2025年广东中考数学分层复习专题05　三角形相关知识及其应用课件

分层复习　三　角　形 复习三　等腰三角形、等边三角形、直角三角形 【A组】 1. （2023·宿迁）若等腰三角形有一个内角为110°，则这个等腰三角形的底角是0（ ） A. 70° B. 45° C. 35° D. 50° C 2. （2023·贵州）5月26日，“2023中国国际大数据产业博览会”在贵阳开幕，在“自动化立体库”中有许多几何元素，其中有一个等腰三角形模型（示意图如图F15-1所示），它的顶角为120°，腰长为12 m，则底边上的高是0（ ） A. 4 m B. 6 m C. 10 m D. 12 m 图F15-1 B 3. （2023·株洲）一技术人员用刻度尺（单位：cm）测量某三角形部件的尺寸.如图F15-2，已知∠ACB=90°，D为边AB的中点，点A，B对应的刻度为1，7，则CD=0（ ） A. 3.5 cm B. 3 cm C. 4.5 cm D. 6 cm 图F15-2 B 4. （2024·常州）如图F15-3，在纸上画有∠AOB，将两把直尺按图示摆放，直尺边缘的交点P在∠AOB的平分线上，则0（ ） A. d1与d2一定相等 B. d1与d2一定不相等 C. l1与l2一定相等 D. l1与l2一定不相等 图F15-3 A 5. （2024·云南）已知AF是等腰三角形ABC底边BC上的高，若点F到直线AB的距离为3，则点F到直线AC的距离为0（ ） A. B. 2 C. 3 D. C 6. （2023·吉林）如图F15-4，在△ABC中，AB=AC.分别以点B和点C为圆心，大于BC的长为半径作弧，两弧交于点D，作直线AD交BC于点E.若∠BAC=110°，则∠BAE的大小为　 　°.  图F15-4 55 7. （2023·辽宁）如图F15-5，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D为BC的中点，过点C作CE∥AB交AD的延长线于点E.若AC=4，CE=5，则CD的长为  　.  图F15-5 8. （2024·吉林，数学文化）图F15-6①中有一首古算诗，根据诗中的描述可以计算出红莲所在位置的湖水深度，其示意图如图F15-6②，其中AB=AB'，AB⊥B'C于点C，BC=0.5尺，B'C=2尺.设AC的长度为x尺，可列方程为　 　.  图F15-6 x2+22=（x+0.5）2 9. （2023·荆州）如图F15-7，BD是等边三角形ABC的中线，以点D为圆心，DB的长为半径画弧，交BC的延长线于点E，连接DE.求证：CD=CE. 图F15-7 证明：∵BD是等边三角形ABC的中线， ∴BD⊥AC，∠ACB=60°. ∴∠DBC=90°-∠ACB=30°. ∵DE=DB， ∴∠E=∠DBC=30°. ∴∠CDE=∠ACB-∠E=30°. ∴∠CDE=∠E. ∴CD=CE. 【B组】 10. （2023·天津）如图F15-8，在△ABC中，分别以点A和点C为圆心，大于AC的长为半径作弧（弧所在圆的半径都相等），两弧相交于M，N两点，直线MN分别与边BC，AC相交于点D，E，连接AD.若BD=DC，AE=4，AD=5，则AB的长为0（ ） A. 9 B. 8 C. 7 D. 6 图F15-8 D 11. （2024·南充）如图F15-9，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，BC=6，AD平分∠CAB交BC于点D，点E为边AB上一点，则线段DE长度的最小值为0（ ） A. B. C. 2 D. 3 图F15-9 C 12. （2024·内江）如图F15-10，在△ABC中，∠DCE=40°，AE=AC，BC=BD，则∠ACB的度数为　 　.  图F15-10 100° 13. （2022·杭州）如图F15-11，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，M为边AB的中点，点E在线段AM上，EF⊥AC于点F，连接CM，CE.已知∠A=50°，∠ACE=30°. （1）求证：CE=CM； 图F15-11 （1）证明：∵∠A=50°，∠ACE=30°， ∴∠MEC=∠A+∠ACE=80°. ∵∠ACB=90°， ∴∠B=90°-∠A=40°. ∵M为边AB的中点，∴CM=BM=AB. ∴∠MCB=∠B=40°. ∴∠EMC=∠MCB+∠B=80°. ∴∠MEC=∠EMC.