图形的旋转-全国中考数学五年（2020-2024）真题知识点分类汇编

2020—2024年全国中考数学真题知识点分类汇编之图形的旋转 一．选择题（共10小题） 1．下列图案中，点O为正方形的中心，阴影部分的两个三角形全等，则阴影部分的两个三角形关于点O对称的是（　　） A． B． C． D． 2．如图，将线段AB先向左平移，使点B与原点O重合，再将所得线段绕原点旋转180°得到线段A′B′，则点A的对应点A′的坐标是（　　） A．（2，﹣3） B．（﹣2，3） C．（3，﹣2） D．（﹣3，2） 3．如图，把△ABC以点A为中心逆时针旋转得到△ADE，点B，C的对应点分别是点D，E，且点E在BC的延长线上，连接BD，则下列结论一定正确的是（　　） A．∠CAE＝∠BED B．AB＝AE C．∠ACE＝∠ADE D．CE＝BD 4．如图，△ABC中，∠BAC＝55°，将△ABC逆时针旋转α（0°＜α＜55°），得到△ADE，DE交AC于F．当α＝40°时，点D恰好落在BC上，此时∠AFE等于（　　） A．80° B．85° C．90° D．95° 5．如图，已知等腰直角△ABC，∠ACB＝90°，AB，点C是矩形ECGF与△ABC的公共顶点，且CE＝1，CG＝3；点D是CB延长线上一点，且CD＝2．连接BG，DF，在矩形ECGF绕点C按顺时针方向旋转一周的过程中，当线段BG达到最长和最短时，线段DF对应的长度分别为m和n，则的值为（　　） A．2 B．3 C． D． 6．如图所示，在矩形ABCD中，AB＞AD，AC与BD相交于点O，下列说法正确的是（　　） A．点O为矩形ABCD的对称中心 B．点O为线段AB的对称中心 C．直线BD为矩形ABCD的对称轴 D．直线AC为线段BD的对称轴 7．在平面直角坐标系中，点A（a，1）与点B（﹣2，b）关于原点成中心对称，则a+b的值为（　　） A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．3 8．如图，在直角坐标系中，线段A1B1是将△ABC绕着点P（3，2）逆时针旋转一定角度后得到的△A1B1C1的一部分，则点C的对应点C1的坐标是（　　） A．（﹣2，3） B．（﹣3，2） C．（﹣2，4） D．（﹣3，3） 9．如图，将△ABC先向右平移1个单位，再绕点P按顺时针方向旋转90°，得到△A′B′C′，则点B的对应点B′的坐标是（　　） A．（4，0） B．（2，﹣2） C．（4，﹣1） D．（2，﹣3） 10．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝2，将△ABC绕点C顺时针旋转得到△A'B'C，其中点A'与点A是对应点，点B'与点B是对应点．若点B'恰好落在AB边上，则点A到直线A'C的距离等于（　　） A．3 B．2 C．3 D．2 二．填空题（共5小题） 11．一副三角板如图1摆放，把三角板AOB绕公共顶点O顺时针旋转至图2，即AB∥OD时，∠1的大小为 　 　°． 12．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，将△ABC绕点C按逆时针方向旋转得到△A1B1C，满足A1B1∥AC，过点B作BE⊥A1C，垂足为E，连接AE，若S△ABE＝3S△ACE，则AB的长为 　 　． 13．如图，在矩形ABCD中，AD＝2，DC＝4，将线段DC绕点D按逆时针方向旋转，当点C的对应点E恰好落在边AB上时，图中阴影部分的面积是 　 　． 14．第二十四届北京冬奥会入场式引导牌上的图案融入了中国结和雪花两种元素．如图，这个图案绕着它的中心旋转角α（0°＜α＜360°）后能够与它本身重合，则角α可以为 　 　度．（写出一个即可） 15．如图，直线a∥b，△AOB的边OB在直线b上，∠AOB＝55°，将△AOB绕点O顺时针旋转75°至△A1OB1，边A1O交直线a于点C，则∠1＝　 　°． 三．解答题（共5小题） 16．综合与实践． （1）提出问题．如图1，在△ABC和△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，且AB＝AC，AD＝AE，连接BD，连接CE交BD的延长线于点O． ①∠BOC的度数是 　 　． ②BD：CE＝　 　． （2）类比探究．如图2，在△ABC和△DEC中，∠BAC＝∠EDC＝90°，且AB＝AC，DE＝DC，连接AD、BE并延长交于点O． ①∠AOB的度数是 　 　； ②AD：BE＝　 　． （3）问题解决．如图3，在等边△ABC中，AD⊥BC于点D，点E在线段AD上（不与A重合），以AE为边在AD的左侧构造等边△AEF，将△AEF绕着点A在平面内顺时针旋转任意角度．如图4，M为EF的中点，N为BE的中点． ①说明△MND为等腰三角形． ②求∠MND的度数． 17．将一副直角三角板DOE与AOC叠放在一起，如图1，∠O＝90°，∠A＝30°，∠E＝45°，OD＞OC．在两三角板所在平面内，将三角板DOE绕点O顺时针方向旋转α（0°＜α＜90°）度到D1OE1位置，使OD1∥AC，如图2． （1）求α的值； （2）如图3，继续将三角板DOE绕点O顺时针方向旋转，使点E落在AC边上点E2处，点D落在点D2处，设E2D2交OD1于点G，OE1交AC于点H，若点G是E2D2的中点，试判断四边形OHE2G的形状，并说明理由． 18．如图，网格中每个小正方形的边长均为1，△ABC的顶点均在小正方形的格点上． （1）将△ABC向下平移3个单位长度得到△A1B1C1，画出△A1B1C1； （2）将△ABC绕点C顺时针旋转90度得到△A2B2C2，画出△A2B2C2； （3）在（2）的运动过程中请计算出△ABC扫过的面积． 19．（1）如图①，△ABC和△ADE是等边三角形，连接DC．点F，G，H分别是DE，DC和BC的中点．连接FG，FH．易证：（不需证明）； （2）当等边△ADE绕着点A旋转到如图②，图③所示的位置时，判断线段FH和FG的数量关系，写出你的猜想并对图②或图③的结论加以证明． 20．如图1，在等腰Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝CB，点D，E分别在AB，CB上，DB＝EB，连结AE，CD，取AE中点F，连结BF． （1）求证：CD＝2BF，CD⊥BF； （2）将△DBE绕点B顺时针旋转到图2的位置． ①请直接写出BF与CD的位置关系：　 　； ②求证：CD＝2BF． 2020—2024年全国中考数学真题知识点分类汇编之图形的旋转 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题） 1．下列图案中，点O为正方形的中心，阴影部分的两个三角形全等，则阴影部分的两个三角形关于点O对称的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：由题可知，A、B、D不是中心对称图形，C是中心对称图形图形． 故选：C． 2．如图，将线段AB先向左平移，使点B与原点O重合，再将所得线段绕原点旋转180°得到线段A′B′，则点A的对应点A′的坐标是（　　） A．（2，﹣3） B．（﹣2，3） C．（3，﹣2） D．（﹣3，2） 【答案】A 【解答】解：如图， 由题意可知，点A（0，3），B（2，0）， 由平移的性质得：A''（﹣2，3），点B'（0，0）， 由旋转的性质得：点A'与A''关于原点对称， ∴A′（2，﹣3）， 故选：A． 3．如图，把△ABC以点A为中心逆时针旋转得到△ADE，点B，C的对应点分别是点D，E，且点E在BC的延长线上，连接BD，则下列结论一定正确的是（　　） A．