第四章三角形 课件 2024-2025学年北师大版数学七年级下册

第四章　三角形 2　全等三角形 知识点　全等三角形及其性质 基础过关全练 1.(2022江苏盐城大丰期中)如图所示的是两个全等三角形, 图中的字母表示三角形的边长,则∠1的度数是 (　    ) A.47°　　　    B.49°　　　    C.84°　　　    D.96° C 解析　根据三角形内角和定理可得,∠2=180°-49°-47°=84°. 由题图中两个三角形全等可得∠1=∠2=84°. 故选C. 2.如图,若△ABC≌△ADE,则下列结论中一定成立的是 (        ) A.AC=DE　　　    B.∠BAD=∠CAE C.AB=AE　　　    D.∠ABC=∠AED B 解析　因为△ABC≌△ADE, 所以AC=AE,AB=AD,∠ABC=∠ADE,∠BAC=∠DAE. 所以∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC,即∠BAD=∠CAE. 故B选项中的结论一定正确. 故选B. 3.已知△ABC≌△DEF,∠A=53°,∠B=57°, 则∠F=　　　       °.  70 解析　因为∠A=53°,∠B=57°, 所以∠C=180°-(∠A+∠B)=180°-(53°+57°)=70°, 因为△ABC≌△DEF, 所以∠F=∠C=70°, 故答案为70. 4.[教材变式](2024河南郑州期末)如图,△ABC≌△EFD,请写 出一组图中平行的线段:　 　 　　　    .  AB∥EF或AC∥DE(写出一组即可) 解析　因为△ABC≌△EFD, 所以∠B=∠F,∠ACB=∠EDF. 所以AB∥EF,AC∥DE. 5.如图,△EFG≌△NMH,∠F和∠M是对应角.在△NMH中, MH是最长边.在△EFG中,FG是最长边,EF=2.1 cm,EH=1.2 cm,NH=4.4 cm. (1)写出对应边及其他对应角. (2)求线段NM及线段HG的长度. 解析    (1)对应边:EF与NM,EG与NH,FG与MH. 其他对应角:∠E与∠N,∠EGF与∠NHM. (2)因为△EFG≌△NMH, 所以NM=EF=2.1 cm,EG=NH=4.4 cm. 所以HG=EG-EH=4.4-1.2=3.2 cm. 6.(2024山东青岛期末,9,★★☆)如图,△ABC≌△AED,点E在 边AC上,DE的延长线交BC于点F,若∠BAC=33°,则∠EFC的 度数为(　    ) A.33°　　　    B.57°　　　    C.123°　　　    D.147° A 能力提升全练 解析　因为△ABC≌△AED, 所以∠DAE=∠CAB=33°,∠D=∠C. 因为∠AED=∠CEF, 所以∠EFC=180°-∠C-∠CEF=180°-∠D-∠AED=∠DAC=33 °. 故选A. 7.(2024陕西西安长安期末,8,★★☆)如图,△ABC≌△ADE, BC的延长线交DA于点F,交DE于点G.若∠AED=105°,∠CAD =18°,∠B=30°,则∠1的度数为 (　    ) A.67°　　　    B.63°　　　    C.57°　　　    D.53° B 解析　因为△ABC≌△ADE, 所以∠B=∠D=30°,∠ACB=∠AED=105°. 因为∠ACB=180°-∠FCA=180°-(180°-∠CAD-∠CFA)=∠ CAD+∠CFA, 所以∠CFA=105°-18°=87°. 所以∠DFG=∠CFA=87°. 因为∠1+∠D+∠DFG=180°, 所以∠1=180°-87°-30°=63°.故选B. 8.(推理能力)如图,已知△ABC≌△DEB,点E在AB上,AC与BD 交于点F,AB=6,BC=3,∠C=55°,∠D=25°. (1)求AE的长度. (2)求∠AED的度数. 素养探究全练 解析    (1)因为△ABC≌△DEB,所以BE=BC=3. 所以AE=AB-BE=6-3=3. (2)因为△ABC≌△DEB, 所以∠A=∠D=25°,∠DBE=∠C=55°, 因为∠D+∠DBE+∠DEB=180°,∠AED +∠DEB=180°, 所以∠AED=∠DBE+∠D=25°+55°=80°. 谢谢观看 初中地理 谢谢观看 $$第1课时　三角形及其内角和 第四章　三角形 1　认识三角形 知识点1　认识三角形 基础过关全练 1.观察下列图形,其中是三角形的是 (　    )  　　　     　　　     　　　      B 解析　因为由不在同一直线上的三条线段首尾顺次连接所 组成的封闭图形叫作三角形,所以B中图形是三角形,故选B. 2.如图所示. (1)图中有几个三角形? (2)说出△CDE的边和角. (3)AD是哪些三角形的边?∠C是哪些三角形的内角?   解析    (1)题图中有5个三角形. (2)△CDE的边为CD,CE,DE,角为∠C,∠CDE,∠DEC. (3)AD是△ADB,△ADE,△ADC的边. ∠C是△ABC,△ADC,△DEC的内角. 知识点2　三角形的内角和 3.在△ABC中,∠A=20°,∠B=4∠C,则∠C等于 (　    ) A.32°　　　    B.36°　　　    C.40°　　　    D.128° A 解析　因为在△ABC中,∠A+∠B+∠C=180°,∠A=20°,∠B=4 ∠C, 所以20°+4∠C+∠C=180°,所以5∠C=160°, 所以∠C=32°.故选A. 4.如图,给出的三角形有一部分被遮挡,则这个三角形是 (        )   A.直角三角形　　　    B.锐角三角形 C.钝角三角形　　　    D.等边三角形 B 解析　因为题图的三角形中有两个锐角,且第三个角也小于 90度,所以这个三角形为锐角三角形,故选B. 5.(2023山东聊城中考)如图,分别过△ABC的顶点A,B作AD∥ BE.若∠CAD=25°,∠EBC=80°,则∠ACB的度数为 (　    )   A.65°　　　    B.75°　　　    C.85°　　　    D.95° B 解析　因为AD∥BE,所以∠ADC=∠EBC=80°. 因为∠CAD+∠ADC+∠ACB=180°,∠CAD=25°, 所以∠ACB=180°-25°-80°=75°,故选B. 6.一个三角形的三个内角的度数之比为1∶2∶7,则这个三角 形中最小内角的度数是　　　　　    .  18° 解析　设这个三角形中最小内角的度数为x°, 根据题意得x+2x+7x=180,解得x=18. 7.(新独家原创)如图所示的是一块四边形木板,若∠B=78°,∠ C=72°,则AB,CD所在的直线相交所成的锐角的度数为　　　    .  30° 解析　如图,延长BA,CD交于点E,则∠E=180°-∠B-∠C=180° -78°-72°=30°.   