精品解析：青海省西宁市第一私立高级中学2024-2025学年高三上学期期末考试数学试题

西宁市第一私立高中2024-2025学年度期末考试 高三数学试题 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】方法一：求出集合后可求. 【详解】[方法一]：直接法 因为，故，故选：B. [方法二]：【最优解】代入排除法 代入集合，可得，不满足，排除A、D； 代入集合，可得，不满足，排除C. 故选：B. 【整体点评】方法一：直接解不等式，利用交集运算求出，是通性通法； 方法二：根据选择题特征，利用特殊值代入验证，是该题的最优解． 2. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由复数四则运算法则直接运算即可求解. 【详解】因为，所以. 故选：C. 3. 已知非零向量满足，且，则与的夹角为 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查利用平面向量数量积计算向量长度、夹角与垂直问题，渗透了转化与化归、数学计算等数学素养．先由得出向量的数量积与其模的关系，再利用向量夹角公式即可计算出向量夹角． 【详解】因为，所以=0，所以， 所以=，所以与的夹角为， 故选B． 【点睛】对向量夹角的计算，先计算出向量的数量积及各个向量的摸，在利用向量夹角公式求出夹角的余弦值，再求出夹角，注意向量夹角范围为． 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角恒等变换公式求解. 【详解】 所以， 所以 故选:B. 5. 近年来，国内中、短途旅游人数增长显著，2024年上半年旅游人数更创新高，充分展示了国内文旅消费潜力．甲、乙、丙、丁四位同学打算去北京、成都、贵阳三个地方旅游，每位同学只去一个地方，每个地方至少去1人，则甲、乙都去北京的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意四位同学去三个地方，每个地方至少去一人，即可得到总的方案，甲、乙都去北京，则丙丁只能在成都和贵阳各自选一个有2种选法，根据古典概型即可求解. 【详解】四位同学去三个地方，每个地方至少去一人，总共有（种）方案．因为甲、乙都去北京，则丙、丁分别去成都或贵阳，所以有2种方案，故甲、乙都去北京的概率为. 故选：B． 6. 记的内角的对边分别为，若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用正弦定理得，再利用余弦定理有，由正弦定理得到的值，最后代入计算即可. 【详解】因为，则由正弦定理得. 由余弦定理可得:， 即:，根据正弦定理得， 所以， 因为为三角形内角，则，则. 故选：C. 7. 设双曲线C：的左、右焦点分别为，，左、右顶点为，，P为双曲线一条渐近线上一点，若.则双曲线C的离心率（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设在渐近线上，结合角的关系求出即可代入渐近线结合离心率公式计算求解. 【详解】由题双曲线一条渐近线为，不妨设在该渐近线上， 则可得， 由得，故， 所以，所以， 所以或，由对称性不妨设即， 因为即，所以， 所以，所以. 故选：A. 【点睛】方法点睛：求圆锥曲线的离心率（或离心率的取值范围），常见有两种方法： ①求出，代入公式； ②只需要根据一个条件得到关于的齐次式，转化为的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以或转化为关于的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得（的取值范围）. 8. 已知函数，且有两个不同的零点，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】转化问题为函数和有两个交点，画出函数的图象，结合图象及导数的几何意义分析求解即可. 【详解】令，即， 由题意，函数和有两个交点， 画出函数的图象，如图， 当时，显然函数和没有两个交点，不符合题意， 则，当时，函数和有一个交点， 则当时，和只有一个交点. 设与相切于点，， 由，得，即， 又，则，解得， 因此，要使当时，和只有一个交点， 则，即的取值范围为. 故选：D. 【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决； （3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解. 二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数的图像关于点中心对称，则（ ） A. 在区间单调递减 B. 在区间有两个极值点 C. 直线是曲线的对称轴 D. 