∠CAE＝∠BED B．AB＝AE C．∠ACE＝∠ADE D．CE＝BD 【答案】A 【解答】解：如图，设AD与BE的交点为O， ∵把△ABC以点A为中心逆时针旋转得到△ADE， ∴∠ABC＝∠ADE，∠BAD＝∠CAE， 又∵∠AOB＝∠DOE， ∴∠BED＝∠BAD＝∠CAE， 故选：A． 4．如图，△ABC中，∠BAC＝55°，将△ABC逆时针旋转α（0°＜α＜55°），得到△ADE，DE交AC于F．当α＝40°时，点D恰好落在BC上，此时∠AFE等于（　　） A．80° B．85° C．90° D．95° 【答案】B 【解答】解：∵将△ABC逆时针旋转α（0°＜α＜55°），得到△ADE， ∴∠BAC＝∠DAE，∠BAD＝∠CAE＝40°，AB＝AD，∠C＝∠E， ∴∠B＝70°， ∴∠C＝∠E＝55°， ∴∠AFE＝180°﹣55°﹣40°＝85°， 故选：B． 5．如图，已知等腰直角△ABC，∠ACB＝90°，AB，点C是矩形ECGF与△ABC的公共顶点，且CE＝1，CG＝3；点D是CB延长线上一点，且CD＝2．连接BG，DF，在矩形ECGF绕点C按顺时针方向旋转一周的过程中，当线段BG达到最长和最短时，线段DF对应的长度分别为m和n，则的值为（　　） A．2 B．3 C． D． 【答案】D 【解答】解：在等腰直角△ABC，∠ACB＝90°，AB， ∴AC＝BC＝1， 在△BCG中，CG﹣BC＜BG＜CG+BC， 即2＜BG＜4， 如图，当点G在线段BC的延长线时时，GB有最大值， ∴DG＝DC+CG＝5，GF＝1， ∴DFm， 当点G在线段CB的延长线上时，GB有最小值， ∴DG＝CG﹣DC＝1，FG＝1， ∴DFn， ∴， 故选：D． 6．如图所示，在矩形ABCD中，AB＞AD，AC与BD相交于点O，下列说法正确的是（　　） A．点O为矩形ABCD的对称中心 B．点O为线段AB的对称中心 C．直线BD为矩形ABCD的对称轴 D．直线AC为线段BD的对称轴 【答案】A 【解答】解：矩形ABCD是中心对称图形，对称中心是对角线的交点O，故选项A正确，符合题意； 线段AB的中点是为线段AB的对称中心，故选项B错误，不符合题意； 矩形ABCD是轴对称图形，对称轴是过一组对边中点的直线，故选项C错误，不符合题意； 过线段BD的中点的垂线是线段BD的对称轴，故选项D错误，不符合题意； 故选：A． 7．在平面直角坐标系中，点A（a，1）与点B（﹣2，b）关于原点成中心对称，则a+b的值为（　　） A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．3 【答案】C 【解答】解：∵点A（a，1）与点B（﹣2，b）关于原点成中心对称， ∴a＝2，b＝﹣1， ∴a+b＝1， 故选：C． 8．如图，在直角坐标系中，线段A1B1是将△ABC绕着点P（3，2）逆时针旋转一定角度后得到的△A1B1C1的一部分，则点C的对应点C1的坐标是（　　） A．（﹣2，3） B．（﹣3，2） C．（﹣2，4） D．（﹣3，3） 【答案】A 【解答】解：连接AP，A1P． ∵线段A1B1是将△ABC绕着点P（3，2）逆时针旋转一定角度后得到的△A1B1C1的一部分， ∴A的对应点为A1， ∴∠APA1＝90°， ∴旋转角为90°， ∴点C绕点P逆时针旋转90°得到的C1点的坐标为（﹣2，3）， 故选：A． 9．如图，将△ABC先向右平移1个单位，再绕点P按顺时针方向旋转90°，得到△A′B′C′，则点B的对应点B′的坐标是（　　） A．（4，0） B．（2，﹣2） C．（4，﹣1） D．（2，﹣3） 【答案】C 【解答】解：作出旋转后的图形如下： ∴B'点的坐标为（4，﹣1）， 故选：C． 10．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝2，将△ABC绕点C顺时针旋转得到△A'B'C，其中点A'与点A是对应点，点B'与点B是对应点．