8.如图,考古学家发现在地下A处有一座古墓,古墓上方是煤 气管道,为了不影响管道,准备在B,C处开工挖出“V”字型 通道.如果∠DBA=130°,∠ECA=135°,那么∠A的度数是多少?   解析　因为∠DBA=130°,∠ECA=135°,所以∠ABC=180°-∠ DBA=50°,∠ACB=180°-∠ECA=45°, 所以∠A=180°-∠ABC-∠ACB=180°-50°-45°=85°. 9.如图,B处在A处的南偏西45°方向,C处在A处的南偏东30°方 向,C处在B处的北偏东80°方向,求∠ACB的度数.   解析　由题意得BE∥AD, 所以∠ABE=∠BAD=45°. 因为∠EBC=80°,所以∠ABC=80°-45°=35°. 因为∠BAC=∠BAD+∠DAC=45°+30°=75°, 所以∠ACB=180°-∠ABC-∠BAC=180°-35°-75°=70°. 知识点3　直角三角形的有关概念及性质 10.[教材变式]若△ABC的三个内角的度数的比为3∶5∶2,则 △ABC是 (　    ) A.不能确定三角形的形状 B.锐角三角形 C.直角三角形 D.钝角三角形 C 解析　因为△ABC的三个内角的度数的比为3∶5∶2,所以 可设此三角形的三个内角的度数分别为3x°,5x°,2x°,则3x° +5x°+2x°=180°. 解得x=18. 所以5x°=5×18°=90°. 所以此三角形是直角三角形. 方法归纳　三角形的内角和等于180°可以作为等量关系列 方程解决有关问题. 11.(2024河南南阳新野期末)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠ BDE=∠A,则△BDE为 (　    )   A.锐角三角形　　　    B.直角三角形 C.钝角三角形　　　    D.以上均有可能 B 解析　在Rt△ABC中,∠C=90°, 所以∠A+∠B=90°. 因为∠BDE=∠A, 所以∠BDE+∠B=90°. 所以∠DEB=90°. 所以△BDE为直角三角形. 故选B. 12.(2024山东济南槐荫期末)在直角三角形ABC中,∠C=90°, 若∠A=40°,则∠B=　　　　　    度.  50 解析　因为∠C=90°, 所以∠B=90°-∠A=90°-40°=50°. 13.(整体思想)(2024陕西西安长安期末,15,★★☆)如图,在△ ABC中,∠ABC和∠ACB的平分线交于点O,若∠BOC=130°,则 ∠A=　　　　　    .  80° 能力提升全练 解析　因为BO平分∠ABC,CO平分∠ACB, 所以∠ABC=2∠OBC,∠ACB=2∠OCB. 因为∠ABC+∠ACB+∠A=180°, 所以2∠OBC+2∠OCB+∠A=180°. 所以∠OBC+∠OCB=90°- ∠A. 因为∠OBC+∠OCB+∠BOC=180°, 所以90°- ∠A+∠BOC=180°. 因为∠BOC=130°,所以∠A=80°. 14.(分类讨论思想)(2024河南郑州期末,15,★★☆)如图,在△ ABC中,∠A=50°,∠B=28°,D是线段AB上一个动点,连接CD, 把△ACD沿CD折叠,点A落在同一平面内的点A'处,当A'D平 行于△ABC的边时,∠ACD的大小为　　　　　    .    26°或65° 解析　因为∠A=50°,∠B=28°, 所以∠ACB=180°-∠A-∠B=102°. 由折叠,得∠A'=∠A=50°. 如图1,当A'D∥BC时,∠A'=∠A'CB=50°.   因为∠ACD=∠A'CD,∠ACD+∠A'CD+∠A'CB=∠ACB=102°, 所以2∠ACD+50°=102°, 所以∠ACD=26°. 如图2,当A'D∥AC时,∠A'+∠ACA'=180°, 所以50°+∠ACA'=180°. 所以∠ACA'=130°.   由折叠,得∠ACA'=2∠ACD,所以∠ACD=65°. 因为点D在线段AB上,所以不存在A'D∥AB的情况. 综上所述,∠ACD的度数为26°或65°. 特别提醒　当A'D平行于△ABC的边时,由于不能确定与△ ABC的哪条边平行,因此注意要分三种情况讨论. 15. (推理能力)(2024江苏扬州邗江期中)如图,△ABC中,AD⊥ BC于点D,BE平分∠ABC,若∠ABC=60°,∠AEB=70°. (1)求∠CAD的度数. (2)若点F为线段BC上的任意一点,当△EFC为直角三角形时, 求∠BEF的度数. 素养探究全练 解析    (1)因为AD⊥BC,所以∠ADB=90°. 因为∠ABC=60°,所以∠BAD=30°. 因为BE平分∠ABC,所以∠ABE= ∠ABC=30°, 因为∠AEB=70°, 所以∠CAD=180°-∠ABE-∠BAD-∠AEB=50°. (2)因为∠C=180°-∠ABC-∠BAD-∠CAD=40°, 所以当△EFC为直角三角形时,有以下两种情况: ①当∠FEC=90°时,如图1所示.   因为∠BEC+∠AEB=180°,∠AEB=70°, 所以∠BEC=180°-∠AEB=180°-70°=110°. 所以∠BEF=∠BEC-∠FEC=110°-90°=20°. ②当∠EFC=90°时,如图2所示.   因为BE平分∠ABC,∠ABC=60°, 所以∠CBE= ∠ABC= ×60°=30°. 所以∠BEF=90°-∠CBE=60°. 综上所述,当△EFC为直角三角形时,∠BEF的度数是20°或60°. 第2课时　三角形的三边关系 第四章　三角形 1　认识三角形 知识点　三角形的三边关系 基础过关全练 1.图①、图②均表示三角形分类,下列正确的是　     (        ) A.图①对,图②不对　　 　    B.图②对,图①不对 C.图①、图②都不对　　　    D.图①、图②都对 B 解析　等腰三角形包括等边三角形,故题图①中的三角形分 类不正确;三角形可分为锐角三角形、直角三角形和钝角三 角形,故题图②中的三角形分类正确. 故选B. 2.(2022四川凉山州中考)下列长度的三条线段能组成三角形 的是 (　    ) A.3,4,8　　　     B.5,6,11 C.5,6,10　　　    D.5,5,10 C 解析    A项,3+4<8,不能组成三角形; B项,5+6=11,不能组成三角形; C项,5+6>10,能组成三角形; D项,5+5=10,不能组成三角形.故选C. 3.为估计池塘两岸 A、B间的距离,如图,小明在池塘一侧选 取了点O,测得OA=8 m,OB=15 m,那么 A、B间的距离不可能 是 (　    )   A.7 m　　　    B.13 m　　　    C.14 m　　　    D.15 m A 解析    连接AB(图略),在△OAB中,OA=8 m,OB=15 m, 因为OB-OA=7 m,OB+OA=23 m, 所以7 m<AB<23 m, 所以A、B间的距离不可能是7 m, 故选A. 4.