， 解不等式得：， 解不等式得：， 不等式组的解集为． 故选：D． 2．（2022·四川成都·模拟预测）已知，均为实数，，则的值为 ． 【答案】8 【分析】直接利用二次根式有意义的条件得出x的值，进而得出y的值，进而得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ， ， ， 故答案为：8 【点睛】此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确把握二次根式的定义是解题关键． 3．（24-25八年级上·四川达州·阶段练习）已知实数满足等式． (1)的取值范围是 ； (2)小明求出的值为，他的答案正确吗？为什么？ 【答案】(1) (2)小明的答案不正确，理由见解析 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，绝对值的非负性，掌握相关知识是解题的关键． （1）根据二次根式有意义的条件列出不等式，即可求解； （2）根据绝对值的非负性和二次根式的性质将化简即可求解． 【详解】（1）解：由题意可得：， 解得：， 故答案为：； （2）小明的答案不正确，理由如下： ， ， ， ， ， 小明的答案不正确． 【经典例题四 利用二次根式被开方数的非负性求值】 【例4】（23-24九年级上·浙江温州·自主招生）已知实数a满足，那么的值是（    ） A．2023 B． C．2024 D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键． 根据被开方数大于等于0列式求出的取值范围，再去掉绝对值号，然后两边平方整理即可得解． 【详解】解：∵， ， ， 则， ， ， ， 故选：B． 1．（24-25七年级下·重庆江津·期中）已知，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】C 【分析】本题考查二次根式的非负性和二次根式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件得到，，根据非负性，列出方程组进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴，解得：， ∴； 故选C． 2．（24-25八年级上·陕西咸阳·期中）已知，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，求代数式的值，熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键．根据二次根式有意义的条件，求的值，进而求的值，然后代入计算即可求解． 【详解】解：依题意得：， 解得：， 将代入， 解得：， ∴， 故答案为： 3．（23-24八年级下·全国·单元测试）（1）①若 有意义，则化简 ； ②化简： ； （2）已知 求 ． 【答案】（1）①，②；（2）1 【分析】本题考查二次根式的化简求值、二次根式有意义的条件，解答本题的关键是明确它们各自的计算方法． （1）①根据有意义，可以得到x的取值范围，从而可以化简题目中的二次根式； ②根据题目中的式子可以，从而可以解答本题； （2）根据题意目中的式子可以求得m、n的值，从而可以解答本题． 【详解】解：（1）①因为有意义， 所以，得， 所以， 故答案为：； ②因为有意义， 所以， 所以， 故答案为：； （2）因为， 所以，得， 所以原等式为， 所以， 所以，，解得，. 所以． 【经典例题五 根据二次根式是整数求字母的值】 【例5】（2024八年级·全国·竞赛）已知是整数，则满足条件的最小正整数（    ）． A．5 B．0 C．3 D．75 【答案】C 【分析】此题考查了无理数与有理数的联系，根据二次根式的定义进行解答，解题的关键是正确理解什么情况下为正整数． 【详解】解：∵， ∴是一个平方数， ∴正整数最小是， 故选：． 1．（24-25八年级下·福建莆田·期中）已知n是正整数，是整数，则n的最小值是(    ) A．0 B．2 C．3 D．7 【答案】D 【分析】首先把进行化简，然后根据是整数确定n的最小值． 【详解】解：∵，且是整数， ∴是个完全平方数，(完全平方数是能表示成一个整式的平方的数) ∴n的最小值是7． 故选：D． 【点睛】此题主要考查了二次根式的定义，做题的关键是推导“是个完全平方数”． 2．（24-25八年级下·辽宁营口·阶段练习）是一个正整数，则的最小正整数是 ． 【答案】3 【分析】根据二次根式的定义可得，解得，再根据是一个正整数，可得或4或9，即可得到答案． 【详解】解：由二次根式的定义可得， 解得：， 是一个正整数， 或4或9， 解得：或8或3， 的最小正整数是3， 故答案为：3． 【点睛】本题考查了二次根式的定义，求得或4或9是解题的关键． 3．（23-24八年级下·甘肃武威·期中）已知是整数，求自然数n的值． 【答案】10，9，6，1 【分析】本题考查二次根式的性质，利用二次根式的性质、化简法则及自然数指大于等于0的整数，分析求解． 