若点B'恰好落在AB边上，则点A到直线A'C的距离等于（　　） A．3 B．2 C．3 D．2 【答案】C 【解答】解：连接AA′，如图， ∵∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，BC＝2， ∴ACBC＝2，∠B＝60°， ∵将△ABC绕点C顺时针旋转得到△A'B'C， ∴CA＝CA′，CB＝CB′，∠ACA′＝∠BCB′， ∵CB＝CB′，∠B＝60°， ∴△CBB′为等边三角形， ∴∠BCB′＝60°， ∴∠ACA′＝60°， ∴△CAA′为等边三角形， 过点A作AD⊥A'C于点D， ∴CDAC， ∴ADCD3， ∴点A到直线A'C的距离为3， 故选：C． 二．填空题（共5小题） 11．一副三角板如图1摆放，把三角板AOB绕公共顶点O顺时针旋转至图2，即AB∥OD时，∠1的大小为 　75　°． 【答案】75． 【解答】解：由已知可得， ∠B＝45°， ∵AB∥OD， ∠B＝∠BOD＝45°， 由图可得，∠D＝30°， ∴∠1＝∠BOD+∠D＝45°+30°＝75°， 故答案为：75． 12．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，将△ABC绕点C按逆时针方向旋转得到△A1B1C，满足A1B1∥AC，过点B作BE⊥A1C，垂足为E，连接AE，若S△ABE＝3S△ACE，则AB的长为 　4　． 【答案】4． 【解答】解：设A1C交AB于D，如图： ∵A1B1∥AC， ∴∠A1＝∠A1CA， ∵将△ABC绕点C按逆时针方向旋转得到△A1B1C， ∴∠A1＝∠BAC， ∴∠A1CA＝∠BAC， ∴CD＝AD， ∵∠ACB＝90°， ∴∠CBD+∠BAC＝90°＝∠A1CA+∠BCD， ∴∠CBD＝∠BCD， ∴BD＝CD， ∴BD＝CD＝AD， ∴S△BDE＝S△ADES△ABE， ∵S△ABE＝3S△ACE， ∴S△BDE＝S△ADES△ACE， ∴， ∴， 设CE＝2x，则DE＝3x，CD＝5x＝BD＝AD， ∴BE4x， ∴BC2x， ∵∠BCE＝∠CBA，∠BEC＝90°＝∠BCA， ∴△BCE∽△ABC， ∴， ∵AC＝8， ∴， ∴AB＝4． 故答案为：4． 13．如图，在矩形ABCD中，AD＝2，DC＝4，将线段DC绕点D按逆时针方向旋转，当点C的对应点E恰好落在边AB上时，图中阴影部分的面积是 　24﹣64π　． 【答案】24﹣64π． 【解答】解：∵将线段DC绕点D按逆时针方向旋转， ∴DE＝DC＝4， ∵cos∠ADE， ∴∠ADE＝60°， ∴∠EDC＝30°， ∴S扇形EDC4π， ∵AE6， ∴BE＝AB﹣AE＝46， ∵四边形ABCD是矩形， ∴EB∥CD，∠B＝∠DCB＝90°， ∵EB≠CB， ∴四边形DCBE是直角梯形， ∴S四边形DCBE24﹣6， ∴阴影部分的面积＝24﹣64π， 故答案为：24﹣64π． 14．第二十四届北京冬奥会入场式引导牌上的图案融入了中国结和雪花两种元素．如图，这个图案绕着它的中心旋转角α（0°＜α＜360°）后能够与它本身重合，则角α可以为 　60（答案不唯一）．　度．（写出一个即可） 【答案】60（答案不唯一）． 【解答】解：360°÷6＝60°， 则这个图案绕着它的中心旋转60°后能够与它本身重合， 故答案为：60（答案不唯一）． 15．如图，直线a∥b，△AOB的边OB在直线b上，∠AOB＝55°，将△AOB绕点O顺时针旋转75°至△A1OB1，边A1O交直线a于点C，则∠1＝　50　°． 【答案】50． 【解答】解：∵将△AOB绕点O顺时针旋转75°至△A1OB1， ∴∠A1OB1＝∠AOB＝55°，∠AOA1＝75°， ∴∠A1OD＝180°﹣55°﹣75°＝50°， ∵直线a∥b， ∴∠1＝∠A1OD＝50°， 故答案为：50． 