∴CE=CM. （2）若AB=4，求线段FC的长. （2）解：∵AB=4，∴CE=CM=AB=2. ∵EF⊥AC，∴∠CFE=90°. 在Rt△CEF中，∠ACE=30°， ∴FC=CE·cos∠ACE=2×cos 30°=. 图F15-11 【C组】 14. （2024·陕西）如图F15-12，在△ABC中，AB=AC，E是边AB上一点，连接CE，在BC的右侧作BF∥AC，且 BF=AE，连接CF.若AC=13，BC=10，则四边形EBFC的面积为　 　.  图F15-12 60 15. （2023·烟台）如图F15-13，C为线段AB上一点，分别以AC，BC为等腰三角形的底边，在AB的同侧作等腰三角形ACD和等腰三角形BCE，且∠A=∠CBE.在线段EC上取一点F，使EF=AD，连接BF，DE. （1）如图F15-13①，求证：DE=BF； （1）证明：∵△ACD和△BCE分别是以AC，BC为底边的等腰三角形， ∴∠A=∠ACD，AD=CD，CE=BE. ∵∠A=∠CBE，EF=AD， ∴∠ACD=∠CBE，CD=EF. ∴CD∥BE.∴∠DCE=∠FEB. 图F15-13 在△DCE和△FEB中， ∴△DCE≌△FEB（SAS）.∴DE=BF. 图F15-13 （2）如图F15-13②，若AD=2，BF的延长线恰好经过DE的中点G，求BE的长. （2）解：如答图F15-1，作GH∥CD，交CE于点H. ∵GH∥CD，DG=EG，∴CH=EH. ∴GH是△DCE的中位线. ∵CD=AD=2，∴GH=CD=1. 设CE=BE=m，则EH=m. ∵EF=AD=2， ∴FH=EH-EF=m-2. 答图F15-1 由（1）知CD∥BE，∴GH∥BE. ∴△GHF∽△BEF.∴. 解得m=2+2（负值已舍去）. ∴BE的长为2+2. 答图F15-1 $$分层复习　三　角　形 复习五　相似三角形 【A组】 1. （2022·兰州）已知△ABC∽△DEF，=，若BC=2，则EF=0（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 16 A 2. （2023·吉林）如图F17-1，在△ABC中，点D在边AB上，过点D作DE∥BC，交AC于点E.若AD=2，BD=3，则的值是0（ ） A. B. C. D. 图F17-1 A 3. （2024·内江）已知△ABC与△DEF相似，且相似比为1∶3，则△ABC与△DEF的周长之比是0（ ） A. 1∶1 B. 1∶3 C. 1∶6 D. 1∶9 4. （教材改编）如果点C是线段AB的一个黄金分割点，那么下列线段的比值不可能为的是0（ ） A. B. C. D. B B 5. （2023·哈尔滨）如图F17-2，AC，BD相交于点O，AB∥DC，M是AB的中点，MN∥AC，交BD于点N.若DO∶OB=1∶2，AC=12，则MN的长为0（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 图F17-2 B 6. （2024·浙江）如图F17-3，在平面直角坐标系中，△ABC与△A'B'C'是位似图形，位似中心为点O.若点A（-3，1）的对应点为A'（-6，2），则点B（-2，4）的对应点B'的坐标为0（ ） A. （-4，8） B. （8，-4） C. （-8，4） D. （4，-8） 图F17-3 A 7. （2023·泰州）两个相似图形的周长比为3∶2，则面积比为　 　.  8. （2024·青海）如图F17-4，AC和BD相交于点O，请你添加一个条件 　 　，使得△AOB∽△COD.（写出一个即可）  图F17-4 9∶4 ∠A=∠C（答案不唯一） 9. （2024·扬州，跨学科融合）物理课上学过小孔成像的原理，它是一种利用光的直线传播特性实现图象投影的方法.如图F17-5，燃烧的蜡烛（竖直放置）AB经小孔O在屏幕（竖直放置）上成像A'B'，设AB=36 cm，A'B'=24 cm，小孔O到AB的距离为30 cm，则小孔O到A'B'的距离为　 　cm.  图F17-5 20 10. （2024·广元节选）如图F17-6，在△ABC中，D为边AB上一点，连接CD. （1）如图F17-6①，若∠ACD=∠B，求证：AC2=AD·AB； 图F17-6 （1）证明：∵∠A=∠A，∠ACD=∠B， ∴△ACD∽△ABC.