直线是曲线的切线 【答案】AD 【解析】 【分析】根据三角函数的性质逐个判断各选项，即可解出． 【详解】由题意得：，所以，， 即， 又，所以时，，故． 对A，当时，，由正弦函数图象知在上是单调递减； 对B，当时，，由正弦函数图象知只有1个极值点，由，解得，即为函数的唯一极值点； 对C，当时，，，直线不是对称轴； 对D，由得：， 解得或, 从而得：或, 所以函数在点处的切线斜率为， 切线方程为：即． 故选：AD． 10. 随着科技的发展和燃油车成本的上升，人们对新能源汽车的需求逐步增加，从而推动了厂商产品力的提升和新能源汽车销量的快速增长，如图为某机构统计的2017-2025年中国新能源汽车市场规模及预测数据，则（ ） A. 2017-2023年中国新能源汽车市场规模逐年增长 B. 2017-2023年中国新能源汽车市场规模的中位数为3.4千亿元 C. 逐年比较，预计2025年中国新能源汽车市场规模的增长量最大 D. 2017-2025年中国新能源汽车市场规模与年份的关系可以用指数型函数模型进行拟合 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据图表中的数据分析判断. 【详解】对A：从2017-2023年中国新能源汽车市场规模数据看新能源汽车市场规模逐年增长，故A正确； 对B：数据从小到大排列为1.6，2.8，3.0，3.4，6.0，9.9，11.5，共7个数据，其中位数为第4个数据3.4，故B正确； 对C：2021年增长是为，2022年增长1.6，2023年增长6.9，2024年增长4.7， 从增长量上看并不是逐年增加，故无法预计2025年的增长量最大，故C错误； 对D：从数据上看，市场规模前期增长缓慢，后期增长较快，故可用指数型函数模型进行拟合，故D正确； 故选：ABD 11. 数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，例如：四叶草曲线就是其中一种，其方程为，则下列说法正确的是（ ） A. 四叶草曲线有四条对称轴 B. 设为四叶草曲线上一点，且在第一象限内，过作两坐标轴的垂线，则两垂线与两坐标轴围成的矩形面积的最大值为 C. 四叶草曲线上的点到原点的最大距离为 D. 四叶草曲线的面积小于 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，将换为方程不变，换为方程不变，换为，换为方程不变，换为，换为方程不变，可知有四条对称轴；对于B，设曲线第一象限任意一点为，则围成矩形面积为，求最大值即可；对于C，设距离为，，即求的最大值即可；对于D，易得四叶草曲线在以原点为圆心，为半径的圆内，故四叶草面积小于即可判断. 【详解】对于A，将换为方程不变，所以曲线关于轴对称； 将换为方程不变，所以曲线关于轴对称； 将换为，换为方程不变，所以曲线关于对称； 将换为，换为方程不变，所以曲线关于对称.故A正确； 对于B，设曲线第一象限任意一点为，则围成矩形面积为， 则， 即，当且仅当时取得最大值，故B正确； 对于C，设距离为，，要求的最大值，即求的最大值， 显然，，又， 当且仅当时，等号成立， 所以曲线上的点到原点距离最大值为，故C错误； 对于D，由C可知，得四叶草曲线在以原点为圆心，为半径的圆内， 故四叶草面积小于，故D正确. 故选：ABD 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分. 12. 设是以2为周期的函数，且当时，则___________. 【答案】-1 【解析】 【详解】∵是以2为周期的函数，且时，， 则. 【考点定位】函数求值 13. 设曲线在点（0，0）处的切线方程为y=2x，则a=______. 【答案】3 【解析】 【分析】对曲线求导，根据导数的几何意义有，即可求参数值. 【详解】由题设，，又(0，0)处的切线方程为y=2x， 所以，可得. 故答案为：3. 14. 已知函数，若对恒成立，则实数a的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】对不等式进行合理变形同构得，构造函数利用函数的单调性计算即可. 【详解】易知，由可得， 即，则有， 设，易知在上单调递增， 故，所以，即， 设，令，， 故在上单调递减，在上单调递增， 所以，则有，解之得． 故答案为：. 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知数列满足：，. （1）若，求证：为等差数列. （2）求数列的前项和. 【答案】（1）证明：因为，所以， 即，，又， 所以是以为首项，为公差的等差数列； （2） 【解析】 【分析】（1）将两边取倒数，即可得到，从而得证； （2）由（1）可得，从而得到，利用裂项相消法计算可得. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）可得，则， 所以， 所以 . 