一元二次方程-全国中考数学五年（2020-2024）真题知识点分类汇编

2020—2024年全国中考数学真题知识点分类汇编之一元二次方程 一．选择题（共10小题） 1．如图，小程的爸爸用一段10m长的铁丝网围成一个一边靠墙（墙长5.5m）的矩形鸭舍，其面积为15m2，在鸭舍侧面中间位置留一个1m宽的门（由其它材料成），则BC长为（　　） A．5m或6m B．2.5m或3m C．5m D．3m 2．等腰三角形的两边长分别是方程x2﹣10x+21＝0的两个根，则这个三角形的周长为（　　） A．17或13 B．13或21 C．17 D．13 3．若关于x的一元二次方程x2+2x+p＝0两根为x1、x2，且3，则p的值为（　　） A． B． C．﹣6 D．6 4．眉山市东坡区永丰村是“天府粮仓”示范区，该村的“智慧春耕”让生产更高效，提升了水稻亩产量，水稻亩产量从2021年的670千克增长到了2023年的780千克，该村水稻亩产量年平均增长率为x，则可列方程为（　　） A．670×（1+2x）＝780 B．670×（1+x）2＝780 C．670×（1+x2）＝780 D．670×（1+x）＝780 5．对于实数a，b定义运算“⊗”为a⊗b＝b2﹣ab，例如：3⊗2＝22﹣3×2＝﹣2，则关于x的方程（k﹣3）⊗x＝k﹣1的根的情况，下列说法正确的是（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 6．用配方法解一元二次方程x2﹣6x+8＝0配方后得到的方程是（　　） A．（x+6）2＝28 B．（x﹣6）2＝28 C．（x+3）2＝1 D．（x﹣3）2＝1 7．若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+2x﹣2＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（　　） A．k且k≠1 B．k C．k且k≠1 D．k 8．关于x的一元二次方程x2﹣2x+m﹣2＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（　　） A． B．m＞3 C．m≤3 D．m＜3 9．关于x的一元二次方程x2+2ax+a2﹣1＝0的根的情况是（　　） A．没有实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．实数根的个数与实数a的取值有关 10．如图，在长为100m，宽为50m的矩形空地上修筑四条宽度相等的小路，若余下的部分全部种上花卉，且花圃的面积是3600m2，则小路的宽是（　　） A．5m B．70m C．5m或70m D．10m 二．填空题（共5小题） 11．若关于x的一元二次方程x2+2x+c＝0有两个相等的实数根，则c＝　 　． 12．随着经济复苏，某公司近两年的总收入逐年递增．该公司2021年缴税40万元，2023年缴税48.4万元．该公司这两年缴税的年平均增长率是 　 　． 13．若x＝3是关于x的方程ax2﹣bx＝6的解，则2023﹣6a+2b的值为 　 　． 14．已知m是方程x2+4x﹣1＝0的一个根，则（m+5）（m﹣1）的值为 　 　． 15．已知关于x的一元二次方程x2+2mx+m2﹣m+2＝0有两个不相等的实数根x1、x2，且x1+x2+x1•x2＝2，则实数m＝　 　． 三．解答题（共5小题） 16．已知关于x的一元二次方程x2﹣px+1＝0（p为常数）有两个不相等的实数根x1和x2． （1）填空：x1+x2＝　 　，x1x2＝　 　； （2）求，x1； （3）已知2p+1，求p的值． 17．已知关于x的一元二次方程x2﹣（m+2）x+m﹣1＝0． （1）求证：无论m取何值，方程都有两个不相等的实数根； （2）如果方程的两个实数根为x1，x2，且x1x2＝9，求m的值． 18．已知关于x的一元二次方程kx2﹣（2k+4）x+k﹣6＝0有两个不相等的实数根． （1）求k的取值范围； （2）当k＝1时，用配方法解方程． 