∴. ∴AC2=AD·AB. （2）如图F17-6②，在（1）的条件下，若D为AB的中点，BC=4，求CD的长. （2）解：∵D为AB的中点，∴AB=2AD. ∵AC2=AD·AB，∴AC2=2AD2. ∴. 由（1）知△ACD∽△ABC， ∴. ∵BC=4，∴CD=. 图F17-6 【B组】 11. （2023·东营）如图F17-7，△ABC为等边三角形，点D，E分别在边BC，AB上，∠ADE=60°.若BD=4DC，DE=2.4，则AD的长为0（ ） A. 1.8 B. 2.4 C. 3 D. 3.2 图F17-7 C 12. （2024·乐山）如图F17-8，在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC和BD交于点O.若=，则=  　.  图F17-8 13. （2023·泰安节选）如图F17-9，△ABC和△CDE均是等腰直角三角形，EF⊥AD. （1）求证：△EHG∽△ADG； 图F17-9 证明：（1）∵△ABC和△CDE均是等腰直角三角形， ∴∠ECD=90°，∠ACB=∠DEC=45°，EC=DC. ∴∠ACD=∠ECD-∠ACB=45°. ∴∠ACB=∠ACD. ∴EG=DG，AC⊥ED. ∴AC垂直平分ED. ∴AE=AD，∠AGD=∠AGE=90°. ∴∠DAG+∠ADG=90°. ∵EF⊥AD，∴∠DFE=90°. ∴∠HEG+∠ADG=90°. ∴∠HEG=∠DAG. 又∵∠EGH=∠AGD=90°， ∴△EHG∽△ADG. 图F17-9 （2）求证：=. （2）如答图F17-1，过点A作AQ∥BC，交EF的延长线于点Q，则∠QAC=∠ACB=45°，∠Q=∠QEC. ∴∠Q=∠QEC=∠HEG+∠DEC=∠HEG+45°. ∵AE=AD，AC⊥ED， ∴∠EAG=∠DAG. 由（1）知∠HEG=∠DAG，∴∠EAG=∠HEG. ∴∠EAQ=∠EAG+∠QAC=∠HEG+45°. ∴∠EAQ=∠Q.∴AE=QE. ∵AQ∥BC，∴. ∵AE=QE，∴. 答图F17-1 【C组】 14. （2024·德州）如图F17-10，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BD⊥AC，垂足为D，AE平分∠BAC，分别交BD，BC于点F，E.若AB∶BC=3∶4，则BF∶FD为0（ ） A. 5∶3 B. 5∶4 C. 4∶3 D. 2∶1 图F17-10 A 15. （综合探究）【问题背景】 （1）如图F17-11①，已知△ABC∽△ADE，求证：△ABD∽△ACE； 图F17-11 （1）证明：∵△ABC∽△ADE， ∴，∠BAC=∠DAE. ∴，∠BAC-∠CAD=∠DAE-∠CAD，即∠BAD=∠CAE. ∴△ABD∽△ACE. 【尝试应用】 （2）如图F17-11②，在△ABC和△ADE中，∠BAC=∠DAE=90°，∠ABC=∠ADE=60°，AC与DE相交于点F，点D在BC边上，=，求的值. 图F17-11 （2）解：如答图F17-2，连接EC. ∵∠BAC=∠DAE=90°，∠ABC=∠ADE=60°， ∴△ABC∽△ADE，tan∠ADE=. ∴AE=AD. 同（1）可得△ABD∽△ACE， ∴∠ABD=∠ACE，. ∵∠ABD=∠ADE，∴∠ADE=∠ACE. 又∵∠AFD=∠EFC，∴△ADF∽△ECF. ∴AD. ∵=2. 答图F17-2 $$分层复习　三　角　形 复习二　三角形与多边形的有关概念及性质 【A组】 1. （2024·乐山）下列多边形中，内角和最小的是0（ A ） 2. （2024·济南）若正多边形的一个外角是45°，则这个正多边形是0（ ） A. 正六边形 B. 正七边形 C. 正八边形 D. 正九边形 C 3. （2024·广安）如图F14-1，在△ABC中，D，E分别是边AC，BC的中点.若∠A=45°，∠CED=70°，则∠C的度数为0（ ） A. 45° B. 50° C. 60° D. 65° 图F14-1 D 4. （2023·聊城）如图F14-2，分别过△ABC的顶点A，B作AD∥BE.若∠CAD=25°，∠EBC=80°，则∠ACB的度数为0（ ） A. 65° B. 75° C. 85° D. 95° B 图F14-2 5. （2023·河北）四边形ABCD的边长如图F14-3所示，对角线AC的长度随四边形形状的改变而变化.当△ABC为等腰三角形时，对角线AC的长为0（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 图F14-3 B 6. （2024·长沙）如图F14-4，在△ABC中，D，E分别是边AC，BC的中点，连接DE.