[教材变式](2023浙江金华中考)在下列长度的四条线段中, 能与长6 cm,8 cm的两条线段围成一个三角形的是 (　    ) A.1 cm　　　     B.2 cm　　　     C.13 cm　　　    D.14 cm C 解析　设第三条线段长为x cm,由题意得8-6<x<8+6,所以2<x <14, 四个选项中只有13 cm适合,故选C. 5.小华用三根木棒搭一个三角形,其中两根木棒的长度分别 为10 cm和2 cm,第三根木棒的长度为偶数,则第三根木棒的 长是　　　　　    cm. 10 解析　设第三根木棒的长为x cm,根据三角形的三边关系,得 10-2<x<10+2,即8<x<12. 又因为第三根木棒的长为偶数,所以第三根木棒的长为10 cm. 方法归纳　三角形的任意一边小于其他两边的和,且大于其 他两边的差,据此若已知两边可判断第三边长的取值范围. 6.在△ABC中,AB=9,BC=2,AC=x. (1)求x的取值范围. (2)若△ABC的周长为偶数,则△ABC的周长为多少? 解析    (1)由题意得9-2<x<9+2,即7<x<11. (2)因为AB=9,BC=2,△ABC的周长为偶数, 所以x取奇数. 因为7<x<11,所以x的值是9. 所以△ABC的周长为9+2+9=20. 7.(易错题)(2024陕西西安长安期末,1,★★☆)小红有两根长 分别为10 cm和20 cm的木棒,她想以这两根木棒为边做一个 等腰三角形,还需再选用一根木棒,其长度应为 (　    ) A.10 cm　　　    B.15 cm C.20 cm　　　    D.10 cm或20 cm C 能力提升全练 解析　①10 cm是腰长时,三边长分别为10 cm,10 cm,20 cm, 因为10+10=20, 所以10 cm,10 cm,20 cm长的三根木棒不能组成三角形. ②10 cm是底边长时,三角形的三边长分别为10 cm,20 cm,20 cm,能够组成三角形, 所以还需再选用一根长度为20 cm的木棒.故选C. 易错警示　题目中没有明确腰、底边的长分别是多少,所以 要进行讨论,还要注意应用三角形的三边关系验证能否组成 三角形. 8.(分类讨论思想)(2024山东青岛期末,4,★★☆)有长度分别 为4,8,10,12的四根木条,从中选出三根组成三角形,能组成三 角形的个数是 (　    ) A.1　　　    B.2　　　    C.3　　　    D.4 C 解析　任取三根,共有4,8,10;4,8,12;4,10,12;8,10,12四种情况, 因为4+8=12,所以长度分别为4,8,12的三根木条不能构成三 角形.另外三种情况,都符合三角形的三边关系,即能组成3个 三角形,故选C. 9.(运算能力)若a,b,c为三角形的三边长,化简|a-b-c|+|a-c+b|+| a+b+c|. 素养探究全练 解析　因为a,b,c是三角形的三边长,所以由三角形的三边关 系,得a-b-c<0,a-c+b>0,a+b+c>0, 所以|a-b-c|+|a-c+b|+|a+b+c|= -(a-b-c)+(a-c+b)+(a+b+c) =-a+b+c+a-c+b+a+b+c=a+3b+c. 第3课时　三角形的高、角平分线及中线 第四章　三角形 1　认识三角形 知识点1　三角形的高 基础过关全练 1.(2024广东清远连州期末)在下列图形中,正确画出△ABC的 边BC上的高的是 (　    ) C 解析    A项,BD是边AC上的高,不是边BC上的高. B项,CD是边AB上的高,不是边BC上的高. C项,AD是边BC上的高. D项,BD不是边BC上的高. 故选C. 2.一张三角形纸片上,小新只能折叠出它的一条高,可以推断, 这个三角形纸片是 (　    ) A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.直角三角形或钝角三角形 D 解析　直角三角形和钝角三角形只有一条高在三角形的内 部. 3.[教材变式]如图,若H是△ABC三条高AD,BE,CF的交点,则 △BHA中BH边上的高是　　　　　    .    AE 易错警示　注意三角形的高是从顶点向对边所在直线作的 垂线段. 知识点2　三角形的角平分线 4.[教材变式]如图,在△ABC中,AD平分∠BAC交BC于点D,∠ B=30°,∠BAD=40°,则∠C的度数是 (　    ) A.50°　　　    B.60°　　　    C.70°　　　    D.80° C 解析　因为AD平分∠BAC,所以∠BAC=2∠BAD=80°. 所以∠C=180°-∠B-∠BAC=180°-30°-80°=70°. 故选C. 5.(易错题)下列对三角形的角平分线的叙述正确的是　      (　    ) A.三角形的角平分线是一条射线 B.三角形的三条角平分线交于一点,且这点一定在三角形的 内部 C.三角形的角平分线可能在三角形的外部 D.三角形的一条角平分线将三角形分成面积相等的两部分 B 解析    A项,三角形的角平分线是线段,故本选项错误; B项正确; C项,三角形的角平分线都在三角形内部,故本选项错误; D项,三角形的一条角平分线不一定将三角形分成面积相等 的两部分,故本选项错误.故选B. 易错警示　注意角的平分线是射线,三角形的角平分线是线 段. 6.如图,BE,CF是△ABC的两条角平分线,若∠BAC=62°,则∠ DAC=　　　　　    .  31° 解析　因为BE,CF是△ABC的两条角平分线,所以AD是△ ABC的角平分线. 因为∠BAC=62°,所以∠DAC= ∠BAC=31°. 关键点拨　三角形的三条角平分线交于一点. 知识点3　三角形的中线及重心 7.如图,CM是△ABC的中线,AB=10 cm,则BM的长为 (　    ) A.7 cm　　　    B.6 cm　　　    C.5 cm　　　    D.4 cm C 解析　因为CM是△ABC的中线,AB=10 cm,所以BM= AB=5 cm,故选C. 8.如图所示的网格由边长相同的小正方形组成,点A,B,C,D,E, F,G均在小正方形的顶点上,则△ABC的重心是 (　    ) A.点G　　　    B.点D　　　    C.点E　　　    D.点F B 解析　取BC的中点N,取AC的中点M,连接AN,BM,如图所示, 则AN与BM的交点为D, 故点D是△ABC的重心, 故选B. 9.如图,在△ABC中,BD为AC边上的中线,已知BC=8,AB=5,△ BCD的周长为20,则△ABD的周长为 (　    ) A.17　　　    B.23　　　    C.25　　　    D.28 A 解析　因为BD是AC边上的中线,所以AD=CD. 