19．已知关于x的一元二次方程x2﹣（2m+1）x+m2+m＝0． （1）求证：无论m取何值时，方程都有两个不相等的实数根； （2）设该方程的两个实数根为a，b，若（2a+b）（a+2b）＝20，求m的值． 20．随旅游旺季的到来，某景区游客人数逐月增加，2月份游客人数为1.6万人，4月份游客人数为2.5万人． （1）求这两个月中该景区游客人数的月平均增长率； （2）预计5月份该景区游客人数会继续增长，但增长率不会超过前两个月的月平均增长率．已知该景区5月1日至5月21日已接待游客2.125万人，则5月份后10天日均接待游客人数最多是多少万人？ 2020—2024年全国中考数学真题知识点分类汇编之一元二次方程 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题） 1．如图，小程的爸爸用一段10m长的铁丝网围成一个一边靠墙（墙长5.5m）的矩形鸭舍，其面积为15m2，在鸭舍侧面中间位置留一个1m宽的门（由其它材料成），则BC长为（　　） A．5m或6m B．2.5m或3m C．5m D．3m 【答案】C 【解答】解：设BC长为x m，则AB的长为（10+1﹣x）m， 根据题意得，（10+1﹣x）x＝15， 解得x＝5或x＝6＞5.5（舍去）， 答：BC长为5m， 故选：C． 2．等腰三角形的两边长分别是方程x2﹣10x+21＝0的两个根，则这个三角形的周长为（　　） A．17或13 B．13或21 C．17 D．13 【答案】C 【解答】解：x2﹣10x+21＝0， （x﹣3）（x﹣7）＝0， 解得x1＝3，x2＝7， 当等腰三角形的边长是3、3、7时，3+3＜7，不符合三角形的三边关系，应舍去； 当等腰三角形的边长是7、7、3时，这个三角形的周长是7+7+3＝17． 故选：C． 3．若关于x的一元二次方程x2+2x+p＝0两根为x1、x2，且3，则p的值为（　　） A． B． C．﹣6 D．6 【答案】A 【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2+2x+p＝0两根为x1、x2， ∴x1+x2＝﹣2，x1x2＝p， ∵3， ∴， 即， 解得：p． 故选：A． 4．眉山市东坡区永丰村是“天府粮仓”示范区，该村的“智慧春耕”让生产更高效，提升了水稻亩产量，水稻亩产量从2021年的670千克增长到了2023年的780千克，该村水稻亩产量年平均增长率为x，则可列方程为（　　） A．670×（1+2x）＝780 B．670×（1+x）2＝780 C．670×（1+x2）＝780 D．670×（1+x）＝780 【答案】B 【解答】解：根据题意得：670×（1+x）2＝780． 故选：B． 5．对于实数a，b定义运算“⊗”为a⊗b＝b2﹣ab，例如：3⊗2＝22﹣3×2＝﹣2，则关于x的方程（k﹣3）⊗x＝k﹣1的根的情况，下列说法正确的是（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 【答案】A 【解答】解：∵（k﹣3）⊗x＝k﹣1， ∴x2﹣（k﹣3）x＝k﹣1， ∴x2﹣（k﹣3）x﹣k+1＝0， ∴Δ＝[﹣（k﹣3）]2﹣4×1×（﹣k+1）＝（k﹣1）2+4＞0， ∴关于x的方程（k﹣3）⊗x＝k﹣1有两个不相等的实数根． 故选：A． 6．用配方法解一元二次方程x2﹣6x+8＝0配方后得到的方程是（　　） A．（x+6）2＝28 B．（x﹣6）2＝28 C．（x+3）2＝1 D．（x﹣3）2＝1 【答案】D 【解答】解：x2﹣6x+8＝0， x2﹣6x＝﹣8， x2﹣6x+9＝﹣8+9， （x﹣3）2＝1， 故选：D． 7．若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+2x﹣2＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（　　） A．k且k≠1 B．k C．k且k≠1 D．