【详解】由题意得， 又n为自然数， ∴， ∵是整数 ， ∴，，，， ∴自然数n所有可能的值为10，9，6，1． 【经典例题六 利用二次根式的性质化简】 【例6】（24-25八年级上·陕西西安·期中）若二次根式，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的性质与化简、绝对值，解题的关键是掌握． 根据二次根式的性质得到，则有，根据绝对值的意义得到，然后解不等式即可． 【详解】解：， 而， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 1．（24-25八年级上·山东枣庄·期中）已知，化简的结果为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次根式的性质、绝对值的性质，由题意可得，，再由二次根式的性质和绝对值的性质化简即可得解． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， 故选：A． 2．（24-25八年级上·上海·假期作业）已知，则代数式的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的化简求值、分母有理化，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 根据，可以得到的值，然后将所求式子变形，再将的值整体代入计算即可． 【详解】解：， ， ， ， ， ， 故答案为：． 3．（24-25八年级上·甘肃兰州·期末）【阅读材料】小华根据学习“二次根式”及“乘法公式”积累的经验，通过“由特殊到一般”的方法，探究“当时，与的大小关系”． 下面是小华的深究过程： ①具体运算，发现规律：当时，特例1：若，则；特例2：若，则；特例3：若，则． ②观察、归纳，得出猜想：当时，． ③证明猜想： 当时， ∵， ∴， ∴． 当且仅当时，． 请你利用小华发现的规律解决以下问题： (1)当时，的最小值为 ； (2)当时，的最小值为 ； (3)当时，求的最小值． 【答案】(1)2 (2) (3) 【分析】本题主要考查了二次根式的性质，完全平方公式的变形，不等式的性质： （1）直接由题中规律即可完成； （2）当时，，则可由题中规律完成； （3）原式变形为，由，计算出的最小值，即可求得的最小值． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， 当且仅当时，即时取得最小值2. 故答案为：2； （2）解：∵， ∴， ∴， 当且仅当时，即时取得最小值. 故答案为：； （3）解： ， ∵， ∴， ∴， 当且仅当时，即时取得最小值. ∴， ∴， ∴的最小值为． 【经典例题七 已知字母的范围化简二次根式】 【例7】（24-25八年级上·上海徐汇·期中）当时，化简（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的性质，能够根据二次根式的被开方数中因式的特点正确化简二次根式是本题的关键． 先利用的取值范围判断的正负性，根据二次根式的性质进行化简，最后根据绝对值的性质去绝对值，然后进行计算即可． 【详解】解：． ． ． 故选：B． 1．（24-25九年级上·河南南阳·阶段练习）已知，则化简的结果是（    ） A．﹣1 B．1 C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次根式的性质和绝对值的性质，根据判定是解答本题的关键．先根据判定，然后再根据二次根式的性质和绝对值的性质化简，最后合并同类项即可． 【详解】解：∵ ∴ ∴ ． 故选：C． 2．（24-25九年级上·河南鹤壁·期中）若，则 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了二次根式化简运算，熟悉掌握运算法则是解题的关键． 根据二次根式的化简运算法则运算求解即可． 【详解】解：∵， 又∵， ∴， ∴， 故答案为：． 3．（24-25八年级上·福建三明·期中）若2，5，n为三角形的三边长，化简 【答案】5 【分析】本题考查了三角形的三边关系定理和二次根式的性质，能熟记二次根式的性质是解此题的关键．根据三角形三边关系定理求出，再根据二次根式的性质和绝对值意义化简即可． 【详解】解：∵2，5，n为三角形的三边长， ∴，即， ∴原式． 【经典例题八 数轴与二次根式的化简问题】 【例8】（24-25八年级上·北京石景山·期末）实数m，n在数轴上的对应点的位置如图所示，则化简的结果是（   ） A．n B． C． D． 【答案】B 【分析】由数轴可知：，则，化简所求代数式即可． 本题考查了二次根式的性质与化简、实数与数轴，由数轴得到是关键． 【详解】解：由数轴可知：， ， 故选：B 1．（24-25八年级上·湖南永州·期末）实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简的结果是（   ）    A． B．