湖南省长沙市湖南师范大学附属中学2025届高三上学期月考数学试卷（五）

湖南师大附中2025届高三月考试卷（五） 数学参考答案 题号12 3 456 789 10 答案D B D A C BB D ABD ABD BCD 一，选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1.D【解析】根据A=(0.1.21,B={xx<c,若A门B=0,1},可得1<c2,故c的最大值为2，故选D. 2.B【解析】因为4=S-2,4=S,-S1=n+1-[(n一1)2+(n-1)]-2m(n≥2)，并且当n=1时4-2×1=2满足上式.所以 数列{a.的通项公式是a。=2m,故选H 3D【解析】如图，正三角形绕B所在直线为流转轴旋转一周，得到几何你是两个同底的圆维，圆维的底面丰径为，=(X-,所 得见何体的底面积为5S=矿-华期体积为V=2×号5×=2X号×票×号-景故选D 4,A【解析】直线1过定点(1.3.定，点(1.3)在国(：(r一2)+(3y-1)2=9内，定点(1.3)到图心的距离为V(1一2)+(3一1)了= √5，所以直线与圈相交弦长的液小值为”=4，故选A 5,C【解析】\项，当c-0时结论不成点，故1错送，B项，若a0,则a>b>方，故B错误：C项正确：D项，若a<0,则】 >方.故D错误.故选C 6B【解折s(。-）-sm=吾十sin asin吾-s。，期受cs。一m-青即cos(e+吾）-，所以 cos(2a+5)=2os(a+g）-1=2×(号)-1=云，故选 121,x0, 7.B【解析】作出函教f(r)=2-2,0<x<1.的图桑如图， lnr,x≥l 5 已知g(x)=2m(x)一3mf《x)十1有5个零点，即方程2m(x)一3mx)十1=0有5个实数根，令1=f(x),则2一3 十1=0有两个实数根4，：由f(x)的图象可知，当4=2.0<<2时，4一f代)有两个实轻根，1=/(c)有三个实教根，可满足5 （)有五个零点.将有=2代入2f一3n十1=0中，得8m一6加+1=0，解锌m=号或m=}又调为1与=2证，所以当m= 时4=4，不满足题感：当m=时=，满足题意，故选B 8D【解析】根据空间向量基本定理及题意知这三个向登OP.心.（不共面，脚这三个向量能构成空间的一个基底，A项，由空 问直角坐标系易知三个向量(0,0.0)，(1,0.0)，(0,1,0》共面，故八错送：B项，由空间直角坐标系易知三个向量(1.0,0)， (一1,0,0)，(0,0，一1)共面，故B错误：C项，由空间直角坐标系易知三个向量(0,1.0)，(0,1，一1)，(0，一1,1)共面，故C错误：D 项，由空间直角坐标系易知三个向量(1,0,0)，(0，一1,0)，(0,0，一1)不共而，可构成空间的一个基底，故远D. 二，选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分，部分选对的得 部分分，有选错的得0分. 9.AD【解析】由题意知X服从二项分布B(3.0.2).则P(X=1)=C×0.2×(1一0.2)2=位.384.EX)=3×0.2=0.6.故A,B正 Y藏从超元衍分有：所以PY=D气C-品故C借民，B=3X@.2=0.6D正确故选AD C 数学参考答案（附中版）一1 10.ABD【解析】因为（一i)(一2：十3）=0，其三个不问的复数根为：i,1一2i,1十√2i.当=1时，北时为纯虚数，故A正确： 因为三个根的实部分别是0,1,1，三个实部之和为2，故B正确： 因为三个根的虚部分别是1，一√22，三个虚部之积为一2，故C错误： 根据模长定义，++：=√下+√1十(-2)+√1十(W2)=1+23,故D正痛. 故选). 11,1D【解析】选项A,过点A作A,M的平行线A1,则∠CAI为异面直线AC:与AM所成的角， 因为AM平面BBCC,且AM∥A1.所以A1⊥平而BBCC,所以A1C1, 、所以05∠CA化-号2号阔为并面直钱所成的角0， 所以∠CAI=0,故异面直线AC与AM所成的前为60，故选项A不正确： B 选项B,由已知得△ABC为等腰直角三角形，M是B:C的中点，别AM⊥CB, ,"ABC=ABC为直三棱柱，.BB⊥平面ABC,AMC平面ABC, ..BBAM. :BC.BBC平面BBC(.