k 【答案】A 【解答】解：∵关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+2x﹣2＝0有两个不相等的实数根， ∴， 解得：k且k≠1， ∴k的取值范围是k且k≠1． 故选：A． 8．关于x的一元二次方程x2﹣2x+m﹣2＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（　　） A． B．m＞3 C．m≤3 D．m＜3 【答案】D 【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣2x+m﹣2＝0有两个不相等的实数根， ∴Δ＝（﹣2）2﹣4×1×（m﹣2）＝12﹣4m＞0， 解得：m＜3． 故选：D． 9．关于x的一元二次方程x2+2ax+a2﹣1＝0的根的情况是（　　） A．没有实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．实数根的个数与实数a的取值有关 【答案】C 【解答】解：∵Δ＝（2a）2﹣4×1×（a2﹣1） ＝4a2﹣4a2+4 ＝4＞0． ∴关于x的一元二次方程x2+2ax+a2﹣1＝0有两个不相等的实数根． 故选：C． 10．如图，在长为100m，宽为50m的矩形空地上修筑四条宽度相等的小路，若余下的部分全部种上花卉，且花圃的面积是3600m2，则小路的宽是（　　） A．5m B．70m C．5m或70m D．10m 【答案】A 【解答】解：设小路的宽是x m，则余下的部分可合成长为（100﹣2x）m，宽为（50﹣2x）m的矩形， 根据题意得：（100﹣2x）（50﹣2x）＝3600， 整理得：x2﹣75x+350＝0， 解得：x1＝5，x2＝70（不符合题意，舍去）， ∴小路的宽是5m． 故选：A． 二．填空题（共5小题） 11．若关于x的一元二次方程x2+2x+c＝0有两个相等的实数根，则c＝　1　． 【答案】1． 【解答】解：∵一元二次方程x2+2x+c＝0有两个相等的实数根， ∴Δ＝0，即4﹣4c＝0， 解得c＝1 故答案为：1． 12．随着经济复苏，某公司近两年的总收入逐年递增．该公司2021年缴税40万元，2023年缴税48.4万元．该公司这两年缴税的年平均增长率是 　10%　． 【答案】10%． 【解答】解：设该公司这两年缴税的年平均增长率是x， 根据题意得：40（1+x）2＝48.4， 解得：x1＝0.1＝10%，x2＝﹣2.1（不符合题意，舍去）， ∴该公司这两年缴税的年平均增长率是10%． 故答案为：10%． 13．若x＝3是关于x的方程ax2﹣bx＝6的解，则2023﹣6a+2b的值为 　2019　． 【解答】解：把x＝3代入方程得：9a﹣3b＝6，即3a﹣b＝2， 则原式＝2023﹣2（3a﹣b）＝2023﹣4＝2019． 故答案为：2019． 14．已知m是方程x2+4x﹣1＝0的一个根，则（m+5）（m﹣1）的值为 　﹣4　． 【答案】﹣4． 【解答】解：把x＝m代入m2+4m﹣1＝0， m2+4m＝1， ∴（m+5）（m﹣1） ＝m2﹣m+5m﹣5 ＝m2+4m﹣5 ＝1﹣5 ＝﹣4， 故答案为：﹣4． 15．已知关于x的一元二次方程x2+2mx+m2﹣m+2＝0有两个不相等的实数根x1、x2，且x1+x2+x1•x2＝2，则实数m＝　3　． 【答案】3． 【解答】解：∵原方程有两个不相等的实数根， ∴Δ＝（2m）2﹣4×1×（m2﹣m+2）＞0， ∴m＞2． ∵x1，x2是关于x的一元二次方程x2+2mx+m2﹣m+2＝0的两个实数根， ∴x1+x2＝﹣2m，x1•x2＝m2﹣m+2， ∵x1+x2+x1•x2＝2， ∴﹣2m+m2﹣m+2＝2， 解得：m1＝0（不符合题意，舍去），m2＝3， ∴实数m的值为3． 故答案为：3． 三．解答题（共5小题） 16．已知关于x的一元二次方程x2﹣px+1＝0（p为常数）有两个不相等的实数根x1和x2． （1）填空：x1+x2＝　p　，x1x2＝　1　； （2）求，x1； （3）已知2p+1，求p的值． 