0 C． D．2b 【答案】A 【分析】此题主要考查了实数与数轴之间的对应关系，以及二次根式的性质，根据实数a和b在数轴上的位置得出，，，再利用二次根式的性质和绝对值的性质即可求出答案． 【详解】解：由数轴可知，， ∴，，， ∴ ， 故选A． 2．（24-25八年级上·四川成都·期中）实数a、b在数轴上的位置如图所示，化简： ． 【答案】 【分析】本题考查了利用数轴判断式子的正负、二次根式的性质，由数轴可得：，，从而得出，再由二次根式的性质化简即可得解． 【详解】解：由数轴可得：，， ∴， ∴， 故答案为：． 3．（24-25八年级上·辽宁铁岭·期中）已知实数，，在数轴上对应的点如图所示，化简 【答案】 【分析】本题考查了根据点在数轴的位置判断式子的正负，实数与数轴，二次根式的性质化简，完全平方公式的运用，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先由数轴得，且，则，，，然后化简，再进行加减运算，即可作答． 【详解】解：根据实数，，在数轴上对应点的位置可得：，且， ∴，，， ∴原式． 【经典例题九 根据含隐含条件的参数范围化简二次根式】 【例9】（2023春·八年级课时练习）一次函数的图象如图所示，化简_______． 【答案】 【分析】先根据一次函数经过第一、二、三象限，且交于y轴的正半轴，可得，，再由图可知，当时，一次函数的值大于0，即有当时，有，据此化简即可． 【详解】∵一次函数经过第一、二、三象限，且交于y轴的正半轴， ∴，， 由图可知，当时，一次函数的值大于0， ∴将代入中有， 即： ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一次函数的图象与性质，二次根式的化简以及绝对值的化简等知识，根据一次函数的图象与性质得出，，是解答本题的关键． 1、（2023春·黑龙江绥化·八年级校考阶段练习）若化简的结果是，则x的取值范围是___________ 【答案】1≤x≤4 【分析】根据可以得到，然后根据x的取值范围去绝对值即可求解. 【详解】解：由题意可知： ∴ ∴， ∴当时 原式不合题意； ∴当时， 原式不合题意； ∴当时， 原式符合题意； ∴x的取值范围为：， 故答案为：. 【点睛】本题主要考查了绝对值的性质，二次根式的性质，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解. 2、（2023春·山东烟台·八年级统考期中）已知m是的小数部分，则式子___________． 【答案】 【分析】首先确定，再将其代入并化简计算即可． 【详解】解：∵m是的小数部分， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了无理数的估算以及二次根式的性质，解题的关键是求出． 3、（2023春·黑龙江绥化·八年级校考阶段练习）已知ab＜0，化简______ 【答案】 【分析】根据二次根式有意义的条件得到，利用，得，，再根据二次根式的性质得原式，然后去绝对值即可． 【详解】解：， 而，， ，， 原式 ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简，解题的关键是掌握． 【经典例题十 复合二次根式的化简】 【例10】（24-25八年级下·黑龙江鹤岗·期末）把中根号前的（m－1）移到根号内得 （　   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先判断出m-1的符号，然后解答即可． 【详解】∵被开方数，分母. ∴，∴. ∴原式． 故选D． 【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简：|a|．也考查了二次根式的成立的条件以及二次根式的乘法． 1．（24-25八年级上·上海宝山·期中）下列各式中，与化简所得结果相同的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二次根式的性质化简即可求解． 【详解】解：∵有意义， ∴ ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式的性质化简，掌握二次根式的性质是解题的关键． 2．（23-24八年级下·浙江湖州·期末）观察下列各式： ， ，……．请运用以上的方法化简 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了复合二次根式的化简，完全平方公式的应用；按照题中提供的方法进行化简即可． 【详解】解： ； 故答案为：． 3．（23-24八年级上·四川巴中·阶段练习）阅读材料． 把根式进行化简，若能找到两个数m、n，是且，则把变成开方，从而使得化简． 如： 解答问题： (1)填空：______，______． (2) 【答案】(1)； (2) 【分析】本题考查了二次根式的性质，将被开方数化为平方的形式是解题的关键． （1）仿照例题，根据，即可求解；直接利用完全平方公式将原式变形进而得出答案． （2）根据材料提供计算步骤，对进行化简，进行计算即可． 