因为△BCD的周长为20,BC=8,所以CD+BD=AD+BD=12. 因为AB=5,所以△ABD的周长=AB+AD+BD=5+12=17. 故选A. 10.(新独家原创)一块三角形形状的蛋糕示意图如图,小婷沿 三条中线将其分成六块,则这六块的面积　　　　　    (填 “相等”或“不相等”). 相等 解析　因为AD是△ABC的中线,所以S△ABD=S△ACD,S△BOD=S△COD, 所以S△AOB=S△AOC. 同理S△AOB=S△BOC.所以S△AOB=S△BOC=S△AOC. 因为S△AOE=S△COE,S△AOF=S△BOF, 所以S△BOD=S△COD=S△AOE=S△COE=S△AOF=S△BOF. 11.如图,在△ABC中,BD=CD,∠ABE=∠CBE,BE交AD于点F. (1)　　　　　    是△ABC的角平分线. (2)　　　　　    是△BCE的中线. (3)　　　　　    是△ABD的角平分线. BE ED BF 12.(2024四川凉山州中考,15,★★☆)如图,△ABC中,∠BCD= 30°,∠ACB=80°,CD是边AB上的高,AE是∠CAB的平分线,则 ∠AEB的度数是　　　　　    . 100° 能力提升全练 解析　因为∠BCD=30°,∠ACB=80°,所以∠ACD=∠ACB-∠ BCD=50°. 因为CD是边AB上的高,所以∠CDB=∠CDA=90°. 所以∠CBD=90°-∠BCD=60°,∠CAB=90°-∠ACD=40°. 因为AE是∠CAB的平分线, 所以∠EAB= ∠CAB=20°. 所以∠AEB=180°-∠EAB-∠EBA=100°. 13.(分类讨论思想)(2023黑龙江齐齐哈尔讷河期末,14,★★ ☆)若AD是△ABC的高,且BD=5,CD=2,则边BC的长为 　　    　　    . 7或3 解析　当△ABC为锐角三角形时,如图1所示.   因为BD=5,CD=2,所以BC=BD+CD=5+2=7. 当△ABC为钝角三角形时,如图2所示.   因为BD=5,CD=2,所以BC=BD-CD=5-2=3. 综上可得,边BC的长为7或3. 14.(推理能力)如图,在△ABC中,BO,CO是△ABC的内角平分 线且BO,CO相交于点O. (1)若∠ACB=80°,∠ABC=40°,求∠BOC的度数. (2)若∠A=60°,求∠BOC的度数. (3)试写出∠A与∠BOC满足的数量关系式,并说明理由. 素养探究全练 解析    (1)因为BO平分∠ABC,CO平分∠ACB,∠ACB=80°,∠ ABC=40°, 所以∠CBO= ∠ABC=20°,∠BCO= ∠ACB=40°. 所以∠BOC=180°-∠CBO-∠BCO=120°. (2)因为∠A=60°,所以∠ABC+∠ACB=180°-∠A=120°. 因为BO平分∠ABC,CO平分∠ACB, 所以∠CBO= ∠ABC,∠BCO= ∠ACB, 所以∠CBO+∠BCO= (∠ABC+∠ACB)=60°. 所以∠BOC=180°-(∠CBO+∠BCO)=120°. (3)∠BOC=90°+ ∠A. 理由:因为BO平分∠ABC,CO平分∠ACB, 所以∠CBO= ∠ABC,∠BCO= ∠ACB. 因为∠ABC+∠ACB=180°-∠A, 所以∠CBO+∠BCO= (∠ABC+∠ACB)=90°- ∠A. 所以∠BOC=180°-(∠CBO+∠BCO)=90°+ ∠A, 即∠BOC=90°+ ∠A. 微专题　利用三角形的中线计算面积 方法指引 三角形的每条中线都能把三角形分成两个三角形, 它们等底同高,因此面积相等. 进一步地,两个三角形若是等 高,则它们的面积比等于底边比. 1.如图,D,E分别是△ABC边AB,BC上的点,AD=2BD,BE=CE, 设△ADF的面积为S1,△CEF的面积为S2,若S△ABC=6,则S1-S2的 值为　　　　　    . 1 解析　因为AD=2BD,BE=CE,所以S△ABE= S△ABC=3,S△BCD= S△ ABC=2,所以S1+ =3,S2+S四边形BDFE=2,所以S1-S2=3-2=1. 2.(中线等分面积法)(2023广东深圳期中)如图所示,把△ABC 的三边BA、CB、AC分别延长一倍,得到的点为A'、B'、C', 连接A'B',B'C',A'C'.若△ABC的面积是5,则△A'B'C'的面积是 　　　　　    . 35 解析　如图,连接AB'、BC'、CA',   由题意得AB=AA',BC=BB',AC=CC', 所以△AA'B'的面积=△ABB'的面积=△ABC的面积=△BCC' 的面积=△AA'C的面积=△BB'C'的面积=△A'C'C的面积=5, 所以△A'B'C'的面积=5×7=35. $$第1课时　 用“边边边”判定三角形全等 第四章　三角形 3　探索三角形全等的条件 知识点1　用“边边边”判定三角形全等 基础过关全练 1.如图,△ABC中,AB=AC,EB=EC,则由“SSS”可以判定  (　    ) A.△ABD≌△ACD　　　    B.△ABE≌△ACE C.△BDE≌△CDE　　　    D.以上选项都不对 B 解析　在△ABE和△ACE中,  所以△ABE≌△ACE(SSS). 故选B. 2.(2024山东青岛莱西期中改编)作一个角等于已知角的过程 如图所示,则这两个三角形全等的理论依据是　　　　　    . SSS 解析　由题图知,两三角形的三边分别相等,所以两个三角形 全等的理论依据是SSS. 3.(新独家原创)如图,在四边形ABCD中,AB=CD,当BC与AD满 足　　　　　    (填数量关系)时,△ABD≌　　　　　    . BC=AD △CDB 4.(2023云南中考)如图,C是BD的中点,AB=ED,AC=EC.试说 明:△ABC≌△EDC.   解析　因为C是BD的中点,所以BC=DC. 在△ABC和△EDC中,  所以△ABC≌△EDC(SSS). 5.(新考向·尺规作图)(2024山东烟台龙口期末)尺规作图:(不 写作法,保留作图痕迹) 已知:线段a,b.(如图所示) 求作△ABC,使AB=a,BC=2a,AC=b.        解析　如图所示,△ABC即为所求作的三角形.   6.(情境题·现实生活)(2024贵州黔西南州期末)如图,双人漫步 机是一种有氧运动器材,进行心血管健康的有氧运动,如慢 跑、快走等,可以增强人体的心肺功能,降低血压、改善血 糖.这种设计应用的几何原理是 (　    ) 知识点2　三角形的稳定性 A A.三角形的稳定性　　　     B.两点之间线段最短 C.两点确定一条直线　　　     D.垂线段最短 7.