因式分解-全国中考数学五年（2020-2024）真题知识点分类汇编

2020—2024年全国中考数学真题知识点分类汇编之因式分解 一．选择题（共10小题） 1．如果a+b＝3，ab＝1，那么a3b+2a2b2+ab3的值为（　　） A．0 B．1 C．4 D．9 2．对于任意实数a，b，a3+b3＝（a+b）（a2﹣ab+b2）恒成立，则下列关系式正确的是（　　） A．a3﹣b3＝（a﹣b）（a2+ab+b2） B．a3﹣b3＝（a+b）（a2+ab+b2） C．a3﹣b3＝（a﹣b）（a2﹣ab+b2） D．a3﹣b3＝（a+b）（a2+ab﹣b2） 3．因式分解：x3﹣4x2+4x＝（　　） A．x（x﹣2）2 B．x（x2﹣4x+4） C．2x（x﹣2）2 D．x（x2﹣2x+4） 4．多项式39x2+5x﹣14可因式分解成（3x+a）（bx+c），其中a、b、c均为整数，求a+2c之值为何？（　　） A．﹣12 B．﹣3 C．3 D．12 5．多项式x2﹣4x+4因式分解的结果是（　　） A．x（x﹣4）+4 B．（x+2）（x﹣2） C．（x+2）2 D．（x﹣2）2 6．下列运算正确的是（　　） A．3x2+4x3＝7x5 B．（x+y）2＝x2+y2 C．（2+3x）（2﹣3x）＝9x2﹣4 D．2xy+4xy2＝2xy（1+2y） 7．下列分解因式正确的一项是（　　） A．x2﹣9＝（x+3）（x﹣3） B．2xy+4x＝2（xy+2x） C．x2﹣2x﹣1＝（x﹣1）2 D．x2+y2＝（x+y）2 8．若8×10×12，则k＝（　　） A．12 B．10 C．8 D．6 9．对于①x﹣3xy＝x（1﹣3y），②（x+3）（x﹣1）＝x2+2x﹣3，从左到右的变形，表述正确的是（　　） A．都是因式分解 B．都是乘法运算 C．①是因式分解，②是乘法运算 D．①是乘法运算，②是因式分解 10．已知a2b2＝2a﹣b﹣2，则3ab的值为（　　） A．4 B．2 C．﹣2 D．﹣4 二．填空题（共5小题） 11．因式分解：a2﹣3a＝　 　． 12．因式分解：2x2﹣8＝　 　． 13．分解因式：3ax2﹣6axy+3ay2＝　 　． 14．分解因式：x2y﹣4y＝　 　． 15．分解因式：2x2﹣4x+2＝　 　． 三．解答题（共5小题） 16．八年级课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 将2a﹣3ab﹣4+6b因式分解． 【观察】经过小组合作交流，小明得到了如下的解决方法： 解法一：原式＝（2a﹣3ab）﹣（4﹣6b） ＝a（2﹣3b）﹣2（2﹣3b） ＝（2﹣3b）（a﹣2） 解法二：原式＝（2a﹣4）﹣（3ab﹣6b） ＝2（a﹣2）﹣3b（a﹣2） ＝（a﹣2）（2﹣3b） 【感悟】对项数较多的多项式无法直接进行因式分解时，我们可以将多项式分为若干组，再利用提公因式法、公式法达到因式分解的目的，这就是因式分解的分组分解法．分组分解法在代数式的化简、求值及方程、函数等学习中起着重要的作用．（温馨提示：因式分解一定要分解到不能再分解为止） 【类比】（1）请用分组分解法将x2﹣a2+x+a因式分解； 【挑战】（2）请用分组分解法将ax+a2﹣2ab﹣bx+b2因式分解； 【应用】（3）“赵爽弦图”是我国古代数学的骄傲，我们利用它验证了勾股定理．如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形围成的一个大正方形，中间是一个小正方形．若直角三角形的两条直角边长分别是a和b（a＞b），斜边长是3，小正方形的面积是1． 