【详解】（1）解：∵， ； ， ； （2）解： ． 【经典例题十一 二次根式的简单应用】 【例11】（23-24八年级下·重庆江津·期末）通过学习二次根式和乘法公式后，可以发现： 当，时，∵，∴， 当且仅当时取等号．请利用上述结论解决以下问题： ①当时，的最小值为2；②当时，的最小值为5； ③如图，某园林设计师要对园林的一个区域进行设计改造，将该区域用篱笆围成长方形的花圃．如图所示，花圃恰好可以借用一段墙体，为了围成面积为的花圃，所用的篱笆至少需要．其中正确的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次根式的计算，分别根据，依次将①②中的等式进行变形，即可进行判断，对于③，先设设花圃的宽为，篱笆的总长为，得到y关于x的表达式，再进行变形，即可得到答案． 【详解】解：①∵， ∴， ∴， 故①正确； ②∵； ∴； 故②正确； 设花圃的宽为，篱笆的总长为， 则， 故③正确； 故选：D． 1．（2024八年级下·全国·专题练习）我们知道，整式，分式，二次根式等都是代数式，代数式是用基本运算符号连接起来的式子，而当被除数是一个二次根式，除数是一个整式时，求得的商就会出现类似这样的形式，我们称形如这种形式的式子称为根分式，例如都是根分式，已知两个根分式与，则下列说法： ①根分式中的取值范围为：且； ②存在实数，使得； ③存在无理数，使得是一个整数； 其中正确的个数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查定义新概念，二次根式的性质，解分式方程等，对于①，根据二次根式和分式的性质判断即可；对于②，将，代入，再求出分式方程的解，判断即可；对于③，将，代入再整理，讨论得出答案．理解新定义是解题的关键，并注意分类讨论． 【详解】解：根据题意可知且， 解得：， 故结论①不正确； ∵，，， ∴， 解得：（不符合题意，舍去）， ∴不存在实数，使得， 故结论②错误； ∵，， ∴． ∵是一个整数， ∴， 解得：或， ∵为无理数， 故结论③不正确． ∴正确的个数为． 故选：A． 2．（24-25八年级上·北京昌平·期中）我们知道，整式，分式，二次根式等都是代数式，代数式是用基本运算符号连接起来的式子，而当被除数是一个二次根式，除数是一个整式时，求得的商就会出现类似这样的形式，我们称形如这种形式的式子称为根分式，例如都是根分式，已知两个根分式与，则下列说法： ①根分式中的取值范围为：； ②存在实数，使得； ③存在实数，使得是一个整数； 上述说法中正确的是 ． 【答案】①③/③① 【分析】本题考查定义新概念，二次根式的性质，二次根式和分式有意义的条件，分式的加法运算等，对于①，根据二次根式和分式的性质判断即可；对于②，将，代入，再求出分式方程的解，判断即可；对于③，将，代入再整理，讨论得出答案．理解新定义是解题的关键． 【详解】解：①根据题意可知且， 解得：，故结论①正确； ②∵，，， ∴， 解得：（不符合题意，舍去）， ∴不存在实数，使得，故结论②错误； ③∵，， ∴． ∵是一个整数， ∴， 解得：或，故结论③正确． 故答案为：①③． 3．（24-25八年级上·福建福州·阶段练习）【发现问题】小明在计算时发现：对于任意两个连续的正整数，它们的乘积与较大数的和一定为较大数的平方． 推理证明： 解：设、是连续的正整数， ，， 对于任意两个连续的正整数，它们的乘积与较大数的和一定为较大数的平方． (1)【类比猜想】小红同学提出：任意两个连续正整数的乘积与较小数的差是较小数的平方．请你推理证明； (2)【深入思考】若（，为两个连续奇数，，），求证：一定是偶数． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查完全平方公式的应用，二次根式化简，理解题意，熟练掌握运算法则是解题关键． （1）设、是连续的正整数，根据题意列式计算即可证明； （2）由m， n为两个连续奇数， ，可得，，然后代入计算即可． 【详解】（1）解：设、是连续的正整数， ， ； （2）∵m， n为两个连续奇数，， ∴， ∴， ∴ ， ∴p一定是偶数． 1．（24-25八年级上·上海·假期作业）下列代数式，，，，中，二次根式有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】本题主要考查二次根式的定义，熟练掌握二次根式的定义是解题的关键； 形如的式子叫做二次根式．据此判断给出的式子有多少个二次根式． 【详解】解：形如的式子叫做二次根式． 在，，，，中， 不含根号，被开方数小于，不符合要求，不是二次根式，其余个是二次根式， 所以，二次根式有个． 故选：C 2．（24-25八年级上·湖南长沙·期末）下列等式成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次根式的化简与性质，正确理解二次根式有意义的条件、算术平方根的计算等知识点是解答问题的关键．