若DE=12，则AB的长为　 　.  图F14-4 24 7. （2024·包头）若一个n边形的内角和是900°，则n=　 　.  8. （2024·宿迁）如图F14-5，在△ABC中，∠B=50°，∠C=30°，AD是高，以点A为圆心，AB长为半径画弧，交AC于点E，再分别以点B，E为圆心，大于BE的长为半径画弧，两弧在∠BAC的内部交于点F，作射线AF，则∠DAF=　 　°.  图F14-5 7 10 9.（教材改编）如图F14-6，AE为△ABC的角平分线，CD为△ABC在AB边上的高，若∠B=30°，∠ACB=70°. （1）求∠CAF的度数； 图F14-6 解：（1）∵∠B=30°，∠ACB=70°， ∴∠BAC=180°- ∠B-∠ACB=80°. ∵AE平分∠BAC， ∴∠CAF=∠BAF=∠BAC=40°. （2）求∠AFC的度数. （2）∵CD为△ABC在AB边上的高， ∴∠ADF=90°. 由（1）知∠BAF=40°， ∴∠AFC=∠ADF+∠BAF=130°. 图F14-6 【B组】 10. （2022·益阳）如图F14-7①，将长为6的矩形纸片沿虚线折成3个矩形，其中左右两侧矩形的宽相等，若要将其围成如图F14-7②所示的三棱柱形物体，则图中a的值可以是0（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 图F14-7 B 11. （2024·宁夏）如图F14-8，在正五边形ABCDE的内部，以CD边为边作正方形CDFH，连接BH，则∠BHC=　 　°.  图F14-8 81 12. （教材改编）如图F14-9，在△ABC中，∠ACB=90°，D是BC上一点，且AD=BD，E，F分别是AD，AB的中点，连接CE，CF，EF.求证：CF是∠ECB的平分线. 证明：∵E，F分别是AD，AB的中点， ∴EF∥BD，EF=BD. ∴∠FCD=∠CFE. 在△ACD中，∠ACD=90°， ∵E是AD的中点，∴CE=AD. 又∵AD=BD，∴CE=EF. ∴∠ECF=∠CFE.∴∠FCD=∠ECF. ∴CF是∠ECB的平分线. 图F14-9 【C组】 13. （2024·河北）如图F14-10，直线l与正六边形ABCDEF的边AB，EF分别相交于点M，N，则α+β=0（ ） A. 115° B. 120° C. 135° D. 144° 图F14-10 B 14. （2024·威海）如图F14-11，在正六边形ABCDEF中，AH∥FG，BI⊥AH，垂足为点I.若∠EFG=20°，则∠ABI=　 　.  图F14-11 50° 15. （综合探究）如图F14-12，在△ABC中，∠C>∠B，AD是∠BAC的平分线. （1）探究与发现：如图F14-12①，AE⊥BC于点E. ①若∠B=20°，∠C=70°，则∠CAD=　 　°，∠DAE=　 　°；  ②若∠B=40°，∠C=80°，则∠DAE=　 　°；  ③试探究∠DAE与∠B，∠C的数量关系，并说明理由； 图F14-12 45 25 20 解：（1）③∠DAE=（∠C-∠B）. 理由：∵AE⊥BC，∴∠AEC=90°. ∴∠EAC=90°-∠C. 在△ABC中，∠BAC=180°-∠B-∠C. ∵AD平分∠BAC， ∴∠CAD=（180°-∠B-∠C）. ∴∠DAE=∠CAD-∠EAC=（∠C-∠B）. 图F14-12 （2）判断与思考：如图F14-12②，F是AD上一点，FE⊥BC于点E，这时∠DFE与∠B，∠C又有怎样的数量关系？请说明理由. （2）∠DFE=（∠C-∠B）. 理由：由（1）③知∠CAD=（180°-∠B-∠C）， ∴∠ADC=180°-∠CAD-∠C=90°-（∠C-∠B）. ∵FE⊥BC，∴∠FED=90°. ∴∠DFE=90°-∠ADC=90°-[90°-（∠C-∠B）]=（∠C-∠B）. 图F14-12 $$分层复习　三　角　形 复习六　锐角三角函数与解直角三角形 【A组】 1. （2023·攀枝花）△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c.已知a=6，b=8，c=10，则cos A的值为0（ ） A. B. C. D. C 2. （2023·南充）如图F18-1，小兵同学从A处出发向正东方向走x m到达B处，再向正北方向走到C处，已知∠BAC=α，则A，C两处相距0（ ） A. m B. m C. x·sin α m D. x·cos α m 图F18-1 B 3. （2024·雅安）在数学课外实践活动中，某小组测量一栋楼房CD的高度（如图F18-2），他们在A处仰望楼顶，测得仰角为30°，再往楼的方向前进50 m至B处，测得仰角为60°，那么这栋楼的高度为（人的身高忽略不计）0（ ） A. 25 m B. 25 m C. 25 m D. 50 m 图F18-2 A 4. （2023·宿迁）如图F18-3，在网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点.点A，B，C三点都在格点上，则sin∠ABC=  　.  图F18-3 5. （2023·绵阳）如图F18-4，厂房屋顶人字架（等腰三角形）的跨度BC=10 m，∠B=30°，则中柱AD（D为底边中点）的长为  　m.  图F18-4 6. （2024·泰安）在综合实践课上，数学兴趣小组用所学数学知识测量大汶河某河段的宽度.他们在河岸一侧的瞭望台上放飞一只无人机.如图F18-5，无人机在河上方距水面高60 m的点P处测得瞭望台正对岸A处的俯角为50°，测得瞭望台顶端C处的俯角为63.6°.已知瞭望台BC高12 m（图中点A，B，C，P在同一平面内），那么大汶河此河段的宽AB为　 　m.（参考数据：sin 40°≈，sin 63.6°≈，tan 50°≈，tan 63.6°≈2）  图F18-5 74 7. （2024·通辽）在“综合与实践”活动课上，活动小组测量一棵杨树的高度.如图F18-6，从点C处测得杨树底端点B的仰角是30°，BC长6 m，在距离点C 4 m的点D处测得杨树顶端点A的仰角为45°，求杨树AB的高度.（结果精确到0.1 m，AB，BC，CD在同一平面内，点C，D在同一水平线上，参考数据：≈1.73） 图F18-6 解：如答图F18-1，延长AB交DC的延长线于点H，则∠AHD=90°. 在Rt△BCH中，BC=6 m，∠BCH=30°， ∴BH=BC·sin∠BCH=6×sin 30°=3（m）， CH=BC·cos∠BCH=6×cos 30°=3（m）. ∵CD=4 m，∴DH=CD+CH=（4+3）m. 在Rt△ADH中，DH=（4+3）m，∠ADH=45°， ∴AH=DH·tan∠ADH=（4+3）m. ∴AB=AH-BH=4+3≈6.2（m）. 答：杨树AB的高度约为6.2 m. 答图F18-1 【B组】 8. （2024·贵州，跨学科融合）综合与实践 小星学习解直角三角形知识后，结合光的折射规律进行了如下综合性学习. 【实验操作】 第一步：将长方体空水槽放置在水平桌面上，一束光线从水槽边沿A处投射到底部B处，入射光线与水槽内壁AC的夹角为∠A； 第二步：向水槽注水，水面上升到AC的中点E处时，停止注水.（直线NN'为法线，AO为入射光线，OD为折射光线） 【测量数据】 如图F18-7，点A，B，C，D，E，F，O，N，N'在同一平面内，测得AC=20 cm，∠A=45°，折射角∠DON=32°. 【问题解决】 根据以上实验操作和测量的数据，解答下列问题： （1）求BC的长； 图F18-7 解：（1）∵水槽为长方体，∴∠C=90°. 在Rt△ABC中，AC=20 cm，∠A=45°， ∴BC=AC·tan A=20×tan 45°=20（cm）. （2）求B，D之间的距离. （结果精确到0.1 cm，参考数据：sin 32°≈0.52，cos 32°≈0.84，tan 32°≈0.62） （2）∵E是AC的中点，∴CE=AC=10（cm）. ∵直线NN'为法线，∴∠EON=∠CNO=∠C=90°. ∴四边形ECNO为矩形.∴ON=CE=10 cm. 在Rt△BON中，ON=10 cm，∠ABC=45°， ∴BN==10（cm）. 图F18-7 在Rt△DON中，ON=10 cm，∠DON=32°， ∴DN=ON·tan∠DON=10×tan 32°≈6.2（cm）. ∴BD=BN-DN=10-6.2=3.8（cm）. 答：B，D之间的距离为3.8 cm. 9. （2024·巴中）某兴趣小组开展了测量电线塔高度的实践活动.如图F18-8，斜坡BE的坡度i=1∶，BE=6 m，在B处测得电线塔CD顶部D的仰角为45°，在E处测得电线塔CD顶部D的仰角为60°. （1）求点B离水平地面的高度AB； 解：（1）由题意，得BA⊥AE. ∵斜坡BE的坡度i=1∶， ∴tan∠BEA=. ∴∠BEA=30°. ∵BE=6 m，∴AB=BE=3（m）. 答：点B离水平地面的高度AB为3 m. 图F18-8 （2）求电线塔CD的高度.（结果保留根号） （2）如答图F18-2，过点B作BF⊥CD于点F，则CF=AB=3 m，BF=AC. 在Rt△ABE中，BE=6 m，∠BEA=30°， ∴AE=BE·cos∠BEA=6×cos 30°=3（m）. 设CE=x m，则BF=AC=CE+AE=（x+3）m. 在Rt△CDE中，CE=x m，∠DEC=60°， ∴CD=CE·tan∠DEC=x·tan 60°=x（m）. 答图F18-2 在Rt△BDF中，BF=（x+3）m，∠DBF=45°， ∴DF=BF·tan∠DBF=（x+3）m. ∵DF+CF=CD，∴x+3. ∴CD=+9）m. 答：电线塔CD的高度为（6+9）m. 答图F18-2 【C组】 　10. （2024·宁夏，数学文化）如图F18-9①是三星堆遗址出土的陶盉（hè），图F18-9②是其示意图.已知管状短流AB=2 cm，四边形BCDE是器身，BE∥CD，BC=DE=11 cm，∠ABE=120°，∠CBE=80°.器身底部CD距地面的高度为21.5 cm，则该陶盉管状短流口A距地面的高度约为 　 　cm.（结果精确到0.1 cm，参考数据：sin 80°≈0.984 8，cos 80°≈0.173 6，tan 80°≈5.671 3，≈1.732）  图F18-9 34.1 $$分层作业本 分层复习　三　角　形 复习四　全等三角形 【A组】 1. （2022·金华）如图F16-1，AC与BD相交于点O，OA=OD，OB=OC，不添加辅助线，判定△ABO≌△DCO的依据是0（ ） A. SSS B. SAS C. AAS D. HL 图F16-1 B 2. （2021·盐城）工人师傅常常利用角尺构造全等三角形的方法来平分一个角.如图F16-2，在∠AOB的两边OA，OB上分别截取OC=OD，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点C，D重合，这时过角尺顶点M的射线OM就是∠AOB的平分线.这里构造全等三角形的依据是0（ ） A. SAS B. ASA C. AAS D. SSS 图F16-2 D 3. （教材改编）如图F16-3，图中a，b，c为三角形的边长，则甲、乙、丙三个三角形和左侧△ABC全等的是0（ ） A. 甲和乙 B. 乙和丙 C. 甲和丙 D. 只有丙 图F16-3 B 4. （2022·成都）如图F16-4，在△ABC和△DEF中，点A，E，B，D在同一直线上，AC∥DF，AC=DF，只添加一个条件，能判定△ABC≌△DEF的是0（ ） A. BC=DE B. AE=DB C. ∠A=∠DEF D. ∠ABC=∠D 图F16-4 B 5. （2021·哈尔滨）如图F16-5，△ABC≌△DEC，点A和点D是对应顶点，点B和点E是对应顶点，过点A作AF⊥CD，垂足为F.若∠BCE=65°，则∠CAF的度数为0（ ） A. 30° B. 25° C. 35° D. 65° 图F16-5 B 6. （2022·南通）如图F16-6，点B，F，C，E在一条直线上，AB∥ED，AC∥FD，要使△ABC≌△DEF，只需添加一个条件，则这个条件可以是 　 　.  图F16-6 AB=DE（答案不唯一） 7. （2021·齐齐哈尔）如图F16-7，AC=AD，∠1=∠2，要使△ABC≌△AED，应添加的条件是　 　.（只需写出一个条件即可）  图F16-7 ∠B=∠E（答案不唯一） 8. （2024·乐山）如图F16-8，AB是∠CAD的平分线，AC=AD，求证：∠C=∠D. 图F16-8 证明：∵AB是∠CAD的平分线， ∴∠CAB=∠DAB. 在△ABC和△ABD中， ∴△ABC≌△ABD（SAS）. ∴∠C=∠D. 9. （2024·内江）如图F16-9，点A，D，B，E在同一条直线上，AD=BE，AC=DF，BC=EF. （1）求证：△ABC≌△DEF； 图F16-9 （1）证明：∵AD=BE， ∴AD+BD=BE+BD， 即AB=DE. 在△ABC和△DEF中， ∴△ABC≌△DEF（SSS）. （2）若∠A=55°，∠E=45°，求∠F的度数. （2）解：∵△ABC≌△DEF，∠A=55°，∠E=45°， ∴∠FDE=∠A=55°. ∴∠F=180°-（∠FDE+∠E）=180°-（55°+45°）=80°. 