湖南省益阳市益阳师专附属学校2024—2025学年上学期期中考试九年级数学试卷

2024-2025学年九年级上学期期中质量监测 数学 班级： 姓名： 准考证号： 注意事项： 1.答题前，先将自己的班级、姓名、准考证号写在试题卷和答题卡上，并将准 考证条形码粘贴在答题卡上的指定位置。 2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上相应题目的答案标 号涂黑。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3.非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，写在试题 卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 4.考试结束后，将答题卡上交。 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的. 1.方程x2=2024x的解是 A.x=2024 B.x1=0,x2=2024 C.x=0 D.无解 【答案】B 【解析】x2=2024x,,x(x-2024)=0,则x1=0,x2=2024. 2.已知二=，则-少的值是 A.1 B.- D. 4 c好 【答案】D 【解析】x=三 少，x-卫=5-4=马 44 3.关于反比例函数y=16的图象，下列说法正确的是 A.它的图象与x轴、y轴各有一个交点 B.点(8,2)在它的图象上 C.它的图象在第二、四象限 D.y随x的增大而减小 【答案】B 【解析】反比例函数y=16的图象在第二、四象限，与x轴、y轴没有交点，在每 个象限内y随x的增大而减小，当x=8时，y=2,点(8,2)在它的图象上 数学试题卷第1页共11页 4.下列说法中正确的是 A.所有的平行四边形都相似 B.所有的菱形都相似 C.所有的矩形都相似 D.所有的正方形都相似 【答案】D 【解析】只有正方形的对应边成比例，对应角相等，所以正方形都相似 5.已知方程x2+x+2n=0有两个实数根，其中一个根是-n(n≠0)，则方程的另一个 根是 A.1 B.-1 C.2 D.-2 【答案】D 【解析】xx2=2n,x=-n,x2=-2. 6.我们把练习本上的横线认定是平行且等距的格线，如图，彤彤同学在两条横线上 画出△ABC,且边AB,AC与中间的另外两横线交于D,F,E, A G四点，连接CD交FG于点H,若BC=24,则HG的长为 A.2 B.3 C.4 D.4.5 【答案】C 【解析】由平行线等分线段定理得， DE AD 1 HG CG 1 BC=B=3,则DE=8，DE=CE=,, 则HG=4. 7.如果m和n是方程x2+px+q=0的两个根，则多项式x2+px+q可以分解因式为 A.(x+m)(x+n)B.(x-m)(x+n) C.(x-m)(x-n)D.(x+m)(x-n) 【答案】C 【解析】m和n是方程x2+px+q=0的两个根，m+n=-P,，mn=g,则 x2+px+g=(x-m)(x-n). 8.对于x取任意实数，多项式x2-4x+a的值是一个正数，则a的取值范围是 A.a>4 B.a>-4 C.a≥4 D.a≥8 【答案】A 【解析】x2-4x+a=(x-2)2-4+a>0,∴.-4+a>0,则a>4. 数学试题卷第2页共11页 9.如图，在正方形ABCD中，E是BC的中点，F是CD上一点，且CF:CD=1:4, 下列结论中错误的是 A.△ABE∽△ECF B.AE=2EF C.△ABE∽△AEF D.△ADF∽△ECF 【答案】D 【解析】：在正方形ABCD中，E是BC的中点，F是CD上一点，且CF:CD= 14器-C=∠B,C,E-能-对Ai=2E ∴.∠CEF=∠BAE,则∠CEF+∠AEB=∠BAE+∠AEB=90°，即∠AEF=90°， ∴.△ABE∽△AEF. 10. 把直线y=-x+3的图象向下平移m个单位，与反比例函数y=上的图象只有一个 交点，则m的值为 A.1 B.5 C.2或4 D.1或5 【答案】D y=-x+3-m 【解析】依题意得： ,即方程-x+3-m=只有一个解， y- .4=(m-3)2-4=0,得：m的值为1或5. 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分. 11.一元二次方程x2-5x+1=0的常数项是 【答案】1 【解析】常数项是1. I2.