三角形-全国中考数学五年（2020-2024）真题知识点分类汇编

2020—2024年全国中考数学真题知识点分类汇编之三角形 一．选择题（共10小题） 1．如图，在Rt△ABC中，D是AC的中点，∠BDC＝60°，AC＝6，则BC的长是（　　） A．3 B．6 C． D． 2．如图，在△ABC中，∠BAC＝60°，∠B＝50°，AD∥BC，则∠1的度数为（　　） A．50° B．60° C．70° D．80° 3．如图，图1是北京国际数学家大会的会标，它取材于我国古代数学家赵爽的“弦图”，是由四个全等的直角三角形拼成．若图1中大正方形的面积为24，小正方形的面积为4，现将这四个直角三角形拼成图2，则图2中大正方形的面积为（　　） A．24 B．36 C．40 D．44 4．如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝2，以BC为边作Rt△BCD，BC＝BD，点D与点A在BC的两侧，则AD的最大值为（　　） A．2+3 B．6+2 C．5 D．8 5．如图，在正方形方格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，点A，B，C，D，E均在小正方形方格的顶点上，线段AB，CD交于点F，若∠CFB＝α，则∠ABE等于（　　） A．180°﹣α B．180°﹣2α C．90°+α D．90°+2α 6．将一副直角三角板和一把宽度为2cm的直尺按如图方式摆放：先把60°和45°角的顶点及它们的直角边重合，再将此直角边垂直于直尺的上沿，重合的顶点落在直尺下沿上，这两个三角板的斜边分别交直尺上沿于A，B两点，则AB的长是（　　） A．2 B．22 C．2 D．2 7．一技术人员用刻度尺（单位：cm）测量某三角形部件的尺寸．如图所示，已知∠ACB＝90°，点D为边AB的中点，点A、B对应的刻度为1、7，则CD＝（　　） A．3.5cm B．3cm C．4.5cm D．6cm 8．如图，BD是等边△ABC的边AC上的高，以点D为圆心，DB长为半径作弧交BC的延长线于点E，则∠DEC＝（　　） A．20° B．25° C．30° D．35° 9．如图△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝4，AC＝x，∠BAC＝α，O为AB中点，若点D为直线BC下方一点，且△BCD与△ABC相似，则下列结论： ①若α＝45°，BC与OD相交于E，则点E不一定是△ABD的重心； ②若α＝60°，则AD的最大值为； ③若α＝60°，△ABC∽△CBD，则OD的长为； ④若△ABC∽△BCD，则当x＝2时，AC+CD取得最大值． 其中正确的为（　　） A．①④ B．②③ C．①②④ D．①③④ 10．如图，在Rt△ABC中，AB＝6cm，BC＝8cm，D、E分别为AC、BC中点，连接AE、BD相交于点F，点G在CD上，且DG：GC＝1：2，则四边形DFEG的面积为（　　） A．2cm2 B．4cm2 C．6cm2 D．8cm2 二．填空题（共5小题） 11．图①中有一首古算诗，根据诗中的描述可以计算出红莲所在位置的湖水深度，其示意图如图②，其中AB＝AB′，AB⊥B′C于点C，BC＝0.5尺，B′C＝2尺．设AC的长度为x尺，可列方程为 　 　． 12．如图，AB∥CD，∠C＝33°，OC＝OE．则∠A＝　 　°． 13．如图，在△ABC中，点A的坐标为（0，1），点B的坐标为（4，1），点C的坐标为（3，4），点D在第一象限（不与点C重合），且△ABD与△ABC全等，点D的坐标是 　 　． 14．