(门=B.AM⊥平而BBCC.∴AM⊥BC. 设BC与MB交于点D.共中1=√2()=6，BC=√2+(2v2)=23. :△DM△DX-(-.=号MB=2S. 3· ,D+D形=B,.B'1B. ,B.AMC平面AMB.1B门11-11..BC平面AMB.故BCAB,选项B正确： 选项C,延长NP.PN交(C,和CA的延长线于点G,Q.连提GB交B,C于点H,连接BQ.PI: 剥四边形PVBH为平面BNP藏直三枝柱所得的裁面， 由已知得AQ=AP=1, 南△0AN0.-8Cd0.*= 由△(CH△，影侵即CH=2婴. 由余孩定理可知PF=CH+G严-2CGP·s5,解得PH=复 共同长为PHPN+NB+HB=号2+V5+2=52+2,北选项C运确： 3 数学参考答案（附中版）一2 选项D.若B上存在一点F役二面角B-AM-F的余孩值为连接MF和MB, 因为AM⊥平面BBCC,,4:M⊥B.AMMF, 六二面角B-A,M-F的平面角为∠FMB,即cOs∠FMB= 设Fe,FB-32-∠F是- 在△MCF中，由余孩定理得MF=M+CF一2·MC'·(CF·s∠MF =6+d-2X6Xax号-d-22a+6, 在△MFB中，由余弦定理得FB=FF+MB-一2·FM·MB·eos∠FMB, (2w2-a)=6+u-2a+6-2xV云-22a+6×6×号解得4-， 过M作BC的垂线MI.连接AI,过F作AI的平行线交AC于点K,到FK∥MA· 所以戴面MFKA为直三棱柱AB=AB(C的裁面， 所以特合道意的F的载连长度为钱：FK的长，所以FK-吉1-号：故选项D正院 故选T) 三，填空题：本题共3小题，每小题分，共1分 12.2【解析】(1十a.x)晨开式的通项T-1=C(uzy=aC年x,所以当r=3时，有T1=uCx=80.则a=2. 13,3【解析】函数只(x)=x一1的图象是中心对称图形，对称中心为(1,0)， 4 3 定义在R上的偶函数f(x)满足f(r)=一(2-)， 则函数f(x)有对称轴为y轴，对称中心(1.0)：又当x∈[0,1)时，fx)=2co5元x,在同一坐标系在（一1,3）内作出f(x)与g(x) 的图象，由图象可得，(x)与g()的图象有3个交点， 又(1,0)均是(.x)与g()的图象的对称中心， 则两函数所有交点的横坐标之和为3. 14,√5【解析】如图，设双尚线矿在点P处的切线为1，切线1与x轴交于点D. 4 根据题意设点P在双曲线第一象限，由广一若=1，得y√厅一方，所以 - 则在，点P(x)的切线斜率为k= xF-V” 数学参考答案（附中版）一3 所以在点P()的切线方程为江一罗= 令y=0得，所以点D(品0. (y-b. 设点A(兴)，B(”),新近线方程为y=士r,联立 所点A产产上 解得 =r-w' 同理可得B(h十'b+P b b 又理，n士亚=n,沙，n士迎=m,所以.点P是我段AB的中点 2 2 所以5=251=2，即得20D·一为=2， 即2六×(annn）-2解6-2 又：=1，所以=1十4=5，中一5，所以双曲线的离心率-后=5， 四、解答题：本题共5小题，共7分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.【解析】1)国为2 besin A=8h-,所以mA=√3×后士4. 即5inA=300sA,所以1m1=3。…(4分) 周为A长(0，T）,所以A=在。 (2)由题意知Sg=S6小一小。…(8分) 所以号3m-37m+67m …(11分） 解得6=3v7=9V21+21 3y3-v720 16.【解析】(1)证明：如图，连接AE交BG于点O,取DE中点为H,连接H).HC,GE 4 在四边形ABEG中.A(G∥BE,AG=BE=1. 故四边形ABG为平行四边形。…(】分) 故()为A上中点，所以在△ADE中，日为中位线. 对OH/AD其OH=2AD.又C/AD且C=号AD, 故B∥()川且(O川=BC,脚四边形CHO为平行四边形，…(2分) 所以HC∥B,又，HC平面DE,B中平面DE, ,O)B∥平面{CE,即G∥平面DCE。”