16. 某校为了丰富学生课余生活，体育节组织定点投篮比赛．为了解学生喜欢篮球是否与性别有关，随机抽取了男、女同学各100名进行调查，部分数据如表所示： 喜欢篮球 不喜欢篮球 合计 男生 40 女生 30 合计 （1）根据所给数据完成上表，依据小概率值的独立性检验，能否据此推断该校学生喜欢篮球与性别有关？ （2）篮球指导老师从喜欢篮球的学生中抽取了2名男生和1名女生进行投篮示范．已知这两名男生投进的概率均为，这名女生投进的概率为，每人投篮一次，假设各人投篮相互独立，求3人投进总次数的分布列和数学期望． 附： 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】（1）列联表如下： 喜欢篮球 不喜欢篮球 合计 男生 60 40 100 女生 30 70 100 合计 90 110 200 与性别有关. （2）的分布列为： 数学期望为. 【解析】 【分析】（1）根据题意补全列联表，再计算出卡方值并与边界值比较即可； （2）根据独立事件的乘法公式计算出概率分布列，最后再利用期望公式即可. 【小问1详解】 依题意，列联表如下： 喜欢篮球 不喜欢篮球 合计 男生 60 40 100 女生 30 70 100 合计 90 110 200 零假设:该校学生喜欢篮球与性别无关， ， 根据小概率值的独立性检验，推断不成立， 即认为该校学生喜欢篮球与性别有关. 【小问2详解】 依题意，的可能值为0，1，2，3， ， ， ， ， 所以的分布列为： 数学期望. 17. 如图，在四棱锥中，底面是菱形，，分别为，的中点，平面，且. （1）证明：平面； （2）若与平面所成的角是，求二面角的余弦值. 【答案】（1）证明：设的中点为，连接，由为中点，得且， 又且，则，， 四边形为平行四边形，则，又平面平面， 所以平面. （2）. 【解析】 【分析】（1）取的中点，利用平行公理及线面平行的判定推理即得. （2）取的中点，由线面角计算推证得，再建立空间直角坐标系，利用空间向量求出面面角的余弦. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 取的中点，连接，取的中点，连接，， 则且，由平面，得平面， 则与平面所成的角为，即，， 菱形中，，则，即， 直线两两垂直，以点原点，直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 则， ， 由平面得平面的一个法向量为， 设平面的法向量为，则，令，得， 设二面角的平面角为，由图知为锐角，因此， 所以二面角的余弦值为. 18. 已知椭圆的左､右焦点分别为，，为椭圆上的动点，的面积的最大值为，且点到点的最短距离是2. （1）求椭圆的标准方程； （2）过点作斜率为的直线，交椭圆于，两点，交抛物线：于，两点，且，求直线的方程. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据面积及点到焦点的距离最小值得出方程组求出,即可得出椭圆方程； （2）先设直线再联立方程组再应用弦长公式分别求出，再代入计算求参，即可得出直线的方程. 【小问1详解】 由题意可得解得， 则椭圆的标准方程为. 【小问2详解】 由（1）可知，设直线的方程为， 联立整理得， 则，从而， 故. 联立整理得， 则， 故. 因为，所以， 整理得，即，解得. 因为，所以，所以， 则直线的方程为. 19. 用数学的眼光看世界就能发现很多数学之“美”.现代建筑讲究线条感，曲线之美让人称奇，衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率，曲线的曲率定义如下：若是的导函数，是的导函数，则曲线在点处的曲率. （1）求曲线在处的曲率的平方； （2）求正弦曲线曲率的平方的最大值. （3）正弦曲线，若，判断在区间上零点的个数，并写出证明过程. 【答案】（1） （2）1 （3） 因为，， 则. ①当时，因为， 所以在上单调递减.所以. 所以在上无零点. ②当时，因为单调递增，且，， 所以存在，使. 当时，；当时，. 所以在上单调递减，在上单调递增，且. 所以.设，， ，, 所以在上单调递减，在上单调递增. 所以. 所以，所以. 所以在上存在一个零点. 所以在有2个零点. 综上所述，在上的零点个数为2 【解析】 【分析】（1）根据所给曲率的定义求解即可； （2）由新定义求出，换元后，利用导数求最值即可； （3）对分区间讨论，在上无零点，在上利用导数判断函数单调性极值，由零点存在性定理分析即可得解. 【小问1详解】 因为，所以，， 所以， . 【小问2详解】 由，，则， ， 令，则，故， 设，则， 在时，递减， 所以，最大值为1. 【小问3详解】 略 【点睛】关键点点睛：对于新定义问题，理解所给定义，运用所给定义解题是解题关键，对于函数零点问题，一般要先求出函数的单调性，极值，再结合零点存在性定理判断. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 西宁市第一私立高中2024-2025学年度期末考试 高三数学试题 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 若，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知非零向量满足，且，则与的夹角为 A. B. C. D. 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 5. 近年来，国内中、短途旅游人数增长显著，2024年上半年旅游人数更创新高，充分展示了国内文旅消费潜力．甲、乙、丙、丁四位同学打算去北京、成都、贵阳三个地方旅游，每位同学只去一个地方，每个地方至少去1人，则甲、乙都去北京的概率为（ ） A. B. C. D. 6. 记的内角的对边分别为，若，，则（ ） A. B. C. D. 7. 设双曲线C：的左、右焦点分别为，，左、右顶点为，，P为双曲线一条渐近线上一点，若.则双曲线C的离心率（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，且有两个不同的零点，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数的图像关于点中心对称，则（ ） A. 在区间单调递减 B. 在区间有两个极值点 C. 直线是曲线的对称轴 D. 直线是曲线的切线 10. 随着科技的发展和燃油车成本的上升，人们对新能源汽车的需求逐步增加，从而推动了厂商产品力的提升和新能源汽车销量的快速增长，如图为某机构统计的2017-2025年中国新能源汽车市场规模及预测数据，则（ ） A. 2017-2023年中国新能源汽车市场规模逐年增长 B. 2017-2023年中国新能源汽车市场规模的中位数为3.4千亿元 C. 逐年比较，预计2025年中国新能源汽车市场规模的增长量最大 D. 2017-2025年中国新能源汽车市场规模与年份的关系可以用指数型函数模型进行拟合 11. 数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，例如：四叶草曲线就是其中一种，其方程为，则下列说法正确的是（ ） A. 四叶草曲线有四条对称轴 B. 设为四叶草曲线上一点，且在第一象限内，过作两坐标轴的垂线，则两垂线与两坐标轴围成的矩形面积的最大值为 C. 四叶草曲线上的点到原点的最大距离为 D. 四叶草曲线的面积小于 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分. 12. 设是以2为周期的函数，且当时，则___________. 13. 设曲线在点（0，0）处的切线方程为y=2x，则a=______. 14. 已知函数，若对恒成立，则实数a的取值范围是________． 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知数列满足：，. （1）若，求证：为等差数列. （2）求数列的前项和. 16. 某校为了丰富学生课余生活，体育节组织定点投篮比赛．为了解学生喜欢篮球是否与性别有关，随机抽取了男、女同学各100名进行调查，部分数据如表所示： 喜欢篮球 不喜欢篮球 合计 男生 40 女生 30 合计 （1）根据所给数据完成上表，依据小概率值的独立性检验，能否据此推断该校学生喜欢篮球与性别有关？ （2）篮球指导老师从喜欢篮球的学生中抽取了2名男生和1名女生进行投篮示范．已知这两名男生投进的概率均为，这名女生投进的概率为，每人投篮一次，假设各人投篮相互独立，求3人投进总次数的分布列和数学期望． 附： 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 17. 如图，在四棱锥中，底面是菱形，，分别为，的中点，平面，且. （1）证明：平面； （2）若与平面所成的角是，求二面角的余弦值. 18. 已知椭圆的左､右焦点分别为，，为椭圆上的动点，的面积的最大值为，且点到点的最短距离是2. （1）求椭圆的标准方程； （2）过点作斜率为的直线，交椭圆于，两点，交抛物线：于，两点，且，求直线的方程. 19. 用数学的眼光看世界就能发现很多数学之“美”.现代建筑讲究线条感，曲线之美让人称奇，衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率，曲线的曲率定义如下：若是的导函数，是的导函数，则曲线在点处的曲率. （1）求曲线在处的曲率的平方； （2）求正弦曲线曲率的平方的最大值. （3）正弦曲线，若，判断在区间上零点的个数，并写出证明过程. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $