8.1 平方根【9个必考点】（必考点分类集训）-【新教材】2024-2025学年七年级数学下册必考点分类集训系列（人教版2024）

8.1 平方根【9个必考点】 【人教版2024】 【考点1 平方根的定义】 1 【考点2 运用开平方解方程】 2 【考点3 平方根性质的运用】 3 【考点4 算术平方根的理解】 3 【考点5 算术平方根的双重非负性】 4 【考点6 算术平方根小数点移动规律】 4 【考点7 算术平方根的估算】 5 【考点8 平方根与算术平方根性质的综合运用】 6 【考点9 算术平方根的实际应用】 6 【考点1 平方根的定义】 【平方根的概念及性质】 1.定义：一般地，如果一个数x的平方等于a，即=a，那么这个数x叫作a的平方根或二次方根. 2.性质：正数有两个平方根，它们互为相反数，0的平方根是0，负数没有平方根. 3.开平方的定义 (1)求一个数的平方根的运算，叫作开平方. (2)平方与开平方互为逆运算，可以用平方运算来检验开平方的结果是否正确. 4.被开方数 正数a的正的平方根记为“”，读作“根号a”，a叫作被开方数. 【必刷题】 1．（2024秋•左权县期中）“的平方根是”用数学式子表示为（　　） A．± B． C．±± D． 2．（2024秋•兴宁市校级月考）（﹣2024）2的平方根是（　　） A．﹣2024 B．2024 C．±2024 D． 3．（2024秋•海州区校级期中）下列说法正确的是（　　） A．9的平方根是3 B．﹣9的平方根是﹣3 C．（﹣2）2没有平方根 D．2是4的一个平方根 4．（2023秋•雨湖区期末）下列说法中正确的个数是（　　） ①（﹣3）2的平方根是+3； ②﹣m2没有平方根； ③非负数a的平方根是非负数； ④负数没有平方根； ⑤0和1的平方根等于本身． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．（2024春•福山区期中）已知，则m的平方根为（　　） A．0.2836 B．2.836 C．±0.2836 D．±2.836 【考点2 运用开平方解方程】 【必刷题】 1．求下列各式中的x： （1）x2﹣143＝1； （2）4（x+1）2＝81． 2．计算： （1）（x﹣2）2＝25； （2）3（x+2）2＝27． 3．求式子中x的值． （1）25x2﹣1＝0． （2）（1﹣2x）2＝289． 4．求下列各式中的x． ①x2﹣18＝0 ②（1﹣x）2＝25 ③2（x+1）2﹣8＝0． 5．求下列各式中的x： （1）x20； （2）25x2＝256； （3）（2x﹣1）2＝169； （4）4（3x+1）2＝1． 【考点3 平方根性质的运用】 【必刷题】 1．（2024春•礼县校级月考）（1）如果一个正数的平方根为2x﹣3和5﹣x，求这个正数． （2）已知2a﹣1的平方根是±3，3a+b﹣1的平方根是±4，求a+2b的平方根． 2．（2024秋•凤翔区期末）若一个正数a的两个平方根分别是3b﹣5和﹣2b+2． （1）求a和b的值； （2）求a+3b的平方根． 3．（2024秋•兰溪市期中）一个正数x的两个不同的平方根分别是2a﹣1和﹣a+2． （1）求a和x的值； （2）求3x+2a的平方根． 4．（2024秋•观山湖区校级月考）一个正数b的两个平方根分别是2a﹣3与5﹣a， （1）求a和b的值． （2）求5a+b﹣3平方根． 5．（2024秋•苏州期中）已知：2x﹣1和4x+3是m的两个不同的平方根 （1）求x，m的值． （2）求1﹣9x的平方根． 【考点4 算术平方根的理解】 【算术平方根的概念及性质】 1.定义：正数a有两个平方根，其中正的平方根叫作a的算术平方根.正数a的算术平方根用来表示. 2.性质：(1)一个正数的算术平方根是正数，负数没有算术平方根，0的算术平方根是0 (2)算术平方根的双重非负性：①被开方数一定是非负数，即a≥0；②非负数a的算术平方根为非负数，即≥0. 【必刷题】 1．（2024春•林州市期末）“4的算术平方根”这句话用数学符号表示为（　　） A． B． C． D． 2．（2024秋•信都区期中）式子表示的意义是（　　） A．（﹣2）2的平方根是2 B．（﹣2）2的算术平方根是2 C．2 的平方根是（﹣2）2 D．2的算术平方根是（﹣2）2 3．（2024秋•道外区期末）下列正确的是（　　） A．6是36的算术平方根，即 B．6是（﹣6）2的算术平方根，即 C．±7是49的平方根，即± D．±2是4的平方根，即 4．（2024秋•东明县校级月考）若某个正整数的算术平方根是x，则下一个正整数（比前一个正整数大1）的算术平方根是（　　） A． B． C． D．x2+1 5．（2024秋•城关区期末）若x是的算术平方根，则x＝ 　 　． 【考点5 算术平方根的双重非负性】 【必刷题】 1．已知0，则的平方根为 　 　． 2．已知y7，求y的平方根． 3．已知x、y、z满足：|4x﹣4y+1|+（z）2，求（y+z）•x2的值． 4．已知，且，求x+y+z的算术平方根． 5．设a、b、c都是实数，且满足（2﹣a）2|c+8|＝0，ax2+bx+c＝0，求式子x2+2x的算术平方根． 【考点6 算术平方根小数点移动规律】 【必刷题】 1．（2024春•黄石港区期末）已知：若1.910，6.042，则　 　． 2．（2024秋•农安县期中）已知，，则　 　． 3．（2024春•汉阳区期末）观察表格 a … 0.0001 0.01 1 100 10000 … … 0.01 0.1 1 10 100 … 按表中规律若已知8.973，897.3，用含m的式子表示n，则n＝　 　． 4．（2024春•合江县校级月考）（1）观察发现：表格中x＝　 　，y＝　 　； （2）归纳总结：被开方数的小数点每向右移动2位，相应的算术平方根的小数点就向 　 　移动 　 　位． a（a＞0） … 0.0001 0.01 1 100 10000 … … 0.01 x 1 y 100 … （3）规律运用： ①已知，则　 　； ②已知，，则m＝　 　． 5．（2024春•大兴区期中）根据下表回答下列问题： x 17 17.1 17.2 17.3 17.4 17.5 17.6 17.7 17.8 17.9 18 x2 289 292.41 295.84 299.29 302.76 306.25 309.76 313.29 316.84 320.41 324 （1）316.84的平方根是 　 　； （2）　 　； （3）　 　． （4）若介于17.6与17.7之间，则满足条件的整数n有 　 　个； （5）观察表格中的数据，请写出一条你发现的结论． 【考点7 算术平方根的估算】 【必刷题】 1．（2024秋•大渡口区期末）估计的值在（　　） A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间 2．（2024春•南宫市期中）已知整数n满足：nn+1，参考如表数据，判断n的值为（　　） m 43 44 45 46 m2 1849 1936 2025 2116 A．43 B．44 C．45 D．46 3．（2024春•花山区校级期中）估计的值在（　　） A．0到1之间 B．1到2之间 C．2到3之间 D．3至4之间 4．（2023秋•鄄城县期末）我们知道，是一个无理数，将这个数减去整数部分，差就是小数部分，即的整数部分是1，小数部分是，请回答以下问题： （1）的小数部分是 　 　； （2）若a是的整数部分，b是的小数部分，求的平方根． 5．（2024春•下陆区期中）阅读下面的文字，解答问题：大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部地写出来，于是小明用来表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗？事实上，小明的表示方法是有道理的，∵的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分．又例如：，即，∴的整数部分为2，小数部分为． （1）如果的小数部分为a，的整数部分为b，则a＝　 　，b＝　 　． （2）已知的小数部分为a，的小数部分为b．求a+b的值； （3）已知a是的整数部分，b是它的小数部分，求2a+（b+3）2的平方根． 【考点8 平方根与算术平方根性质的综合运用】 【必刷题】 1．已知正数a的两个不同的平方根分别是3x﹣2和5x+10，a+b﹣4的算术平方根是3． （1）求a、b的值； （2）求a﹣2b的平方根． 2．已知正数x的两个不同的平方根分别是﹣4m﹣4和12+2m． （1）求m，x的值； （2）x﹣8y的算术平方根是16，求x﹣y2﹣12的平方根． 3．已知2a﹣1的算术平方根是3，3a+b﹣1的平方根是±4，c是的10倍，求3a+5b﹣c的平方根． 4．已知实数与互为相反数，y的算术平方根是14，z的绝对值为，且m和n互为倒数，求2mn+xz2的平方根． 5．已知A是a+b+36的算术平方根，B＝a﹣2b是9的算术平方根，求A+B的平方根． 【考点9 算术平方根的实际应用】 【必刷题】 1．某小区准备修建一个面积为75m2的花坛，甲、乙两个工程队给出如下两个施工方案． 甲：花坛为长方形，且长与宽的比为3：1． 乙：花坛为正方形． （1）求长方形花坛的宽． （2）嘉淇说：“正方形花坛的边长肯定比长方形花坛的宽长3m．”请你判断嘉淇的说法是否正确，并通过计算说明． 2．在综合实践课上，某同学想把一个用铁丝围成的面积为400cm2的正方形区域修改为面积为300cm2的长方形区域，且长、宽之比为5：3． （1）求原来正方形区域的边长； （2）铁丝够用吗？请通过计算说明你的判断． 3．《清秘藏》是明代所著工艺美术鉴赏著作，其中所述的刺绣在中国经过长时间的发展，已经形成了极高的工艺水平和独特的工艺门类．现有一张长方形绣布，长、宽之比为4：3，绣布面积为588cm2． （1）求绣布的周长； （2）刺绣师傅想利用这张绣布裁出一张面积为375cm2的完整圆形绣布来绣花鸟图，她能够裁出来吗？请说明理由．（π取3） 4．如图，分别把两个面积为450cm2的小正方形沿一条对角线裁成4个小三角形，再将这4个小三角形拼成一个大正方形． （1）大正方形的边长是 　 　cm． （2）若沿着大正方形边的方向裁出一个长方形，能否使裁出的长方形的长宽之比为3：2，且面积为600cm2？ 5．【动手实践】如图1，现有1个边长为2的正方形纸片和5个边长为1的小正方形纸片，图2是小正方形边长为1的网格． 利用现有的小正方形纸片能否拼接成一个大正方形（无缝隙、不重叠），若可以，在如图2中画出拼接后的大正方形，并直接写出大正方形的边长；若不能，说明理由； 【解决问题】某小区有一块长方形草坪．为了防止踩踏，物业准备用篱笆沿草坪边缘将其围起来．已知该长方形草坪的长是宽的4倍，草坪的面积是900m2，求所需篱笆的总长度． 第 1 页 共 3 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 8.1 平方根【9个必考点】 【人教版2024】 【考点1 平方根的定义】 1 【考点2 运用开平方解方程】 3 【考点3 平方根性质的运用】 6 【考点4 算术平方根的理解】 8 【考点5 算术平方根的双重非负性】 10 【考点6 算术平方根小数点移动规律】 11 【考点7 算术平方根的估算】 14 【考点8 平方根与算术平方根性质的综合运用】 16 【考点9 算术平方根的实际应用】 18 【考点1 平方根的定义】 【平方根的概念及性质】 1.定义：一般地，如果一个数x的平方等于a，即=a，那么这个数x叫作a的平方根或二次方根. 2.性质：正数有两个平方根，它们互为相反数，0的平方根是0，负数没有平方根. 3.开平方的定义 (1)求一个数的平方根的运算，叫作开平方. (2)平方与开平方互为逆运算，可以用平方运算来检验开平方的结果是否正确. 4.被开方数 正数a的正的平方根记为“”，读作“根号a”，a叫作被开方数. 【必刷题】 1．（2024秋•左权县期中）“的平方根是”用数学式子表示为（　　） A．± B． C．±± D． 【分析】根据平方根的定义解答即可． 【解答】解：“的平方根是”用数学式子表示为， 故选：C． 2．（2024秋•兴宁市校级月考）（﹣2024）2的平方根是（　　） A．﹣2024 B．2024 C．±2024 D． 【分析】利用平方根的意义解答即可． 【解答】解：∵（﹣2024）2＝20242， ∴（﹣2024）2的平方根为±2024． 故选：C． 3．（2024秋•海州区校级期中）下列说法正确的是（　　） A．9的平方根是3 B．﹣9的平方根是﹣3 C．（﹣2）2没有平方根 D．2是4的一个平方根 【分析】根据平方根的定义进行解题即可． 【解答】解：A．9的平方根是±3，选项错误，不符合题意； B．﹣9没有平方根，选项错误，不符合题意； C． （﹣2）2的平方根为±2，选项错误，不符合题意； D．2是4的一个平方根，选项正确，符合题意． 故选：D． 4．（2023秋•雨湖区期末）下列说法中正确的个数是（　　） ①（﹣3）2的平方根是+3； ②﹣m2没有平方根； ③非负数a的平方根是非负数； ④负数没有平方根； ⑤0和1的平方根等于本身． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】根据平方根的定义逐个判断即可． 【解答】解：（﹣3）2的平方根是±3，则①错误； 当m＝0时，﹣m2的平方根是0，则②错误； 正数的平方根有2个，它们互为相反数，其中一个是负数，则③错误； 负数没有平方根，则④正确； 0的平方根等于本身，则⑤错误； 综上，正确的个数是1个， 故选：A． 5．（2024春•福山区期中）已知，则m的平方根为（　　） A．0.2836 B．2.836 C．±0.2836 D．±2.836 【分析】先合并同类项，得出，从而求出m的平方根． 【解答】解：∵， ∴， ∴， ∴， 即m的平方根为±2.836， 故选：D． 【考点2 运用开平方解方程】 1．求下列各式中的x： （1）x2﹣143＝1； （2）4（x+1）2＝81． 【分析】（1）先移项、合并，再运用开平方知识进行求解； （2）先化系数为1，再运用平方根知识进行求解． 【解答】解：（1）移项并合并，得x2＝144， ∵（±12）2＝144， ∴x＝±12； （2）两边都除以4，得（x+1）2， ∵（±）2， ∴x+1＝±， 解得x或x． 2．计算： （1）（x﹣2）2＝25； （2）3（x+2）2＝27． 【分析】（1）根据平方根的定义解方程即可； （2）先变形，再根据平方根的定义解方程即可． 【解答】解：（1）（x﹣2）2＝25， x﹣2＝±5， x＝7或x＝﹣3； （2）3（x+2）2＝27， （x+2）2＝9， x+2＝±3， x＝1或x＝﹣5． 3．求式子中x的值． （1）25x2﹣1＝0． （2）（1﹣2x）2＝289． 【分析】（1）根据移项、等式的性质，可得平方的形式，根据开平方，可得答案； （2）根据开平方运算，可得一元一次方程，根据解一元一次方程，可得答案． 【解答】解：（1）移项，得25x2＝1， x2 x； （2）开方，得1﹣2x＝17或1﹣2x＝﹣17， x＝﹣8或x＝9． 4．求下列各式中的x． ①x2﹣18＝0 ②（1﹣x）2＝25 ③2（x+1）2﹣8＝0． 【分析】①先移项，然后将二次项系数化为1，开平方即可； ②直接开平方，得出（1﹣x）的值，继而可得出x的值； ③先移项，然后将二次项系数化为1，开平方即可得出（x+1）的值，继而可得出x的值． 【解答】解：①移项得x2＝18， 系数化为1得：x2＝36， 开平方得：x＝±6； ②开平方得：（1﹣x）＝±5， x1＝﹣4，x2＝6． ③移项得：2（x+1）2＝8， 系数化为1得：（x+1）2＝4， 开平方得：x+1＝±2， x1＝1，x2＝﹣3． 5．求下列各式中的x： （1）x20； （2）25x2＝256； （3）（2x﹣1）2＝169； （4）4（3x+1）2＝1． 【分析】根据开平方，可得答案． 【解答】解：（1）x2， 开方，得x； （2）x2， 开方，得x； （3）开方，得x﹣1＝±13， x＝14或x＝﹣12； （4）（3x+1）2， 3x+1， x或x． 【考点3 平方根性质的运用】 1．（2024春•礼县校级月考）（1）如果一个正数的平方根为2x﹣3和5﹣x，求这个正数． （2）已知2a﹣1的平方根是±3，3a+b﹣1的平方根是±4，求a+2b的平方根． 【分析】（1）一个正数的两个平方根互为相反数，据此可得2x﹣3+5﹣x＝0，解方程求出平方根，即可求出这个数； （2）根据平方根的定义得到2a﹣1＝9，3a+b﹣1＝16，据此求出a、b的值，进而求出a+2b的值，最后根据平方根的定义求解即可． 【解答】解：（1）∵一个正数的平方根为2x﹣3和5﹣x， ∴2x﹣3+5﹣x＝0， 解得x＝﹣2， ∴5﹣x＝5﹣（﹣2）＝7， ∴这个数为72＝49； （2）∵2a﹣1的平方根是±3，3a+b﹣1的平方根是±4， ∴2a﹣1＝（±3）2＝9，3a+b﹣1＝（±4）2＝16， ∴a＝5，b＝2， ∴a+2b＝5+2×2＝9， ∴a+2b的平方根为±3． 2．（2024秋•凤翔区期末）若一个正数a的两个平方根分别是3b﹣5和﹣2b+2． （1）求a和b的值； （2）求a+3b的平方根． 【分析】（1）先求出b的值，再根据平方根的意义求出a的值即可； （2）先求出a+3b的值，再求出其平方根即可． 【解答】解：（1）由题可知， ∴3b﹣5+（﹣2b+2）＝0， ∴b＝3， ∴a＝（3b﹣5）2＝42＝16； （2）∵a＝16，b＝3， ∴a+3b＝16+3×3＝16+9＝25， ∵25的平方根是±5， ∴a+3b的平方根为±5． 3．（2024秋•兰溪市期中）一个正数x的两个不同的平方根分别是2a﹣1和﹣a+2． （1）求a和x的值； （2）求3x+2a的平方根． 【分析】（1）根据正数的平方根有两个，他们互为相反数可得出2a﹣1+（﹣a+2）＝0即可求出a的值，然后求出x的值即可； （2）将（1）中的x，a的值代入3x+2a中求出平方根即可． 【解答】解：（1）∵一个正数x的两个不同的平方根分别是2a﹣1和﹣a+2， ∴2a﹣1+（﹣a+2）＝0， 解得：a＝﹣1， ∴x＝（2a﹣1）2＝9； （2）将x＝9，a＝﹣1代入3x+2a中得， 3x+2a＝3×9﹣2＝25， ∵25的平方根为±5， ∴3x+2a的平方根为±5． 4．（2024秋•观山湖区校级月考）一个正数b的两个平方根分别是2a﹣3与5﹣a， （1）求a和b的值． （2）求5a+b﹣3平方根． 【分析】（1）根据一个正数的两个平方根互为相反数得到2a﹣3+5﹣a＝0据此求出a的值，再根据平方根的定义求出b的值即可； （2）根据（1）求出5a+b﹣3的值，再根据平方根的定义求解即可． 【解答】解：（1）∵一个正数b的两个平方根分别是2a﹣3与5﹣a， ∴2a﹣3+5﹣a＝0， ∴a＝﹣2， ∴5﹣a＝5﹣（﹣2）＝7， ∴b＝（5﹣a）2＝72＝49； （2）由（1）得a＝﹣2，b＝49， ∴5a+b﹣3＝5×（﹣2）+49﹣3＝36， ∵36的平方根为±6， ∴5a+b﹣3的平方根为±6． 5．（2024秋•苏州期中）已知：2x﹣1和4x+3是m的两个不同的平方根 （1）求x，m的值． （2）求1﹣9x的平方根． 【分析】（1）利用正数的平方根有两个，且互为相反数列出方程，求出方程的解，即可求解； （2）先求出1﹣9x的值，利用平方根的定义即可求解． 【解答】解：（1）2x﹣1+4x+3＝0， 解得：， ∴m＝（2x﹣1）2＝[2]2； （2）∵， ∴， ∵4的平方根为±2， ∴1﹣9x的平方根为±2． 【考点4 算术平方根的理解】 【算术平方根的概念及性质】 1.定义：正数a有两个平方根，其中正的平方根叫作a的算术平方根.正数a的算术平方根用来表示. 2.性质：(1)一个正数的算术平方根是正数，负数没有算术平方根，0的算术平方根是0 (2)算术平方根的双重非负性：①被开方数一定是非负数，即a≥0；②非负数a的算术平方根为非负数，即≥0. 【必刷题】 1．（2024春•林州市期末）“4的算术平方根”这句话用数学符号表示为（　　） A． B． C． D． 【分析】观察并分析题目从选项中找到4的算术平方根，选出正确选项即可． 【解答】解：4的算术平方根为， 故选：A． 2．（2024秋•信都区期中）式子表示的意义是（　　） A．（﹣2）2的平方根是2 B．（﹣2）2的算术平方根是2 C．2 的平方根是（﹣2）2 D．2的算术平方根是（﹣2）2 【分析】根据算术平方根定义，即可解答． 【解答】解：2， ∴式子 表示的意义是（﹣2）2的算术平方根是2， 故选：B． 3．（2024秋•道外区期末）下列正确的是（　　） A．6是36的算术平方根，即 B．6是（﹣6）2的算术平方根，即 C．±7是49的平方根，即± D．±2是4的平方根，即 【分析】根据平方根、算术平方根的定义逐项进行判断即可． 【解答】解：A．6是36的算术平方根，即6，因此选项A不符合题意； B．6是（﹣6）2的算术平方根，即6，因此选项B符合题意； C．±7是49的平方根，即±±7，因此选项C不符合题意； D．±2是4的平方根，即±±2，因此选项D不符合题意． 故选：B． 4．（2024秋•东明县校级月考）若某个正整数的算术平方根是x，则下一个正整数（比前一个正整数大1）的算术平方根是（　　） A． B． C． D．x2+1 【分析】由题意可得原正整数可表示为x2，则下一个正整数为x2+1，然后问题可求解． 【解答】解：由题意得：原正整数可表示为x2，则下一个正整数为x2+1， ∴它的算术平方根为； 故选：B． 5．（2024秋•城关区期末）若x是的算术平方根，则x＝ 　 　． 【分析】先化简，再求解9的算术平方根即可． 【解答】解：∵， ∴x是9的算术平方根， ∴x＝3， 故答案为：3． 【考点5 算术平方根的双重非负性】 1．已知0，则的平方根为 　 　． 【分析】根据非负数的性质列式求出x、y的值，然后代入代数式进行计算即可得解． 【解答】解：根据题意得，3x﹣1＝0，3y+3＝0， 解得x，y＝﹣1， 所以 ＝3， 3平方根为， ∴的平方根为， 故答案为：±． 2．已知y7，求y的平方根． 【分析】根据非负数的性质求出x，进而求出y，根据平方根的概念解答即可． 【解答】解：由题意得：x﹣4≥0，4﹣x≥0， 解得：x＝4， 则y＝7， ∴y7＝9， ∵9的平方根是±3， ∴y的平方根是±3． 3．已知x、y、z满足：|4x﹣4y+1|+（z）2，求（y+z）•x2的值． 【分析】根据非负数的性质列出算式，求出x、y、z的值，代入计算即可． 【解答】解：由题意得，4x﹣4y+1＝0，z0，2y+z＝0， 解得，x，y，z 则（y+z）•x2． 4．已知，且，求x+y+z的算术平方根． 【分析】根据算术平方根的意义求出x的值，根据非负数的性质求出y、z的值，再代入x+y+z计算即可． 【解答】解：∵，即x的算术平方根是2， ∴x＝4， ∵，，（z﹣3）2≥0， ∴y﹣2z+1＝0，z﹣3＝0， ∴y＝5，z＝3， ∴x+y+z＝4+5+3＝12， ∴x+y+z的算术平方根为． 5．设a、b、c都是实数，且满足（2﹣a）2|c+8|＝0，ax2+bx+c＝0，求式子x2+2x的算术平方根． 【分析】根据非负数的性质列式求出a、b、c的值，然后代入代数式求出x2+2x的值，再根据算术平方根的定义解答． 【解答】解：由题意得，2﹣a＝0，a2+b+c＝0，c+8＝0， 解得a＝2，b＝4，c＝﹣8， 代入ax2+bx+c＝0得，2x2+4x﹣8＝0， 所以，x2+2x＝4， 所以，x2+2x的算术平方根是2． 【考点6 算术平方根小数点移动规律】 1．（2024春•黄石港区期末）已知：若1.910，6.042，则　 　． 【分析】根据被开方数扩大100倍，算术平方根扩大10倍，可得答案． 【解答】解：若1.910，6.042，则604.2， 故答案为：604.2． 2．（2024秋•农安县期中）已知，，则　 　． 【分析】根据算术平方根的定义进行解题即可． 【解答】解：∵10，3.19， ∴3.19×10＝31.9． 故答案为：31.9． 3．（2024春•汉阳区期末）观察表格 a … 0.0001 0.01 1 100 10000 … … 0.01 0.1 1 10 100 … 按表中规律若已知8.973，897.3，用含m的式子表示n，则n＝　 　． 【分析】根据与的关系进行解题即可． 【解答】解：由题可知， ∵8.973，897.3， ∴100893.7， ∴10000m＝n， 故答案为：10000m． 4．（2024春•合江县校级月考）（1）观察发现：表格中x＝　 　，y＝　 　； （2）归纳总结：被开方数的小数点每向右移动2位，相应的算术平方根的小数点就向 　 　移动 　 　位． a（a＞0） … 0.0001 0.01 1 100 10000 … … 0.01 x 1 y 100 … （3）规律运用： ①已知，则　 　； ②已知，，则m＝　 　． 【分析】（1）根据算术平方根的定义即可求出答案； （2）找到规律即可得出答案； （3）根据（2）中的规律即可得出答案． 【解答】解：（1）∵x， ∴x＝0.1． ∵y， ∴y＝10． 故答案为：0.1；10． （2）根据表格可得， 被开方数的小数点每向右移动2位，相应的算术平方根的小数点就向右移动1位． 故答案为：右；1． （3）①∵， ∴22.4． ②∵，， ∴m＝50． 故答案为：22.4，50． 5．（2024春•大兴区期中）根据下表回答下列问题： x 17 17.1 17.2 17.3 17.4 17.5 17.6 17.7 17.8 17.9 18 x2 289 292.41 295.84 299.29 302.76 306.25 309.76 313.29 316.84 320.41 324 （1）316.84的平方根是 　 　； （2）　 　； （3）　 　． （4）若介于17.6与17.7之间，则满足条件的整数n有 　 　个； （5）观察表格中的数据，请写出一条你发现的结论． 【分析】（1）利用平方根的意义解答即可； （2）利用表格数据和算术平方根的意义解答即可； （3）利用表格数据和算术平方根的意义解答即可； （4）利用表格数据和算术平方根的意义解答即可； （5）写出一条符合题意的结论即可． 【解答】解：∵（±17.8）2＝316.84， ∴316.84的平方根是±17.8； 故答案为：±17.8； （2）∵17.32≈299.3， ∴17.3． 故答案为：17.3； （3）∵1712＝29241， ∴171． 故答案为：171； （4）∵17.6，17.7， 又介于17.6与17.7之间， ∴n的可能值为310，311，312，313， ∴满足条件的整数n有4个． 故答案为：4； （5）观察表格中的数据，发现的结论：当x＞0时，随着x的增大，x2也随着增大．（答案不唯一）． 【考点7 算术平方根的估算】 1．（2024秋•大渡口区期末）估计的值在（　　） A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间 【分析】根据算术平方根的定义估算无理数的大小，进而得到2的大小即可． 【解答】解：∵，即56， ∴32＜4， 故选：C． 2．（2024春•南宫市期中）已知整数n满足：nn+1，参考如表数据，判断n的值为（　　） m 43 44 45 46 m2 1849 1936 2025 2116 A．43 B．44 C．45 D．46 【分析】先根据表格中的数据估算的大小，从而求出n即可． 【解答】解：∵，即，整数n满足：nn+1， ∴n＝44， 故选：B． 3．（2024春•花山区校级期中）估计的值在（　　） A．0到1之间 B．1到2之间 C．2到3之间 D．3至4之间 【分析】先估算出的值，然后再估算出的值即可． 【解答】解：∵9＜13＜16， ∴， 即， ∴﹣43， ∴， ∴的值在1到2之间，因此B正确． 故选：B． 4．（2023秋•鄄城县期末）我们知道，是一个无理数，将这个数减去整数部分，差就是小数部分，即的整数部分是1，小数部分是，请回答以下问题： （1）的小数部分是 　 　； （2）若a是的整数部分，b是的小数部分，求的平方根． 【分析】（1）估算无理数的近似数，减去整数部分，即为小数部分． （2）估算，得出的整数部分，即为a的值；估算，与（1）过程类同，得出b的值；再把a，b代入代数式求值． 【解答】解：（1）∵， ∴， 则的小数部分是；， 故答案为：3； （2）∵， ∴， ∵a是的整数部分， 则a＝9， ∵， ∴， ∵b是的小数部分， ∴， 则， ∵9的平方根是±3， ∴的平方根是±3． 