2024～2025学年苏科版九年级数学中考总复习专题四三角形讲义

2024~2025学年苏科版数学中考一轮复习讲义 教学内容 三角形 教学目标 1. 掌握三角形的边角基础知识； 2. 熟练应用特殊三角形的性质； 3. 灵活运用全等三角形的常见辅助线画法 教学重难点 三角形中辅助线的画法 教学内容 一：几何初步、相交线与平行线 一）图形的认识 (1) 点、线、面 通过丰富的实例，进一步认识点、线、面（如交通图上用点表示城市，屏幕上的画面是由点组成的）。 二）角 ①通过丰富的实例，进一步认识角。 ②会比较角的大小，能估计一个角的大小，会计算角度的和与差，认识度、分、秒，会进行简单换算。 ③了解角平分线及其性质 三）相交线与平行线 1.邻补角：两条直线相交所构成的四个角中，有公共顶点且有一条公共边的两个角是邻补角。 2.对顶角：一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，像这样的两个角互为对顶角。 3.垂线：两条直线相交成直角时，叫做互相垂直，其中一条叫做另一条的垂线。 4.平行线：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。 5.同位角、内错角、同旁内角： 同位角：∠1与∠5像这样具有相同位置关系的一对角叫做同位角。 内错角：∠4与∠6像这样的一对角叫做内错角。 同旁内角：∠4与∠5像这样的一对角叫做同旁内角。 6.命题：判断一件事情的语句叫命题。 7.平移：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，图形的这种移动叫做平移平移变换，简称平移。 8.对应点：平移后得到的新图形中每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这样的两个点叫做对应点。 9.定理与性质 对顶角的性质：对顶角相等。 10垂线的性质： 性质1：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。 性质2：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。 11.平行公理：经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行。 平行公理的推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。 12.平行线的性质： 性质1：两直线平行，同位角相等。 性质2：两直线平行，内错角相等。 性质3：两直线平行，同旁内角互补。 13.平行线的判定： 判定1：同位角相等，两直线平行。 判定2：内错角相等，两直线平行。 判定3：同旁内角相等，两直线平行。 二．三角形与全等三角形 （一）三角形 1.三角形：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。 2.三边关系：三角形任意两边的和大于第三边，任意两边的差小于第三边。 3.高：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高。 4.中线：在三角形中，连接一个顶点和它的对边中点的线段叫做三角形的中线。 5.角平分线：三角形的一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线。 6.三角形的稳定性：三角形的形状是固定的，三角形的这个性质叫三角形的稳定性。 7.多边形：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形。 8.多边形的内角：多边形相邻两边组成的角叫做它的内角。 9.多边形的外角：多边形的一边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角。 10.多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线。 11.正多边形：在平面内，各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形。 12.平面镶嵌：用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖，叫做用多边形覆盖平面。 13.公式与性质 三角形的内角和：三角形的内角和为180° 三角形外角的性质： 性质1：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和。 性质2：三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。 多边形内角和公式：n边形的内角和等于（n-2）·180° 多边形的外角和：多边形的外角和为360°。 多边形的对角线： （1）从n边形的一个顶点出发可以引（n-3）条对角线，把多边形分成（n-2）个三角形。 （2）n边形共有条对角线。 （二）全等三角形 1.全等三角形：两个三角形的形状、大小、都一样时，其中一个可以经过平移、旋转、对称等运动（或称变换）使之与另一个重合，这两个三角形称为全等三角形。 2．全等三角形的性质： 全等三角形的对应角相等、对应边相等。 3.三角形全等的判定公理及推论有： （1）“边角边”简称“SAS” （2）“角边角”简称“ASA” （3）“边边边”简称“SSS” （4）“角角边”简称“AAS” （5）斜边和直角边相等的两直角三角形（HL）。 