第二章 有理数及其运算 综合巩固卷（2）2024-2025学年北师大版数学七年级上册

第 1页（共 6页） 参考答案 一、单选题（本大题共 10小题，总分 40分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B D B B D D C D D B 二、填空题（本大题共 5小题，总分 20分） 11．3.6×108． 12． � ��� ． 13．﹣8． 14．﹣a﹣c． 15．a≤7． 三、解答题（本大题共 10小题，总分 90分） 16．解：﹣|﹣3|＝﹣3，﹣（﹣8）＝8，（﹣1）2＝1， 正有理数集合：{�，�. �， − ( − �)，( − �)�， ��}； 负有理数集合：{−| − �|， − �， − ��}； 整数集合：{5，﹣|﹣3|，0，﹣1，﹣（﹣8），（﹣1）2}； 分数集合：{�. �， ��， − � �}； 非负数集合：{�，�. �，�， − ( − �)，( − �)�， ��}． 故答案为：�，�. �， − ( − �)，( − �)�， ��；−| − �|， − �， − � �；5，﹣|﹣3|，0，﹣1，﹣（﹣8），（﹣1） 2；�. �， ��， − � �；�，�. �，�， − ( − �)，( − �) �， � �． 17．解：（1）原式＝﹣1− �� ×（9﹣4） =− � − �� × � ＝﹣1﹣1 ＝﹣2； （2）原式= ��× ( − ��) − � �× ( − ��) − � �× ( − ��) ＝﹣10+4+9 第 2页（共 6页） ＝3． 18．解：（1）∵|x|＝3； ∴x＝±3， ∵|y|＝7， ∴y＝±7， ∵x＞0，y＜0， ∴x＝3，y＝﹣7， 则 x﹣y＝10； （2）∵|x|＝3，|y|＝7， ∴x＝±3，y＝±7， ∵xy＞0， ∴x＝3，y＝7或 x＝﹣3，y＝﹣7， 则 x+y＝10或﹣10． 19．解：（1）若|x|＝4，则 x＝±4， 若 x2＝16，则 x＝±4． 故答案为：±4；±4； （2）根据上述知识，你能发现的结论是：绝对值等于一个正数的数有两个，它们互为相反数；平方等于一 个正数的有两个，它们互为相反数． 故答案为：两；相反数； （3）∵|x+1|＝1，（y+2）2＝25， ∴x+1＝±1，y+2＝±5， 解得：x＝0或 x＝﹣2，y＝3或 y＝﹣7． 当 x＝0，y＝3时，x+y＝3， 当 x＝0，y＝﹣7时，x+y＝﹣7， 当 x＝﹣2，y＝3时，x+y＝1， 当 x＝﹣2，y＝﹣7时，x+y＝﹣9， 故 x+y的值可能为 1，3，﹣7，﹣9． 故答案为：1，3，﹣7，﹣9． 20．解：（1）若大圆沿数轴向左滚动一周，则该圆与数轴重合的点所表示的数是﹣2π×2＝﹣4π； 故答案为：﹣4π； 第 3页（共 6页） （2）①第 1次滚动后，|﹣1|＝1， 第 2次滚动后，|﹣1+2|＝1， 第 3次滚动后，|﹣1+2﹣4|＝3， 第 4次滚动后，|﹣1+2﹣4﹣2|＝5， 第 5次滚动后，|﹣1+2﹣4﹣2+3|＝2， 第 6次滚动后，|﹣1+2﹣4﹣2+3﹣8|＝10， 则第 6次滚动后，小圆离原点最远； 故答案为：6； ②1+2+4+3+2+8＝20， ∴当小圆结束运动时，小圆运动的路共有 20π． 21．解：∵﹣8＜﹣5＜0＜+3＜+4，|﹣8|＞|﹣5|＞|+4|＞|+3|＞0， （1）当抽取﹣8，﹣5两张卡片时，这两张卡片上数字的乘积最大，最大值是 40， 所列的算式是：（﹣8）×（﹣5），乘积的最大值为 40， 故答案为：（﹣8）×（﹣5）；40； （2）当抽取﹣8，+4，+3三张卡片时，这三张卡片上数字的乘积最小，最大值是﹣96， 所列的算式是：（﹣8）×（+4）×（+3），乘积的最小值为﹣96， 故答案为：（﹣8）×（+4）×（+3）；﹣96； （3）当抽取﹣8，+4两张卡片时，商最小，最小值是− ��， 所列的算式是：（﹣8）÷（+3），乘积的最小值为− ��， 故答案为：（﹣8）÷（+3）；− ��． 22．解：（1）根据表格可知，数最多的一天是星期日，人数为：100+（+30）＝100+30＝130（人）， 人数最少的一天是星期三，人数为：100+（﹣12）＝100﹣12＝88（人）， ∴这一周人数最多的一天比人数最少的一天多的人数为：130﹣88＝42（人）． 