5．（2024春•下陆区期中）阅读下面的文字，解答问题：大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部地写出来，于是小明用来表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗？事实上，小明的表示方法是有道理的，∵的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分．又例如：，即，∴的整数部分为2，小数部分为． （1）如果的小数部分为a，的整数部分为b，则a＝　 　，b＝　 　． （2）已知的小数部分为a，的小数部分为b．求a+b的值； （3）已知a是的整数部分，b是它的小数部分，求2a+（b+3）2的平方根． 【分析】（1）由，，即可得到a，b的值； （2）由，利用不等式的性质，即可得到，，从而得到a，b的值，由此得解； （3）由，即可得到a，b的值，代入可求出2a+（b+3）2的值，再计算平方根即可； 【解答】解：（1）∵，即， ∴的整数部分为2，小数部分， ∵，即 ， ∴的整数部分为b＝3． （2）∵， ∴，， ∴的小数部分为， 的小数部分为， ∴． （3）∵， ∴a＝3，， ∴， ∴2a+（b+3）2的平方根为：． 【考点8 平方根与算术平方根性质的综合运用】 1．已知正数a的两个不同的平方根分别是3x﹣2和5x+10，a+b﹣4的算术平方根是3． （1）求a、b的值； （2）求a﹣2b的平方根． 【分析】（1）根据算术平方根的意义，平方根的意义，计算即可． （2）根据平方根的意义，计算即可． 【解答】解：（1）∵正数a的两个不同的平方根分别是3x﹣2和5x+10， ∴3x﹣2+5x+10＝0， ∴x＝﹣1， ∴3x﹣2＝﹣5， ∵（﹣5）2＝25， ∴a＝25， ∵a+b﹣4的算术平方根是3， ∴a+b﹣4＝32＝9， ∴25+b﹣4＝9， ∴b＝﹣12， ∴a＝25，b＝﹣12； （2）． 2．已知正数x的两个不同的平方根分别是﹣4m﹣4和12+2m． （1）求m，x的值； （2）x﹣8y的算术平方根是16，求x﹣y2﹣12的平方根． 【分析】（1）根据一个正数的两个平方根互为相反数可以求得m的值，进而求得x的值； （2）利用算术平方根的定义求得y＝18，再代入数据求得x﹣y2﹣12的值，再根据平方根的定义求解即可． 【解答】解：（1）根据题意，得（﹣4m﹣4）+（12+2m）＝0， 解得m＝4， ∴﹣4m﹣4＝﹣4×4﹣4＝﹣20， ∴x＝（﹣20）2＝400； （2）∵x﹣8y的算术平方根是16， ∴400﹣8y＝256，解得y＝18． ∴x﹣y2﹣12＝400﹣324﹣12＝64． ∴x﹣y2﹣12的平方根为±8． 3．已知2a﹣1的算术平方根是3，3a+b﹣1的平方根是±4，c是的10倍，求3a+5b﹣c的平方根． 【分析】根据算术平方根，平方根的定义分别求出a，b，c，再进一步计算即可． 【解答】解：根据题意，得2a﹣1＝9， ∴a＝5， 根据题意，得3a+b﹣1＝16， ∴b＝2， ∵，0.3×10＝3， ∴c＝3， ∴3a+5b﹣c＝3×5+5×2﹣3＝22， ∴3a+5b﹣c的平方根是． 4．已知实数与互为相反数，y的算术平方根是14，z的绝对值为，且m和n互为倒数，求2mn+xz2的平方根． 【分析】分别根据相反数、算术平方根、绝对值的性质、倒数可得x、y、z、mn的值，代入代数式计算可得答案． 【解答】解：∵实数与互为相反数， ∴7﹣2x＝0， ∴x， ∵y的算术平方根是14，z的绝对值为，且m和n互为倒数， ∴14，z，mn＝1， ∴2mn+xz2＝2×114﹣（）2＝2+49﹣2＝49， ∵49的平方根为±7， ∴2mn+xz2的平方根为±7． 5．已知A是a+b+36的算术平方根，B＝a﹣2b是9的算术平方根，求A+B的平方根． 【分析】根据根指数是2可得a﹣b＝2，再根据算术平方根的定义可得a﹣2b＝3，然后求出a、b，再求出A、B，然后根据平方根的定义解答即可． 【解答】解：根据题意得，a﹣b＝2，a﹣2b＝3， 解得a＝1，b＝﹣1， 所以，A6，B＝1﹣2×（﹣1）＝3， 所以，A+B＝6+3＝9， ∵（±3）2＝9， ∴A+B的平方根是±3． 【考点9 算术平方根的实际应用】 1．某小区准备修建一个面积为75m2的花坛，甲、乙两个工程队给出如下两个施工方案． 甲：花坛为长方形，且长与宽的比为3：1． 乙：花坛为正方形． （1）求长方形花坛的宽． （2）嘉淇说：“正方形花坛的边长肯定比长方形花坛的宽长3m．”请你判断嘉淇的说法是否正确，并通过计算说明． 【分析】（1）设长方形花坛的宽为x m，则长为3x m，利用面积公式列出等式，再利用算术平方根求解； （2）假设嘉淇的说法正确，计算出正方形的面积，与花坛的面积比较即可． 