根据以上信息，先将a4﹣2a3b+2a2b2﹣2ab3+b4因式分解，再求值． 17．健康生技公司培养绿藻以制作「绿藻粉」，再经过后续的加工步骤，制成绿藻相关的保健食品．已知该公司制作每1公克的「绿藻粉」需要60亿个绿藻细胞． 请根据上述信息回答下列问题，完整写出你的解题过程并详细解释： （1）假设在光照充沛的环境下，1个绿藻细胞每20小时可分裂成4个绿藻细胞，且分裂后的细胞亦可继续分裂．今从1个绿藻细胞开始培养，若培养期间绿藻细胞皆未死亡且培养环境的光照充沛，经过15天后，共分裂成4k个绿藻细胞，则k之值为何？ （2）承（1），已知60亿介于232与233之间，请判断4k个绿藻细胞是否足够制作8公克的「绿藻粉」？ 18．我们知道，任意一个正整数x都可以进行这样的分解：x＝m×n（m，n是正整数，且m≤n），在x的所有这种分解中，如果m，n两因数之差的绝对值最小，我们就称m×n是x的最佳分解．并规定：f（x）． 例如：18可以分解成1×18，2×9或3×6，因为18﹣1＞9﹣2＞6﹣3，所以3×6是18的最佳分解，所以f（18）． （1）填空：f（6）＝　 　；f（9）＝　 　； （2）一个两位正整数t（t＝10a+b，1≤a≤b≤9，a，b为正整数），交换其个位上的数字与十位上的数字得到的新数减去原数所得的差为54，求出所有的两位正整数；并求f（t）的最大值； （3）填空： ①f（22×3×5×7）＝　 　；②f（23×3×5×7）＝　 　；③f（24×3×5×7）＝　 　；④f（25×3×5×7）＝　 　． 19．阅读下列题目的解题过程： 已知a、b、c为△ABC的三边长，且满足a2c2﹣b2c2＝a4﹣b4，试判断△ABC的形状． 解：∵a2c2﹣b2c2＝a4﹣b4（A） ∴c2（a2﹣b2）＝（a2+b2）（a2﹣b2） （B） ∴c2＝a2+b2（C） ∴△ABC是直角三角形 问：（1）上述解题过程，从哪一步开始出现错误？请写出该步的代号：　 　； （2）错误的原因为：　 　； （3）本题正确的结论为：　 　． 20．给出三个整式a2，b2和2ab． （1）当a＝3，b＝4时，求a2+b2+2ab的值； （2）在上面的三个整式中任意选择两个整式进行加法或减法运算，使所得的多项式能够因式分解．请写出你所选的式子及因式分解的过程． 2020—2024年全国中考数学真题知识点分类汇编之因式分解 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题） 1．如果a+b＝3，ab＝1，那么a3b+2a2b2+ab3的值为（　　） A．0 B．1 C．4 D．9 【答案】D 【解答】解：∵a+b＝3，ab＝1， ∴原式＝a3b+2a2b2+ab3 ＝ab（a2+2ab+b2） ＝ab（a+b）2 ＝1×32 ＝9， 故选：D． 2．对于任意实数a，b，a3+b3＝（a+b）（a2﹣ab+b2）恒成立，则下列关系式正确的是（　　） A．a3﹣b3＝（a﹣b）（a2+ab+b2） B．a3﹣b3＝（a+b）（a2+ab+b2） C．a3﹣b3＝（a﹣b）（a2﹣ab+b2） D．a3﹣b3＝（a+b）（a2+ab﹣b2） 【答案】A 【解答】解：∵a3+b3＝（a+b）（a2﹣ab+b2）， ∴a3﹣b3 ＝a3+（﹣b3） ＝a3+（﹣b）3 ＝[a+（﹣b）][（a2﹣a•（﹣b）+（﹣b）2] ＝（a﹣b）（a2+ab+b2） 故选：A． 3．因式分解：x3﹣4x2+4x＝（　　） A．x（x﹣2）2 B．x（x2﹣4x+4） C．2x（x﹣2）2 D．x（x2﹣2x+4） 【答案】A 【解答】解：原式＝x（x2﹣4x+4）＝x（x﹣2）2． 故选：A． 4．多项式39x2+5x﹣14可因式分解成（3x+a）（bx+c），其中a、b、c均为整数，求a+2c之值为何？（　　） A．﹣12 B．﹣3 C．3 D．12 【答案】A 【解答】解：∵39x2+5x﹣14＝（3x+2）（13x﹣7），多项式39x2+5x﹣14可因式分解成（3x+a）（bx+c）， ∴a＝2，b＝13，c＝﹣7， ∴a+2c ＝2+2×（﹣7） ＝2+（﹣14） ＝﹣12， 故选：A． 5．多项式x2﹣4x+4因式分解的结果是（　　） A．x（x﹣4）+4 B．（x+2）（x﹣2） C．（x+2）2 D．（x﹣2）2 【答案】D 【解答】解：原式＝（x﹣2）2． 故选：D． 6．下列运算正确的是（　　） A．3x2+4x3＝7x5 B．（x+y）2＝x2+y2 C．（2+3x）（2﹣3x）＝9x2﹣4 D．2xy+4xy2＝2xy（1+2y） 【答案】D 【解答】解：A．3x2与4x3不是同类项不能加减，故选项A计算不正确； B．（x+y）2＝x2+2xy+y2≠x2+y2，故选项B计算不正确； C．（2+3x）（2﹣3x）＝4﹣9x2≠9x2﹣4，故选项C计算不正确； D．2xy+4xy2＝2xy（1+2y），故选项D计算正确． 故选：D． 7．下列分解因式正确的一项是（　　） A．x2﹣9＝（x+3）（x﹣3） B．2xy+4x＝2（xy+2x） C．x2﹣2x﹣1＝（x﹣1）2 D．x2+y2＝（x+y）2 【答案】A 【解答】解：A、原式＝（x+3）（x﹣3），符合题意； B、原式＝2x（y+2），不符合题意； C、原式不能分解，不符合题意； D、原式不能分解，不符合题意． 故选：A． 8．若8×10×12，则k＝（　　） A．12 B．10 C．8 D．6 【答案】B 【解答】解：方程两边都乘以k，得 （92﹣1）（112﹣1）＝8×10×12k， ∴（9+1）（9﹣1）（11+1）（11﹣1）＝8×10×12k， ∴80×120＝8×10×12k， ∴k＝10． 经检验k＝10是原方程的解． 故选：B． 9．对于①x﹣3xy＝x（1﹣3y），②（x+3）（x﹣1）＝x2+2x﹣3，从左到右的变形，表述正确的是（　　） A．都是因式分解 B．都是乘法运算 C．①是因式分解，②是乘法运算 D．①是乘法运算，②是因式分解 【答案】C 【解答】解：①x﹣3xy＝x（1﹣3y），从左到右的变形是因式分解； ②（x+3）（x﹣1）＝x2+2x﹣3，从左到右的变形是整式的乘法，不是因式分解； 所以①是因式分解，②是乘法运算． 故选：C． 10．已知a2b2＝2a﹣b﹣2，则3ab的值为（　　） A．4 B．2 C．﹣2 D．﹣4 【答案】A 【解答】解：∵a2b2＝2a﹣b﹣2， ∴a2﹣2a+1b2+b+1＝0， ∴， ∴a﹣1＝0，b+1＝0， ∴a＝1，b＝﹣2， ∴3ab＝3+1＝4． 故选：A． 二．填空题（共5小题） 11．因式分解：a2﹣3a＝　a（a﹣3）　． 【答案】a（a﹣3）． 【解答】解：a2﹣3a＝a（a﹣3）． 故答案为：a（a﹣3）． 12．因式分解：2x2﹣8＝　2（x+2）（x﹣2）　． 【解答】解：2x2﹣8＝2（x+2）（x﹣2）． 13．分解因式：3ax2﹣6axy+3ay2＝　3a（x﹣y）2　． 【解答】解：3ax2﹣6axy+3ay2， ＝3a（x2﹣2xy+y2）， ＝3a（x﹣y）2， 故答案为：3a（x﹣y）2． 14．分解因式：x2y﹣4y＝　y（x+2）（x﹣2）　． 【答案】y（x+2）（x﹣2）． 【解答】解：x2y﹣4y ＝y（x2﹣4） ＝y（x+2）（x﹣2）， 故答案为：y（x+2）（x﹣2）． 