2025年中考数学一轮专题考点突破：切线长定理

2025年中考数学一轮专题考点突破：切线长定理 知识点：切线长定理 （1）圆的切线长定义：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长． （2）切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线，平分两条切线的夹角． （3）注意：切线和切线长是两个不同的概念，切线是直线，不能度量；切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点，可以度量． （4）切线长定理包含着一些隐含结论： ①垂直关系三处； ②全等关系三对； ③弧相等关系两对，在一些证明求解问题中经常用到． 一．选择题（共15小题） 1．如图，AD，AE分别是⊙O的切线，D，E为切点，BC切⊙O于F，交AD，AE于点B，C．若AD=6，则△ABC的周长是（　　） A．6 B．12 C．8 D．16 2．如图，四边形ABCD外切于⊙O，且AB=10，CD=15，则四边形ABCD的周长为（　　）​ A．60 B．55 C．45 D．50 3．如图，△ABC是一张三角形的纸片，⊙O是它的内切圆，点D是其中的一个切点，已知AD=10cm,小明准备用剪刀沿着与⊙O相切的任意一条直线MN剪下一块三角形（△AMN），则剪下的△AMN的周长为（　　） A．20cm B．15cm C．10cm D．随直线MN的变化而变化 4．以正方形ABCD的AB边为直径作半圆O，过点C作直线切半圆于点F，交AB边于点E，若△CDE的周长为12，则直角梯形ABCE周长为（　　） A．12 B．13 C．14 D．15 5．如图，PA，PB为⊙O的两条切线，C，D切⊙O于点E，分别交PA，PB于点C，D．F为⊙O上的点，连接AF，BF，若PA=5，∠P=40°，则△PCD的周长和∠AFB的度数分别为（　　） A．10，40° B．10，80° C．15，70° D．10，70° 6．如图，是用一把直尺、含60°角的直角三角板和光盘摆放而成，点A为60°角与直尺交点，点B为光盘与直尺唯一交点，若AB=3，则光盘的直径是（　　） A．6 B．3 C．6 D．3 7．如图，已知AB为⊙O的直径，CB切⊙O于B，CD切⊙O于D，交BA的延长线于E，若AB=3，ED=2，则BC的长为（　　） A．2 B．3 C．3.5 D．4 8．如图，圆O的圆心在梯形ABCD的底边AB上，并与其它三边均相切，若AB=10，AD=6，则CB长（　　） A．4 B．5 C．6 D．无法确定 9．如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O外一点，CA、CD是⊙O的切线，A、D为切点，连接BD、AD．若∠ACD=48°，则∠DBA的大小是（　　） A．32° B．48° C．60° D．66° 10．如图，从圆O外一点P引圆O的两条切线PA，PB，切点分别为A，B．如果∠APB=60°，PA=8，那么弦AB的长是（　　） A．4 B．8 C． D． 11．如图，PA、PB分别是⊙O的切线，A、B为切点，AC是⊙O的直径，已知∠BAC=35°，∠P的度数为（　　） A．35° B．45° C．60° D．70° 12．如图，已知以直角梯形ABCD的腰CD为直径的半圆O与梯形上底AD、下底BC以及腰AB均相切，切点分别是D，C，E．若半圆O的半径为2，梯形的腰AB为5，则该梯形的周长是（　　） A．9 B．10 C．12 D．14 13．如图，AB、CD分别为两圆的弦，AC、BD为两圆的公切线且相交于P点．若PC=2，CD=3，DB=6，则△PAB的周长为何（　　） A．6 B．9 C．12 D．14 14．如图，PA、PB、DE分别切⊙O于A、B、C点，若圆O的半径为6，OP=10，则△PDE的周长为（　　） A．10 B．12 C．16 D．20 15．已知：如图，AB为⊙O的直径，CD、CB为⊙O的切线，D、B为切点，OC交⊙O于点E，AE的延长线交BC于点F，连接AD、BD．以下结论：①AD∥OC；②点E为△CDB的内心；③FC=FE；④CE•FB=AB•CF．其中正确的只有（　　） A．①② B．②③④ C．①③④ D．①②④ 二．填空题（共5小题） 16．如图，AB、AC、BD是⊙O的切线，P、C、D为切点，如果AB=8，AC=5，则BD的长为 ______． 17．如图，四边形ABCD是⊙O的外切四边形，且BC=3，AD=5，若四边形ABCD的面积等于15，则⊙O的半径等于 ______． 18．如图，⊙O与△ABC的边AB、AC、BC分别相切于点D、E、F，如果AB=4，AC=5，AD=1，那么BC的长为______． 19．如图，AB为⊙O的切线，AC、BD分别与⊙O切于C、D点，若AB=5，AC=3，则BD的长是 ______． 20．如图所示，P是⊙O外一点，PA，PB分别和⊙O切于A，B两点，C是上任意一点，过C作⊙O的切线分别交PA，PB于D，E． （1）若△PDE的周长为10，则PA的长为______； （2）连接CA、CB，若∠P=50°，则∠BCA的度数为______度． 三．解答题（共6小题） 21．如图，PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，AC是⊙O的直径，∠BAC=20°，求∠P的度数． 22．如图，PA、PB是⊙O的切线，CD切⊙O于点E，△PCD的周长为12，∠APB=60°．求： （1）PA的长； （2）∠COD的度数． 23．如图，PA，PB分别与⊙O相切于点A，B，AC为弦，BC为⊙O的直径，若∠P=60°，PB=2cm. （1）求证：△PAB是等边三角形； （2）求AC的长． 24．如图，直线AB、BC、CD分别与⊙O相切于E、F、G，且AB∥CD，OB=6cm,OC=8cm.求： （1）∠BOC的度数； （2）BE+CG的长； （3）⊙O的半径． 25．如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，⊙O为内切圆，E为切点． （1）求证：AO2=AE•AD； （2）若AO=4cm,AD=5cm,求⊙O的面积． 26．如图，AB、BC、CD分别与⊙O相切于E、F、G，且AB∥CD，BO=6，CO=8． （1）判断△OBC的形状，并证明你的结论； （2）求BC的长； （3）求⊙O的半径OF的长． 2025年中考数学一轮专题考点突破：切线长定理 (参考答案) 一．选择题（共15小题） 1、B 2、D 3、A 4、C 5、D 6、A 7、B 8、A 9、D 10、B 11、D 12、D 13、D 14、C 15、D  二．填空题（共5小题） 16、3； 17、； 18、7； 19、2； 20、5；115；  三．解答题（共6小题） 21、解：根据切线的性质得：∠PAC=90°， 所以∠PAB=90°-∠BAC=90°-20°=70°， 根据切线长定理得PA=PB， 所以∠PAB=∠PBA=70°， 所以∠P=180°-70°×2=40°． 22、解：（1）∵CA，CE都是圆O的切线， ∴CA=CE， 同理DE=DB，PA=PB， ∴三角形PCD的周长=PD+CD+PC=PD+PC+CA+BD=PA+PB=2PA=12， 即PA的长为6； （2）∵∠P=60°， ∴∠PCE+∠PDE=120°， ∴∠ACD+∠CDB=360°-120°=240°， ∵CA，CE是圆O的切线， ∴∠OCE=∠OCA=∠ACD； 同理：∠ODE=∠CDB， ∴∠OCE+∠ODE=（∠ACD+∠CDB）=120°， ∴∠COD=180-120°=60°． 23、解：（1）∵PA，PB分别与⊙O相切于点A，B， ∴PA=PB，且∠P=60°， ∴△PAB是等边三角形； （2）∵△PAB是等边三角形； ∴PB=AB=2cm,∠PBA=60°， ∵BC是直径，PB是⊙O切线， ∴∠CAB=90°，∠PBC=90°， ∴∠ABC=30°， ∴tan∠ABC==， ∴AC=2×=cm. 24、解：（1）连接OF；根据切线长定理得：BE=BF，CF=CG，∠OBF=∠OBE，∠OCF=∠OCG； ∵AB∥CD， ∴∠ABC+∠BCD=180°， ∴∠OBF+∠OCF=90°， ∴∠BOC=90°； （2）由（1）知，∠BOC=90°． ∵OB=6cm,OC=8cm, ∴由勾股定理得到：BC==10cm, ∴BE+CG=BC=10cm. （3）∵BC与⊙O相切于点F， ∴OF⊥BC， ∴S△OBC=OF×BC=OB×OC，即OF×10=×6×8． ∴OF=4.8cm. 25、（1）证明：根据切线长定理可知： ∵∠OAE+∠ODA=（∠BAD+∠ADC）=90°， ∴∠AOD=90°， ∵∠OAE=∠OAE，∠AOD=∠AEO=90°， ∴△AOE∽△ADO， ∴=， 即AO2=AE•AD； （2）解：在Rt△AOD中， OD==3（cm）， ∵S△AOD=×AD×EO=×AO×OD 即5×EO=4×3， ∴EO=（cm）， ∵OE是⊙O的半径， ∴S圆O=πr2=π（cm2）． 26、（1）答：△OBC是直角三角形． 证明：∵AB、BC、CD分别与⊙O相切于E、F、G， ∴∠OBE=∠OBF=∠EBF，∠OCG=∠OCF=∠GCF， ∵AB∥CD， ∴∠EBF+∠GCF=180°， ∴∠OBF+∠OCF=90°， ∴∠BOC=90°， ∴△OBC是直角三角形； （2）解：∵在Rt△BOC中，BO=6，CO=8， ∴BC==10； （3）解：∵AB、BC、CD分别与⊙O相切于E、F、G， ∴OF⊥BC， ∴OF===4.8． 学科网（北京）股份有限公司 $$