如图，△ABC≌△CDE，若∠D＝35°，∠ACB＝45°，则∠DCE的度数为 　 　． 15．如图，把两根钢条OA，OB的一个端点连在一起，点C，D分别是OA，OB的中点，若CD＝4cm，则该工件内槽宽AB的长为 　 　cm． 三．解答题（共5小题） 16．如图，在▱ABCD中，点O是AB的中点，连接CO并延长，交DA的延长线于点E．求证：AE＝BC． 17．如图，点A、D、B、E在同一条直线上，AD＝BE，AC＝DF，BC＝EF． （1）求证：△ABC≌△DEF； （2）若∠A＝55°，∠E＝45°，求∠F的度数． 18．如图，点D、E分别是等边三角形ABC边BC、AC上的点，且BD＝CE，BE与AD交于点F．求证：AD＝BE． 19．如图，△ABC是边长为4的等边三角形，动点E，F分别以每秒1个单位长度的速度同时从点A出发，点E沿折线A→B→C方向运动，点F沿折线A→C→B方向运动，当两者相遇时停止运动．设运动时间为t秒，点E，F的距离为y． （1）请直接写出y关于t的函数表达式并注明自变量t的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质； （3）结合函数图象，写出点E，F相距3个单位长度时t的值． 20．如图，点D，E分别在AB，AC上，∠ADC＝∠AEB＝90°，BE，CD相交于点O，OB＝OC． 求证：∠1＝∠2． 小虎同学的证明过程如下： 证明：∵∠ADC＝∠AEB＝90°， ∴∠DOB+∠B＝∠EOC+∠C＝90°． ∵∠DOB＝∠EOC， ∴∠B＝∠C．……第一步 又OA＝OA，OB＝OC， ∴△ABO≌△ACO．……第二步 ∴∠1＝∠2．……第三步 （1）小虎同学的证明过程中，第 　 　步出现错误； （2）请写出正确的证明过程． 2020—2024年全国中考数学真题知识点分类汇编之三角形 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题） 1．如图，在Rt△ABC中，D是AC的中点，∠BDC＝60°，AC＝6，则BC的长是（　　） A．3 B．6 C． D． 【答案】A 【解答】解：∵点D是Rt△ABC斜边AC的中点，AC＝6， ∴BD＝CD＝ADAC＝3， ∵∠BDC＝60°， ∴△BCD为等边三角形， ∴BC＝BD＝3． 故选：A． 2．如图，在△ABC中，∠BAC＝60°，∠B＝50°，AD∥BC，则∠1的度数为（　　） A．50° B．60° C．70° D．80° 【答案】C 【解答】解：∵∠BAC＝60°，∠B＝50°， ∴∠C＝180°﹣∠BAC﹣∠B＝180°﹣60°﹣50°＝70°， ∵AD∥BC， ∴∠1＝∠C＝70°， 故选：C． 3．如图，图1是北京国际数学家大会的会标，它取材于我国古代数学家赵爽的“弦图”，是由四个全等的直角三角形拼成．若图1中大正方形的面积为24，小正方形的面积为4，现将这四个直角三角形拼成图2，则图2中大正方形的面积为（　　） A．24 B．36 C．40 D．44 【答案】D 【解答】解：如图，直角三角形的两直角边为a，b，斜边为c， ∵图1中大正方形的面积是24， ∴a2+b2＝c2＝24， ∵小正方形的面积是4， ∴（a﹣b）2＝a2+b2﹣2ab＝4， ∴ab＝10， ∴图2中最大的正方形的面积为＝c2+4ab＝24+2×10＝44； 故选：D． 4．如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝2，以BC为边作Rt△BCD，BC＝BD，点D与点A在BC的两侧，则AD的最大值为（　　） A．2+3 B．6+2 C．5 D．