【答案】（1）p，1； （2）p，； （3）p＝3． 【解答】解：（1）由根与系数的关系得：x1+x2＝p，x1x2＝1， 故答案为：p，1； （2）∵x1+x2＝p，x1x2＝1， ∴p； ∵关于x的一元二次方程x2﹣px+1＝0（p为常数）有两个不相等的实数根x1和x2， ∴， ∴，即； （3）由根与系数的关系得：x1+x2＝p，x1x2＝1， ∵， ∴， ∴p2﹣2＝2p+1， 解得：p1＝3，p2＝﹣1， 当p＝3 时，Δ＝p2﹣4＝9﹣4＝5＞0； 当 p＝﹣1 时，Δ＝p2﹣4＝﹣3＜0； ∴p＝3． 17．已知关于x的一元二次方程x2﹣（m+2）x+m﹣1＝0． （1）求证：无论m取何值，方程都有两个不相等的实数根； （2）如果方程的两个实数根为x1，x2，且x1x2＝9，求m的值． 【答案】（1）详见解答； （2）m＝﹣2或m＝1． 【解答】解：（1）x2﹣（m+2）x+m﹣1＝0， 这里a＝1，b＝﹣（m+2），c＝m﹣1， Δ＝b2﹣4ac ＝[﹣（m+2）]2﹣4×1×（m﹣1） ＝m2+4m+4﹣4m+4 ＝m2+8． ∵m2≥0， ∴△＞0． ∴无论m取何值，方程都有两个不相等的实数根； （2）设方程x2﹣（m+2）x+m﹣1＝0的两个实数根为x1，x2， 则x1+x2＝m+2，x1x2＝m﹣1． ∵x1x2＝9，即（x1+x2）2﹣3x1x2＝9， ∴（m+2）2﹣3（m﹣1）＝9． 整理，得m2+m﹣2＝0． ∴（m+2）（m﹣1）＝0． 解得m1＝﹣2，m2＝1． ∴m的值为﹣2或1． 18．已知关于x的一元二次方程kx2﹣（2k+4）x+k﹣6＝0有两个不相等的实数根． （1）求k的取值范围； （2）当k＝1时，用配方法解方程． 【答案】（1）k且k≠0； （2）x1＝3，x2＝3． （2）将k＝1代入方程，利用配方法解方程即可． 【解答】解：（1）∵关于x的一元二次方程kx2﹣（2k+4）x+k﹣6＝0有两个不相等的实数根， ∴Δ＝（2k+4）2﹣4k（k﹣6）＞0，且k≠0， 解得：k且k≠0； （2）当k＝1时， 原方程为x2﹣（2×1+4）x+1﹣6＝0， 即x2﹣6x﹣5＝0， 移项得：x2﹣6x＝5， 配方得：x2﹣6x+9＝5+9， 即（x﹣3）2＝14， 直接开平方得：x﹣3＝± 解得：x1＝3，x2＝3． 19．已知关于x的一元二次方程x2﹣（2m+1）x+m2+m＝0． （1）求证：无论m取何值时，方程都有两个不相等的实数根； （2）设该方程的两个实数根为a，b，若（2a+b）（a+2b）＝20，求m的值． 【解答】（1）证明：∵Δ＝[﹣（2m+1）]2﹣4（m2+m） ＝4m2+4m+1﹣4m2﹣4m ＝1＞0， ∴无论m取何值时，方程都有两个不相等的实数根； （2）解：∵该方程的两个实数根为a，b， ∴a+b2m+1，abm2+m， ∵（2a+b）（a+2b） ＝2a2+4ab+ab+2b2 ＝2（a2+2ab+b2）+ab ＝2（a+b）2+ab， ∴2（a+b）2+ab＝20， ∴2（2m+1）2+m2+m＝20， 整理得：m2+m﹣2＝0， 解得：m1＝﹣2，m2＝1， ∴m的值为﹣2或1． 20．随旅游旺季的到来，某景区游客人数逐月增加，2月份游客人数为1.6万人，4月份游客人数为2.5万人． （1）求这两个月中该景区游客人数的月平均增长率； （2）预计5月份该景区游客人数会继续增长，但增长率不会超过前两个月的月平均增长率．已知该景区5月1日至5月21日已接待游客2.125万人，则5月份后10天日均接待游客人数最多是多少万人？ 【解答】解：（1）设这两个月中该景区游客人数的月平均增长率为x， 由题意可得：1.6（1+x）2＝2.5， 解得：x＝25%，x（不合题意舍去）， 答：这两个月中该景区游客人数的月平均增长率为25%； （2）设5月份后10天日均接待游客人数是a万人， 由题意可得：2.125+10a≤2.5（1+25%）， 解得：a≤0.1， 答：5月份后10天日均接待游客人数最多是0.1万人． ( — 1 — ) 学科网（北京）股份有限公司 $$