15．分解因式：2x2﹣4x+2＝　2（x﹣1）2　． 【解答】解：2x2﹣4x+2， ＝2（x2﹣2x+1）， ＝2（x﹣1）2． 三．解答题（共5小题） 16．八年级课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 将2a﹣3ab﹣4+6b因式分解． 【观察】经过小组合作交流，小明得到了如下的解决方法： 解法一：原式＝（2a﹣3ab）﹣（4﹣6b） ＝a（2﹣3b）﹣2（2﹣3b） ＝（2﹣3b）（a﹣2） 解法二：原式＝（2a﹣4）﹣（3ab﹣6b） ＝2（a﹣2）﹣3b（a﹣2） ＝（a﹣2）（2﹣3b） 【感悟】对项数较多的多项式无法直接进行因式分解时，我们可以将多项式分为若干组，再利用提公因式法、公式法达到因式分解的目的，这就是因式分解的分组分解法．分组分解法在代数式的化简、求值及方程、函数等学习中起着重要的作用．（温馨提示：因式分解一定要分解到不能再分解为止） 【类比】（1）请用分组分解法将x2﹣a2+x+a因式分解； 【挑战】（2）请用分组分解法将ax+a2﹣2ab﹣bx+b2因式分解； 【应用】（3）“赵爽弦图”是我国古代数学的骄傲，我们利用它验证了勾股定理．如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形围成的一个大正方形，中间是一个小正方形．若直角三角形的两条直角边长分别是a和b（a＞b），斜边长是3，小正方形的面积是1． 根据以上信息，先将a4﹣2a3b+2a2b2﹣2ab3+b4因式分解，再求值． 【答案】（1）（x+a）（x﹣a+1）； （2）（a﹣b）（x+a﹣b）； （3）（a2+b2）（a﹣b）2，9． 【解答】解：（1）原式＝（x2﹣a2）+（x+a） ＝（x+a）（x﹣a）+（x+a） ＝（x+a）（x﹣a+1）； （2）原式＝（ax﹣bx）+（a2﹣2ab+b2） ＝x（a﹣b）+（a﹣b）2 ＝（a﹣b）（x+a﹣b）； （3）原式＝（a4+2a2b2+b4）﹣（2ab3+2a3b） ＝（a2+b2）2﹣2ab（a2+b2） ＝（a2+b2）（a2+b2﹣2ab） ＝（a2+b2）（a﹣b）2， ∵直角三角形的两条直角边长分别是a和b（a＞b），斜边长是3，小正方形的面积是1， ∴a2+b2＝32＝9，（a﹣b）2＝1， ∴原式＝9． 17．健康生技公司培养绿藻以制作「绿藻粉」，再经过后续的加工步骤，制成绿藻相关的保健食品．已知该公司制作每1公克的「绿藻粉」需要60亿个绿藻细胞． 请根据上述信息回答下列问题，完整写出你的解题过程并详细解释： （1）假设在光照充沛的环境下，1个绿藻细胞每20小时可分裂成4个绿藻细胞，且分裂后的细胞亦可继续分裂．今从1个绿藻细胞开始培养，若培养期间绿藻细胞皆未死亡且培养环境的光照充沛，经过15天后，共分裂成4k个绿藻细胞，则k之值为何？ （2）承（1），已知60亿介于232与233之间，请判断4k个绿藻细胞是否足够制作8公克的「绿藻粉」？ 【答案】（1）k之值为18； （2）418个绿藻细胞足够制作8公克的「绿藻粉」． 【解答】解：（1）15天＝15×24小时＝360小时， ∵1个绿藻细胞每20小时可分裂成4个绿藻细胞， ∴从1个绿藻细胞开始培养，经过20小时分裂成4个绿藻细胞， 经过20×2＝40（小时），分裂成42个绿藻细胞， 经过20×3＝60（小时），分裂成43个绿藻细胞， .....． 