8 【答案】D 【解答】解：如图，将BA绕点B顺时针旋转90°，得到BE，连接AE，DE， ∴BE＝AB，∠ABE＝90°， ∴AEAB＝6， ∵∠DBC＝90°＝∠EBA， ∴∠DBE＝∠CBA， 又∵BD＝BC，AB＝BE， ∴△DBE≌△CBA（SAS）， ∴DE＝AC＝2， 在△ADE中，AD＜AE+DE， ∴当A，D，E三点共线时，AD有最大值， ∴AD的最大值＝6+2＝8， 故选：D． 5．如图，在正方形方格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，点A，B，C，D，E均在小正方形方格的顶点上，线段AB，CD交于点F，若∠CFB＝α，则∠ABE等于（　　） A．180°﹣α B．180°﹣2α C．90°+α D．90°+2α 【答案】C 【解答】解：如图，过B点作BG∥CD，连接EG， ∵BG∥CD， ∴∠ABG＝∠CFB＝α． ∵BG2＝12+42＝17，BE2＝12+42＝17，EG2＝32+52＝34， ∴BG2+BE2＝EG2， ∴△BEG是直角三角形， ∴∠GBE＝90°， ∴∠ABE＝∠GBE+∠ABG＝90°+α． 故选：C． 6．将一副直角三角板和一把宽度为2cm的直尺按如图方式摆放：先把60°和45°角的顶点及它们的直角边重合，再将此直角边垂直于直尺的上沿，重合的顶点落在直尺下沿上，这两个三角板的斜边分别交直尺上沿于A，B两点，则AB的长是（　　） A．2 B．22 C．2 D．2 【答案】B 【解答】解：在Rt△ACD中，∠ACD＝45°， ∴∠CAD＝45°＝∠ACD， ∴AD＝CD＝2cm， 在Rt△BCD中，∠BCD＝60°， ∴∠CBD＝30°， ∴BC＝2CD＝4cm， ∴BD2（cm）， ∴AB＝BD﹣AD＝（22）（cm）． 故选：B． 7．一技术人员用刻度尺（单位：cm）测量某三角形部件的尺寸．如图所示，已知∠ACB＝90°，点D为边AB的中点，点A、B对应的刻度为1、7，则CD＝（　　） A．3.5cm B．3cm C．4.5cm D．6cm 【答案】B 【解答】解：由图可得， ∠ACB＝90°，AB＝7﹣1＝6（cm），点D为线段AB的中点， ∴CDAB＝3cm， 故选：B． 8．如图，BD是等边△ABC的边AC上的高，以点D为圆心，DB长为半径作弧交BC的延长线于点E，则∠DEC＝（　　） A．20° B．25° C．30° D．35° 【答案】C 【解答】解：在等边△ABC中，∠ABC＝60°， ∵BD是AC边上的高， ∴BD平分∠ABC， ∴∠CBD∠ABC＝30°， ∵BD＝ED， ∴∠DEC＝∠CBD＝30°， 故选：C． 9．如图△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝4，AC＝x，∠BAC＝α，O为AB中点，若点D为直线BC下方一点，且△BCD与△ABC相似，则下列结论： ①若α＝45°，BC与OD相交于E，则点E不一定是△ABD的重心； ②若α＝60°，则AD的最大值为； ③若α＝60°，△ABC∽△CBD，则OD的长为； ④若△ABC∽△BCD，则当x＝2时，AC+CD取得最大值． 其中正确的为（　　） A．①④ B．②③ C．①②④ D．