△ABC与△AB'C是位似图形，且△ABC与△AB'C的位似比是3：1，已知△ABC 的周长是9，则△ABC的周长是 【答案】3 【解析】△AB'C的周长是9×=3. 3 数学试题卷第3页共11页 13.反比例函数y=-1过点4L,a),B2,b),则ab.(填“>”“<”或“=”) 【答案】< 【解析】：反比例函数y=-I的图象在每个象限内，y随x的增大而增大， ∴a<b. 14.若函数y=(与函数y=(k≠0)的图象交于两点，其中一个交点的坐标为 (1,2024),则另一个交点的坐标是 【答案】(-1，-2024) 【解析】根据反比例函数的中心对称性，另一点与点(1,2024)成中心对称，所以另 一点为(-1，-2024) 15.如图，数学活动课上，为测量学校旗杆高度，莹莹同学在脚下水平放置一平面镜， 然后向后退（保持脚、镜和旗杆底端在同一直线上），直到 她刚好在镜子中看到旗杆的顶端.已知莹莹的眼睛离地面 高度为1.6m,同时量得莹莹与镜子的水平距离为2m,镜 子与旗杆的水平距离为10m,则旗杆高度为 【答案】8m 【解析】设旗杆高为x,根据物高与影长成正比例得， x1.6 102，x=8. 16.今年10月份以来，我国经济得到回升，A股某一支股票指数由两周前的2700点 涨到3600点，设两周平均每周上涨的百分率为x,可根据题意列方程为 【答案】2700(1+x)=3600 【解析】依题意有2700(1+x)=3600. 17.若一元二次方程+2x+k=0无实数根，则反比例函数y=《-的图象经过第 象限 【答案】一、三 【解析】：一元二次方程x2+2x+k=0无实数根，.4=4-4k<0,解得：k>1, 、反比例函数y=《-一的图象经过第一、三象限 数学试题卷第4页共11页 18.如图，菱形OABC的周长与面积都是20，反比例函数的图象经过菱形顶点B,则 反比例函数的解析式为 【答案】y=32 【解析】：菱形OABC的周长与面积都是20，AB=OA=20÷4=5, BD=20÷5=4,则AD=3,B(8,4),反比例画数的解析式为y=32 三、解答题：本题共8小题，共66分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 19.(6分)用公式法解方程：5x2-4x-1=0. 【答案】见解析 【解析】a=5,b=4,c=-1, ………1分 4=16+20=36, 4,……04…42分 4±V364±6 ..x= ….4分 10 10 1 则x=1,为= 。,,。。。。。。。。。,,。,。。,,。,。,。。,,,。。。。,。。。。。,6分 20.(6分)如图，已知CD是△ABC边AB上的中线， 且AC=2V5,AB=4,求证：△ACD∽△ABC D 【答案】见解析 【解析】：CD是△ABC边AB上的中线，AB=4, AD=2, 。。,。。。。,。,。,。,。。。。。。。。分 数学试题卷第5页共11页 AD 22AC22√5 AC2√22’AB 42 .AD_AC ACAB,且∠CAD=∠BAC, …………5分 .△ACD∽△ABC. 4……6分 21.（8分)已知关于x的一元二次方程(c+a)x2+2br+(c-a)=0,其中a,b,c分别 为△ABC三边的长. (1)若△ABC是等边三角形，求方程的根； (2)若△ABC是直角三角形，且c为斜边长，试判别方程根的情况. 【答案】见解析 【解析】(1)△ABC是等边三角形， ∴.a=b=c, .2分 则方程变为2a2+2m=0,即：x2+x=0, 解得：x=0,x2=-1; …………4分 (2)·△ABC是直角三角形，C为斜边， .a2+b2=c2, .6分 ∴4=4b2-4(c+ac-a)=4(b2-c2+a2）=0, ∴.方程有两个相等的实数根 ……………………….8分 22.(8分)如图，在菱形ABCD的边长为1，E是AB边上与A,B不重合的一动点， 连接DE,点F是DE上一点，且∠CFE=∠B. (1)求证：△DAE∽△CFD: (2)当点E在AB上移动时，线段CF也随之变化， 设DE=x,CF=y,求y与x间的函数关系式 (不考虑自变量x的取值范围) 【答案】见解析 【解析】(1)CD//AB, ∠CDF=∠DEA, .'∠CFE=∠B, …2分 而∠CFE+∠CFD=∠A+∠B=180°， ∴.∠CFD=∠A, 数学试题卷第6页共11页 .△DAE∽△CFD; ……………….4分 (2).△DAE∽△CFD, .CF_CD DA DE' 1 x 1 ∴.y=- .8分 x 23.(9分)一次函数y=x+3交x轴于点A,交反比例函数y=《于点B,已知点B的 横坐标为1. (1)求反比例函数解析式： (2)点C在反比例函数y=·第一象限的图象上， 若SACB=S△OB,求点C的坐标. 【答案】见解析 【解析】(1)：点B的横坐标为1，且，点B在函数y=x+3图象上， B,4),将点BL,4代入反比例函数y=,得k=4, 4 ·反比例函数解析式为y=一； 3分 (2)直线y=x+3与y轴交点为(0,3)，而S△4CB=S△4oB, 4 把直线y=x+3向下（或向上）平移3个单位与反比例函数y=二的交点就是所 求的C点， 4 即 x,解得：x=2,x2=-2（舍去) ……6分 V=x 数学试题卷第7页共11页 或 y=4 ,解得：x=3-3,X32=-3-3（舍去)6分 y=x+6 (求出一个点就可以给满分) 点C的坐标为(2,2)或(3-3√3+3) ………9分 24.(9分)在手工活动课上，轩轩同学为了制作一个底面积是80cm2的有盖的长方体 纸盒，他把一张长26cm,宽20cm的矩形纸张，将其两边剪去两个全等的矩形（如 图①)，剩余部分（阴影部分）经过折叠后得到一个长方体纸盒（如图②）.求长 方体纸盒的长、宽、高各是多少？ 20cm 底面 126cm 图① 图② 【答案】见解析 【解析】设长方体纸盒高为xcm,则长为(20-2x)cm,宽为(13-x)cm,.2分 依题意得：(20-2x13-x)=80, ……46分 解得：x=5,x2=18(舍去) ……8分 答：长方体纸盒高为5cm,则长为10cm,宽为8cm. ………………9分 25.(10分)如图，已知直线y=-x+4与反比例函数y=3的图象交于点A,B,点P 是y轴上一动点，连接PA,PB. (1)求点A,B的坐标； (2)当点P运动时，△PAB的周长是否存在最 小值，若存在，请求出此时点P的坐标： 若不存在，请说明理由： (3)点N在x轴正半轴上，点M是反比例函数 y=3(x>0的图象上的一个点，若△4MN 23 本56 是以点A为直角顶点的等腰直角三角形时， 求所有满足条件的点M的坐标， 数学试题卷第8页共11页 【答案】见解析 【解析】(1)依题意解方程：3=-x+4,得：x=3,西=1， 则点A的坐标为(3,1)，点B的坐标为(1,3)， …………3分 (2)依题意作点B的关于y轴的对称点B(-1,3),连接AB, 设直线AB的解析式为y=x+b,将点A3,I),B'(-1,3)代入， 1=3k+b 得： 2 ∴直线AB的解析式为y=- +子使直线与y轴的文点为 当点P的坐标为 (0引时，PA+PB有最小值，此时△P1B的同长最小6分 (3)设点M坐标为 ①如图2，当点M在点A左侧时，过点A作x轴垂线，垂足为点D,过点M作y 轴的垂线，与DA相交于点C; .∠MAC+∠DAN=∠AMC+∠MAC=90°， ∴.∠DAN=∠AMC, 又：∠ACM=∠ADN=90°，AM=AN, .△ACM≌△NDA(AAS) ∴.CM=AD, 即：3-x=1,解得：x=2, 点M坐标为 ②如图3，当点M在，点A右侧时，过点M,N作y轴的平行线与过点A作y轴的 垂线交于点E,F; 同理可证：△AEM≌△NFA,可得：AE=NF, 即：x-3=1,解得：x=4. 点M坐标为(4引： 综上所述：点M坐标为 2到利4引 数学试题卷第9页共11页 T123456x 34 23456 图1 图2 图3 26.（10分)九年级2201班数学创新小组对三角形中的三等角问题进行深入研究： 已知：等腰△ABC中，AB=AC=1,∠PDQ的顶，点D在△ABC三边上的不同位置 都满足∠PDO=∠ABC=∠ACB. 【一线模型】如图1：当∠PDQ的顶点D在底边BC上，与两腰AB,AC分别交于 点E,F,求证：△BDE∽△CFD: 【变化模型】如图2：当∠PDQ的顶点D与点A重合，与底边BC及其延长线分 别交于点E,F,求BECF的值； 【拓展延伸】如图3：当∠PDQ的顶点D在AB边上，与底边BC分别交于点E, F,且BD=kAB,求BE·(kBC-BF)的值.（用k的代数式表示） AD》 D 图1 图2 图3 【答案】见解析 【解析】(I):∠EDC=∠B+∠BED=∠PDQ+∠CDF, ·.∠BED=∠CDF,且∠ABC=∠ACB, ∴.△BDE∽△CFD: ……………….3分 (2):∠DBE=∠DFE+∠BDF,∠PDQ=∠BDE+∠BDF, 而∠PDQ=∠DBE, .∠DFE=∠BDE,且∠DBC=∠DCB, .△BDE∽△CFD, :BE=CD,即：BECF=BDCD=l: BD CF …6分 (3)如图3，过，点D作DM∥AC,则： AB BC，∠ABC=∠ACB=∠DMB, BD BM 数学试题卷第10页共11页