图F16-9 【B组】 10. （2022·湘西州）如图F16-10，在Rt△ABC中，∠A=90°，M为BC的中点，H为AB上一点，过点C作CG∥AB，交HM的延长线于点G.若AC=8，AB=6，则四边形ACGH周长的最小值是0（ ） A. 24 B. 22 C. 20 D. 18 图F16-10 B 11. （2023·重庆）如图F16-11，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，D为BC上一点，连接AD.过点B作BE⊥AD于点E，过点C作CF⊥AD交AD的延长线于点F.若BE=4，CF=1，则EF的长度为　 　.  图F16-11 3 12. （2023·聊城）如图F16-12，在四边形ABCD中，E是边BC上一点，且BE=CD，∠B=∠AED=∠C. （1）求证：∠EAD=∠EDA； （1）证明：∵∠B=∠AED，∠AEC=∠B+∠BAE=∠AED+∠CED， ∴∠BAE=∠CED. 在△ABE和△ECD中， ∴△ABE≌△ECD（AAS）. ∴AE=ED. ∴∠EAD=∠EDA. 图F16-12 （2）若∠C=60°，DE=4时，求△AED的面积. （2）解：∵∠AED=∠C=60°，AE=ED， ∴△AED为等边三角形. ∴AE=AD=ED=4. 如答图F16-1，过点A作AF⊥ED于点F. 则EF=ED=2. ∴AF=. ∴S△AED=. 答图F16-1 【C组】 13. 如图F16-13，在四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=∠BCD=90°，连接AC.若AC=6，则四边形ABCD的面积为　 　.  图F16-13 18 14. （综合探究）如图F16-14，在△ABC中，AE平分∠BAC，BE⊥AE于点E，F是BC的中点. （1）如图F16-14①，BE的延长线与边AC相交于点D，求证：EF=（AC-AB）； 图F16-14 （1）证明：∵AE平分∠BAC， ∴∠BAE=∠DAE. ∵BE⊥AE，∴∠BEA=∠DEA=90°. 在△ABE和△ADE中， ∴△ABE≌△ADE（ASA）. ∴BE=DE，AB=AD. 又∵F是BC的中点，∴EF是△BCD的中位线. ∴EF=（AC-AB）. 图F16-14 （2）如图F16-14②，求线段EF，AB，AC之间的数量关系，并说明理由. （2）解：EF=（AB-AC）. 理由：如答图F16-2，延长AC交BE的延长线于点P. ∵AE平分∠BAC，∴∠BAE=∠PAE. ∵BE⊥AE，∴∠BEA=∠PEA=90°. 在△ABE和△APE中， ∴△ABE≌△APE（ASA）. ∴BE=PE，AB=AP. 又∵F是BC的中点，∴EF是△BCP的中位线. ∴EF=（AB-AC）. 答图F16-2 $$分层复习　三　角　形 复习一　线、角、相交线与平行线 【A组】 1. （2024·青海）如图F13-1，一个弯曲管道AB∥CD，∠ABC=120°，则∠BCD的度数是0（ ） A. 120° B. 30° C. 60° D. 150° 图F13-1 C 2. （2024·宿迁）如图F13-2，直线AB∥CD，直线MN分别与直线AB，CD交于点E，F，且∠1=40°，则∠2等于0（ ） A. 120° B. 130° C. 140° D. 150° 图F13-2 C 3. （2024·南充，跨学科融合）如图F13-3，两个平面镜平行放置，光线经过平面镜反射时，∠1=∠2=40°，则∠3的度数为0（ ） A. 80° B. 90° C. 100° D. 120° 图F13-3 C 4. （2024·东营）已知直线a∥b，把一块含有30°角的直角三角板按如图F13-4所示放置，∠1=30°，三角板的斜边所在直线交b于点A，则∠2=0（ ） A. 50° B. 60° C. 70° D. 80° 图F13-4 B 5. （2024·内蒙古）如图F13-5，AD∥BC，AB⊥AC.若∠1=35.8°，则∠B的度数是0（ ） A. 35°48' B. 55°12' C. 54°12' D. 54°52' 图F13-5 C 6. （2023·永州）如图F13-6，AB∥CD，BC∥ED，∠B=80°，则∠D= 　 　°.  图F13-6 100 7. （2023·阜新）将一个三角尺（∠A=30°）按如图F13-7所示的位置摆放，直线a∥b.