(易错题)(2024四川内江中考,18,★★☆)如图,点A,D,B,E在 同一条直线上,AD=BE,AC=DF,BC=EF. (1)试说明:△ABC≌△DEF. (2)若∠A=55°,∠E=45°,求∠F的度数.   能力提升全练 解析    (1)因为AD=BE, 所以AD+BD=BE+BD,即AB=DE. 在△ABC和△DEF中,  所以△ABC≌△DEF(SSS). (2)由(1)知△ABC≌△DEF,所以∠A=∠FDE=55°, 所以∠F=180°-(∠FDE+∠E)=180°-(55°+45°)=80°. 易错警示　注意两个三角形的边的一部分相等或边与其他 线段的和相等,不能作为判定两三角形全等的一个条件,必须 进行转化. 8.(推理能力)如图,AB=DC,BD=CA,AC,BD交于点O,则∠A=∠ D成立吗?试说明理由.   素养探究全练 解析　∠A=∠D成立. 理由:如图,连接BC.   在△BAC和△CDB中,   所以△BAC≌△CDB(SSS). 所以∠A=∠D. 第2课时　用“角边角”“角角边”判定三角形全等 第四章　三角形 3　探索三角形全等的条件 知识点1　用“角边角”判定三角形全等 基础过关全练 1.如图,点C是AE的中点,∠A=∠DCE,若想利用ASA判定△ ABC≌△CDE,则需要添加的一个条件是 　 　　　　     (写出一个即可). ∠ACB=∠E(答案不唯一) 解析　答案不唯一.当添加∠ACB=∠E时,因为点C是AE的中 点,所以AC=EC.又∠A=∠DCE,∠ACB=∠E,所以△ABC≌△ CDE(ASA). 2.(2023贵州铜仁德江期中)已知∠α和线段a,用尺规作△ ABC,使∠A=2∠α,AB=2a,∠B=3∠α,作法如下:(1)在AN上截 取AB=2a,(2)作∠MAN=2∠α,(3)以B为圆心,BA为一边作∠ ABE=3∠α,BE交AM于点C,△ABC就是所求作的三角形.则正 确的作图顺序是　　　　　    .(只填序号)  (2)(1)(3) 解析　此题是根据ASA作△ABC,正确的作图顺序应是(2)(1) (3). 3.(2021四川泸州中考)如图,点D在AB上,点E在AC上,AB=AC, ∠B=∠C,试说明:BD=CE.   解析　在△ABE与△ACD中,  所以△ABE≌△ACD(ASA),所以AE=AD.所以BD=CE. 4.如图,已知△ABC和△ADE,AB=AD,∠BAD=∠CAE,∠B=∠ D,试说明:BC=DE. 解析　因为∠BAD=∠CAE, 所以∠BAD+∠DAC=∠CAE+∠DAC,即∠BAC=∠DAE. 在△BAC和△DAE中,  所以△BAC≌△DAE(ASA).所以BC=DE. 5.(新考向·尺规作图)如图,已知∠α和线段a,用尺规作△ABC, 使AB=a,∠CAB=2∠α,∠CBA=∠α.要求:不写作法,保留作图 痕迹.        解析　如图,△ABC就是所求作的三角形. 知识点2　用“角角边”判定三角形全等 6.(易错题)如图,点B,F,C,E在一条直线上,AB∥ED,AC∥FD, 那么添加下列一个条件后,仍无法判定△ABC≌△DEF的是  (　    ) A.∠A=∠D　　　    B.AC=DF C.AB=ED　　　     D.BF=EC A 解析　因为AB∥ED,AC∥FD,所以∠B=∠E,∠ACB=∠DFE. 选项A,添加∠A=∠D不能判定△ABC≌△DEF; 选项B,添加AC=DF可用AAS判定△ABC≌△DEF; 选项C,添加AB=DE可用AAS判定△ABC≌△DEF; 选项D,添加BF=EC可得出BC=EF,然后可用ASA判定△ABC ≌△DEF.故选A. 易错警示　注意两个三角形的三个角分别相等,不能判定两 个三角形全等. 7.(新考向·开放性试题)如图,点A,B,D在同一条直线上,∠A= ∠CBE=∠D=90°,请你只添加一个条件,使得△ABC≌△ DEB.你添加的条件是　 　　　　    . AB=DE(答案不唯一) 解析　答案不唯一.当添加AB=DE时, 由∠A=∠CBE=∠D=90°,易得∠C=∠DBE. 又因为AB=DE,所以△ABC≌△DEB(AAS). 8.(2023四川乐山中考)如图,已知AB与CD相交于点O,AC∥ BD,AO=BO,试说明:AC=BD.   解析　因为AC∥BD,所以∠A=∠B,∠C=∠D. 在△AOC和△BOD中,  所以△AOC≌△BOD(AAS).所以AC=BD. 9.(新独家原创)如图,C,D,A,F 四点在同一条直线上,CD=AF, CB∥EF,∠B=∠E,BC=5,求EF的长.   解析　因为CB∥EF,所以∠C=∠F. 因为CD=AF,所以CA=DF. 又∠B=∠E,所以△ABC≌△DEF(AAS). 所以EF=BC=5,即EF的长为5. 10.(2023安徽芜湖南陵期末,5,★★☆)如图,已知点E在△ ABC的外部,点D在BC边上,DE交AC于F,若∠1=∠2=∠3,AC= AE,则有 (　    ) A.△ABD≌△AFD　　　    B.△AFE≌△ADC C.△AEF≌△DFC　　　    D.△ABC≌△ADE 能力提升全练 D 解析　因为∠1=∠2=∠3, 所以∠1+∠DAC=∠2+∠DAC,即∠BAC=∠DAE. 因为∠E=180°-∠2-∠AFE,∠C=180°-∠3-∠DFC,∠AFE=∠ DFC,所以∠E=∠C. 因为AC=AE,所以△ABC≌△ADE. 11.(新考向·开放性试题)(2024河南郑州期末,12,★☆☆)如图, B是AD的中点,∠C=∠E,请添加一个条件,使得△ABC≌△ DBE,可以添加的条件是　　　　　     . (写出一个即可) ∠A=∠D(答案不唯一) 解析　答案不唯一.当添加的条件是∠A=∠D时,因为B是AD 的中点,所以AB=BD,因为∠C=∠E,∠A=∠D,所以△ABC≌ △DBE(AAS). 12.(2023重庆沙坪坝期中,14,★★☆)如图,点A,C,B,D在同一 条直线上,BE∥DF,∠A=∠F,AB=FD.若∠FCD=30°,∠A=80°, 则∠DBE的度数为　　　　　    °.   110 解析　因为BE∥DF,所以∠ABE=∠D, 在△ABE和△FDC中,  所以△ABE≌△FDC(ASA), 所以∠E=∠FCD=30°, 所以∠DBE=180°-(180°-∠A-∠E)=∠A+∠E=80°+30°=110°. 故答案为110. 13.(2024陕西西安经开区期末,18,★☆☆)如图,在△ABC中,点D是边BC上一点,AC∥BE,BC=BE,∠ABC=∠E,试说明:AB=DE. 解析　因为AC∥BE,所以∠C=∠DBE. 在△ABC和△DEB中,  所以△ABC≌△DEB(ASA).所以AB=DE. 方法归纳　确定全等三角形对应元素的方法: (1)字母顺序确定法:根据书写规范,按照对应顶点确定对应 边、对应角. (2)图形位置确定法: ①公共边一定是对应边;②公共角一定是对应角;③对顶角一 定是对应角. (3)图形大小确定法:两个全等三角形的最大边(角)是对应边 (角),最小的边(角)是对应边(角). (4)图形特征确定法: ①全等三角形中对应角所对的边是对应边,两组对应角所夹 的边是对应边. ②全等三角形中对应边所对的角是对应角,两组对应边所夹 的角是对应角. 14.(推理能力)(2024陕西西安经开区期末)利用角平分线构造 全等三角形是常用的方法,如图1,OP平分∠MON.点A为OM 上一点,过点A作AC⊥OP,垂足为C,延长AC交ON于点B,可证 得△AOC≌△BOC,则AO=BO,AC=BC. 【问题提出】 (1)如图2,在△ABC中,CD平分∠ACB,AE⊥CD于点E,若∠ EAC=63°,∠B=37°,通过上述构造全等的办法,求∠DAE的度数. 素养探究全练 【问题探究】(2)如图3,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,CD平分∠ACB,BE ⊥CD,垂足E在CD的延长线上,试探究BE和CD的数量关系. 【问题解决】 (3)图4是一块肥沃的土地△ABC,其中AC边与灌渠相邻,李伯 伯想在这块地中划出一块直角三角形土地△ADC进行水稻 试验,他进行了如下操作: ①作∠ACB的平分线CD. ②过点A作AD⊥CD交CD于点D. 已知BC=13米,AC=10米,△ABC的面积为20平方米,求划出的 △ACD的面积. 解析    (1)如图1,延长AE交BC于点F,则∠AEC=∠FEC=90°.   因为CD平分∠ACB, 所以∠ACD=∠FCE. 又CE=CE, 所以△ACE≌△FCE(ASA). 所以∠EFC=∠EAC=63°. 因为∠EFC=180°-∠AFB=∠B+∠DAE, 所以∠DAE=∠EFC-∠B=63°-37°=26°. (2)如图2,延长BE,CA交于点F. 则∠BAF=180°-∠BAC=180°-90°=90°. 因为BE⊥CD,所以∠BED=90°=∠BAC. 因为∠ABF+∠BED +∠BDE=180°,∠ACD+∠BAC+∠ADC= 180°,∠BDE=∠ADC, 所以∠ABF=∠ACD, 又因为AB=AC,所以△ABF≌△ACD(ASA). 所以BF=CD. 易得BE=FE= BF,所以BE= CD. (3)如图3,延长AD交BC于E.   易得AD=ED,EC=AC=10米, 所以S△ACD=S△ECD. 因为S△ABC=20平方米,BC=13米, 所以S△ACE= S△ABC= ×20= 平方米. 所以S△ACD= S△ACE= 平方米. 答:划出的△ACD的面积是 平方米. 第3课时　用“边角边”判定三角形全等 第四章　三角形 3　探索三角形全等的条件 知识点　用“边角边”判定三角形全等 基础过关全练 1.(对称模型)如图,已知AB=DC,∠ABC=∠DCB,能直接判定 △ABC≌△DCB的方法是 (　    ) A.SAS　　　    B.AAS　　　    C.SSS　　　    D.ASA A 解析　因为AB=DC,∠ABC=∠DCB,BC=CB, 所以△ABC≌△DCB(SAS).故选A. 2.(易错题)如图,点D,E分别在线段AB,AC上,CD与BE相交于O 点,已知AB=AC,现添加以下的条件仍不能判定△ABE≌△ ACD的是(　    ) A.∠B=∠C　　　    B.AD=AE C.BD=CE　　　     D.BE=CD D 解析    A项,添加∠B=∠C,可利用ASA判定△ABE≌△ACD; B项,添加AD=AE,可利用SAS判定△ABE≌△ACD; C项,添加BD=CE,可得AD=AE,可利用SAS判定△ABE≌△ ACD; D项,添加BE=CD,不能判定△ABE≌△ACD. 故选D. 3.(旋转模型)如图,AC=DC,BC=EC,∠ACD=∠BCE,则下列结 论错误的是 (　    ) A.∠A=∠D　　　    B.∠B=∠E C.AB=DE　　　     D.CD=CE D 解析　因为∠ACD=∠BCE, 所以∠ACD+∠ACE=∠BCE+∠ACE, 所以∠DCE=∠ACB, 在△ACB和△DCE中,  所以△ACB≌△DCE(SAS), 所以∠A=∠D,AB=DE,∠B=∠E.故选D. 4.[教材变式]如图,AB∥CD,BC∥AD,AB=CD,BE=DF,则图中 全等三角形有 (　    ) A.3对　　　    B.2对　　　    C.1对　　　    D.4对 A 解析　因为AB∥CD,BC∥AD, 所以∠ABD=∠CDB,∠ADB=∠CBD, 又因为BD=DB, 所以△ADB≌△CBD(ASA), 所以AD=BC, 因为BE=DF,∠ABD=∠CDB,AB=CD, 所以△AEB≌△CFD(SAS), 因为BE=DF,所以DE=BF, 又因为∠ADE=∠CBF,AD=BC, 所以△ADE≌△CBF(SAS). 综上,题图中全等三角形有3对,故选A. 5.(对称模型)(2024四川乐山中考)如图,AB是∠CAD的平分 线,AC=AD,试说明:∠C=∠D.   解析　因为AB是∠CAD的平分线, 所以∠CAB=∠DAB, 在△ABC和△ABD中,  所以△ABC≌△ABD(SAS). 所以∠C=∠D. 6.(2023四川泸州中考)如图,点B在线段AC上,BD∥CE,AB= EC,DB=BC.试说明:AD=EB.   解析　因为BD∥CE, 所以∠ABD=∠C. 在△ABD和△ECB中,  所以△ABD≌△ECB(SAS). 所以AD=EB. 7.(新考向·尺规作图)(2024山东青岛莱西期中)用尺规作图,不 写作法,但要保留作图痕迹. 已知:线段a和∠α. 求作:△ABC,使BC=a,AC=2a,∠BCA=∠α.        解析　如图,△ABC即为所求.          8.(2024陕西西安经开区期末,5,★★☆)在△ABC与△DFE中, ∠B=∠F,AB=DF,添加下列条件后,仍不能得到△ABC≌△ DFE的是 (　    ) A.BC=EF　　B.BE=CF C.AC=DE　　 D.∠A=∠D 能力提升全练 C 解析    A项,添加BC=EF,能用SAS得到△ABC≌△DFE. B项,添加BE=CF,得到BE+CE=CF+CE,即BC=EF,能用SAS得 到△ABC≌△DFE. C项,添加AC=DE,不能得到△ABC≌△DFE. D项,添加∠A=∠D,能用ASA得到△ABC≌△DFE. 故选C. 9.(倍长中线法)(2023广东深圳深大附中期中,15,★★★)如 图,在△ABC中,AD是BC边上的中线,若AB=4,AC=6,则AD的 取值范围是　　　　　    . 