故答案为：42； （2）根据题意可知， 这一周的人流量为 100﹣10+100﹣5+100﹣12+100+3+100+10+100+19+100+30＝735（人）； ∴平均每天的销售额为 735×60%×14÷7＝882（元）； （3）拉伸 1次，得到的面条数为 1×2＝2（根）， 拉伸 2次，得到的面条数为 1×2×2＝22＝4（根）， 第 4页（共 6页） 拉伸 3次，得到的面条数为 1×2×2×2＝23＝8（根）， … 一次类推，拉伸 8次，得到的面条数为 28＝256（根）， ∴一碗拉面有 256根； （4）根据题意可知， 1000000＝106＝（103）2≈（210）2＝210×2＝220， ∴大约需要拉 20次， 故答案为：20． 23．解：（1）小军解法较好； （2）还有更好的解法， 49 �� �� ×（﹣5） ＝（50− ���）×（﹣5） ＝50×（﹣5）− ��� ×（﹣5） ＝﹣250+ �� ＝﹣249 � � ； （3）19 �� �� ×（﹣8） ＝（20− ���）×（﹣8） ＝20×（﹣8）− ��� ×（﹣8） ＝﹣160+ �� ＝﹣159 � � ． 24．解：（1）3③＝3÷3÷3= ��， （− ��） ⑤= ( − �� ) ÷ ( − � � ) ÷ ( − � � ) ÷ ( − � � ) ÷ ( − � � ) =− �� ×（﹣4）×（﹣4）×（﹣4）×（﹣4） 第 5页（共 6页） ＝﹣43 ＝﹣64； 故答案为： � � ，﹣64； （2）A．设数 a≠0，a②＝a÷a＝1，所以任何非零数的圈 2次方都等于 1，正确，故该选项不符合题意；B．设 m为大于的整数，1ⓜ表示 m个 1相除，结果为 1，所以正确，故该选项不符合题意；C.8⑨＝8÷8÷8÷8÷8 ÷8÷8÷8÷8＝8× �� × � � × � � × � � × � � × � � × � � × � � = ( � � ) �， 9⑧＝9÷9÷9÷9÷9÷9÷9÷9＝9× �� × � � × � � × � � × � � × � � × � � = ( � � ) �， ∴8⑨≠9⑧，故该选项符合题意； D．负数的圈奇数次方，相当于奇数个负数相除，结果是负数；负数的圈偶数次方，相当于偶数个负数相除， 结果是正数，故该选项不符合题意， 故选：C． （3）（﹣5）⑥＝（﹣5）÷（﹣5）÷（﹣5）÷（﹣5）÷（﹣5）＝（﹣5）×（− ��）×（− � �）×（− � �） ×（− ��）＝（− � �） 3， 即：（﹣5）⑥＝（− ��） 3， （ � � ）⑧＝26； 故答案为：（− ��） 3，26； （4）根据以上可得到规律：一个非零有理数 a的圈 n次方写成幂的形式为( �� ) �−�， 故答案为：( �� ) �−�； （5）( − �� ) ④ × ( − �)⑤ − ( − �� ) ③ + �� ＝（﹣3）2× ( − �� ) � −（﹣3）+9 ＝9×（− ��）+3+9 =− �� + �� ＝10 � � ． 25．解：（1）当点M，N运动 t秒时，点M表示的数为﹣2+3t，点 N表示的数为 8﹣4t， ∴MN＝|﹣2+3t﹣8+4t|＝|﹣10+7t|； 第 6页（共 6页） 又∵AB＝|a﹣b|＝|（﹣2）﹣8|＝|﹣10|＝10且MN= ��AB， ∴|﹣10+7t|＝5， 解得：t= ��或 t= �� �． ∴当 t为 � � 或 �� � 秒时，�� = ����． （2）当点M，N运动 t秒时，点M表示的数为﹣2+3t，点 N表示的数为 8﹣4t， ∴线段MN的中点 C表示的数为 −�+��+�−�� � ， 由题意得： −�+��+�−�� � =−3， ∴t＝12． ∴当 t为 12秒时，线段MN的中点 C与表示﹣3的点重合． （3）点M在运动过程中，线段 EF的长度不会发生变化，线段 EF的长为 5．理由： ∵当点M运动 t秒时，点M表示的数为﹣2+3t，点 A表示的数为﹣2，点 B表示的数为 8， ∴MA的中点 E表示的数为 −�−�+�� � ，MB的中点 F表示的数为 �−�+�� � ， ∴EF＝| −�−�+�� � − �−�+�� � |＝|﹣5|＝5． ∴点M在运动过程中，线段 EF的长度不会发生变化，线段 EF的长为 5。 北师大版数学七年级上册寒假巩固卷 第二章 有理数及其运算 综合巩固卷（2） 时间:120分钟 满分150分 一、单选题（本大题共10小题，总分40分） 1．有理数﹣5的绝对值是（　　） A．﹣5 B．5 C． D． 2．下列计算正确的是（　　） A．﹣2×3＝6 B．4÷（﹣4）＝1 C．（﹣4）2＝8 D．3﹣（﹣2）＝5 3．下列说法正确的是（　　） A．一个有理数，不是正数就是负数 B．绝对值最小的有理数是0 C．不是有理数 D．分数包括正分数，负分数和0 4．如图，用一根质地均匀长30厘米的木杆和一些相同的重物做实验．已知支撑点到木杆左右两端的距离分别为a，b，通过实验可得到如下结论：左端重物个数×a＝右端重物个数×b（×为乘号），木杆就能平衡．