1.2 直角三角形 同步练习 2024-2025学年 北师大版初中数学八年级下册

1.2直角三角形   北师大版初中数学八年级下册同步练习 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.如图，已知是的边上的高，下列能使≌的条件是 (    ) A. B. C. D. 2.如图，在中，，作高线，角平分线，中线，三者两两相交于点，，则下列说法正确的是(    ) A. 一定为等腰三角形 B. 一定为等腰三角形 C. 一定为等腰三角形 D. 一定为等腰三角形 3.将一副三角板按如图所示的位置摆放在直尺上，则的度数为 (    ) A. B. C. D. 4.如图，于点，于点，且，则与全等的理由是  (    ) A. B. C. D. 5.如图，，，，是的中点，那么下列结论不正确的是(    ) A. B. C. D. 6.下列命题属于真命题的是(    ) A. 两个角对应相等的两个三角形全等 B. 两条边相等的两个直角三角形全等 C. 腰相等的两个等腰三角形全等 D. 斜边相等的两个等腰直角三角形全等 7.已知，，是的三条边长，则下列等式不能判定为直角三角形的是(    ) A. B. C. D. 8.如图，直线，的直角顶点落在直线上，点落在直线上，若，，则的大小为(    ) A. B. C. D. 9.以下说法： 如果三角形三个内角的比是：：，那么这个三角形是直角三角形； 如果三角形的一个外角等于与它相邻的内角，则这个三角形是直角三角形； 如果一个三角形的三条高的交点恰好是三角形的一个顶点，那么这个三角形是直角三角形； 如果，那么是直角三角形； 在中，若，则此三角形是直角三角形其中说法正确的个数有(    ) A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 10.如图，，，，要根据“”证明≌，则还要添加一个条件是(    ) A. B. C. D. 二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。 11.已知是的边上的高，若，，，则的长为______． 12.如图，中，，是边上一动点，把沿直线折叠，点落在点处，当平行于的直角边时，的度数为______． 13.如图，在中，，，平分，交于点，过点作于点，则的度数为          ． 14.如图，在长方形中，，，点是的中点，将沿折叠后得到，延长交于点，则的长度为           三、解答题：本题共6小题，共48分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题分 如图，在中，，，为的平分线，为线段上一点，且求的度数． 16.本小题分 如图，已知，，在线段上，与交于点，且，求证：≌． 17.本小题分 如图，已知在中，于，于，，分别是，的中点． 求证：； 若，，求的面积． 18.本小题分 将一副三角尺中的两块直角三角尺的直角顶点按如图所示的方式叠放在一起． 若，则的度数为__________．若，则的度数为__________． 由猜想与的数量关系，并说明理由． 当且点在直线的上方时，若这两块三角尺有一组边互相平行，请直接写出所有可能的值不必说明理由． 19.本小题分 如图，已知是线段上的一点，，，是上一点，且． 与全等吗？请说明理由． 若，求的度数． 20.本小题分 【阅读理解】 如图，是等边三角形，是边下方一点，连结，，，且，探索线段，，之间的数量关系． 解题思路：延长到点，使，连结，根据，得到又因为，所以，易证得，则是等边三角形，所以，从而找出线段，，之间的数量关系． 根据上述解题思路，请直接写出，，之间的数量关系：          ．【拓展延伸】 如图，在中，，若是边下方一点，，探索线段，，之间的数量关系，并说明理由．【知识应用】 如图，两块斜边长都为的三角板，把斜边重叠摆放在一起，则点，之间的距离为          ． 答案和解析 1.【答案】  【解析】【分析】 本题考查全等三角形的判定，直角三角形全等的判定，根据全等三角形的判定定理， 即边边边、边角边、角 边角、角角边、和直角三角形的斜边，直角边，进行逐项分析即可． 【解答】 解：是的边上的高 A.当时，可根据判定≌，故本项符合题意； B.当时，无法根据全等三角形的判定定理得出≌，故本项不符合题意； C.当时，无法根据全等三角形的判定定理得出≌，故本项不符合题意； D.当时，无法根据全等三角形的判定定理得出≌，故本项不符合题意． 故选A． 2.【答案】  【解析】解：如图， 是高线， ， 若为等腰三角形，则， ， 而题设中并不一定是， 故选项A不符合题意； ， 若为等腰三角形，则， ， 角平分线， ，， ， ， 而题设中并不一定是， 故选项B不符合题意，同理选项C不符合题意； ，中线， ， 角平分线，是高线， ，， 即， ， 一定为等腰三角形， 故选项D符合题意． 故选：． 根据等腰三角形的性质，直角三角形的性质，角平分线的定义求得，，推出，即可判断选项D符合题意． 本题考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质，角平分线的定义． 3.【答案】  【解析】【分析】 本题考查平行线的性质，直角三角形的两锐角互余，平角的定义．关键是根据两直线平行，同位角相等进行解答．利用直角三角形的两锐角互余先求出和的度数，再根据平角的定义求出的度数，最后由平行线的性质即可得出答案． 【解答】 解：如图， ，， ， ， ． 故选：． 4.【答案】  【解析】【答案】 【解析】 【分析】 根据直角三角形全等的判别方法可证 【详解】 解：且 和是直角三角形 又，且 故选：． 【点睛】 本题考查直角三角形全等的判定方法． 5.【答案】  【解析】解：点是的中点， ， ， ， ，， ， 在和中， ， ≌， ，， ， ， ， ，， ， 故选项A，，D正确． 故选：． 用证明≌，得，可证，从而说明、、D正确． 本题主要考查了全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，证明≌是解题的关键． 6.【答案】  【解析】解：、两三角形全等，至少需要一边相等的条件，原命题是假命题，故A不符合题意； B、有可能两个直角三角形的斜边和直角边相等，此时两个直角三角形不全等，原命题是假命题，故B不符合题意； C、腰相等的两个等腰三角形的顶角或底边不一定相等，因此腰相等的两个等腰三角形不一定全等，故C不符合题意； D、斜边相等的两个等腰直角三角形全等，正确，故D符合题意． 故选：． 由全等三角形的判定，即可判断． 本题考查全等三角形的判定，关键是掌握全等三角形的判定方法：，，，，． 7.【答案】  【解析】略 8.【答案】  【解析】【分析】 本题考查直角三角形的性质，平行线的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行线解决问题． 如图，作，利用平行线的性质可得，再利用直角三角形的性质即可解决问题． 【解答】 解：如图，作． ，， ， ，， ， ， ， 故选：． 9.【答案】  【解析】解：如果三角形三个内角的比是：：，则最大角的度数为：，那么这个三角形是直角三角形，说法正确，符合题意； 如果三角形的一个外角等于与它相邻的内角，根据外角与它相邻的内角互补，得到这个内角是，那么这个三角形是直角三角形，说法正确，符合题意； 如果一个三角形的三条高的交点恰好是三角形的一个顶点，那么这个三角形是直角三角形；说法正确，符合题意； 如果，根据，得到，那么是直角三角形；说法正确，符合题意； 在中，若，根据，得到，则此三角形是直角三角形．说法正确，符合题意； 综上：说法正确的个数有个； 故选：． 根据三角形的内角和判断，根据外角的定义判断，根据直角三角形的三条高线交于直角顶点，判断． 本题考查三角形分类，三角形的内角和，三角形的外角的定义，三角形的高线．熟练掌握相关知识点，是解题的关键． 10.【答案】  【解析】【分析】 本题考查了全等三角形的判定定理的应用，能灵活运用全等三角形的判定定理进行推理是解此题的关键． 根据垂直定义求出，再根据全等三角形的判定定理推出即可． 【解答】 解：条件是， 理由是：，， ， 在和中， ≌， 故选A． 11.【答案】或  【解析】【分析】 本题考查了三角形的高、勾股定理的应用，在直角三角形中常利用勾股定理计算线段的长，要熟练掌握． 分两种情况：是锐角三角形；是钝角三角形，分别根据勾股定理求出即可． 【解答】 解：分两种情况： 当是锐角三角形，如图， ， ， ，， ， ， ， ， ； 当是钝角三角形，如图， 同理得：，， ， ， 综上所述，的长为或． 故答案为：或． 12.【答案】或  【解析】解：当时，如图， 由折叠的性质得：， ， ， ， ，， ， ； 当时，如图， 由折叠的性质得：，， ，， ， ， ， ， ， ． 的度数为或． 故答案为：或． 当时，由折叠的性质得：，由平行线的性质推出，得到，求出，即可得到；当时，由折叠的性质得：，，求出，得到，由平行线的性质推出，求出，得到，即可求出于是得到的度数为或． 本题考查折叠的性质，直角三角形的性质，平行线的性质，关键是要分两种情况讨论． 13.【答案】  【解析】【分析】 本题考查直角三角形的性质，解题关键掌握直角三角形两个锐角互余． 先根据角平分线定义求出，再根据直角三角形两锐角互余求出及，再通过求解． 【解答】 解：，是的角平分线， ， ， ， ， ， 故答案为：． 14.【答案】  【解析】是的中点，沿折叠后得到，，，在长方形中，，在和中，，，≌，设，则，在中，，，解得，． 15.【答案】解：在中，，， ， 为的平分线， ， ，， ， ．  【解析】根据直角三角形的性质求出，根据角平分线的定义求出，再根据三角形的外角性质即可解答． 本题考查直角三角形的性质，角平分线的性质，三角形的外角性质，掌握这些性质是解题的关键． 16.【答案】证明：， ，即， ， 与都为直角三角形， 在和中， ≌．  【解析】此题考查了直角三角形全等的判定，解题关键是由通过等量代换得到． 由通过等量代换得到，结合，根据直角三角形全等的判定的方法即可证明． 17.【答案】证明： 连接、， ， ， 是的中点， ， 同理可得， ， 是的中点， ； 解： ，， ，， 由可知， ，   【解析】连接、，由直角三角形的性质可求得，则由等腰三角形的性质可证明； 由条件可求得、，在中可求得，则可求得的面积． 本题主要考查直角三角形和等腰三角形的性质，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求得是解题的关键． 18.【答案】【小题】 【小题】 猜想：． 理由如下：， 又， ， 即； 【小题】 解：如图，当  时，， ，． 如图，当  时，， 综上所述，或．   【解析】 解：，， ， ， ． 故答案为：； ，， ， ， 故答案为：； 本题主要考查了平行线的判定解题时注意分类讨论思想的运用，分类时不能重复，也不能遗漏． 根据和的度数，求得的度数，再根据求得的度数； 根据和的度数，求得的度数，再根据求得的度数．  本题主要考查了余角和补角，根据以及，进行计算即可得出结论；  本题考查平行线的性质，分两种情况进行讨论：当时，当时，分别求得角度． 19.【答案】解：≌，理由如下： ， ， 在与中， ， ≌； ≌， ， ．  【解析】由“”可证≌； 由全等三角形的性质和直角三角形的性质可得的度数． 本题考查了全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质；熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 20.【答案】【小题】 【小题】 理由略． 【小题】   【解析】 略  略  略 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页） 1 学科网（北京）股份有限公司 $$