第七章 复数自学检测卷-2025年高一数学复习与预习手册（寒假不停学）（人教A版2019）

2025年高一数学复习与预习手册（寒假不停学）（人教A版2019） 第七章 复数自学检测卷 （时间：120分钟，满分：150分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知是纯虚数，则的值为（    ） A． B．6 C． D． 【答案】D 【详解】由题可得， 因为是纯虚数，所以且，所以， 故选：D. 2．设是虚数单位，若复数满足，则（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【详解】解：因为，所以， 所以，所以. 故选：B. 3．已知复数是纯虚数，若是实数，则的虚部是（   ） A． B． C． D．2 【答案】D 【详解】依题意，设，且， 则， 因是实数，故，解得， 则，，故的虚部是2. 故选：D. 4．已知复数的共轭复数是，则复数在复平面内对应的点在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【详解】由题可得， 复数在复平面内对应的点为， 所以复数在复平面内对应的点在第四象限， 故选：D. 5．在复平面内，O为原点，四边形OABC是复平面内的平行四边形，且A，B，C三点对应的复数分别为z1，z2，z3，若，则z2=（    ） A．1+i B．1－i C．－1+i D．－1－i 【答案】C 【详解】因为O为原点，四边形OABC是复平面内的平行四边形， 又因为， 所以由复数加法的几何意义可得， . 故选：C. 6．若复数满足，则 （   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，所以， 故， 因为，所以， 故选：B 7．若，是虚数单位，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意可得，① ， 由， 所以①的最大值为， 故选：D. 8．设复数分别对应于平面向量，则""是""的（    ）条件 A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．既非充分也非必要 【答案】B 【详解】设，则， 若，取，则，所以， 所以不能推出； 若，则，所以， 所以，化简可得， 所以或， 所以或，所以成立，所以可以推出； 所以""是""的必要非充分条件. 故选：B. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9．已知虚数满足，则（    ） A．的实部为 B．的虚部为 C． D．在复平面内对应的点在第三象限 【答案】ACD 【详解】由，得， 所以的实部为的虚部为， 在复平面内对应的点在第三象限， 故选：ACD 10．已知复数，，满足，下列说法正确的是（   ） A．若，则 B． C．若，则 D． 【答案】BD 【详解】对于选项A，设，， 则，，，不满足，故A错误； 对于选项B，设，在复平面内表示的向量分别为，，且，， 当，方向相同时，， 当，方向不相同时，， 综上，，，故B正确； 对于选项C，设，，， ，故C错误； 对于选项D，设，，， ， 则， ，故D正确． 故选：BD 11．下列有关复数的说法正确的是（ ） A．若是关于的方程的一个根，则 B．若，则点的集合所构成的图形的面积为 C．若是复数，则一定有 D．若，则 【答案】ABD 【详解】A，由题意，整理得， 所以，解得，故，正确； B，记，则，所以， 圆的面积为，圆的面积为， 所以点的集合所构成的图形的面积为，正确. C，当，则，而，显然不成立，错误； D，令，，则， 故，又，，则， 所以，正确. 故选：ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分. 12．已知，则 ． 【答案】 【详解】， 则. 故答案为：. 13．已知，方程一个虚根为，则 . 【答案】 【详解】因为方程一个虚根为， 则其另一个虚根为， 所以，所以， 所以. 故答案为：. 14．已知复数，并且，则的最大值为 ． 【答案】0 【详解】因为，所以， 因为，所以，所以， 因为，所以，因为， 所以，当且仅当，即时等号成立， 所以的最大值为． 故答案为：0. 四、解答题：本题共5小题，共计77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．计算 (1) (2) (3). 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1） ； （2） （3）. 16．已知i是虚数单位，复数． (1)当复数z为虚数时，求m的取值范围； (2)当复数z在复平面对应的点在第二象限，求m的取值范围． 【答案】(1)且 (2) 【详解】（1）因为复数虚数，所以 解得，且 （2）因为复数在复平面内对应的点在第二象限，所以， 解之得，得． 所以实数的取值范围为 17．已知复数. (1)计算复数，并求； (2)若复数满足，求实数的值. 【答案】(1)， (2) 【详解】（1）因为 所以. （2）由，得 ， ， ， 所以，解得. 18．欧拉公式（为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉提出的，它将指数函数的定义域扩大到复数集． (1)若复数，求； (2)在复平面内复数，对应的向量分别是，，其中是原点，求向量对应的复数． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由题可知， ， ， 所以， 所以． （2）因为， 所以． 19．已知是关于x的方程的一个根. (1)求p，q的值及方程的另一个根； (2)若实系数一元二次方程在复数集C内的两根为，请猜想两根与实系数有怎样的结论?并用方程的根进行验证； (3)若，则复平面内满足的动点的集合是什么图形? 【答案】(1)， (2)结论、证明见解析 (3)以为圆心，3为半径的圆 【详解】（1）因为是关于x的方程的一个根， 所以有，整理得. 故有，解得. 可得方程的根为， 所以另一个根为； （2）猜想：实系数一元二次方程在复数集C内的根为，则， 验证：方程的根为， ； （3）由（1）可知可化为， 所以，表示点与点的距离为定长3， 故复平面内满足的动点的集合是以为圆心，3为半径的圆. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$2025年高一数学复习与预习手册（寒假不停学）（人教A版2019） 第七章 复数自学检测卷 （时间：120分钟，满分：150分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知是纯虚数，则的值为（    ） A． B．6 C． D． 2．设是虚数单位，若复数满足，则（    ） A． B． C．1 D．2 3．已知复数是纯虚数，若是实数，则的虚部是（   ） A． B． C． D．2 4．已知复数的共轭复数是，则复数在复平面内对应的点在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 5．在复平面内，O为原点，四边形OABC是复平面内的平行四边形，且A，B，C三点对应的复数分别为z1，z2，z3，若，则z2=（    ） A．1+i B．1－i C．－1+i D．－1－i 6．若复数满足，则 （   ） A． B． C． D． 7．若，是虚数单位，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 8．设复数分别对应于平面向量，则""是""的（    ）条件 A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．既非充分也非必要 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9．已知虚数满足，则（    ） A．的实部为 B．的虚部为 C． D．在复平面内对应的点在第三象限 10．已知复数，，满足，下列说法正确的是（   ） A．若，则 B． C．若，则 D． 11．下列有关复数的说法正确的是（ ） A．若是关于的方程的一个根，则 B．若，则点的集合所构成的图形的面积为 C．若是复数，则一定有 D．若，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分. 12．已知，则 ． 13．已知，方程一个虚根为，则 . 14．已知复数，并且，则的最大值为 ． 四、解答题：本题共5小题，共计77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．计算 (1) (2) (3). 16．已知i是虚数单位，复数． (1)当复数z为虚数时，求m的取值范围； (2)当复数z在复平面对应的点在第二象限，求m的取值范围． 17．已知复数. (1)计算复数，并求； (2)若复数满足，求实数的值. 18．欧拉公式（为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉提出的，它将指数函数的定义域扩大到复数集． (1)若复数，求； (2)在复平面内复数，对应的向量分别是，，其中是原点，求向量对应的复数． 19．已知是关于x的方程的一个根. (1)求p，q的值及方程的另一个根； (2)若实系数一元二次方程在复数集C内的两根为，请猜想两根与实系数有怎样的结论?并用方程的根进行验证； (3)若，则复平面内满足的动点的集合是什么图形? 2 学科网（北京）股份有限公司 $$