①③④ 【答案】A 【解答】解：①有3种情况，如图1，BC和OD都是中线，点E是重心； 如图2，四边形ABDC是平行四边形，F是AD中点，点E是重心； 如图3，点F不是AD中点，所以点E不是重心； 故①正确； ②当a＝60°，如图，AD取得最大值，AB＝4， ∴AC＝BE＝2，BC＝AE＝2，BDBC＝6， ∴DE＝8， ∴AD＝22， ∴②错误． ③如图，若a＝60°，△ABC∽△CBD， ∴∠BCD＝60°，∠CDB＝90°，AB＝4，AC＝2，BC＝2，OE，CE＝1， ∴CD，GE＝DF，CF， ∴EF＝DG，OG， ∴OD， ∴③错误． ④如图，△ABC∽△BCD， ∴， 即CD， 在Rt△ABC中，BC2＝16﹣x2， ∴CD（16﹣x2）x2+4， ∴AC+CD＝xx2+4（x﹣2）2+5， 当x＝2时，AC+CD最大为5， 故④正确． 故选：A． 10．如图，在Rt△ABC中，AB＝6cm，BC＝8cm，D、E分别为AC、BC中点，连接AE、BD相交于点F，点G在CD上，且DG：GC＝1：2，则四边形DFEG的面积为（　　） A．2cm2 B．4cm2 C．6cm2 D．8cm2 【答案】B 【解答】解：连接DE，如图： ∵D、E分别为AC、BC中点， ∴DE是△ABC的中位线， ∴DEAB＝3cm，DE∥AB， ∴△DEF∽△BAF， ∴（）2，， ∴， ∴S△ABFS△ABEAB•BE68＝8（cm2）， ∴S△DEFS△ABF＝2（cm2）， ∵S△DECDE•CE3×4＝6（cm2），DG：GC＝1：2， ∴S△DEGS△DEC＝2（cm2）， ∴S四边形DFGE＝S△DEF+S△DEG＝4（cm2）， ∴四边形DFEG的面积为4cm2， 故选：B． 二．填空题（共5小题） 11．图①中有一首古算诗，根据诗中的描述可以计算出红莲所在位置的湖水深度，其示意图如图②，其中AB＝AB′，AB⊥B′C于点C，BC＝0.5尺，B′C＝2尺．设AC的长度为x尺，可列方程为 　x2+22＝（x+0.5）2　． 【答案】x2+22＝（x+0.5）2． 【解答】解：在Rt△AB'C中，由勾股定理得， AC2+B'C2＝AB'2， 即x2+22＝（x+0.5）2， 故答案为：x2+22＝（x+0.5）2． 12．如图，AB∥CD，∠C＝33°，OC＝OE．则∠A＝　66　°． 【答案】66． 【解答】解：∵OC＝OE，∠C＝33°， ∴∠E＝∠C＝33°， ∴∠DOE＝∠E+∠C＝66°， ∵AB∥CD， ∴∠A＝∠DOE＝66°， 故答案为：66． 13．如图，在△ABC中，点A的坐标为（0，1），点B的坐标为（4，1），点C的坐标为（3，4），点D在第一象限（不与点C重合），且△ABD与△ABC全等，点D的坐标是 　（1，4）　． 【答案】（1，4）． 【解答】解：∵点D在第一象限（不与点C重合），且△ABD 与△ABC 全等， ∴△BAD≌△ABC， ∴AD＝BC，BD＝AC，如图所示： 由图可知：D（1，4）； 故答案为：（1，4）． 14．如图，△ABC≌△CDE，若∠D＝35°，∠ACB＝45°，则∠DCE的度数为 　100°　． 【答案】100°． 【解答】解：∵△ABC≌△CDE， ∴∠ACB＝∠CED＝45°， ∵∠D＝35°， ∴∠DCE＝180°﹣∠CED﹣∠D＝180°﹣45°﹣35°＝100°， 故答案为：100°． 15．如图，把两根钢条OA，OB的一个端点连在一起，点C，D分别是OA，OB的中点，若CD＝4cm，则该工件内槽宽AB的长为 　8　cm． 【解答】解：∵点C，D分别是OA，OB的中点， ∴CD是△AOB的中位线， ∴AB＝2CD， ∵CD＝4cm， ∴AB＝2CD＝8（cm）， 故答案为：8． 三．解答题（共5小题） 16．如图，在▱ABCD中，点O是AB的中点，连接CO并延长，交DA的延长线于点E．求证：AE＝BC． 