专题6.6 计数原理全章十一大压轴题型归纳（拔尖篇）-2024-2025学年高二数学举一反三系列（人教A版2019选择性必修第三册）

专题6.6 计数原理全章十一大压轴题型归纳（拔尖篇） 【人教A版（2019）】 题型1 涂色问题 1．（24-25高二上·全国·单元测试）用红、黄、蓝、绿、橙五种不同颜色给如图所示的5块区域涂色，要求同一区域用同一种颜色，相邻区域使用不同颜色，则共有涂色方法（    ）    A．120种 B．720种 C．840种 D．960种 【解题思路】利用分步乘法计数原理可得答案. 【解答过程】有5种颜色可选，有4种颜色可选，有3种颜色可选， ，均有4种颜色可选，故共有涂色方法（种）． 故选：D. 2．（23-24高二下·安徽池州·期中）如图为我国数学家赵爽（约3世纪初）在为《周髀算经》作注时验证勾股定理的示意图，现在提供5种颜色给其中5个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不相同，则不同的涂色方案种数为（    ）    A．120 B．26 C．340 D．420 【解题思路】根据题意，分4步依次分析区域A、B、C、D、E的涂色方法数目，由分步计数原理计算答案． 【解答过程】根据题意，如图，设5个区域依次为A、B、C、D、E，    分4步进行分析： ①，对于区域A，有5种颜色可选； ②，对于区域B，与A区域相邻，有4种颜色可选； ③，对于区域C，与A、B区域相邻，有3种颜色可选； ④，对于区域D、E，若D与B颜色相同，E区域有3种颜色可选， 若D与B颜色不相同，D区域有2种颜色可选，E区域有2种颜色可选， 则区域D、E有种选择， 所以不同的涂色方案有种. 故选：D. 3．（23-24高二下·湖南衡阳·期中）如图，已知四棱锥. (1)从5种颜色中选出3种颜色，涂在四棱锥的5个顶点上，每个顶点涂1种颜色，并使同一条棱上的2个顶点异色，求不同的涂色方法数； (2)从5种颜色中选出4种颜色，涂在四棱锥的5个顶点上，每个顶点涂1种颜色，并使同一条棱上的2个顶点异色，求不同的涂色方法数. 【解题思路】（1）由分步乘法原理，先涂S，再涂A，再涂B，最后涂CD计算即可. （2）解法一：由分步乘法原理，先涂AC，再一次涂SAB，计算即可；解法二：分类分步原理，先按照A与C颜色相同与不同分类，再用分步乘法，最后求和即可. 【解答过程】（1）由题意知，四棱锥的顶点S，A，B所涂颜色互不相同， 则A，C颜色相同，且B，D颜色相同， 所以共有种不同的涂色方法. （2）解法一：由题意知，四棱锥的顶点S，A，B所涂颜色互不相同， 则A，C可以颜色相同，B，D可以颜色相同，并且两组中必有一组颜色相同， 所以先从两组中选出一组涂同一颜色，有2种选法（如：B，D颜色相同）； 再从5种颜色中，选出4种颜色涂在S，A，B，C四个顶点上， 最后D涂B的颜色，有种不同的涂色方法. 根据分步计数原理知，共有种不同的涂色方法. 解法二：分两类. 第一类，A与C颜色相同， 由题意知，四棱锥的顶点S，A，B所涂颜色互不相同， 它们有种不同的涂色方法， 所以共有种不同的涂色方法； 第二类，A与C颜色不同， 由题意知，四棱锥的顶点S，A，B所涂颜色互不相同， 它们有种不同的涂色方法， 所以共有种不同的涂色方法. 根据分类计数原理知，共有种不同的涂色方法. 4．（23-24高二下·河北邢台·阶段练习）如图，某心形花坛中有A，B，C，D，E5个区域，每个区域只种植一种颜色的花． (1)要把5种不同颜色的花种植到这5个区域中，每种颜色的花都必须种植，共有多少种不同的种植方案？ (2)要把4种不同颜色的花种植到这5个区域中，每种颜色的花都必须种植，共有多少种不同的种植方案？ (3)要把红、黄、蓝、白4种不同颜色的花种植到这5个区域中，每种颜色的花都必须种植，要求相同颜色的花不能相邻种植，且有两个相邻的区域种植红、黄2种不同颜色的花，共有多少种不同的种植方案？ 【解题思路】（1）由全排列公式求出答案； （2）先选出两个区域种植同一种颜色的花，再考虑其他三种颜色的花，利用分步乘法计数原理得到答案； （3）对区域种植的花的颜色分类讨论，求出各种情况的种植方案数，相加后得到答案. 【解答过程】（1）由全排列可得，共有种不同的种植方案． （2）第一步，先将5个区域选出2个区域种植一种相同颜色的花，共有种方案； 第二步，再将剩余的3种颜色的花种植到剩下的3个区域，共有种方案． 所以共有种不同的种植方案． （3）要把4种不同颜色的花分别种植到这5个区域中，则必然有2个区域种植相同颜色的花． 第一类，区域种植红色的花，4个区域中有2个区域种植其他相同颜色的花， 则相同颜色的花必然种植在或区域，共有种方案． 第二类，区域种植黄色的花，同理可得，共有种方案． 第三类，区域种植蓝色的花，若有2个区域种植白色的花， 则没有两个相邻的区域种植红、黄2种不同颜色的花，所以不可能有2个区域种植白色的花， 故2个区域种植的相同颜色的花是红色或黄色的花，共有种方案． 第四类，区域种植白色的花，同理可得，共有种方案． 综上，共有种不同的种植方案． 题型2 两个计数原理的综合应用 1．（23-24高二下·江苏宿迁·期中）某女生有3件不同颜色的衬衣，4件不同花样的裙子，另有3套不同样式的连衣裙，“五一”节选择一套服装参加歌舞演出，则不同的选择方式有（    ） A．24种 B．10种 C．9种 D．15种 【解题思路】利用分类加法和分步乘法计数原理计算可得结果. 【解答过程】依题意可知，有两类衣服可选， 第一类：选择衬衣和裙子，共有种选择； 第二类：选择连衣裙，共有中选择； 所以共有种选择. 故选：D. 2．（23-24高二下·广西·期末）如图，要让电路从A处到B处只有一条支路接通，可有（    ）条不同路径. A．4 B．5 C．9 D．10 【解题思路】根据分类加法和分步乘法计数原理即可求解. 【解答过程】走上面需要两步，每步都有两种路径，有种方法， 走下面需要两步，第一步有三种路径，第二步有两种路径，有种方法， 共计有10种方法. 故选：D. 3．（24-25高三·上海·课堂例题）用0、1、2、3、…、9十个数字可组成多少个不同的： (1)三位数； (2)无重复数字的三位数； (3)小于500且无重复数字的三位奇数． 【解题思路】（1）（2）根据分步乘法计数原理，先确定百位上的数字，再分析十位与个位，进而计算出正确答案； （3）根据分类加法、分步乘法计数原理，分别分析个位数满足条件的数字计算出正确答案. 【解答过程】（1）由于0不能在首位，所以首位数字有9种选法， 十位与个位上的数字均有10种选法， 所以不同的三位数共有（个）； （2）百位数字有9种选法，十位数字有除百位数字以外的9种选法， 个位数字应从剩余8个数字中选取， 所以共有（个）无重复数字的三位数； （3）若个位为1或3，则小于500的三位奇数有（个）； 若个位为5或7或9，则小于500的三位奇数有（个）； 所以小于500的三位奇数有． 4．（23-24高二下·山东菏泽·阶段练习）高二（1）班、（48）班、（62）班分别有7，5，9人参加创新技能大赛笔试． (1)如果选一人当组长，那么有多少种不同的选法？ (2)如果老师任组长，每班选一名副组长，那么有多少种不同的选法？ (3)如果推选两名学生参赛，要求这两人来自不同的班级，那么有多少种不同的选法？ 【解题思路】（1）根据分类加法计数原理求解； （2）根据分步乘法计数原理求解； （3）综合利用分类加法计数原理和分步乘法计数原理求解； 【解答过程】（1）事件选一人当组长可分三类方案完成， 第一类，组长从（1）班选出，有7种选法、 第二类，组长从（48）班选出，有5种选法、 第三类，组长从（62）班选出，有9种选法， 根据分类加法计数原理，选一人当组长有种选法， （2）如果老师任组长，每班选一名副组长，则需要分三步， 第一步，从（1）班选一名同学担任副组长，有7种选法， 第二步，从（48）班选一名同学担任副组长，有5种选法， 第三步，从（62）班选一名同学担任副组长，有9种选法， 根据分步乘法计数原理，每班选一名副组长共有种选法； （3）事件推选两名学生参赛，要求这两人来自不同的班级，可分为三类方案， 第一类，若两人来自（1）班和（48）班，有种选法， 第二列，若两人来自（1）班和（62）班，有种选法， 第三类，若两人来（48）班和（62）班，有种选法， 综上可知，这两人来自不同的班级的不同的选法有种． 题型3 元素（位置）有限制的排列问题 1．（23-24高二下·内蒙古·期中）从6人（包含甲）中选派出3人参加，，这三项不同的活动，且每项活动有且仅有1人参加，若甲不参加和活动，则不同的选派方案有（    ） A．60种 B．80种 C．90种 D．150种 【解题思路】分甲被选中和甲没被选中两种情况，结合排列数公式即可求解. 【解答过程】当甲被选中时，不同的选派方案有种； 甲没被选中时，不同的选派方案有种. 故满足条件的不同的选派方案有种. 故选：B. 2．（23-24高二下·黑龙江齐齐哈尔·期末）现有3男3女站成一排照相，左右两端恰好性别不同，则不同的排法种数为（    ） A．216 B．240 C．432 D．720 【解题思路】先排特殊位置，再排其它位置，由分步乘法计数原理计算. 【解答过程】3男3女站成一排拍照，左右两端的恰好是一男一女， 先分别选1男1女排在左右两端，有种排法， 再排中间4个位置，有种排法， 所以不同的排法种数为种. 故选：C. 3．（23-24高二下·陕西咸阳·期中）现有8个人（5男3女）站成一排． (1)其中甲必须站在排头有多少种不同排法？ (2)女生必须排在一起，共有多少种不同的排法？ (3)甲、乙不能排在前3位，有多少种不同排法？ 【解题思路】（1）采用“特殊元素优先法”可求解. （2）采用“元素相邻捆绑法”可求解. （3）采用“特殊元素优先法”可求解. 【解答过程】（1）根据题意，甲必须站在排头，有1种情况，将剩下的7人全排列，有种情况， 则甲必须站在排头有种排法. （2）根据题意，先将3名女生看成一个整体，考虑三人之间的顺序，有种情况， 将这个整体与5名男生全排列，有种情况，则女生必须排在一起的排法有种. （3）根据题意，将甲、乙两人安排在后面的5个位置，有种情况， 将剩下的6人全排列，有种情况，甲、乙不能排在前3位，有种不同排法． 4．（23-24高二下·吉林延边·阶段练习）有0，1，2，3，4，5这六个数字. (1)能组成多少个无重复数字的四位偶数？ (2)能组成多少个无重复数字且能被25整除的四位数? (3)能组成多少个无重复数字且比1325大的四位数? 【解题思路】（1）符合要求的四位偶数可分为三类：0、2、4分别在个位的情况，结合分类加法计数原理即可求解； （2）符合要求的四位数可分为两类：十位和个位分别为2和5与十位和个位分别为5和0的情况，结合分类加法计数原理即可求解； （3）有三类：第一类是千位是2,3,4,5中任意1个；第二类是千位是1且百位是4,5中任意1个；第三类是千位是1且百位是3，结合分类加法计数原理即可求解. 【解答过程】（1）符合要求的四位偶数可分为三类： 第一类：0在个位时，有种方法； 第二类：2在个位时，首位从1,3,4,5,中选1个（有个）， 十位和百位从余下的数字中选（有个），共有个； 第三类：4在个位时，与第二类同理，共有个； 由分类加法计数原理，知四位偶数共有个. （2）符合要求的四位数可分为两类： 第一类：十位和个位分别为2和5时，需要从余下的非0数字中选1个放在千位， 剩下的3个数字选1个放在百位，共有个； 第二类：十位和个位分别为5和0时，共有个； 由分类加法计数原理，知符合题意的四位数共有个. （3）符合要求的四位数可分为三类： 第一类：千位是2,3,4,5中任意1个，余下的三位任意排，有个； 第二类：千位是1，且百位是4,5中任意1个，余下的两位任意排，有个； 第三类：千位是1，且百位是3，十位是4,5中任意1个，个位任意排，有个； 由分类加法计数原理，知符合题意的四位数共有个. 题型4 相邻、不相邻排列问题 1．（23-24高二下·陕西西安·阶段练习）2024年龙年春晚西安分会场的节目《山河诗长安》引起巨大反响，让观众感受到了传统文化的魅力.我校新学期开学以来为了弘扬我国二十四节气文化，特制作出“立春”、“惊蛰”、“清明”、“立夏”、“芒种”、“小暑”六张知识展板分别放置在六个并排的文化橱窗里，要求“立春”和“惊蛰”两块展板相邻，且“清明”与“惊蛰”两块展板不相邻，则不同的放置方式有多少种？（    ） A．192 B．240 C．120 D．288 【解题思路】先用捆绑法得到，只有“立春”和“惊蛰”相邻的情况，再减去“清明”和“惊蛰”相邻的情况即可. 【解答过程】依题意，只考虑“立春”和“惊蛰”时，利用捆绑法得到, 当“立春”和“惊蛰”和“清明”均相邻时，只有2种排法，即“惊蛰”在中间，“立春”“清明”分布两侧， 此时再用捆绑法，将三者捆在一起即， 所以最终满足题意的排法为. 故选：A. 2．（23-24高二下·江苏泰州·阶段练习）象棋作为一种古老的传统棋类益智游戏，具有深远的意义和价值.它具有红黑两种阵营，将､车､马､炮､兵等均为象棋中的棋子，现将3个红色的“将”“车”“马”棋子与2个黑色的“将”“车”棋子排成一列，则下列说法不正确的是（    ） A．共有120种排列方式 B．若两个“将”相邻，则有24种排列方式 C．若两个“将”不相邻，则有72种排列方式 D．若同色棋子不相邻，则有12种排列方式 【解题思路】A选项，由全排列知识进行求解，B选项，相邻问题进行捆绑，再由排列知识求出答案；C选项，不相邻问题插空法进行求解；D选项，先将2个黑色的棋子进行全排列，再插空即可. 【解答过程】A选项，由排列知识可得共有种排列方式，A正确； B选项，两个“将”捆绑，有种情况，再和剩余的4个棋子进行全排列，故共有种情况，B错误； C选项，两个“将”不相邻，先将剩余3个棋子进行全排列，共有4个空，再将两个“将”插空，故共有种情况，C正确； D选项，将2个黑色的棋子进行全排列，共有3个空，再将3个红色的棋子进行插空，则有种排列方式，D正确. 故选：B. 3．（23-24高二下·江苏徐州·期中）有8名同学站成一排照相，符合下列各题要求的不同排法共有多少种（用数字作答）？ (1)甲同学既不站在排头也不站在排尾； (2)甲､乙､丙三位同学两两不相邻； (3)甲､乙两同学相邻，且丙､丁两同学也相邻； (4)甲､乙两同学不相邻，且乙､丙两同学也不相邻. 【解题思路】（1）利用特殊元素优先原则，利用排列列式计算即得. （2）利用插空法求解不相邻问题. （3）利用捆绑法求解相邻问题. （4）利用排除法列式计算即得. 【解答过程】（1）中间6个位置取1个让甲站，余下7个位置让另7个人站， 所以不同排法种数是. （2）排除甲､乙､丙三位同学的5名同学，再在每一种排法的6个间隙中插入甲､乙､丙， 所以不同排法种数是. （3）分别视甲乙、丙丁为一个整体，与其余4名同学作全排列，再分别对甲乙、丙丁作排列， 所以不同排法种数是. （4）求出8个人的全排列，去掉甲乙相邻、乙丙相邻的排列法，再补上乙在甲丙中间的3人相邻的排列， 所以不同排法种数是. 4．（24-25高二上·陕西汉中·阶段练习）电影《志愿军雄兵出击》讲述了在极其简陋的装备和极寒严酷环境下，中国人民志愿军凭着钢铁意志和英勇无畏的精神取得入朝作战第一阶段战役的胜利，著名的“松骨峰战斗”在该电影中就有场景.现有3名男生和4名女生相约一起去观看该影片，他们的座位在同一排且连在一起．（列出算式，并计算出结果） (1)女生必须坐在一起的坐法有多少种？ (2)女生互不相邻的坐法有多少种？ (3)甲、乙两位同学相邻且都不与丙同学相邻的坐法有多少种？ 【解题思路】（1）由捆绑法即可得到结果； （2）由插空法即可得到结果； （3）结合捆绑法与插空法代入计算，即可得到结果. 【解答过程】（1）先将4名女生排在一起，有种排法， 将排好的女生视为一个整体，再与3名男生进行排列，共有种排法， 由分步乘法计数原理，共有种排法； （2）先将3名男生排好，共有种排法， 在这3名男生中间以及两边的4个空位中插入4名女生，共有种排法， 再由分步乘法计数原理，共有种排法； （3）先将甲乙丙以外的其余4人排好，共有种排法， 由于甲乙相邻，则有种排法， 最后将排好的甲乙这个整体与丙分别插入原先排好的4人的5个空隙中， 共有种排法， 由分步计数原理，共有种排法. 题型5 组合计数问题 1．（23-24高二下·内蒙古巴彦淖尔·期末）6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去一个场馆，其中甲场馆安排2名志愿者，乙、丙场馆都至少安排1名志愿者，则不同的安排方法共有（    ） A．300种 B．210种 C．120种 D．60种 【解题思路】甲场馆安排2名志愿者可以知有种，乙、丙场馆都至少安排1名志愿者可以有三种分法第一种是乙馆安排1名志愿者丙安排3名有种情况，第二种是乙、丙各安排2名有，第三种是乙安排3名丙安排1名，根据分步计算可得答案. 【解答过程】根据题意可知，甲场馆安排2名志愿者可以知有种， 乙、丙场馆都至少安排1名志愿者可以有三种分法 第一种是乙馆安排1名志愿者丙安排3名有种情况， 第二种是乙、丙各安排2名有， 第三种是乙安排3名丙安排1名， 所以根据分步算法可得种. 故选：B. 2．（23-24高二下·山东菏泽·期末）从标有的6张卡片中任取4张卡片放入如下表格中，使得表中数字满足，则满足条件的排法种数为（    ） A．45 B．60 C．90 D．180 【解题思路】分两步完成，第一步从张卡片中任取张卡片放入、，第二步从剩下的张卡片中任取张卡片放入、，按照分步乘法计数原理计算可得. 【解答过程】首先从张卡片中任取张卡片放入、（较大的数放入）有种方法； 再从剩下的张卡片中任取张卡片放入、（较大的数放入）有种方法； 综上可得一共有种不同的排法. 故选：C. 3．（24-25高二下·北京大兴·阶段练习）（每小问均须用数字作答）在中选出4个数字组成一个四位数 (1)可以组成多少个没有重复数字的四位数？ (2)可以组成多少个没有重复数字的四位偶数？ (3)若5和6至多出现1个，可以组成多少个没有重复数字的四位数？ 【解题思路】（1）分选到0和没有选到0两种情况，利用排列组合公式，即可求解； （2）对个位进行分类，利用排列数公式，即可求解； （3）利用间接法，结合排列组合公式，即可求解. 【解答过程】（1）若选到0，则0不能排在首位，有种方法， 若没有选到0，则有种方法， 综上可知，共有种方法； （2）个位是偶数的数是偶数， 若个位是0，则有种方法， 若个位不是0，则个位是2，4，6中的一个数字，有3种方法，千位有5种方法，中间两位有种方法，则有种方法， 综上可知，共有种方法； （3）中选出4个数字组成一个四位数，共有个数字，其中四位数有5且有6的数字，有个四位数， 则个四位数， 综上可知，若5和6至多出现1个，可以组成个没有重复数字的四位数. 4．（23-24高二下·广西·期末）每年的6月5日是世界环境日，某校计划在6月5日开展社区垃圾分类宣传活动，学校现从12名志愿者中选调6名志愿者去某社区作宣传，其中这12名志愿者有2名教师、4名高一学生、4名高二学生和2名高三学生.求： (1)若选调的志愿者中恰有1名教师，且不含高三学生，则不同选调方法有多少种？ (2)若选调的志愿者中必有教师，则不同选调方法有多少种？ (3)若选调的志愿者必含教师和各年级学生，且高一与高二学生选调人数相等，则不同选调方法有多少种？ 【解题思路】（1）先选1名教师，再从高一高二选5人，算出组合数即可. （2）选调的志愿者中必有教师,有两种情况，选1名教师5名学生和2名教师4名学生，算出组合数即可. （3）选调的志愿者必含教师和各年级学生，且高一与高二学生选调人数相等，有两种情况，教师和高三学生各选1名，高一高二各选2名学生和教师和高三学生各选2名，高一高二各选1名学生，算出组合数即可. 【解答过程】（1）选调的志愿者中恰有1名教师，先选1名教师，再从高一高二选5人，共有种选法. （2）选调的志愿者中必有教师,有两种情况，选1名教师5名学生和2名教师4名学生， 共有种选法. （3）选调的志愿者必含教师和各年级学生，且高一与高二学生选调人数相等，有两种情况： 教师和高三学生各选1名，高一高二各选2名学生和教师和高三学生各选2名，高一高二各选1名学生， 共有种选法. 题型6 分组分配问题 1．（23-24高二下·安徽安庆·阶段练习）有个人到南京、镇江、扬州的三所学校去应聘，若每人至多被一个学校录用，每个学校至少录用其中一人，则不同的录用情况种数是（    ） A．90 B．150 C．390 D．420 【解题思路】根据录用的人数，结合组合和排列的定义分类讨论进行求解即可. 【解答过程】若人中有且仅有人被录用，满足条件的录用情况有种， 若人中有且仅有人被录用，满足条件的录用情况有种， 若人都被录用，满足条件的录用情况有种， 由分类加法计数原理可得符合要求的不同的录用情况种数是. 故选：C. 2．（23-24高二下·广东云浮·阶段练习）大连市普通高中创新实践学校始建于2010年1月，以丰富多彩的活动广受学生们的喜爱.现有A，B，C，D，E五名同学参加现代农业技术模块，影视艺术创作模块和生物创新实验模块三个模块，每个人只能参加一个模块，每个模块至少有一个人参加，其中A不参加现代农业技术模块，生物创新实验模块因实验材料条件限制只能有最多两个人参加，则不同的分配方式共有（    ）种． A．84 B．72 C．60 D．48 【解题思路】分参加生物创新实验模块的为1人和2人两种情况，结合排列组合知识和计数原理求解即可. 【解答过程】因为生物创新实验模块因实验材料条件限制只能有最多两个人参加，所以参加生物创新实验模块的为1人和2人两种情况， (1)当参加生物创新实验模块的为1人时，若这个人为，则一共有种不同的分配方式； 若这个人不是，则只能参加现代农业技术模块，一共有种不同的分配方式； (2) 参加生物创新实验模块的为2人时，若这两人中有，则一共有， 若这两人中没有，则只能参加现代农业技术模块，一共有种不同的分配方式； 综上，一共由种不同的分配方式； 胡选：A. 3．（23-24高二下·安徽安庆·期中）甲乙丙丁戊五个同学 (1)去三个城市游览，每人只能去一个城市，可以有城市没人去，共有多少种不同游览方法？ (2)排成一排，甲不在首位，乙不在末位，共有多少种不同排列方法？ (3)分配到三个城市参加活动，每个城市至少去一人，每人只能去一个城市，共有多少种不同分配方法？ 【解题思路】（1）根据乘法计数原理即可求解， （2）用全部情况去掉甲不在首位，乙不在末位，即可求解， （3）利用分组分配，结合排列组合即可求解. 【解答过程】（1）去三个城市游览，每人只能去一个城市，可以有城市没人去，因此每个人都有种选择， 所以不同游览方法有（种）. （2）排成一排，无限制条件的排列有， 甲不在首位，乙不在末位的反面是甲在首位或乙在末位，共有， 则甲不在首位，乙不在末位的不同排法有（种）. （3）分配到三个城市参加活动，每个城市至少去一人，每人只能去一个城市， 则先把5人按分组，有种分组方法，按分组，有种分组方法， 因此不同分组方法数为， 再把每一种分组安排到三个城市，有种方法， 所以不同分配方法种数是. 4．（23-24高二下·河北沧州·阶段练习）某学校派出6名同学参加省教育厅主办的理科知识竞赛，分为数学竞赛，物理竞赛和化学竞赛，该校每名同学只能参加其中一个学科的竞赛，且每个学科至少有一名学生参加． (1)求该校派出的6名学生总共有多少种不同的参赛方案？ (2)若甲同学主攻数学方向，必须选择数学竞赛，乙同学主攻物理方向，必须选择物理竞赛，则这6名学生一共有多少种不同的参赛方案？ 【解题思路】（1）对参加三个学科的人数分三种情况讨论，先分组、再分配求出各组情况的方案数，最后相加； （2）对选择化学竞赛的人数分四种情况讨论，利用分步乘法计数原理与分类加法计数原理计算可得. 【解答过程】（1）若参加三个学科的人数分别为1，1，4时，共有种参赛方案； 若参加三个学科的人数分别为1，2，3时，共有种参赛方案； 若参加三个学科的人数分别为2，2，2时，共有种参赛方案； 该校派出的6名学生总共有种不同的参赛方案． （2）若有4人选择化学竞赛，则有1种参赛方案； 若有3人选择化学竞赛，余下的一人有2种选法，则有种参赛方案； 若有2人选择化学竞赛，余下的两人各有2种选法，则有种参赛方案； 若有1人选择化学竞赛，余下的三人各有2种选法，则有种参赛方案； 所以总共有种不同的参赛方案． 题型7 排列与组合的综合应用 1．（23-24高二下·江苏镇江·期中）某单位开展联欢活动，抽奖项目设置了特等奖、一等奖、二等奖、三等奖、鼓励奖共五种奖项.甲、乙、丙、丁、戊每人抽取一张奖票，开奖后发现这5人的奖项都不相同.甲说：“我不是鼓励奖”；乙说：“我不是特等奖”；丙说：“我的奖项介于丁和戊之间”.根据以上信息，这5人的奖项的所有可能的种数是（    ） A．15 B．18 C．22 D．26 【解题思路】根据给定条件，按甲是否是特等奖分类，再结合丙的情况利用倍分法列式计算即得. 【解答过程】甲是特等奖，不考虑丙的位置有种；甲不是特等奖，不考虑丙的位置有种； 而丙在丁和戊之间占，所以5人的奖项的所有可能的种数是. 故选：D. 2．（23-24高二下·贵州遵义·期中）第33届夏季奥林匹克运动会预计2024年7月26日至8月11日在法国巴黎举办．假设这届奥运会将新增2个竞赛项目和4个表演项目，现有三个场地A，B，C承办这6个新增项目的比赛，每个场地至少承办其中1个项目，且A场地只能承办竞赛项目，则不同的安排方法有（    ） A．60种 B．74种 C．88种 D．120种 【解题思路】按照A场地承办1个竞赛项目还是2个竞赛项目分类讨论，结合排列组合知识进行求解. 【解答过程】当A场地承办1个竞赛项目时，分和两种情况，共有种安排； 当A场地承办2个竞赛项目时，分和两种情况，有种安排． 故不同的安排方法共有种． 故选：B. 3．（23-24高二下·江苏泰州·期末）某校举行劳动技术比赛，该校高二（1）班的班主任从本班的5名男选手和4名女选手中随机地选出男、女选手各2名参加本次劳动技术比赛中的团体赛，并排好团体赛选手的出场顺序.在下列情形中各有多少种不同的安排方法？ (1)男选手甲必须参加，且第4位出场； (2)男选手甲和女选手乙都参加，且出场的顺序不相邻； (3)男选手甲和女选手乙至少有一人参加. 【解题思路】根据先选后排的原则，结合排列数、组合数运算求解. 【解答过程】（1）完成该件事情可分两步进行： 第一步，选出选手，有种方法； 第二步，排好出场顺序，有种方法， 所以，共有种不同的安排方法. （2）完成该件事情可分两步进行： 第一步，选出选手，有种方法； 第二步，排好出场顺序，有种方法， 所以，共有种不同的安排方法. （3）完成该件事情可分两步进行： 第一步，选出选手，“有男选手甲且无女选手乙”的选法种数为； “无男选手甲且有女选手乙”的选法种数为； “有男选手甲且有女选手乙”的选法种数为； 第二步，排好出场顺序，有种排法， 所以，共有种不同的安排方法. 4．（24-25高二上·上海奉贤·阶段练习）用0，1，2，3，4这5个数字，可以组成多少个满足下列条件的没有重复数字五位数？ (1)偶数： (2)左起第二､四位是奇数的偶数； (3)比21034大的偶数. 【解题思路】（1）先考虑特殊位置、特殊元素，再利用分类加法原理、分步乘法原理进行计算. （2）先考虑特殊位置、特殊元素，再利用分类加法原理、分步乘法原理进行计算. （3）先考虑特殊位置、特殊元素，再利用分类加法原理、分步乘法原理进行计算. 【解答过程】（1）末位是0，有个， 末位是2或4，有个， 故满足条件的五位数共有个. （2）法一：可分两类，0是末位数，有个， 2或4是末位数，则个. 故共在个. 法二：二、四位从奇数1，3中取，有； 首位从2，4中取，有个：余下的排在剩下的两位，有个； 故共有个. （3）法一：可分五类，当末位数是0，而首位数是2时，有个； 当末位数字是0，而首位数字是3或4时，有个； 当末位数字是2，而首位数字是3或4时，有个； 当末位数字是4，而首位数字是2时，有个； 当末位数字是4，而首位数字是3时，有个. 故有个. 法二：不大于21034的偶数可分为三类： 万位数字为1的偶数，有个； 万位数字为2，而千位数字是0的偶数，有个：还有21034本身. 而由组成的五位偶数有个. 故满足条件的五位偶数共有个. 题型8 用赋值法求系数和问题 1．（23-24高二下·湖南常德·期中）已知，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】由赋值法求解即可. 【解答过程】令，则①， 令，则②， ②减①可得：. 故选：A. 2．（23-24高二下·山东泰安·期中）已知对任意实数x，，则下列结论成立的是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】 对于题中的二项展开式，只需分别取，，和代入化简计算即可判断ABC，将二项式展开式两边求导，然后取代入化简计算即可判断D. 【解答过程】因（*） 对于A项，当时，代入（*）可得，当时，代入（*）可得，所以，故A项错误； 对于B项，当时，代入（*）可得， 又，所以，故B项错误； 对于C项，当时，代入（*）可得，故C项正确； 对于D项，对（*）两边求导可得， ，当时，，故D项错误. 故选：C. 3．（23-24高二下·山东·期中）设.求下列各式的值. (1)； (2). 【解题思路】（1）根据条件，通过赋值，，，即可求出结果； （2）对两边同时求导，得，再令，即可求出结果. 【解答过程】（1）令，可得， 令，得， 令得， 两式相加得， 所以. （2）对两边同时求导得， ， 令可得. 4．（23-24高二下·江苏淮安·期中）若．求： (1)； (2)． 【解题思路】（1）利用赋值法求出结果； （2）去绝对值，再令即可． 【解答过程】（1）， 令，解得； 令，整理得， 故； （2）令可得， 的展开式通项为，则， 其中且， 当为偶数时，；当为奇数时，. 所以. 题型9 利用二项式定理证明整除问题或求余数 1．（23-24高二下·贵州黔东南·期末）被9除的余数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【解题思路】由于，利用二项式定理展开可得答案. 【解答过程】. 因为被9整除， 所以被9除的余数为. 故选：B. 2．（23-24高二下·山东菏泽·期末）若能被25整除，则正整数的最小值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【解题思路】利用二项式定理展开，并对讨论即可得到答案 【解答过程】因为能被25整除， 所以当时，，此时，， 当时，； 当时， ， 因此只需能够被整除即可，可知最小正整数的值为， 综上所述，正整数的最小值为， 故选：C. 3．（23-24高二下·江苏南京·期中）函数． (1)求的值； (2)用二项式定理证明：能被8整除． 【解题思路】（1）利用赋值法对进行赋值，代入求解即可. （2）对进行代入化简，根据二项式定理展开，即可证明被8整除. 【解答过程】（1）令，则，所以， 令，则， 令，则， 两式相加，得， 所以， 所以. （2） ， 显然能被8整除， 且能被8整除， 所以能被8整除. 4．（23-24高二上·上海松江·期末）已知. (1)求的值； (2)设，求被6除的余数. 【解题思路】（1）由，结合二项式定理写出通项公式求； （2）由题设，结合二项式定理得，即可确定余数. 【解答过程】（1）由题设，则展开式通项为，， 所以. （2）由题设， 而 ， 所以， 显然，除外，其它项均可被6整除，又， 所以被6除的余数为. 题型10 杨辉三角问题 1．（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）“杨辉三角”是中国数学史上的一个伟大成就，激发起一批又一批数学爱好者的探究欲望．如图，由“杨辉三角”，下列叙述正确的是（    ） A． B．第2023行中从左往右第1013个数与第1014个数相等 C．记第行的第个数为，则 D．第20行中第8个数与第9个数之比为 【解题思路】根据二项式定理和二项式系数的性质判断各选项的对错. 【解答过程】由图知，第行的第个数为，则， 对于A，由，得 ，故A错误； 对于B，第2023行有2024项，从左往右第1013个数与第1014个数分别为，所以，故B错误； 对于C，第行的第个数为，则， ，故C错误； 对于D，第20行中，第8个数与第9个数的比为，故D正确. 故选：D. 2．（2024高二下·全国·专题练习）“杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一，最早出现在中国南宋数学家杨辉于1261年所著的《详解九章算法》一书中，法国数学家帕斯卡在1654年才发现这一规律.“杨辉三角”揭示了二项式系数在三角形数表中的一种几何排列规律，如图所示.则下列关于“杨辉三角”的结论正确的是（ ） A． B．在第2022行中第1011个数最大 C．第6行的第7个数、第7行的第7个数及第8行的第7个数之和等于9行的第8个数 D．第34行中第15个数与第16个数之比为2：3 【解题思路】A选项由及即可判断；B选项由二项式系数的增减性即可判断；C选项由及即可判断；D选项直接计算比值即可判断. 【解答过程】由可得 ，故A错误； 第2022行中第1011个数为，故B错误； ，故C正确； 第34行中第15个数与第16个数之比为 ，故D错误. 故选：C. 3．（2024高二下·全国·专题练习）我国古代数学史上一位著述丰富的数学家，他提出的杨辉三角是我国古代数学重大成就之一.图为杨辉三角的部分内容.设杨辉三角中第n行的第r个数为，观察题图可知，相邻两行中三角形的两个腰都是由数字1组成的，其余的数都等于它肩上的两个数相加. (1)用公式表示出题目中叙述的规律，并加以证明. (2)在杨辉三角中是否存在某一行，使该行中三个相邻的数之比为？若存在，试求出这三个数；若不存在，请说明理由. 【解题思路】（1）写出，利用组合公式进行证明； （2）在第n行存在连续三项，，，得到方程组，求出，，得到答案. 【解答过程】（1）观察得到． 利用组合相关公式证明如下：， 故原式得证. （2）存在，理由如下： 设在第n行存在连续三项，，，其中且，且， 有且，化简得且， 即，解得，， 故三个数依次是45，120，210. 4．（24-25高二上·上海浦东新·期中）杨辉是中国南宋末年的一位杰出的数学家、教育家，杨辉三角是杨辉的一项重要研究成果.杨辉三角中蕴藏了许多优美的规律，它的许多性质与组合数的性质有关，图1为杨辉三角的部分内容，图2为杨辉三角的改写形式 (1)求图2中第11行的各数之和； (2)从图2第2行开始，取每一行的第3个数一直取到第100行的第3个数，求取出的所有数之和； (3)在杨辉三角中是否存在某一行，使该行中三个相邻的数之比为3:8:14？若存在，试求出这三个数；若不存在，请说明理由. 【解题思路】（1）利用二项式系数的性质求和即可； （2）利用的性质进行化简求和，得到答案； （3）设在第行存在三个相邻的数之比为3:8:14，从而得到方程组，求出答案. 【解答过程】（1）第11行的各数之和为； （2）杨辉三角中第2行到第100行，各行第3个数之和为 ； （3）存在，理由如下： 设在第行存在三个相邻的数，其中，且，， 之比为3:8:14， 故，化简得， 即，解得， 所以这三个数为. 题型11 二项式定理与数列求和 1．（2024·江西·模拟预测）设，则（    ） A．21 B．64 C．78 D．156 【解题思路】首先写出展开式的通项，再根据等差数列前项和公式计算可得； 【解答过程】解：的展开式的通项为，， 所以. 故选：A. 2．（24-25高二·全国·课后作业）已知，展开式中的系数为，则等于（    ） A． B． C． D． 【解题思路】由题知，进而整理化简，并根据裂项求和法计算即可得答案. 【解答过程】∵，展开式中的系数为， ∴则 ， 故选：B． 3．（23-24高二下·江苏宿迁·阶段练习）已知． (1)求的值 (2) ①证明：，其中，，，，； ②利用的结论求的值． 【解题思路】（1）赋值和，即可求解系数的和； （2）①利用组合数的阶乘公式，即可证明；②首先由①可得，再根据，利用裂项相消法求和. 【解答过程】（1）令，得， 令，得， （2）① 证明：， ， ②解：由①得：， ， ， ， ， ， ． 4．（24-25高二·全国·单元测试）已知数列是等比数列，，公比是的展开式的第二项（按的降幂排列）． (1)求数列的通项与前项和； (2)若，求． 【解题思路】（1）由二项展开式通项可确定，由等比数列通项公式可得；分别在和的情况下，利用等比数列求和公式求得； （2）当时，，对的展开式进行求导运算，代入即可求得，即可得到；当时，将整理为，利用二项式系数的性质可求得结果. 【解答过程】（1）展开式通项公式为：， ，又，； 当时，； 当时，； 综上所述： （2）①当时，； ，， 令得：，即； ②当时， ； 综上所述：. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题6.6 计数原理全章十一大压轴题型归纳（拔尖篇） 【人教A版（2019）】 题型1 涂色问题 1．（24-25高二上·全国·单元测试）用红、黄、蓝、绿、橙五种不同颜色给如图所示的5块区域涂色，要求同一区域用同一种颜色，相邻区域使用不同颜色，则共有涂色方法（    ）    A．120种 B．720种 C．840种 D．960种 2．（23-24高二下·安徽池州·期中）如图为我国数学家赵爽（约3世纪初）在为《周髀算经》作注时验证勾股定理的示意图，现在提供5种颜色给其中5个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不相同，则不同的涂色方案种数为（    ）    A．120 B．26 C．340 D．420 3．（23-24高二下·湖南衡阳·期中）如图，已知四棱锥. (1)从5种颜色中选出3种颜色，涂在四棱锥的5个顶点上，每个顶点涂1种颜色，并使同一条棱上的2个顶点异色，求不同的涂色方法数； (2)从5种颜色中选出4种颜色，涂在四棱锥的5个顶点上，每个顶点涂1种颜色，并使同一条棱上的2个顶点异色，求不同的涂色方法数. 4．（23-24高二下·河北邢台·阶段练习）如图，某心形花坛中有A，B，C，D，E5个区域，每个区域只种植一种颜色的花． (1)要把5种不同颜色的花种植到这5个区域中，每种颜色的花都必须种植，共有多少种不同的种植方案？ (2)要把4种不同颜色的花种植到这5个区域中，每种颜色的花都必须种植，共有多少种不同的种植方案？ (3)要把红、黄、蓝、白4种不同颜色的花种植到这5个区域中，每种颜色的花都必须种植，要求相同颜色的花不能相邻种植，且有两个相邻的区域种植红、黄2种不同颜色的花，共有多少种不同的种植方案？ 题型2 两个计数原理的综合应用 1．（23-24高二下·江苏宿迁·期中）某女生有3件不同颜色的衬衣，4件不同花样的裙子，另有3套不同样式的连衣裙，“五一”节选择一套服装参加歌舞演出，则不同的选择方式有（    ） A．24种 B．10种 C．9种 D．15种 2．（23-24高二下·广西·期末）如图，要让电路从A处到B处只有一条支路接通，可有（    ）条不同路径. A．4 B．5 C．9 D．10 3．（24-25高三·上海·课堂例题）用0、1、2、3、…、9十个数字可组成多少个不同的： (1)三位数； (2)无重复数字的三位数； (3)小于500且无重复数字的三位奇数． 4．（23-24高二下·山东菏泽·阶段练习）高二（1）班、（48）班、（62）班分别有7，5，9人参加创新技能大赛笔试． (1)如果选一人当组长，那么有多少种不同的选法？ (2)如果老师任组长，每班选一名副组长，那么有多少种不同的选法？ (3)如果推选两名学生参赛，要求这两人来自不同的班级，那么有多少种不同的选法？ 题型3 元素（位置）有限制的排列问题 1．（23-24高二下·内蒙古·期中）从6人（包含甲）中选派出3人参加，，这三项不同的活动，且每项活动有且仅有1人参加，若甲不参加和活动，则不同的选派方案有（    ） A．60种 B．80种 C．90种 D．150种 2．（23-24高二下·黑龙江齐齐哈尔·期末）现有3男3女站成一排照相，左右两端恰好性别不同，则不同的排法种数为（    ） A．216 B．240 C．432 D．720 3．（23-24高二下·陕西咸阳·期中）现有8个人（5男3女）站成一排． (1)其中甲必须站在排头有多少种不同排法？ (2)女生必须排在一起，共有多少种不同的排法？ (3)甲、乙不能排在前3位，有多少种不同排法？ 4．（23-24高二下·吉林延边·阶段练习）有0，1，2，3，4，5这六个数字. (1)能组成多少个无重复数字的四位偶数？ (2)能组成多少个无重复数字且能被25整除的四位数? (3)能组成多少个无重复数字且比1325大的四位数? 题型4 相邻、不相邻排列问题 1．（23-24高二下·陕西西安·阶段练习）2024年龙年春晚西安分会场的节目《山河诗长安》引起巨大反响，让观众感受到了传统文化的魅力.我校新学期开学以来为了弘扬我国二十四节气文化，特制作出“立春”、“惊蛰”、“清明”、“立夏”、“芒种”、“小暑”六张知识展板分别放置在六个并排的文化橱窗里，要求“立春”和“惊蛰”两块展板相邻，且“清明”与“惊蛰”两块展板不相邻，则不同的放置方式有多少种？（    ） A．192 B．240 C．120 D．288 2．（23-24高二下·江苏泰州·阶段练习）象棋作为一种古老的传统棋类益智游戏，具有深远的意义和价值.它具有红黑两种阵营，将､车､马､炮､兵等均为象棋中的棋子，现将3个红色的“将”“车”“马”棋子与2个黑色的“将”“车”棋子排成一列，则下列说法不正确的是（    ） A．共有120种排列方式 B．若两个“将”相邻，则有24种排列方式 C．若两个“将”不相邻，则有72种排列方式 D．若同色棋子不相邻，则有12种排列方式 3．（23-24高二下·江苏徐州·期中）有8名同学站成一排照相，符合下列各题要求的不同排法共有多少种（用数字作答）？ (1)甲同学既不站在排头也不站在排尾； (2)甲､乙､丙三位同学两两不相邻； (3)甲､乙两同学相邻，且丙､丁两同学也相邻； (4)甲､乙两同学不相邻，且乙､丙两同学也不相邻. 4．（24-25高二上·陕西汉中·阶段练习）电影《志愿军雄兵出击》讲述了在极其简陋的装备和极寒严酷环境下，中国人民志愿军凭着钢铁意志和英勇无畏的精神取得入朝作战第一阶段战役的胜利，著名的“松骨峰战斗”在该电影中就有场景.现有3名男生和4名女生相约一起去观看该影片，他们的座位在同一排且连在一起．（列出算式，并计算出结果） (1)女生必须坐在一起的坐法有多少种？ (2)女生互不相邻的坐法有多少种？ (3)甲、乙两位同学相邻且都不与丙同学相邻的坐法有多少种？ 题型5 组合计数问题 1．（23-24高二下·内蒙古巴彦淖尔·期末）6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去一个场馆，其中甲场馆安排2名志愿者，乙、丙场馆都至少安排1名志愿者，则不同的安排方法共有（    ） A．300种 B．210种 C．120种 D．60种 2．（23-24高二下·山东菏泽·期末）从标有的6张卡片中任取4张卡片放入如下表格中，使得表中数字满足，则满足条件的排法种数为（    ） A．45 B．60 C．90 D．180 3．（24-25高二下·北京大兴·阶段练习）（每小问均须用数字作答）在中选出4个数字组成一个四位数 (1)可以组成多少个没有重复数字的四位数？ (2)可以组成多少个没有重复数字的四位偶数？ (3)若5和6至多出现1个，可以组成多少个没有重复数字的四位数？ 4．（23-24高二下·广西·期末）每年的6月5日是世界环境日，某校计划在6月5日开展社区垃圾分类宣传活动，学校现从12名志愿者中选调6名志愿者去某社区作宣传，其中这12名志愿者有2名教师、4名高一学生、4名高二学生和2名高三学生.求： (1)若选调的志愿者中恰有1名教师，且不含高三学生，则不同选调方法有多少种？ (2)若选调的志愿者中必有教师，则不同选调方法有多少种？ (3)若选调的志愿者必含教师和各年级学生，且高一与高二学生选调人数相等，则不同选调方法有多少种？ 题型6 分组分配问题 1．（23-24高二下·安徽安庆·阶段练习）有个人到南京、镇江、扬州的三所学校去应聘，若每人至多被一个学校录用，每个学校至少录用其中一人，则不同的录用情况种数是（    ） A．90 B．150 C．390 D．420 2．（23-24高二下·广东云浮·阶段练习）大连市普通高中创新实践学校始建于2010年1月，以丰富多彩的活动广受学生们的喜爱.现有A，B，C，D，E五名同学参加现代农业技术模块，影视艺术创作模块和生物创新实验模块三个模块，每个人只能参加一个模块，每个模块至少有一个人参加，其中A不参加现代农业技术模块，生物创新实验模块因实验材料条件限制只能有最多两个人参加，则不同的分配方式共有（    ）种． A．84 B．72 C．60 D．48 3．（23-24高二下·安徽安庆·期中）甲乙丙丁戊五个同学 (1)去三个城市游览，每人只能去一个城市，可以有城市没人去，共有多少种不同游览方法？ (2)排成一排，甲不在首位，乙不在末位，共有多少种不同排列方法？ (3)分配到三个城市参加活动，每个城市至少去一人，每人只能去一个城市，共有多少种不同分配方法？ 4．（23-24高二下·河北沧州·阶段练习）某学校派出6名同学参加省教育厅主办的理科知识竞赛，分为数学竞赛，物理竞赛和化学竞赛，该校每名同学只能参加其中一个学科的竞赛，且每个学科至少有一名学生参加． (1)求该校派出的6名学生总共有多少种不同的参赛方案？ (2)若甲同学主攻数学方向，必须选择数学竞赛，乙同学主攻物理方向，必须选择物理竞赛，则这6名学生一共有多少种不同的参赛方案？ 题型7 排列与组合的综合应用 1．（23-24高二下·江苏镇江·期中）某单位开展联欢活动，抽奖项目设置了特等奖、一等奖、二等奖、三等奖、鼓励奖共五种奖项.甲、乙、丙、丁、戊每人抽取一张奖票，开奖后发现这5人的奖项都不相同.甲说：“我不是鼓励奖”；乙说：“我不是特等奖”；丙说：“我的奖项介于丁和戊之间”.根据以上信息，这5人的奖项的所有可能的种数是（    ） A．15 B．18 C．22 D．26 2．（23-24高二下·贵州遵义·期中）第33届夏季奥林匹克运动会预计2024年7月26日至8月11日在法国巴黎举办．假设这届奥运会将新增2个竞赛项目和4个表演项目，现有三个场地A，B，C承办这6个新增项目的比赛，每个场地至少承办其中1个项目，且A场地只能承办竞赛项目，则不同的安排方法有（    ） A．60种 B．74种 C．88种 D．120种 3．（23-24高二下·江苏泰州·期末）某校举行劳动技术比赛，该校高二（1）班的班主任从本班的5名男选手和4名女选手中随机地选出男、女选手各2名参加本次劳动技术比赛中的团体赛，并排好团体赛选手的出场顺序.在下列情形中各有多少种不同的安排方法？ (1)男选手甲必须参加，且第4位出场； (2)男选手甲和女选手乙都参加，且出场的顺序不相邻； (3)男选手甲和女选手乙至少有一人参加. 4．（24-25高二上·上海奉贤·阶段练习）用0，1，2，3，4这5个数字，可以组成多少个满足下列条件的没有重复数字五位数？ (1)偶数： (2)左起第二､四位是奇数的偶数； (3)比21034大的偶数. 题型8 用赋值法求系数和问题 1．（23-24高二下·湖南常德·期中）已知，则（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二下·山东泰安·期中）已知对任意实数x，，则下列结论成立的是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二下·山东·期中）设.求下列各式的值. (1)； (2). 4．（23-24高二下·江苏淮安·期中）若．求： (1)； (2)． 题型9 利用二项式定理证明整除问题或求余数 1．（23-24高二下·贵州黔东南·期末）被9除的余数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 2．（23-24高二下·山东菏泽·期末）若能被25整除，则正整数的最小值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 3．（23-24高二下·江苏南京·期中）函数． (1)求的值； (2)用二项式定理证明：能被8整除． 4．（23-24高二上·上海松江·期末）已知. (1)求的值； (2)设，求被6除的余数. 题型10 杨辉三角问题 1．（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）“杨辉三角”是中国数学史上的一个伟大成就，激发起一批又一批数学爱好者的探究欲望．如图，由“杨辉三角”，下列叙述正确的是（    ） A． B．第2023行中从左往右第1013个数与第1014个数相等 C．记第行的第个数为，则 D．第20行中第8个数与第9个数之比为 2．（2024高二下·全国·专题练习）“杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一，最早出现在中国南宋数学家杨辉于1261年所著的《详解九章算法》一书中，法国数学家帕斯卡在1654年才发现这一规律.“杨辉三角”揭示了二项式系数在三角形数表中的一种几何排列规律，如图所示.则下列关于“杨辉三角”的结论正确的是（ ） A． B．在第2022行中第1011个数最大 C．第6行的第7个数、第7行的第7个数及第8行的第7个数之和等于9行的第8个数 D．第34行中第15个数与第16个数之比为2：3 3．（2024高二下·全国·专题练习）我国古代数学史上一位著述丰富的数学家，他提出的杨辉三角是我国古代数学重大成就之一.图为杨辉三角的部分内容.设杨辉三角中第n行的第r个数为，观察题图可知，相邻两行中三角形的两个腰都是由数字1组成的，其余的数都等于它肩上的两个数相加. (1)用公式表示出题目中叙述的规律，并加以证明. (2)在杨辉三角中是否存在某一行，使该行中三个相邻的数之比为？若存在，试求出这三个数；若不存在，请说明理由. 4．（24-25高二上·上海浦东新·期中）杨辉是中国南宋末年的一位杰出的数学家、教育家，杨辉三角是杨辉的一项重要研究成果.杨辉三角中蕴藏了许多优美的规律，它的许多性质与组合数的性质有关，图1为杨辉三角的部分内容，图2为杨辉三角的改写形式 (1)求图2中第11行的各数之和； (2)从图2第2行开始，取每一行的第3个数一直取到第100行的第3个数，求取出的所有数之和； (3)在杨辉三角中是否存在某一行，使该行中三个相邻的数之比为3:8:14？若存在，试求出这三个数；若不存在，请说明理由. 题型11 二项式定理与数列求和 1．（2024·江西·模拟预测）设，则（    ） A．21 B．64 C．78 D．156 2．（24-25高二·全国·课后作业）已知，展开式中的系数为，则等于（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二下·江苏宿迁·阶段练习）已知． (1)求的值 (2) ①证明：，其中，，，，； ②利用的结论求的值． 4．（24-25高二·全国·单元测试）已知数列是等比数列，，公比是的展开式的第二项（按的降幂排列）． (1)求数列的通项与前项和； (2)若，求． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$