三．解答题（共5小题） 16．综合与实践． （1）提出问题．如图1，在△ABC和△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，且AB＝AC，AD＝AE，连接BD，连接CE交BD的延长线于点O． ①∠BOC的度数是 　90°　． ②BD：CE＝　1：1　． （2）类比探究．如图2，在△ABC和△DEC中，∠BAC＝∠EDC＝90°，且AB＝AC，DE＝DC，连接AD、BE并延长交于点O． ①∠AOB的度数是 　45°　； ②AD：BE＝　1：　． （3）问题解决．如图3，在等边△ABC中，AD⊥BC于点D，点E在线段AD上（不与A重合），以AE为边在AD的左侧构造等边△AEF，将△AEF绕着点A在平面内顺时针旋转任意角度．如图4，M为EF的中点，N为BE的中点． ①说明△MND为等腰三角形． ②求∠MND的度数． 【答案】（1）①∠BOC的度数是 90°，②BD：CE＝1：1． （2）①∠AOB 的度数是 45°，②． （3）①证明见解答过程，②∠MND＝120°． 【解答】解：（1）①∵∠BAC＝∠DAE＝90°， ∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC， ∴∠BAD＝∠CAE． 又∵AB＝AC，AD＝AE， ∴△BAD≌△CAE（SAS）． ∴∠ABD＝∠ACE， ∵∠BAC＝90°， ∴∠ABC+∠ACB＝∠ABD+∠OBC+∠ACB＝90°， ∴∠ACE+∠OBC+∠ACB＝90°， 即：∠BCE+∠OBC＝90°， ∴∠BOC＝90°． 故∠BOC的度数是90°． ②由①得△BAD≌△CAE， ∴BD＝CE． 故BD：CE＝1：1． （2）①∵AB＝AC，DE＝DC， ∴， 又∵∠BAC＝∠EDC＝90°， ∴△ABC∽△DEC， ∴∠ACB＝∠DCB，． ∴∠ACE+∠ECB＝∠DCA+∠ACE， ∴∠ECB＝∠DCA． ∴△ECB∽△DCA， ∴∠CBE＝∠CAD， ∴∠AOB＝180°﹣∠ABO﹣∠BAO＝180°﹣∠ABO﹣∠CAD﹣∠BAC＝180°﹣∠ABO﹣∠CBE﹣90°＝180°﹣45°﹣90°＝45°． 故∠AOB 的度数是45°． ②由①得：△ECB∽△DCA． ∴AD：BE＝DC：EC， ∵∠EDC＝90°，且DE＝DC， ∴∠DCE＝45°， ∴cos45°． ∴． （3）①解：连接BF、CE，延长CE交MN于点P，交BF于点O． 在等边△ABC中AB＝AC，又∵AD⊥BC于点D， ∴D为BC的中点， 又∵M为EF的中点，N为BE的中点， ∴MN、ND分别是△BEF、△BCE的中位线， ∴MNBF，DNEC． ∵∠FAE＝∠BAC＝60°， ∴∠FAE+∠EAB＝∠BAC+∠EAB． ∴∠FAB＝∠EAC． 在△ACE和△ABF中， ， ∴△ACE≌△ABF（SAS）． ∴BF＝EC． ∴MN＝DN． ∴△MND为等腰三角形． ②∵△ACE≌△ABF， ∴∠ACE＝∠ABF， 由（1）（2）规律可知：∠BOC＝60°， ∴∠FOC＝180°﹣∠BOC＝180°﹣60°＝120°， 又∵BF∥MN，CP∥DN， ∴∠MND＝∠MPE＝∠FOC＝120°． 17．将一副直角三角板DOE与AOC叠放在一起，如图1，∠O＝90°，∠A＝30°，∠E＝45°，OD＞OC．在两三角板所在平面内，将三角板DOE绕点O顺时针方向旋转α（0°＜α＜90°）度到D1OE1位置，使OD1∥AC，如图2． （1）求α的值； （2）如图3，继续将三角板DOE绕点O顺时针方向旋转，使点E落在AC边上点E2处，点D落在点D2处，设E2D2交OD1于点G，OE1交AC于点H，若点G是E2D2的中点，试判断四边形OHE2G的形状，并说明理由． 