已知a＝10厘米，并且右端放了一个重物，若要木杆平衡则左端需要放置的重物个数为（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．有理数（﹣2）3，﹣|﹣2|，，﹣22按从小到大的顺序排列为（　　） A．|﹣2|＜﹣22＜（﹣2）3 B．﹣|﹣2|22＜（﹣2）3 C．﹣22＜（﹣2）3|﹣2| D．（﹣2）3＜﹣22＜﹣|﹣2| 6．有理数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是（　　） A．a＞﹣3 B．a+3＞0 C．abc＞0 D．﹣a＞c 7．如果|a|＝3，|b|＝4，且a＞b，那么a+b的值为（　　） A．﹣7 B．﹣1 C．﹣7或﹣1 D．7 8．如图，直径为2的圆上有一点A，且点A与数轴上表示2的点重合，将这个圆在数轴上向左无滑动的滚动，当点A再次与数轴上的某个点重合，那么这个点的位置可能是（　　） A．8与9之间 B．7与8之间 C．﹣4与﹣3之间 D．﹣5与﹣4之间 9．“幻方”最早记载于春秋时期的《大戴礼记》中，现将数字1～9填入如图所示的“幻方”中，使得每个圆圈上的四个数字的和都等于21，若每个圆圈上的四个数字的平方和分别记A、B、C，且A+B+C＝411．如果将交点处的三个圆圈填入的数字分别记作为x、y、x+y，则xy的值为（　　） A．6 B．10 C．14 D．18 10．已知a，b，c三个数在数轴上对应点的位置如图所示，下列几个判断①a＜c＜b；②﹣a＜b；③a+b＞0；④c﹣a＞0；正确的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题（本大题共5小题，总分20分） 11．地球上的海洋面积约为361 000 000km2，将361 000 000精确到10 000 000，并用科学记数法表示这个近似数为　 　． 12．计算时，再加上　 　后，结果就是1． 13．若|a+2|与（b﹣3）2互为相反数，则ab+a（3﹣b）＝　 　． 14．对于有理数x，y，定义两种新运算“★”与“◆”，规定：x★y＝|x+y|，x◆y＝|x|+|y|，如1★2＝|1+2|＝3，3◆（﹣1）＝|3|+|（﹣1）|＝4．有理数a，b，c在数轴上所表示的点如图所示，化简：（a★b）﹣（b◆c）＝ 　 　． 15．若不等式|x﹣2|+|x+3|+|x﹣1|+|x+1|≥a对一切数x都成立，则a的取值范围是　 　． 三、解答题（本大题共10小题，总分90分） 16．把下列各数填在相应的大括号里． 正有理数集合：{　 　…}； 负有理数集合：{　 　…}； 整数集合：{　 　…}； 分数集合：{　 　…}； 非负数集合：{　 　…}． 17．计算： （1）； （2）． 18．已知|x|＝3，|y|＝7． （1）若x＞0，y＜0，求x﹣y的值； （2）若xy＞0，求x+y的值． 19．小聪学习了有理数后，对知识进行归纳总结． （1）【知识呈现】根据所学知识，完成下列填空． ①|﹣2|＝2，|2|＝2； ②（﹣3）2＝9，32＝9； ③若|x|＝4，则x＝　 　； ④若x2＝16，则x＝　 　； （2）[知识归纳]根据上述知识，你能发现的结论是：绝对值等于一个正数的数有两个，它们互为相反数；平方等于一个正数的数有　 　个，它们互为　 　． （3）[知识运用]运用上述结论解答：已知|x+1|＝1，（y+2）2＝25，x+y的值可能为　 　． 20．如图，半径为1的小圆与半径为2的大圆上有一点与数轴上原点重合，两圆在数轴上做无滑动的滚动，小圆的运动速度为每秒π个单位，大圆的运动速度为每秒2π个单位． （1）若大圆沿数轴向左滚动1周，则该圆与数轴重合的点所表示的数是 　 　（结果保留π）； （2）若大圆不动，小圆沿数轴来回滚动，规定小圆向右滚动时间记为正数，向左滚动时间记为负数，依次滚动的情况记录如下（单位：秒）：﹣1，+2，﹣4，﹣2，+3，﹣8． ①第 　 　次滚动后，小圆离原点最远； ②当小圆结束运动时，小圆运动的路程共有多少？（结果保留π） 21．小明有5张写着不同数字的卡片，请你按要求抽出卡片，完成下列各问题： （1）从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字的乘积最大，如何抽取？最大值是多少？ 答：我列的算式是 　 　，乘积的最大值为 　 　． （2）从中取出3张卡片，使这3张卡片上数字的积最小，如何抽取？最小值是多少？ 答：我列的算式是 　 　，乘积的最小值为 　 　． （3）从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字的商最小，如何抽取？