4.角平分线推论：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。 三．等腰三角形 1.概念及分类 有两条边相等的三角形叫等腰三角形；有三条边相等的三角形叫做等边三角形，也叫正三角形；等腰三角形分为：腰和底不相等的等腰三角形及腰和底相等的等腰三角形。 2. 等腰三角形的性质 （1）等腰三角形的两个底角相等（等边对等角）； （2）等腰三角形的顶角平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合，简称为“三线合一”； （3）等腰三角形是轴对称图形。 3.等腰三角形的判定 （1）有两条边相等的三角形是等腰三角形； （2）有两个角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边）。 4.等边三角形角的性质：三个内角相等，等于60°， 5.等边三角形的判定： 三个角都相等的三角形是等腰三角形。 有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形 有两个角是60°的三角形是等边三角形。 四．直角三角形 （一）直角三角形的性质 1.勾股定理：如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2＋b2=c2。 2. 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 3. 直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。 （二）直角三角形的判定 1.在一个三角形中，有一个角是直角的三角形是直角三角形。 2.勾股定理逆定理：如果三角形三边长a,b,c满足a2＋b2=c2。，那么这个三角形是直角三角形。 3.在一个三角形中，如果一条边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形。 1．如图是由几个相同的小正方体组成的立体图形的俯视图，图上的数字表示该位置上小正方体的个数，这个立体图形的左视图是（　　） A． B． C． D． 2．如图，△ABC中，点E是BC上的一点，CE＝2BE，点D是AC中点，若S△ABC＝12，则S△ADF﹣S△BEF＝　 　． 3．如图，在△ABC中，AB＝3cm、AC＝4cm、BC＝5cm，在△ABC所在平面内画一条直线，将△ABC分割成两个三角形，使其中的一个是等腰三角形，则这样的直线最多可画的条数为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 4．如图，在△ABC中，AB＝AC，D、E是△ABC内的两点，AD平分∠BAC，∠EBC＝∠E＝60°．若BE＝6cm，DE＝2cm，则BC的长为（　　） A．4cm B．6cm C．8cm D．12cm 5．如图，AC⊥BC，DC⊥EC，AC＝BC，DC＝EC，若AC＝2，CE＝3，则AD2+BE2＝　 　． 6．如图，已知CB⊥AD，AE⊥CD，垂足分别为B、E，AE、BC相交于点F，AB＝BC．若AB＝8，CF＝2，则CD＝　 　． 考点一.简单几何体的三视图 1. 一个几何体的主视图和俯视图如图所示，若这个几何体最多有a个小正方体组成，最少有b个小正方体组成，则a+b等于（　　） A．10 B．11 C．12 D．13 2．如图所示的物体的左视图是（　　） A． B． C． D． 3．如图，小明用6个相同的小正方体搭成的立体图形研究几何体的三视图的变化情况，若由图①变到图②，不改变的是（　　） A．主视图 B．主视图和左视图 C．主视图和俯视图 D．左视图和俯视图 4．如图是棱长为2cm的正方体，过相邻三条棱的中点截取一个小正方体，则剩下部分的表面积为　 　cm2． 5.如图，是一个几何体的三视图，根据图中所示数据计算这个几何体的侧面积是（　　） 考点二.立体图形的展开与折叠 1.如图所示，将图沿线折起来，得到一个正方体，那么“我”的对面是　 　（填汉字） 2．如图是一个正方体的展开图，折好以后与“学”相对面上的字是（　　） A．祝 B．同 C．快 D．乐 3．如图，是正方体的平面展开图，把它折叠成正方体后，相对面上两个数之和为0，则+的值是（　　） A． B． C． D．1 考点三.角及角平分线 1．如果一个角的度数为28°14′，那么它的余角的度数为（　　） A．61°86′ B．61°46′ C．71°86′ D．71°46′ 2．一个角的补角比这个角的余角3倍还多10°，则这个角的度数为（　　） A．140° B．130° C．50° D．40° 3．如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠BOD，OF平分∠COE．∠AOC＝∠COB，则∠BOF＝　 　°． 4．一个正方形和两个等边三角形的位置如图所示，∠3＝55°，则∠1+∠2＝　 　． 考点四.平行线的性质和判定 1.已知a∥b，一块含30°角的直角三角板如图所示放置，∠2=45°，则∠1等于（　　） A．100° B．135° C．155° D．165° 2.如图，直线AC∥BD，AO、BO分别是∠BAC、∠ABD的平分线，那么下列结论错误的是（　　） A．∠BAO与∠CAO相等 B．∠BAC与∠ABD互补 C．∠BAO与∠ABO互余 D．∠ABO与∠DBO不等 3．如图，a∥b，PA⊥PB，∠1=35°，则∠2的度数是　 　． 4.