根据算术平方根、立方根、二次根式的化简等概念分别判断． 【详解】解：A、，故符合题意； B、，故不符合题意； C、，故不符合题意； D、，故不符合题意； 故选：A． 3．（24-25八年级上·贵州遵义·期中）已知，化简二次根式的正确结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，利用二次根式的性质进行化简．根据题意确定的取值范围是解题的关键． 利用二次根式的性质进行化简，即可求解； 【详解】解：， ， ； 故答案为：B 4．（24-25八年级上·山东枣庄·期中）已知，化简的结果为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次根式的性质、绝对值的性质，由题意可得，，再由二次根式的性质和绝对值的性质化简即可得解． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， 故选：A． 5．（24-25九年级上·四川内江·阶段练习）已知，化简的结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次根式的化简和不等式的性质，解题关键是熟练掌握二次根式的性质． 根据题意得到，，根据完全平方公式把被开方数变形，根据二次根式的性质计算即可； 【详解】解： ， ， ，， ，， 原式； 故选：A 6．（24-25八年级上·湖南长沙·期末）若在实数范围内有意义，则的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】本题考查二次根式和分式有意义的条件，解题的关键是正确理解二次根式和分式有意义的条件． 根据二次根式有意义的条件：被开方数为非负数，分式有意义的条件：分母不为零，即可求出的取值范围． 【详解】解：∵在实数范围内有意义， ， 解得：且． 故答案为：且． 7．（24-25八年级上·四川成都·阶段练习）若x，y为实数，且，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，实数的运算，熟练掌握二次根式是解题的关键． 根据二次根式可得且，从而可得，，然后把，的值代入式子中进行计算即可得出答案． 【详解】解：由题意得： 且， 解得：且， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 8．（24-25八年级上·四川达州·阶段练习）已知，则值等于 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，绝对值性质的应用以及实数混合运算，由二次根式定义可知，，所以，故方程为，可得，代入即可求解． 【详解】解：∵有意义， ∴， ∴， ∴ ∴，即 ∴ ∴ ∴ 故答案为：． 9．（24-25八年级上·浙江温州·期末）设，则与最接近的整数是 ． 【答案】2025 【分析】此题是数字规律题，主要考查了二次根式的加减法，解答此类题目要探寻数列规律：认真观察、仔细思考，善用联想是解决这类问题的方法． 由可化为，即可求解． 【详解】解：∵n为任意正整数， ∴ ． ． ∴与S最接近的数是2025． 故答案为：2025． 10．（24-25九年级上·四川内江·期中）形如的根式叫做复合二次根式，有些复合二次根式可以进一步化简，例如，复合二次根式化简的结果是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了二次根式的性质．根据题目给出的方法结合完全平方公式将转化为，进一步计算即可求解． 【详解】解： ． 故答案为：． 11．（24-25八年级上·陕西西安·期中）实数在数轴上的位置如图所示，化简：． 【答案】 【分析】本题考查了实数与数轴，平方根与立方根，二次根式的性质与化简等知识，由图可知，，得到，，然后化简求解即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：由图可知，，， ∴，， ∴ ． 12．（24-25八年级上·河南郑州·期中）已知的平方根为，的立方根为． (1)求，的值； (2)若，请计算的算术平方根． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据平方根及立方根得出，，然后求解即可； （2）将（1）中结果代入，由二次根式有意义的条件求出，，然后求算术平方根即可． 【详解】（1）解：∵的平方根是，的立方根为， ∴，， ∴，． （2）由（1）知，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵48的算术平方根为， ∴的算术平方根是． 【点睛】本题考查立方根、平方根及算术平方根的计算，二次根式有意义的条件，熟练掌握相关计算方法是解题关键． 13．（24-25九年级上·河南驻马店·阶段练习）通过学习算术平方根，我们知道所有的非负数都可以看作一个正数的平方，如：，，，，，那么我们可以利用这种思想方法和完全平方公式来计算下面的题： 例：求的算术平方根． 