1<AD<5 解析　如图,延长AD到E,使DE=AD,连接CE,   因为AD是BC边上的中线,所以BD=CD, 在△ADB和△EDC中,  所以△ADB≌△EDC(SAS), 所以CE=AB=4, 在△ACE中,AC-CE<AE<AC+CE, 所以6-4<2AD<6+4, 所以1<AD<5. 10.(2023陕西中考A卷,18,★★☆)如图,在△ABC中,∠B=50°, ∠C=20°.过点A作AE⊥BC,垂足为E,延长EA至点D,使AD= AC.在边AC上截取AF=AB,连接DF.试说明:DF=CB.   解析　因为在△ABC 中,∠B=50°,∠C=20°, 所以∠CAB=180°-∠B-∠C=110°. 因为AE⊥BC,所以∠AEC=90°. 所以∠DAF=180°-∠EAF=∠AEC+∠C=110°. 所以∠DAF=∠CAB. 在△DAF和△CAB中,  所以△DAF≌△CAB(SAS). 所以DF=CB. 11.(情境题·现实生活)(2024山东济南市中期末,22,★★☆)如 图所示,为了提醒同学们用电安全,小安同学为学校设计了一 个安全用电的标识,贴在学校的所有插座附近,图中的点A、 D、C、F在同一条直线上,且AF=DC,BC=EF,BC∥EF. (1)试说明:△ABC≌△DEF. (2)若∠A=20°,∠AFE=100°,求∠E的度数.        解析    (1)因为AF=CD, 所以AF+FC=CD+FC,即AC=DF. 因为BC∥EF, 所以∠ACB=∠DFE. 在△ABC和△DEF中,   所以△ABC≌△DEF(SAS). (2)由(1)知△ABC≌△DEF, 所以∠D=∠A=20°, 因为∠AFE=100°, 所以∠EFD=180°-100°=80°. 所以∠E=180°-∠D-∠EFD=180°-20°-80°=80°. 12.(新考法·画图探究全等的条件)(推理能力)探究:两边分别 相等且其中一组等边的对角相等,这样的两个三角形是否全 等. 作一作:如图,已知网格中有△ABC. 第一步:作∠D=∠A;第二步:作DE=AC;第三步:在射线DM上 找到一点F,连接EF,使得EF=BC. 素养探究全练 (1)请你在三个网格中分别完成第三步作图. (2)通过作图,我们发现,当两个三角形的两组对边相等且其 中一组等边的对角也相等时, 第一种情况:如果这对相等的角为锐角,那么这两个三角形     　　　　    全等; 第二种情况:如果这对相等的角为直角,那么这两个三角形     　　　　    全等; 第三种情况:如果这对相等的角为钝角,那么这两个三角形     　　　　    全等. 归纳总结:两边分别相等且其中一组等边的对角相等的两个 三角形　　　　　    全等.(填“一定”或“不一定”) (3)上述方法体现的数学思想是 (　    ) A.分类讨论　　　     B.由特殊到一般 C.类比　　　     D.转化 解析　本题通过动手操作画图,探究了两边分别相等且其中 一组等边的对角相等,这样的两个三角形是否全等;又分别对 相等的角为锐角、直角、钝角三种情况讨论,考查了分类讨 论思想. (1)第三步作图如图所示.   (2)不一定;一定;一定;不一定. (3)A. 第4课时　全等三角形性质与判定的综合应用 第四章　三角形 3　探索三角形全等的条件 知识点　全等三角形性质与判定的综合应用 基础过关全练 1.(2024广东中山期中)如图,在△ABC中,∠B=∠C,BF=CD, BD=CE,∠FDE=50°,则∠A的度数是 (　    ) A.50°　　　    B.60°　　　    C.70°　　　    D.80° D 解析　在△FBD和△DCE中,  所以△FBD≌△DCE(SAS). 所以∠BFD=∠CDE. 因为∠FDE+∠CDE+∠BDF=∠B+∠BFD+∠BDF=180°, 所以∠B=∠FDE=50°. 所以∠A=180°-50°-50°=80°,故选D. 2.(新独家原创)如图,AD,CE是△ABC的两条高,AD,CE交于F, BE=EF=2,FC=4,则AB的长为　　　　　    . 8 解析　因为AD,CE是△ABC的两条高, 所以∠AEF=∠CEB=∠ADB=90°. 所以∠EAF+∠B=∠ECB+∠B=90°.所以∠EAF=∠ECB. 在△AEF和△CEB中,   所以△AEF≌△CEB(AAS). 所以AE=CE=EF+FC=2+4=6. 所以AB=AE+EB=6+2=8. 3.(2024山东济南槐荫期末)如图,点A,F,C,D在一条直线上,AB ⊥BC,DE⊥EF,垂足分别为B,E,AB=DE,∠A=∠D.试说明:AC =DF.   解析　因为AB⊥BC,DE⊥EF, 所以∠B=∠E=90°. 在△ABC和△DEF中,  所以△ABC≌△DEF(ASA). 所以AC=DF. 4.如图,在△ABC中,D是BC边上的一点,AB=DB,BE平分∠ ABC,交AC边于点E,连接DE. (1)试说明:△ABE≌△DBE. (2)若∠A=100°,∠C=50°,求∠DEB的度数.   解析    (1)因为BE平分∠ABC,所以∠ABE=∠DBE. 在△ABE和△DBE中,  所以△ABE≌△DBE(SAS). (2)因为∠A=100°,∠C=50°,所以∠ABC=30°. 因为BE平分∠ABC,所以∠ABE= ∠ABC=15°. 所以在△ABE中,∠AEB=180°-∠A-∠ABE=180°-100°-15°=65°. 因为△ABE≌△DBE,所以∠DEB=∠AEB=65°. 5.(2021湖北黄石中考)如图,D是△ABC的边AB上一点,CF∥ AB,DF交AC于E点,DE=EF. (1)试说明:△ADE≌△CFE. (2)若AB=5,CF=4,求BD的长.   解析    (1)因为CF∥AB, 所以∠ADF=∠F,∠A=∠ECF. 在△ADE和△CFE中,  所以△ADE≌△CFE(AAS). (2)因为△ADE≌△CFE,所以AD=CF=4. 所以BD=AB-AD=5-4=1. 6.(2024广东深圳福田期末,15,★★★)如图,在△ABC中,∠ ACB=90°,BC=6,过点B作BD⊥AB,且BD=AB,延长BC至点E,使 CE= BC,连接DE并延长交AC边于点F,若DE=EF,则AC=     　　　　    . 12 能力提升全练 解析　如图,过点D作DG⊥BE交BE的延长线于点G.   因为BD⊥AB,所以∠ABC=90°-∠DBC=∠BDG. 因为AB=BD,∠ACB=90°=∠G, 所以△ABC≌△BDG(AAS). 所以AC=BG. 在△CFE和△GDE中,   所以△CFE≌△GDE(AAS). 所以CE=EG= BC=3. 所以CG=CE+EG=3+3=6. 所以AC=BG=BC+CG=6+6=12. 7.