2025年九年级中考数学二轮复习专题相似三角形的综合练习

2025年九年级中考数学二轮复习专题相似三角形的综合练习 类型一：三角形中的相似三角形综合 1．如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，BE⊥AC，垂足为E，AD与BE相交于点F，连接ED． （1）求证：△AEF∽△BDF； （2）若AE＝4，BD＝8，EF+DF＝9，求DE的长． 2．如图，∠ABD＝∠BCD＝90°，AB•CD＝BC•BD，BM∥CD交AD于点M．连接CM交DB于点N． （1）求证：△ABD∽△BCD； （2）若CD＝6，AD＝8，求MC的长． 3．如图，AD是△ABC的中线，E是AD上一点，AE：AD＝1：4，BE的延长线交AC于F，求AF：CF的值． 4．如图，在等边△ABC中，D为BC边上一点，E为AC边上一点，且∠ADB+∠EDC＝120°． （1）求证：△ABD∽△DCE； （2）若BD＝4，CE＝3，求△ABC的面积． 5．如图，菱形ABCD的边长为1，直线l过点C，交AB的延长线于M，交AD的延长线于N，求的值． 6．已知：如图，在△ABC中，D是BC边上的中点，且DE⊥BC，AD＝AC，DE与AB相交于点E，EC与AD相交于点F． （1）求证：∠ECB＝∠B； （2）求证：△ABC∽△FCD； （3）若△FCD的面积为7.5，BC＝10，求DE的长． 7．如图，∠ABD＝∠BCD＝90°，DB平分∠ADC，过点B作BM∥CD交AD于M．连接CM交DB于N． （1）求证：BD2＝AD•CD； （2）若CD＝6，AD＝8，求MN的长． 8．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，Rt△BAP中，∠BAP＝90°，已知∠CBO＝∠ABP，BP交AC于点O，E为AC上一点，且AE＝OC． （1）求证：AP＝AO； （2）求证：PE⊥AO； （3）当AE＝AC，AB＝10时，求线段BO的长度． 9．等边三角形ABC的边长为6，在AC，BC边上各取一点E，F，连接AF，BE相交于点P． （1）若AE＝CF； ①求证：AF＝BE，并求∠APB的度数； ②若AE＝2，试求AP•AF的值； （2）若AF＝BE，当点E从点A运动到点C时，试求点P经过的路径长． 10．在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点O在BC上（与B，C不重合），连接AO，F是线段AO上的点（与A，O不重合），∠EAF＝90°，AE＝AF，连结FE，FC，BE，BF． （1）如图1，若AO⊥BC，求证：BE＝BF； （2）如图2，若将△AEF绕点A旋转，使边AF在∠BAC的内部，延长CF交AB于点G，交BE于点K． ①求证：△AGC∽△KGB； ②当△BEF为等腰直角三角形时，请你直接写出AB：BF的值． 11．如图，四边形ABCD中，AC平分∠DAB，∠ADC＝∠ACB＝90°，E为AB的中点， （1）求证：AC2＝AB•AD； （2）求证：CE∥AD； （3）若AD＝4，AB＝6，求的值． 类二：四边形中的相似三角形综合 1．如图，点P是菱形ABCD的对角线BD上一点，连接CP并延长，交AD于点E，交BA的延长线于点F． （1）求证：△APD≌△CPD； （2）求证：△APE∽△FPA； （3）若PE＝2，EF＝6，求PC的长． 2．如图，点P是▱ABCD对角线AC上的一点，连接DP并延长DP交边AB于点E，连接BP并延长BP交AD于点F，交CD的延长线于点G，已知． （1）求的值． （2）若四边形ABCD是菱形． ①求证：△APB≌△APD； ②若DP的长为6，求GF的长． 3．如图，在菱形ABCD中，AB＝4，对角线AC、BD交于O点，E为AD延长线上一点，DE＝2，直线OE分别交AB、CD于G、F． （1）求证：DF＝BG； （2）求DF的长； （3）若∠ABC＝60°，求tan∠AEO． 4．在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E在BC上，且满足AE⊥BD； （1）求证：AB2＝BC•BE； （2）若AO＝3，AE＝4，求AB的长． 5．如图，在▱ABCD中，过B作BE⊥AD于点E，过点C作CF⊥BD分别与BD、BE交于点G、F，连接GE，已知AB＝BD，CF＝AB． （1）若∠ABE＝30°，AB＝6，求△ABE的面积； （2）求证：GE＝BG． 6．如图，在矩形ABCD中，E为AB边上一点，EC平分∠DEB，F为CE的中点，连接AF，BF，过点E作EH∥BC分别交AF，CD于G，H两点． （1）求证：DE＝DC； （2）求证：AF⊥BF； （3）当AF•GF＝28时，请直接写出CE的长． 7．已知：如图所示的一张矩形纸片ABCD（AD＞AB），将纸片折叠一次，使点A与点C重合，再展开，折痕EF交AD边于点E，交BC边于点F，分别连接AF和CE． （1）求证：四边形AFCE是菱形； （2）若AE＝10cm，△ABF的面积为24cm2，求△ABF的周长； （3）在线段AC上是否存在一点P，使得2AE2＝AC•AP？若存在，请说明点P的位置，并予以证明；若不存在，请说明理由． 8．如图，在正方形ABCD中，点E是BC边上的一动点，点F是CD上一点，且CE＝DF，AF、DE相交于点G． （1）求证：△ADF≌△DCE； （2）求∠AGD的度数； （3）若BG＝BC，求的值． 9．已知：如图边长为2的正方形ABCD中，∠MAN的两边分别交BC、CD边于M、N两点，且∠MAN＝45° ①求证：MN＝BM+DN； ②若AM、AN交对角线BD于E、F两点．设BF＝y，DE＝x，求y与x的函数关系式． 10．如图，四边形ABCD是正方形，△ECF是等腰直角三角形，其中CE＝CF，G是CD与EF的交点． （1）求证：△BCF≌△DCE； （2）若∠BFC＝90°，S△CFG：S△DEG＝9：16，求tan∠FBC的值． 11．如图所示的一张矩形纸片ABCD（AD＞AB），将纸片折叠一次，使点A与C重合，再展开，折痕EF交AD边于点E，交BC边于点F，交AC于点O，分别连接AF和CE． （1）求证：四边形AFCE是菱形； （2）过E点作AD的垂线EP交AC于点P，求证：2AE2＝AC•AP； （3）若AE＝10cm，△ABF的面积为24cm2，求△ABF的周长． 12．已知：如图，四边形ABCD是正方形，BD是对角线，BE平分∠DBC交DC于E点，交DF于M，F是BC延长线上一点，且CE＝CF． （1）求证：BM⊥DF； （2）若正方形ABCD的边长为2，求ME•MB． 13．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，沿直线MN对折，使A、C重合，直线MN交AC于O． （1）求证：△COM∽△CBA； （2）求线段OM的长度． 14．如图，已知正方形ABCD中，BE平分∠DBC且交CD边于点E，将△BCE绕点C顺时针旋转到△DCF的位置，并延长BE交DF于点G． （1）求证：△BDG∽△DEG； （2）若EG•BG＝4，求BE的长． 学科网（北京）股份有限公司 $$