【解答】解：（1）设长方形花坛的宽为x m，则长为3x m， 由题意得x•3x＝3x2＝75， 因此， 即长方形花坛的宽为5m． （2）嘉淇的说法错误，理由如下： 由（1）知长方形花坛的宽为5米， 若嘉淇的说法正确，正方形花坛的边长为：5+3＝8（m）， 则正方形花坛的面积为：82＝64（m2）≠75（m2）， 因此假设不成立，即嘉淇的说法错误． 2．在综合实践课上，某同学想把一个用铁丝围成的面积为400cm2的正方形区域修改为面积为300cm2的长方形区域，且长、宽之比为5：3． （1）求原来正方形区域的边长； （2）铁丝够用吗？请通过计算说明你的判断． 【分析】（1）根据正方形的面积公式即可得出答案； （2）求出长方形的长、宽，周长，再比较正方形的周长与长方形周长的大小关系即可． 【解答】解：（1）由题意得原来正方形区域的边长为20（m）， （2）由（1）得这根铁丝长为20×4＝80（m）， 设长方形的长为5x，则宽为3x，其面积为300m2， 所以5x•3x＝300， 即x2＝20， 解得x ＝2（m）， ∴长方形的周长为16x＝32（m）， ∵802＝6400，而6400＞5120， ∴80， 所以够用． 3．《清秘藏》是明代所著工艺美术鉴赏著作，其中所述的刺绣在中国经过长时间的发展，已经形成了极高的工艺水平和独特的工艺门类．现有一张长方形绣布，长、宽之比为4：3，绣布面积为588cm2． （1）求绣布的周长； （2）刺绣师傅想利用这张绣布裁出一张面积为375cm2的完整圆形绣布来绣花鸟图，她能够裁出来吗？请说明理由．（π取3） 【分析】（1）设绣布的长为4x cm，宽为3x cm，根据面积公式列式得出4x•3x＝588，解出x＝7，即可作答． （2）设完整的圆形绣布的半径为r cm，根据圆面积公式列式，进行计算得，结合，即可作答． 【解答】解：（1）设绣布的长为4x cm，宽为3x cm，根据题意， 得4x•3x＝588， 即12x2＝588， ∴x2＝49， ∵x＞0， ∴x＝7， ∴绣布的长为28cm，宽为21cm， 周长为2×（28+21）＝98（cm）． （2）不能够裁出来，理由如下： 设完整的圆形绣布的半径为r cm， 得πr2＝375， ∵π取3， ∴r2＝125， 解得（负值已舍去）， ∵， ∴2r＞21， ∴不能够裁出来． 4．如图，分别把两个面积为450cm2的小正方形沿一条对角线裁成4个小三角形，再将这4个小三角形拼成一个大正方形． （1）大正方形的边长是 　 　cm． （2）若沿着大正方形边的方向裁出一个长方形，能否使裁出的长方形的长宽之比为3：2，且面积为600cm2？ 【分析】（1）求出大正方形的面积，再由正方形的面积公式求出其边长即可； （2）设裁出的长方形的长为3x cm，宽为2x cm，根据长方形的面积公式列方程并求解；若x的值小于30，则说明能使裁出的长方形的长宽之比为3：2，且面积为600cm2；否则，则不能． 【解答】解：（1）30（cm）， ∴大正方形的边长是30cm． 故答案为：30． （2）设裁出的长方形的长为3x cm，宽为2x cm． 根据题意，得6x2＝600， 解得x1＝10，x2＝﹣10（舍去）， 3×10＝30（cm），2×10＝20（cm）， ∵20＜30， ∴能使裁出的长方形的长宽之比为3：2，且面积为600cm2． 5．【动手实践】如图1，现有1个边长为2的正方形纸片和5个边长为1的小正方形纸片，图2是小正方形边长为1的网格． 利用现有的小正方形纸片能否拼接成一个大正方形（无缝隙、不重叠），若可以，在如图2中画出拼接后的大正方形，并直接写出大正方形的边长；若不能，说明理由； 【解决问题】某小区有一块长方形草坪．为了防止踩踏，物业准备用篱笆沿草坪边缘将其围起来．已知该长方形草坪的长是宽的4倍，草坪的面积是900m2，求所需篱笆的总长度． 【分析】【动手实践】依题意得所拼成的大正方形的面积为9，则所拼成的大正方形的边长为3，然后画出图形即可； 【解决问题】设长方形草坪的宽为x m，则长方形草坪的长为4x m，依题意得x•4x＝900，由此解出x＝15，进而可求出所需篱笆的总长度即可． 【解答】解：【动手实践】，可以，理由如下： 假设能拼成一个大正方形， ∵边长为2的正方形的面积为4，5个边长为1的正方形的面积之和为5， ∴所拼成的大正方形的面积为4+5＝9， ∴所拼成的大正方形的边长为3，如图所示： 【解决问题】，设长方形草坪的宽为x m，则长方形草坪的长为4x m， 依题意得：x•4x＝900， ∴x2＝225， ∴x＝15，或x＝﹣15（不合题意，舍去）， ∴所需篱笆的总长度为：2（x+4x）＝10x＝150（m）， 答：所需篱笆的总长度150m． 第 1 页 共 3 页 学科网（北京）股份有限公司 $$