【解答】解：（1）∵OD1∥AC， ∴∠A＝∠AOD1＝30°， ∵将三角板DOE绕点O顺时针方向旋转α（0°＜α＜90°）度到三角形D1OE1位置， ∴∠AOD1＝α＝30°； （2）四边形OHE2G是正方形，理由如下： ∵∠E2OD2＝90°，OD2＝OE2，点G是E2D2的中点， ∴E2G＝OG，E2G⊥OG， ∵OD1∥AC， ∴∠GOH＝∠AHO＝90°，∠OGE2＝∠CE2G＝90°， ∴四边形OHE2G是矩形， 又∵E2G＝OG， ∴四边形OHE2G是正方形． 18．如图，网格中每个小正方形的边长均为1，△ABC的顶点均在小正方形的格点上． （1）将△ABC向下平移3个单位长度得到△A1B1C1，画出△A1B1C1； （2）将△ABC绕点C顺时针旋转90度得到△A2B2C2，画出△A2B2C2； （3）在（2）的运动过程中请计算出△ABC扫过的面积． 【解答】解：（1）△A1B1C1如图所示； （2）△A2B2C2如图所示； （3）， ∵AC， ∴， ∴在（2）的运动过程中△ABC扫过的面积． 19．（1）如图①，△ABC和△ADE是等边三角形，连接DC．点F，G，H分别是DE，DC和BC的中点．连接FG，FH．易证：（不需证明）； （2）当等边△ADE绕着点A旋转到如图②，图③所示的位置时，判断线段FH和FG的数量关系，写出你的猜想并对图②或图③的结论加以证明． 【答案】FHFG． 【解答】解：如图2，连接AH，AF，EC， ∵△ABC和△ADE是等边三角形，点F，G，H分别是DE，DC和BC的中点， ∴∠EAF＝∠HAC＝30°，AF⊥DE，AH⊥BC，EC＝2FG， ∴，，∠HAF＝∠CAE， ∴， ∴△AHF∽△ACE， ∴， ∴， ∴FHFG， 如图3，连接AH，AF，EC， 同理可证：FHFG． 20．如图1，在等腰Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝CB，点D，E分别在AB，CB上，DB＝EB，连结AE，CD，取AE中点F，连结BF． （1）求证：CD＝2BF，CD⊥BF； （2）将△DBE绕点B顺时针旋转到图2的位置． ①请直接写出BF与CD的位置关系：　BF⊥CD　； ②求证：CD＝2BF． 【解答】（1）证明：在△ABE和△CBD中， ∵AB＝BC，∠ABE＝∠CBD，BE＝BD， ∴△ABE≌△CBD（SAS）， ∴AE＝CD，∠FAB＝∠BCD． ∵F是Rt△ABE斜边AE的中点， ∴AE＝2BF， ∴CD＝2BF， ∵， ∴∠FAB＝∠FBA． ∴∠FBA＝∠BCD， ∵∠FBA+∠FBC＝90°， ∴∠FBC+∠BCD＝90°． ∴BF⊥CD； （2）①BF⊥CD； 理由如下：延长BF到点G，使FG＝BF，连结AG．延长BE到M，使BE＝BM，连接AM并延长交CD于点N． 证△AGB≌△BDC（具体证法过程跟②一样）． ∴∠ABG＝∠BCD， ∵F是AE中点，B是EM中点， ∴BF是△ABM中位线， ∴BF∥AN， ∴∠ABG＝∠BAN＝∠BCD， ∴∠ABC＝∠ANC＝90°， ∴AN⊥CD， ∵BF∥AN， ∴BF⊥CD． 故答案为：BF⊥CD； ②证明：延长BF到点G，使FG＝BF，连结AG． ∵AF＝EF，FG＝BF，∠AFG＝∠EFB， ∴△AGF≌△EBF（SAS）， ∴∠FAG＝∠FEB，AG＝BE． ∴AG∥BE． ∴∠GAB+∠ABE＝180°， ∵∠ABC＝∠EBD＝90°， ∴∠ABE+∠DBC＝180°， ∴∠GAB＝∠DBC． ∵BE＝BD， ∴AG＝BD． 在△AGB和△BDC中， ∵AG＝BD，∠GAB＝∠DBC，AB＝CB， ∴△AGB≌△BDC（SAS）， ∴CD＝BG． ∵BG＝2BF， ∴CD＝2BF， ( — 1 — ) 学科网（北京）股份有限公司 $$