若∠ABD=20°，则∠α的度数是　 　.  图F13-7 50° 8. （2023·台州）用一张等宽的纸条折成如图F13-8所示的图案，若∠1=20°，则∠2的度数为　 　.  图F13-8 140° 9. （教材改编）如图F13-9，已知CD平分∠ACB，∠1=∠2. （1）求证：DE∥AC； 图F13-9 （1）证明：∵CD平分∠ACB，∴∠2=∠3. ∵∠1=∠2， ∴∠1=∠3. ∴DE∥AC. （2）若∠3=30°，∠B=25°，求∠BDE的度数. （2）解：∵CD平分∠ACB，∠3=30°， ∴∠ACB=2∠3=60°. ∵DE∥AC，∴∠DEB=∠ACB=60°. ∵∠B=25°， ∴∠BDE=180°-∠DEB-∠B=95°. 图F13-9 【B组】 10. （2023·鄂州改编）如图F13-10，直线AB∥CD，点G在直线AB上，点F在直线CD上，GE⊥EF于点E.若∠AGE=120°，则∠CFE的度数是0（ ） A. 140° B. 130° C. 120° D. 150° 图F13-10 D 11. （2024·苏州）如图F13-11，AB∥CD.若∠1=65°，∠2=120°，则∠3的度数为0（ ） A. 45 B. 55° C. 60° D. 65° 图F13-11 B 12. （2024·凉山州）一副直角三角板按如图F13-12所示的方式摆放，点E在AB的延长线上，当DF∥AB时，∠EDB的度数为0（ ） A. 10° B. 15° C. 30° D. 45° 图F13-12 B 13. （跨学科融合）如图F13-13，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心O的光线相交于点P，F为焦点.若∠1=150°，∠2=25°，则∠3的度数为　 　.  图F13-13 55° 14. （教材改编）如图F13-14是一种躺椅及其简化结构示意图，扶手AB与底座CD都平行于地面EF，前支架OE与后支架OF分别与底座CD交于点G和点D，扶手AB与靠背DM交于点N，∠AOE=∠BNM. （1）求证：OE∥DM； 图F13-14 （1）证明：∵∠BNM=∠AND，∠AOE=∠BNM， ∴∠AOE=∠AND. ∴OE∥DM. （2）若OE平分∠AOF，∠ODC=30°，求扶手AB与靠背DM的夹角∠ANM 的度数. （2）解：∵扶手AB与底座CD都平行于地面EF， ∴AB∥CD. ∴∠BOD=∠ODC=30°. ∴∠AOF=180°-∠BOD=150°. ∵OE平分∠AOF， ∴∠EOF=∠AOF=75°. ∴∠BOE=∠BOD+∠EOF=105°. ∵OE∥DM，∴∠ANM=∠BOE=105°. 图F13-14 【C组】 15. （2024·山西，跨学科融合）一只杯子静止在斜面上，其受力分析如图F13-15所示，重力G的方向竖直向下，支持力F1的方向与斜面垂直，摩擦力F2的方向与斜面平行.若斜面的坡角α=25°，则摩擦力F2与重力G方向的夹角β的度数为0（ ） A. 155° B. 125° C. 115° D. 65° 图F13-15 C 16. （综合探究）如图F13-16，已知AD∥BC，AB∥CD，点E在线段BC延长线上，AE平分∠BAD，连接DE，若∠ADE=3∠CDE. （1）若∠AED=60°，求∠CDE的度数； 　图F13-16 解：（1）∵∠ADE=3∠CDE， ∴设∠CDE=x，∠ADE=3x， 则∠ADC=∠ADE-∠CDE=2x. ∵AB∥CD， ∴∠BAD=180°-∠ADC=180°-2x. ∵AE平分∠BAD， ∴∠DAE=∠BAD=90°-x. ∵AD∥BE， ∴∠BEA=∠DAE=90°-x，∠BED+∠ADE=180°. ∴∠BEA+∠AED+∠ADE=180°， 即90°-x+60°+3x=180°.解得x=15°. ∴∠CDE=15°. 　图F13-16 （2）若∠AEB=60°，探究DE与BE的位置关系，并说明理由. （2）DE⊥BE. 理由：∵∠AEB=60°，AD∥BE，∴∠DAE=∠AEB=60°. ∵AE平分∠BAD，∴∠BAD=2∠DAE=120°. ∵AB∥CD，∴∠ADC=180°-∠BAD=60°. ∵∠ADE=3∠CDE， ∴∠ADC=∠ADE-∠CDE=2∠CDE. ∴∠CDE=∠ADC=30°. ∴∠ADE=3∠CDE=90°. 又∵AD∥BE， ∴∠BED=180°-∠ADE=90°. ∴DE⊥BE. 　图F13-16 $$