(4分) (2)因为平面ACD⊥平面ABEF,平面，ABD∩平面ABEF=AB,AD⊥AB,ADC平而AB D,所以AD平而ABEF, 如图，以点A为坐标原点，分别以A市，A店.D为工，，轴正方向建主空间直角坐标系，…(5分) 设AF=4>1则F(a0,0).B0,2,0).D(0.0,2),E(1,2.0).(C(0.2,1),…(6分) 则0C=(0,2,-1).D求=(1.2，-2)，BF=(a.2,0).… …(7分》 设平面D(下的法向量为n=(,y,), D0.n=2y-2=0. 到成m=2w2=0, 4取n=(2,1,2),… (9分） B球=(4，-2,0)，Bd=(0.-2,2), 设平面BDF的法向量为m=(,y州)， B球·ma-24=0, 币m=一2+2=0 取m■(2,4,4).… (1门分) 由平面BDF与羊面议E所成锐二面角的余族值为8， 数学参考答案（附中版）一4 可将cos(m,n)= 用·n _(24a)·(2.1,2)=14+3a=8, m·n√4+a+a·√4+1+432a+49' ………444…(12分)》 去99 故m=(2,4,4),又0=(0,2，-1），…(14分) 所以点C到平面BDF的范高d=D心：m=2 4。(15分) m 2h=23, 1?.【解析】1)极据题意得 9解得b3所以=1，热点F1,0 1 a +=. 42, 所以格渴C的方程是：号十号-l…（仔分） (2)由题可设直线1方程为：E=十1(1≠0)，A(1,y),B(),P(,y),Qry. x=y十1， ，得(3r十)y十61y一9=0.…（后分） 一 一9 由题知△>0十为一3十1·为=3r千 小小(6分） =v+w-7()-4·-1+.12 -61 3+4 又点A(一2,0)到直线1的距离d=8 1 ∴54=号4B·d81了 1 x=1y十1 由 y=4x, 符y-4y1=由题知3.得为十=为·=一4. 5w-号AF·1g支yy=号V160+I6=2V+.02分） S≥多5878可，解特：得得卫10…B分 六直线1在y种上我距的取值花调无（一，一受]U[9。+一小 (15分》 18【解析】)西数/(x)的定义域是(0，+. )h2士么广)=人2424…2分 x2 ①当4=1十8a<0岸a≤一号时，2r十≥0.了(a>0.x)在(0.十o四)上单调递增.…(3分) @当A1+>0中a>-日时南2+一a=0得1=1Y1<0A--1十士 若-名<a≤0n=1十≤0.rE0.十)时f>0.0在（0，十四上单调地增.…（6分 若>0，r=-1十中8>0，E(0,)时f()<0,)在(0.n)上单调说减r十0)时/(x)>0.fr)在 4 绵上所述，0时/(x)在(0，十)上单调递增： >0时，《工)在(0.1中1十)上单调递减，在(1十时，十)上单调造增. 4(7分) (2)由fx)>2r-1+a.得mx+4-a+1D>0. <h对r(.十)恒成立.(8分) x1 ◆gu)=h中则)n士I》》Gr十=气是 …4…(9分) 令)=-nx-2.则6'(r)=1-11 。(0分） 数学参考答案（附中版）一5 因为x∈(1，十∞)，所以'(r)0,所以h(x)在(1，十o∞)上单调递增 又h(3)=1-m3<0,h(4)=2-ln40, 所以了6∈(3,4)满足h(.上)=汇。一nx6—2=0,4 当1<rr时，h(r)<0,g'(x)<0,g(x)在(1，)上单调递诚： 卷x>时.h(r)>0,g'(r)>0,g(r)在(1.)上单调递增， 故gxm=g()=云h,又一h-2=0. +++4+4++++4444444444444444444444 -1 (14分) w-1 故以，小+小小…(16分） 又，34，以∈Z,所以以的最大值是3，………*…(7分） 19.【解析】(1)设“至多试3次打开门”为事件B. (1)用表示首次开门所常的试开次数，则G(0,1),从而P(B)=P(3)=P(1)+P(2)+P(:-3)=0.1十0,9 X0,1十0.9X0.1=0.271.4444*+…(2分) 不放回情形病于古典概型，P(B)三1-P(B)1一8X8=0.3。