【解答】证明：∵点O是AB的中点， ∴AO＝OB， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∴∠E＝∠BCO， 又∠AOE＝∠BOC， ∴△AOE≌△BOC（AAS）， ∴AE＝BC． 17．如图，点A、D、B、E在同一条直线上，AD＝BE，AC＝DF，BC＝EF． （1）求证：△ABC≌△DEF； （2）若∠A＝55°，∠E＝45°，求∠F的度数． 【解答】（1）证明：∵AD＝BE， ∴AD+BD＝BE+BD， 即AB＝DE， 在△ABC和△DEF中， ， △ABC≌△DEF（SSS）； （2）解：∵∠A＝55°，∠E＝45°， 由（1）可知：△ABC≌△DEF， ∴∠A＝∠FDE＝55°， ∴∠F＝180°﹣（∠FDE+∠E）＝180°﹣（55°+45°）＝80°． 18．如图，点D、E分别是等边三角形ABC边BC、AC上的点，且BD＝CE，BE与AD交于点F．求证：AD＝BE． 【解答】证明：∵△ABC为等边三角形， ∴∠ABD＝∠C＝60°，AB＝BC， 在△ABD和△BCE中， ， ∴△ABD≌△BCE（SAS）， ∴AD＝BE． 19．如图，△ABC是边长为4的等边三角形，动点E，F分别以每秒1个单位长度的速度同时从点A出发，点E沿折线A→B→C方向运动，点F沿折线A→C→B方向运动，当两者相遇时停止运动．设运动时间为t秒，点E，F的距离为y． （1）请直接写出y关于t的函数表达式并注明自变量t的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质； （3）结合函数图象，写出点E，F相距3个单位长度时t的值． 【答案】（1）； （2）图象及函数的性质见解答过程； （3）3或4.5． 【解答】解：（1）当点E、F分别在AB、AC上运动时，△AEF为边长等于t的等边三角形， ∴点E，F的距离等于AE、AF的长， ∴当0≤t≤4时，y关于t的函数表达式为y＝t， 当点E、F都在BC上运动时，点E，F的距离等于4﹣2（t﹣4）， ∴当4＜t≤6时，y关于t的函数表达式为y＝4﹣2（t﹣4）＝12﹣2t， ∴y关于t的函数表达式为； （2）由（1）中得到的函数表达式可知：当t＝0时，y＝0；当t＝4时，y＝4；当t＝6时，y＝0， 分别描出三个点（0，0），（4，4），（6，0），然后顺次连线，如图： 该函数的其中一个性质：当0≤t≤4时，y随t的增大而增大．（答案不唯一，正确即可） （3）把y＝3分别代入y＝t和y＝12﹣2t中，得： 3＝t，3＝12﹣2t， 解得：t＝3或t＝4.5， ∴点E，F相距3个单位长度时t的值为3或4.5． 20．如图，点D，E分别在AB，AC上，∠ADC＝∠AEB＝90°，BE，CD相交于点O，OB＝OC． 求证：∠1＝∠2． 小虎同学的证明过程如下： 证明：∵∠ADC＝∠AEB＝90°， ∴∠DOB+∠B＝∠EOC+∠C＝90°． ∵∠DOB＝∠EOC， ∴∠B＝∠C．……第一步 又OA＝OA，OB＝OC， ∴△ABO≌△ACO．……第二步 ∴∠1＝∠2．……第三步 （1）小虎同学的证明过程中，第 　二　步出现错误； （2）请写出正确的证明过程． 【答案】（1）二； （2）证明见解答过程． 【解答】（1）解：小虎同学的证明过程中，第二步出现错误， 故答案为：二； （2）证明：∵∠ADC＝∠AEB＝90°， ∴∠BDC＝∠CEB＝90°， 在△DOB和△EOC中， ， ∴△DOB≌△EOC（AAS）， ∴OD＝OE， 在Rt△ADO和Rt△AEO中， ， ∴Rt△ADO≌Rt△AEO（HL）， ∴∠1＝∠2， 方法二：∵OD＝OE，∠ADC＝∠AEB＝90°， ∴∠1＝∠2． ( — 1 — ) 学科网（北京）股份有限公司 $$