(2024山东济南槐荫期末,23,★★☆)如图,已知△ABC中,D 为BC上一点,AB=AD,E为△ABC外部一点,满足AC=AE,连接 DE,与AC交于点O,且∠CAE=∠BAD. (1)试说明:△ABC≌△ADE. (2)若∠BAD=25°,求∠EDC的度数.   解析    (1)因为∠CAE=∠BAD, 所以∠CAE+∠CAD=∠BAD+∠CAD,即∠DAE=∠BAC. 在△ABC和△ADE中,  所以△ABC≌△ADE(SAS). (2)因为△ABC≌△ADE,所以∠C=∠E. 因为∠AOE=∠DOC,∠CAE=180°-∠E-∠AOE,∠EDC=180°- ∠C-∠DOC, 所以∠EDC=∠CAE=∠BAD=25°. 8.(平行线+中点模型)(2024山东枣庄滕州期末,23,★★☆)如 图,在四边形ABCD中,AD∥BC,E为CD的中点,连接AE,BE,延 长AE交BC的延长线于点F. (1)试说明:△DAE≌△CFE. (2)若AB=BC+AD,试说明:BE⊥AF.   解析    (1)因为AD∥BC,所以∠ADC=∠ECF. 因为E是CD的中点,所以DE=EC. 在△ADE与△FCE中,  所以△ADE≌△FCE(ASA). (2)由(1)知△ADE≌△FCE, 所以AE=EF,AD=CF. 因为AB=BC+AD,所以AB=BC+CF=BF. 在△ABE与△FBE中,  所以△ABE≌△FBE(SSS). 所以∠AEB=∠FEB. 因为∠AEB+∠FEB=180°, 所以∠AEB=∠FEB=90°,所以BE⊥AF. 9.(推理能力)(2024河南郑州期末)下面是数学兴趣小组探究 问题的片段,请仔细阅读,并完成任务. 【问题提出】 如图1,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,点D在线段AB上.在△ ABC外侧,以BC为边能否构造一个与△CAD全等的三角形. 【问题探究】 乐学组:如图2,分别以点B,点C为圆心,以AD,CD的长为半径 画弧,两弧交于点E,连接BE,CE,则△CBE即为所求作的三角形. 素养探究全练 善思组:如图3,过点B作BM⊥AB,过点C作CN⊥DC,BM、CN 相交于点E,则△CBE即为所求作的三角形. (1)乐学组得出△CBE≌△CAD的依据是　　　　　    ,善思 组得出△CBE≌△CAD的依据是　　　　　    .(横线上填序 号:①SSS;②SAS;③ASA;④AAS) 【问题再探】 (2)善思组的同学们证得△CBE≌△CAD后,在图3的基础上 连接AE,通过几何画板测量发现△CAE和△CDB的面积相 等,请你一起来探究. ①在横线上填写内容或者依据: 如图4,延长线段AC,BE交于点F, 因为∠ACB=90°,AC=BC, 所以　　　　　    =　　　　　    =45°. 因为∠ACF=180°,∠ACB=90°, 所以∠BCF=90°. 因为△CBE≌△CAD, 所以∠CBE=∠CAD=45°.所以∠CBA=∠CBE. 在△ACB与△FCB中,   所以△ACB≌△FCB. 所以AC=CF(    ). ②把未完成的说理过程补充完整. (3)在(2)的条件下,已知AC=6,点D是线段AB的三等分点,请直 接写出△ACE的面积. 解析    (1)①;③. (2)①∠ABC;∠CAB;全等三角形的对应边相等. ②所以△ACE的面积=△EFC的面积. 因为△ACB≌△FCB,所以△ACB的面积=△FCB的面积. 因为△CBE≌△CAD,所以△CBE的面积=△CAD的面积. 所以△ECF的面积=△CDB的面积. 所以△CAE的面积=△CDB的面积. (3)因为AC=BC=6,所以S△ABC= ×6×6=18. 因为点D是线段AB的三等分点, 所以S△BDC= S△ABC=6或S△BDC= S△ABC=12. 所以△ACE的面积为6或12. $$第四章　三角形 4　利用三角形全等测距离 知识点　利用三角形全等测距离 基础过关全练 1.如图所示,为了测量出A,B两点之间的距离,在地面上找到 一点C,连接BC,AC,使∠ACB=90°,然后在BC的延长线上确定 点D,使CD=BC,连接AD,那么只要测量出AD的长度也就得到 了A,B两点之间的距离,这样测量的依据是　     (　    ) A.AAS　　　    B.SAS　　　     C.ASA　　　     D.SSS B 2.(2023陕西西安期末)如图,A,B两点分别位于一个池塘的两 端,在池塘旁边有一水房D,在BD的中点C处有一棵树,小红想 测量A,B间的距离.于是她从A点出发,沿AC走到点E(点A,C,E 在同一条直线上),使CE=CA,量出点E到水房D的距离就是A, B两点之间的距离.说明小红这样做的理由.   解析　因为C为BD的中点,所以DC=BC. 在△ACB和△ECD中,  所以△ACB≌△ECD(SAS),所以AB=DE, 所以DE的长度就是A,B两点之间的距离. 3.(新考向·方案设计题)如图,A,B两点被一个池塘隔开,无法 直接测量两点间距离.小明设计了如下方案:在池塘同侧取C, D两点,使得AC∥BD,且AC=BD,连接CD,量出CD的长即得AB 的长,你认为小明的设计方案可行吗?若可行,请说明AB=CD; 若不可行,请说明理由.   解析　可行. 理由:如图,连接AB,AD. 在△ACD和△DBA中,因为AC∥BD, 所以∠CAD=∠BDA, 又因为AC=DB,AD=DA,所以△ACD≌△DBA.所以AB=CD.   4.[教材变式](2024广东清远连州期末节选,22,★★☆)如图, 要测量池塘沿岸上两点A,E之间的距离,可以在池塘周围取 两条互相平行的线段AB和CD,且AB=CD,点E是线段BC的中 点,要想知道A,E之间的距离,只需要测出线段DE的长度,这样 做合适吗?请说明理由.   能力提升全练 解析　这样做合适. 理由:因为AB∥CD,所以∠B=∠C.因为点E是线段BC的中点, 所以BE=CE. 在△AEB与△DEC中,  所以△AEB≌△DEC(SAS). 所以AE=DE. 5.(应用意识)某同学根据数学原理制作了一个如图1所示的 测量工具——拐尺,其中O为AB的中点,CA⊥AB,BD⊥AB,CA =BD.现要测量如图2所示的透明隔离房间的深度,如何使用 此工具测量?请说明理由.   素养探究全练 解析　如图所示,使AC与房间内壁在一条直线上,且C与一端 点接触,然后人在BD的延长线上移动至F,使F、O、E三点恰 好在同一条直线上,记下F点,这时量出DF的长,DF的长即为 房间深度CE的长.   理由:因为CA⊥AB,DB⊥AB,所以∠A=∠B=90°, 因为O为AB的中点,所以BO=AO. 在△BOF和△AOE中,  所以△BOF≌△AOE(ASA), 所以BF=AE. 因为AC=BD, 所以AE-AC=BF-BD,即CE=DF. 谢谢观看 初中地理 谢谢观看 $$