……………(4分) (2)X的分布列为P(X=)=Cp(1一p)”,k=0.1.2,…,m 444(5分） 令4-1一p,由kC=nC,可得(X0-三kCpg=2nC与g=np21" 令k-l=m.则E(X)=mpSCp=Wp(p叶q)=h…(8分 了的分布列为P(X=表)=(1一p)p,k=1,2…,其中大为正整数…(9分) 记S,=1+2(1-p)1+3(1-p)…(H1)(1-p)+月(1-p),① .(1-p)S=1-p+2(,+3(1p)一…+(n-1)(1-p)+n(1-p)".② ①-p5.=1+(1-p-(1p)++1-p)-w1-p)=1X)]-m(1-p)=11” 1-1-p) m-p91-p》pps1-n目-pX0=-w1-r- ,4444444i4小44440tt44444…(|2分） 设y,◆g-MPmm)P8器”===，习 P(Y>m) P(Y>m) P(Y>,号l…(5分） 实际意义：几何分布的无记忆性说明：如果不总结前面试验的经验，一直按最初的方式进行尝试性试验，就不能有助于成功的出 现，“失败是成功之母”的数率就不能提高 在(1)中，情形（「）是不总结经险，试开门的过程构成1重伯努利试脸：睛形（川）是总结经脸，试开门的过程不构成n重伯努利试 验，从(1)的结果说明总结经验会提高事件成功的概平，从中可体会“失败是成功之母”更深层次的含义：总钻失败教训，提高成 功。44444(17分》 数学参考答案（附中版》一6湖南师大附中2025届高三月考试卷（五） 数 学 时量：120分钟满分：150分 得分： 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选 项中，只有一项是符合题目要求的 1.已知集合A={0,1,2),B={x|x<c},若A∩B={0,1},则c的最大 值是 A.-1 B.0 C.1 D.2 如 2.已知数列{an}的前n项和公式为Sn=n2十n,则{an}的通项公式为 A.an=n B.an=2n 拟 C.an=2n-1 D.an=2n+1 3.以边长为1的正三角形的一边所在直线为旋转轴，将该正三角形旋转 周所得几何体的体积为 A. B受 箭 闲 c晋 D 4.已知圆C:x2+y2-4x-2y-4=0,直线l:mx一y十3-m=0,则直线与 圆相交弦长的最小值为 A.4 B.2 C.6 D.22 5.下列命题为真命题的是 A.若a>b>0,则ac2>bc2 B.若a<b<0,则a2<ab<b C.若a>b>0,则a2>b n若a<<0,则<君 数学试题（附中版）第1页（共8页） 6.已知cos(a-晋}-ina=号，则cos(2a+）- A器 c-话 D一8 2+1,x≤0， 7.已知函数f(x)=2-2x,0<x<1,若函数g(x)=2m2f(x)一3mf(x)》 lnx,x≥1， +1存在5个零点，则m= A.1 B克 C1或号 D.-1 8.对于三元点集2={P1,P2,P},若对任意一个空间向量p,存在唯一的 有序实数组(a1,2,A3),使得p=1OP+aOP十OP,则称n为 “空间基本点集”.下列集合是“空间基本点集”的是 A{(0,0,0),(1,0,0),(0,1,0)》 B.{(1,0,0),(-1,0,0),(0,0,-1)》 C.{(0,1,0),(0,1,-1),(0,-1,1)》 D.{(1,0,0),(0,-1,0),(0,0,-1)》 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中， 有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的 得0分. 9.为了检测某车间生产产品的质量，质检部安排A、B两名质检员对该车 间产品进行抽样检查，A质检员从生产流水线上随机抽取3件产品， B质检员从事先选定的10件产品中随机抽取3件产品.假设该车间生 产产品的次品率为0.2，事先选定的10件产品中有2件次品，设A、B两 名质检员抽取的产品中次品的件数分别为X,Y,则 A.P(X=1)=0.384 B.E(X)=0.6 C.P(Y=1)=0.45 D.E(Y=0.6 数学试题（附中版）第2页（共8页） 10.已知复数，2,2是方程(x-)(2-2x十3)=0的三个互不相等的复 数根，则 A.可能是纯虚数 B,2,的实部之和为2 C1,2,的虚部之积为2 D.|1|+|z2|+l=1+23 11.在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠CAB=90°，AC=AB=AA,=2, 点M,N分别是B1C1,A1A的中点，则下列说法正确的是 A.异面直线AC1与AM所成的角为45 B.B1C⊥A1B C.若点P是A,C的中点，则平面BNP截直三棱柱所得截面的周长 为5++2 3 D.点F是底面三角形ABC内一动点（含边界），若二面角B-A1M-F 的余弦值为号，则动点F的轨迹长度为号 选择题答题卡 题号 1 2 5 6 8 9 10 11 得分 答案 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分， 12.在(1十ax)5的展开式中，x3的系数为80，则a= 13.已知定义在R上的偶函数f(x)满足f(x)=一f(2-x),当x∈[0,1) 时，f(x)=2cos元x.函数g(x)=x-1(-1<x<3),则f(x)与g(x)的 图象所有交点的横坐标之和为 14,已知双曲线C:2-苦-1，在双曲线C右支上任意一点P处作双曲线 C的切线，交C在第一、四象限的渐近线分别于A,B两点，O为坐标原 点.当S△aA=1时，该双曲线的离心率为 数学试题（附中版）第3页（共8页） 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演 算步骤， 15.(本小题满分13分) 在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且满足2 bcsin A= 3(b+c2-a2). (1)求角A的大小： (2)若AD为∠A的平分线，AD=√7，AB=3,求b的值 数学试题（附中版）第4页（共8页） 16.(本小题满分15分) 如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD与ABEF均为直角梯形， 平面ABCD⊥平面ABEF,AD∥BC,AF∥BE,AD⊥AB,AB⊥AF, AD=AB-2BC=2BE=2,AF>1. (1)已知点G为AF上一点，且AG=1,证明：BG∥平面DCE; (2)若平面DCE与平面BDF所成锐二面角的余弦值为号，求点C到 平面BDF的距离. D 数学试题（附中版）第5页（共8页） 17.(本小题满分15分) 如图，椭圆C5+兰=1(a>0,6>0)过点1，》，短轴长为2w3,椭圆 的左、右顶点分别为A1,A2,过椭圆C的右焦点F且与y轴相交的直 线与椭圆相交于A,B两点，与抛物线E:y2=4x相交于P,Q两点 (1)求椭圆C的方程； (2)若Sa4心≥号S4心求直线1在y轴上截距的范围。 数学试题（附中版）第6页（共8页） 18.(本小题满分17分) 已知函数f(x)=lnx+2x+是(a∈R). (1)讨论函数f(x)的单调性； (2)若f(x)>2x一1十a在(1，十∞)上恒成立，求整数a的最大值. 数学试题（附中版）第7页（共8页） 19.(本小题满分17分) 在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p(0<p<1), ①若用X表示事件A发生的次数，则称随机变量X服从二项分布，记 作X~B(n,p) ②若用Y表示事件A首次发生所需的试验次数，则称随机变量Y服从 几何分布，记作Y~G(), (1)现有十把外形相同的钥匙，其中只有一把能够打开门.现任意一一 试开，试对(1)有放回、(i)不放回两种情形求事件“至多试3次打 开门”的概率； (2)一般地，分别写出服从二项分布的随机变量X和服从几何分布的 随机变量Y的分布列及数学期望； (3)证明：服从几何分布且取值于正整数的随机变量Y具有无记忆 性，即 P(Y>m+n Y>m)=P(Y>n), 其中m和n为正整数.并结合(1)说明几何分布具有无记忆性的实 际意义， 提示：E(X)=艺kP(X=)--[2kP(X=)], 数学试题（附中版）第8页（共8页）