解：， 的算术平方根是． 请根据上面的方法化简下列式子： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算以及完全平方公式，读懂题意，将整数分成两个合适的整数相加是解题的关键． （1）将7分成，利用完全平方公式即可求出结论； （2）由（1）可得，整理得，再将12分成，利用完全平方公式即可求出结论． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 14．（24-25八年级上·湖南怀化·期末）阅读下面的解题过程体会如何发现隐含条件并回答下面的问题 化简：． 解：隐含条件， 解得， ∴， ∴原式 【启发应用】 （1）按照上面的解法，试化简（结果保留） 【类比迁移】 （2）实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简：    （3）已知a，b，c为的三边长．化简： 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题考查了二次根式的化简、三角形的三边关系、数轴等知识，熟练掌握二次根式的性质是解题关键． （1）先根据二次根式的被开方数的非负性可得，从而可得，再利用二次根式的性质进行化简即可得； （2）先根据数轴的性质可得，从而可得，再利用二次根式的性质进行化简即可得； （3）先根据三角形的三边关系可得，，，，从而可得，，，，再利用二次根式的性质进行化简即可得． 【详解】解：（1）隐含条件， 解得， ∴， ∴ ； （2）由数轴可知，， ∴， ∴ ； （3）∵为的三边长， ∴，，，， ∴，，，， ∴ ． 15．（24-25八年级上·四川眉山·阶段练习）实数，，在数轴上的对应点如图所示， (1)判断正负，用“”或“”填空：________0，_______0，________0； (2)化简． 【答案】(1)，，； (2)b． 【分析】本题考查了利用数轴判断式子的正负、二次根式的性质、绝对值的性质． （1）由数轴可得：，，从而即可得解； （2）由（1）可得，，，，再根据绝对值的性质、二次根式的性质、立方根化简即可得解． 【详解】（1）解：由数轴可得：，， ∴，，； （2）解：由（1）可得，，，， ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 二次根式重难点题型专训（11大题型+15道提优训练） 题型一 二次根式的基本概念 题型二 求二次根式的值 题型三 根据二次根式有意义的条件求参 题型四 利用二次根式被开方数的非负性求值 题型五 根据二次根式是整数求字母的值 题型六 利用二次根式的性质化简 题型七 已知字母的范围化简二次根式 题型八 数轴与二次根式的化简问题 题型九 根据含隐含条件的参数范围化简二次根式 题型十 复合二次根式的化简 题型十一 二次根式的简单应用 【知识梳理】 知识点一.二次根式的定义 形如（a≥0）的式子叫做二次根式，“”称为二次根号； 判断一个式子是二次根式，需要满足以下条件：（1）根指数必须是2；（2）被开方数为非负数. 知识点二.二次根式有无意义的条件： （1）如果一个式子中含有多个二次根式，那么它们有意义的条件是：各个二次根式中的被开方数都必须是非负数． （2）如果所给式子中含有分母，则除了保证被开方数为非负数外，还必须保证分母不为零． 知识点三.二次根式的性质： （1），（双重非负性）． （2）（任何一个非负数都可以写成一个数的平方的形式）． 应用：在实数范围内分解因式： （3） （4）=·（a≥0，b≥0） （5）=（a≥0，b>0） 知识点四.二次根式的化简： （1）二次根式化简的步骤： ①把被开方数分解因式； ②利用积的算术平方根的性质，把被开方数中能开得尽方的因数（或因式）都开出来； ③化简后的二次根式中的被开方数中每一个因数（或因式）的指数都小于根指数2，所得结果为最简二次根式或整式． （2）最简二次根式的条件： 被开方数不含分母；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式． 【经典例题一 二次根式的基本概念】 【例1】（24-25八年级上·上海·假期作业）下列代数式，，，，中，二次根式有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 1．（2024八年级上·全国·专题练习）下列各式：①；②；③；④；⑤；⑥．其中一定是二次根式的有（　　） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 2．（24-25八年级上·甘肃张掖·阶段练习）数学课上，同学们探究二次根式的运算规律的过程如下，请补充完整：特例l：；特例2：；特例3：；观察、归纳，得出猜想：如果n为正整数，请用含n的式子表示这个运算规律， ． 3．（23-24八年级上·全国·单元测试）找出下列二次根式． (1)； (2)； (3)． 