最小值是多少？ 答：我列的算式是 　 　，商的最小值为 　 　． 22．小张准备新开一家拉面馆，选址后对这一地区的人流量进行统计，以100人为标准，超过记为正，低于记为负，一周内同一时间的人流量如表： 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六 星期日 人数 ﹣10 ﹣5 ﹣12 +3 +10 +19 +30 （1）这一周人数最多的一天比人数最少的一天多　 　人． （2）若这些人中有60%的人来吃面，按照每人一碗，每碗面14元，则平均每天的销售额是多少？ （3）拉面师傅拉面条时，将一根很粗的面捏合在一起拉伸，再捏合，再拉伸，反复几次，就把这根很粗的面条，拉成了许多根细的面条，拉面师傅一般拉8次可做一碗拉面，求一碗拉面有多少根？ （4）据报道，在南京的一个美食节上，一个师傅用1kg面粉拉出了约100万根面条，请问这个师傅拉出约100万根面条大概需要拉　 　次．（已知210＝1024≈103） 23．学习有理数的乘法后，老师给同学们这样一道题目：计算：49（﹣5），看谁算的又快又对，有两位同学的解法如下： 小明：原式5249； 小军：原式＝（49）×（﹣5）＝49×（﹣5）（﹣5）＝﹣249； （1）对于以上两种解法，你认为谁的解法较好？ （2）上面的解法对你有何启发，你认为还有更好的方法吗？如果有，请把它写出来； （3）用你认为最合适的方法计算：19（﹣8）． 24．【概念学习】 规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方． 例如2÷2÷2，记作2③，读作“2的圈3次方”； 再例如（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3），记作（﹣3）④，读作“﹣3的圈4次方”； 一般地，把（a≠0，n为大于等于2的整数）记作a，记作aⓝ，读作“a的圈n次方”． 【初步探究】 （1）直接写出计算结果：3③＝ 　 　；（）⑤＝ 　 　； （2）关于除方，下列说法错误的是 　 　． A．任何非零数的圈2次方都等于1 B．对于任何大于等于2的整数m，1ⓜ＝1 C.8⑨＝9⑧ D．负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数 【深入思考】 我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ 除方→2④＝2÷2÷2÷2＝2（）2→乘方幂的形式． （3）仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成幂的形式： （﹣5）⑥＝ 　 　；（）⑧＝ 　 　； （4）将一个非零有理数a的圈n次方写成幂的形式为 　 　； 【灵活应用】 （5）计算：． 25．【背景知识】 数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合．研究数轴我们发现了许多重要的规律：若数轴上点A，点B表示的数分别为a，b，则A，B两点之间的距离AB＝|a﹣b|，若a＞b，则可简化为AB＝a﹣b；线段AB的中点表示的数为． 【感受新知】 如图1，数轴上点A表示的数为﹣2，点B表示的数为8，点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动．设运动时间为t秒（t＞0），求当t为何值时，． 解：由【背景知识】可得A，B两点间的距离AB＝|a﹣b|＝|（﹣2）﹣8|＝|﹣10|＝10 线段AB的中点表示的数为 当点P，Q运动t秒时，点P表示的数为﹣2+3t，点Q表示的数为8﹣2t ∴PQ＝|a﹣b|＝|（﹣2+3t）﹣（8﹣2t）|＝|5t﹣10）| 当时， ∴5t﹣10＝5或10﹣5t＝5 解得，t＝1或t＝3 ∴当t为1秒或3秒时，． 【学以致用】 如图2，点M从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点N从点B出发，以每秒4个单位长度的速度向左匀速运动，设运动时间为t秒（t＞0）． （1）求当t为何值时，； 【综合运用】 （2）求当t为何值时，线段MN的中点C与表示﹣3的点重合； 【拓展提升】 （3）若点E为MA的中点，点F为MB的中点，点M在运动过程中，线段EF的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出线段EF的长． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$