经过20×18＝360（小时），分裂成418个绿藻细胞， ∴k之值为18； （2）∵每1公克的「绿藻粉」需要60亿个绿藻细胞， ∴制作8公克的「绿藻粉」需要60×8亿个绿藻细胞， ∵60亿介于232与233之间， ∴232×8＜60×8亿＜233×8，即235＜60×8亿＜236， 而418＝（22）18＝236， ∴60×8亿＜418， ∴418个绿藻细胞足够制作8公克的「绿藻粉」． 18．我们知道，任意一个正整数x都可以进行这样的分解：x＝m×n（m，n是正整数，且m≤n），在x的所有这种分解中，如果m，n两因数之差的绝对值最小，我们就称m×n是x的最佳分解．并规定：f（x）． 例如：18可以分解成1×18，2×9或3×6，因为18﹣1＞9﹣2＞6﹣3，所以3×6是18的最佳分解，所以f（18）． （1）填空：f（6）＝　　；f（9）＝　1　； （2）一个两位正整数t（t＝10a+b，1≤a≤b≤9，a，b为正整数），交换其个位上的数字与十位上的数字得到的新数减去原数所得的差为54，求出所有的两位正整数；并求f（t）的最大值； （3）填空： ①f（22×3×5×7）＝　　；②f（23×3×5×7）＝　　；③f（24×3×5×7）＝　　；④f（25×3×5×7）＝　　． 【解答】解：（1）6可分解成1×6，2×3， ∵6﹣1＞3﹣2， ∴2×3是6的最佳分解， ∴f（6）， 9可分解成1×9，3×3， ∵9﹣1＞3﹣3， ∴3×3是9的最佳分解， ∴f（9）1， 故答案为：；1； （2）设交换t的个位上数与十位上的数得到的新数为t′，则t′＝10b+a， 根据题意得，t′﹣t＝（10b+a）﹣（10a+b）＝9（b﹣a）＝54， ∴b＝a+6， ∵1≤a≤b≤9，a，b为正整数， ∴满足条件的t为：17，28，39； ∵f（17），F（28），F（39）， ∵， ∴f（t）的最大值为； （3）①∵22×3×5×7的最佳分解为20×21， ∴f（22×3×5×7）， 故答案为：； ②∵23×3×5×7的最佳分解为28×30， ∴f（23×3×5×7）， 故答案为； ③∵24×3×5×7的最佳分解是40×42， ∴f（24×3×5×7）， 故答案为：； ④∵25×3×5×7的最佳分解是56×60， ∴f（25×3×5×7）， 故答案为：． 19．阅读下列题目的解题过程： 已知a、b、c为△ABC的三边长，且满足a2c2﹣b2c2＝a4﹣b4，试判断△ABC的形状． 解：∵a2c2﹣b2c2＝a4﹣b4（A） ∴c2（a2﹣b2）＝（a2+b2）（a2﹣b2） （B） ∴c2＝a2+b2（C） ∴△ABC是直角三角形 问：（1）上述解题过程，从哪一步开始出现错误？请写出该步的代号：　C　； （2）错误的原因为：　没有考虑a＝b的情况　； （3）本题正确的结论为：　△ABC是等腰三角形或直角三角形　． 【解答】解：（1）由题目中的解答步骤可得， 错误步骤的代号为：C， 故答案为：C； （2）错误的原因为：没有考虑a＝b的情况， 故答案为：没有考虑a＝b的情况； （3）本题正确的结论为：△ABC是等腰三角形或直角三角形， 故答案为：△ABC是等腰三角形或直角三角形． 20．给出三个整式a2，b2和2ab． （1）当a＝3，b＝4时，求a2+b2+2ab的值； （2）在上面的三个整式中任意选择两个整式进行加法或减法运算，使所得的多项式能够因式分解．请写出你所选的式子及因式分解的过程． 【解答】解：（1）当a＝3，b＝4时，a2+b2+2ab＝（a+b）2＝49． （2）答案不唯一，例如， 若选a2，b2，则a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）． 若选a2，2ab，则a2±2ab＝a（a±2b）． ( — 1 — ) 学科网（北京）股份有限公司 $$