【经典例题二 求二次根式的值】 【例2】（24-25八年级上·重庆·期中）已知，则的值为（   ） A． B． C． D． 1．（24-25八年级下·浙江绍兴·期末）当x＝1时，二次根式的值等于（    ） A．4 B．0 C． D．2 2．（24-25八年级下·湖北荆门·阶段练习）已知，则 ． 3．（23-24八年级下·贵州黔南·期中）若求的值． 【经典例题三 根据二次根式有意义的条件求参】 【例3】（24-25八年级上·广东河源·期中）若二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 1．（24-25九年级上·四川宜宾·期中）等式成立的条件是（   ） A． B． C．且 D． 2．（2022·四川成都·模拟预测）已知，均为实数，，则的值为 ． 3．（24-25八年级上·四川达州·阶段练习）已知实数满足等式． (1)的取值范围是 ； (2)小明求出的值为，他的答案正确吗？为什么？ 【经典例题四 利用二次根式被开方数的非负性求值】 【例4】（23-24九年级上·浙江温州·自主招生）已知实数a满足，那么的值是（    ） A．2023 B． C．2024 D． 1．（24-25七年级下·重庆江津·期中）已知，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 2．（24-25八年级上·陕西咸阳·期中）已知，则 ． 3．（23-24八年级下·全国·单元测试）（1）①若 有意义，则化简 ； ②化简： ； （2）已知 求 ． 【经典例题五 根据二次根式是整数求字母的值】 【例5】（2024八年级·全国·竞赛）已知是整数，则满足条件的最小正整数（    ）． A．5 B．0 C．3 D．75 1．（24-25八年级下·福建莆田·期中）已知n是正整数，是整数，则n的最小值是(    ) A．0 B．2 C．3 D．7 2．（24-25八年级下·辽宁营口·阶段练习）是一个正整数，则的最小正整数是 ． 3．（23-24八年级下·甘肃武威·期中）已知是整数，求自然数n的值． 【经典例题六 利用二次根式的性质化简】 【例6】（24-25八年级上·陕西西安·期中）若二次根式，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 1．（24-25八年级上·山东枣庄·期中）已知，化简的结果为（    ） A．1 B． C． D． 2．（24-25八年级上·上海·假期作业）已知，则代数式的值是 ． 3．（24-25八年级上·甘肃兰州·期末）【阅读材料】小华根据学习“二次根式”及“乘法公式”积累的经验，通过“由特殊到一般”的方法，探究“当时，与的大小关系”． 下面是小华的深究过程： ①具体运算，发现规律：当时，特例1：若，则；特例2：若，则；特例3：若，则． ②观察、归纳，得出猜想：当时，． ③证明猜想： 当时， ∵， ∴， ∴． 当且仅当时，． 请你利用小华发现的规律解决以下问题： (1)当时，的最小值为 ； (2)当时，的最小值为 ； (3)当时，求的最小值． 【经典例题七 已知字母的范围化简二次根式】 【例7】（24-25八年级上·上海徐汇·期中）当时，化简（   ） A． B． C． D． 1．（24-25九年级上·河南南阳·阶段练习）已知，则化简的结果是（    ） A．﹣1 B．1 C． D． 2．（24-25九年级上·河南鹤壁·期中）若，则 ． 3．（24-25八年级上·福建三明·期中）若2，5，n为三角形的三边长，化简 【经典例题八 数轴与二次根式的化简问题】 【例8】（24-25八年级上·北京石景山·期末）实数m，n在数轴上的对应点的位置如图所示，则化简的结果是（   ） A．n B． C． D． 1．（24-25八年级上·湖南永州·期末）实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简的结果是（   ）    A． B．0 C． D．2b 2．（24-25八年级上·四川成都·期中）实数a、b在数轴上的位置如图所示，化简： ． 3．（24-25八年级上·辽宁铁岭·期中）已知实数，，在数轴上对应的点如图所示，化简 【经典例题九 根据含隐含条件的参数范围化简二次根式】 【例9】（2023春·八年级课时练习）一次函数的图象如图所示，化简_______． 1、（2023春·黑龙江绥化·八年级校考阶段练习）若化简的结果是，则x的取值范围是___________ 2、（2023春·山东烟台·八年级统考期中）已知m是的小数部分，则式子___________． 3、（2023春·黑龙江绥化·八年级校考阶段练习）已知ab＜0，化简______ 【经典例题十 复合二次根式的化简】 【例10】（24-25八年级下·黑龙江鹤岗·期末）把中根号前的（m－1）移到根号内得 （　   ） A． B． C． D． 1．（24-25八年级上·上海宝山·期中）下列各式中，与化简所得结果相同的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·浙江湖州·期末）观察下列各式： ， ，……．