如图，已知AB∥CD∥EF，FC平分∠AFE，∠C=25°，则∠A的度数是（　　） A．25° B．35° C．45° D．50° 考点五、全等三角形 1．已知△ABC的三边长分别为3，4，5，△DEF的三边长分别为3，3x﹣2，2x+1，若这两个三角形全等，则x的值为（　　） A．2 B．2或 C．或 D．2或或 5．如图，方格纸中△DEF的三个顶点分别在小正方形的顶点上，像这样的三个顶点都在格点上的三角形叫格点三角形，则图中与△DEF全等的格点三角形最多有（　　）个． A．8 B．7 C．6 D．4 6．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝∠C＝45°，D、E是斜边BC上两点，且∠DAE＝45°，过点A作AF⊥AD，垂足是A，过点C作CF⊥BC，垂足是C．交AF于点F，连接EF，下列结论： ①△ABD≌△ACF；②DE＝EF；③若S△ADE＝10，S△CEF＝4．则S△ABC＝24；④BD+CE＝DE．其中正确的是（　　） A．①② B．②③ C．①②③ D．①③④ 7．如图：AE⊥AB，AF⊥AC，AE＝AB，AF＝AC， （1）图中EC、BF有怎样的数量和位置关系？试证明你的结论． （2）连接AM，求证：MA平分∠EMF． 8．如图，已知AB＝AC，延长AC到E，并作直线DE，使其与BC，AB分别交于点G，D． （1）若CE＝BD，求证：GE＝GD； （2）若CE＝m•BD（m为正数），试猜想GE与GD有何关系．（只写结论，不证明） 考点五、角平分线和线段的垂直平分线 1.如图，点P为定角∠AOB的平分线上的一个定点，且∠MPN与∠AOB互补，若∠MPN在绕点P旋转的过程中，其两边分别与OA、OB相交于M、N两点，则以下结论：（1）PM=PN恒成立；（2）OM+ON的值不变；（3）四边形PMON的面积不变；（4）MN的长不变，其中正确的个数为（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 2．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，∠BAC，∠ACB的平分线相交于点E，过点E作EF∥AC交AC于点F，则EF的长为（　　） A． B． C． D． 3．如图，AE垂直于∠ABC的平分线于点D，交BC于点E，CE＝BC，若△ABC的面积为1，则△CDE的面积是（　　） A． B． C． D． 4．如图，已知△ABC是等腰三角形，AC＝BC＝5，AB＝8，D为底边AB上的一个动点（不与A、B重合），DE⊥AC，DF⊥BC，垂足分别为E、F，则DE+DF的值为（　　） A．3 B．4 C． D． 考点六：直角三角形的性质和判定 1.在△ABC中，AB＝10，AC＝2，BC边上的高AD＝6，则另一边BC等于( ) A．10　　　B．8　　　C．6或10　　　D．8或10 2．如图，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分别是点D、E，若DC＝1，则DE的长是（　　） A． B．﹣1 C．﹣1 D． 3．如图，△ABC中，D是BC的中点，AB＝4，AC＝2，AD＝3，求BC的长及△ABC的面积． 1.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，将△ABC绕顶点C逆时针旋转得到△A'B'C，M是BC的中点，P是A'B'的中点，连接PM．若BC=2，∠BAC=30°，则线段PM的最大值是（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 2．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD＝AE．若∠B＝55°，∠BAD＝50°，则∠EDC＝　 　°． 3．如图，在△ABC中，AB＝AC＝24厘米，BC＝16厘米，点D为AB的中点，点P在线段BC上以4厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动．当点Q的运动速度为　 　厘米/秒时，能够在某一时刻使△BPD与△CQP全等． 4．如图，△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于D点，DE⊥AB于点E，BF⊥AC于点F，DE＝2cm，则BF＝　 　cm． 5．如图，在△ABC中，AB＝AC，AB＞BC，点D在边BC上，CD＝3BD，点E、F在线段AD上，∠1＝∠2＝∠BAC．若△ABC的面积为24，则△ACF与△BDE的面积之和为　 　． 6．在△ABC中，BA＝BC，AC＝14，S△ABC＝84，D为AB上一动点，连接CD，过A作AE⊥CD于点E，连接BE，则BE的最小值是　 　． 7．如图，在等边△ABC中，D为BC边上一点，E为AC边上一点，且∠ADE＝60°，BD＝4，CE＝，则△ABC的面积为　 　． 1．如图，在△ABC中，AB＝AC，D在边AC上，且BD＝DA＝BC． （1）如图1，填空∠A＝　 　°，∠C＝　 °． （2）如图2，若M为线段AC上的点，过M作直线MH⊥BD于H，分别交直线AB、BC与点N、E． ①求证：△BNE是等腰三角形； ②试写出线段AN、CE、CD之间的数量关系，并加以证明． 随堂检测答案 B 25 4或6 4 6 5 9 课后反馈答案 36 72 CD＝AN+CE． ( 第 1 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$