请运用以上的方法化简 ． 3．（23-24八年级上·四川巴中·阶段练习）阅读材料． 把根式进行化简，若能找到两个数m、n，是且，则把变成开方，从而使得化简． 如： 解答问题： (1)填空：______，______． (2) 【经典例题十一 二次根式的简单应用】 【例11】（23-24八年级下·重庆江津·期末）通过学习二次根式和乘法公式后，可以发现： 当，时，∵，∴， 当且仅当时取等号．请利用上述结论解决以下问题： ①当时，的最小值为2；②当时，的最小值为5； ③如图，某园林设计师要对园林的一个区域进行设计改造，将该区域用篱笆围成长方形的花圃．如图所示，花圃恰好可以借用一段墙体，为了围成面积为的花圃，所用的篱笆至少需要．其中正确的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 1．（2024八年级下·全国·专题练习）我们知道，整式，分式，二次根式等都是代数式，代数式是用基本运算符号连接起来的式子，而当被除数是一个二次根式，除数是一个整式时，求得的商就会出现类似这样的形式，我们称形如这种形式的式子称为根分式，例如都是根分式，已知两个根分式与，则下列说法： ①根分式中的取值范围为：且； ②存在实数，使得； ③存在无理数，使得是一个整数； 其中正确的个数是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·北京昌平·期中）我们知道，整式，分式，二次根式等都是代数式，代数式是用基本运算符号连接起来的式子，而当被除数是一个二次根式，除数是一个整式时，求得的商就会出现类似这样的形式，我们称形如这种形式的式子称为根分式，例如都是根分式，已知两个根分式与，则下列说法： ①根分式中的取值范围为：； ②存在实数，使得； ③存在实数，使得是一个整数； 上述说法中正确的是 ． 3．（24-25八年级上·福建福州·阶段练习）【发现问题】小明在计算时发现：对于任意两个连续的正整数，它们的乘积与较大数的和一定为较大数的平方． 推理证明： 解：设、是连续的正整数， ，， 对于任意两个连续的正整数，它们的乘积与较大数的和一定为较大数的平方． (1)【类比猜想】小红同学提出：任意两个连续正整数的乘积与较小数的差是较小数的平方．请你推理证明； (2)【深入思考】若（，为两个连续奇数，，），求证：一定是偶数． 1．（24-25八年级上·上海·假期作业）下列代数式，，，，中，二次根式有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 2．（24-25八年级上·湖南长沙·期末）下列等式成立的是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·贵州遵义·期中）已知，化简二次根式的正确结果是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级上·山东枣庄·期中）已知，化简的结果为（    ） A．1 B． C． D． 5．（24-25九年级上·四川内江·阶段练习）已知，化简的结果为（   ） A． B． C． D． 6．（24-25八年级上·湖南长沙·期末）若在实数范围内有意义，则的取值范围是 ． 7．（24-25八年级上·四川成都·阶段练习）若x，y为实数，且，则 ． 8．（24-25八年级上·四川达州·阶段练习）已知，则值等于 ． 9．（24-25八年级上·浙江温州·期末）设，则与最接近的整数是 ． 10．（24-25九年级上·四川内江·期中）形如的根式叫做复合二次根式，有些复合二次根式可以进一步化简，例如，复合二次根式化简的结果是 ． 11．（24-25八年级上·陕西西安·期中）实数在数轴上的位置如图所示，化简：． 12．（24-25八年级上·河南郑州·期中）已知的平方根为，的立方根为． (1)求，的值； (2)若，请计算的算术平方根． 13．（24-25九年级上·河南驻马店·阶段练习）通过学习算术平方根，我们知道所有的非负数都可以看作一个正数的平方，如：，，，，，那么我们可以利用这种思想方法和完全平方公式来计算下面的题： 例：求的算术平方根． 解：， 的算术平方根是． 请根据上面的方法化简下列式子： (1)； (2)． 14．（24-25八年级上·湖南怀化·期末）阅读下面的解题过程体会如何发现隐含条件并回答下面的问题 化简：． 解：隐含条件， 解得， ∴， ∴原式 【启发应用】 （1）按照上面的解法，试化简（结果保留） 【类比迁移】 （2）实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简：    （3）已知a，b，c为的三边长．化简： 15．（24-25八年级上·四川眉山·阶段练习）实数，，在数轴上的对应点如图所示， (1)判断正负，用“”或“”填空：________0，_______0，________0； (2)化简． 学科网（北京）股份有限公司 $$