第二单元圆柱和圆锥·思维素养篇·第一部分圆柱【从课内到奥数】-2024-2025学年六年级数学下册典型例题系列（原卷版+解析版）苏教版

第 1 页 共 18 页 篇首寄语 我们每位老师都希望把最好的教学资料留给学生使用，所以在平时教学时， 能够快速找到高质量、高效率、高标准的资料显得十分重要。编者以前常常游走 于各大学习网站寻找自己所需的资料，可却总在花费大量时间与精力后才能找到 自己心仪的那份，这样费时费力不讨好，实在有些苦恼。正因如此，每次在寻找 资料时，编者就会想，如果是自己来创作一份资料那又该如何呢？那么这份资料 应该首先满足自身教学需要，并达到我的高标准要求，然后才能为他人提供参考。 于是，本着这样的想法，在结合自身教学需求和学生实际情况后，最终酝酿出了 一个既适宜课堂教学，又适应课后作业，还适合阶段复习的大综合系列。 《2024-2025 学年六年级数学下册典型例题系列「2025 版」》，它基于教材 知识和常年真题进行总结与编辑，该系列主要分为典型例题篇、专项练习篇、单 元复习篇、思维素养篇、分层试卷篇等五个部分。 1.典型例题篇，按照单元顺序进行编辑，主要分为计算和应用两大部分，其 优点在于考题典型，考点丰富，变式多样。 2.专项练习篇，从高频考题和期末真题中选取专项练习，其优点在于选题经 典，题型多样，题量适中。 3.单元复习篇，汇集系列精华，高效助力单元复习，其优点在于综合全面， 精练高效，实用性强。 4.思维素养篇，新的学年，新的篇章，从课本到奥数，从方法到思维，从基 础技能到核心素养，其优点在于由浅入深，思维核心，方法易懂。 5.分层试卷篇，根据试题难度和水平，主要分为 A卷·基础巩固卷、B卷·素 养提高卷、C卷·思维拓展卷，其优点在于考点广泛，分层明显，适应性广。 时光荏苒，转眼之间，《典型例题系列》已经历三个学年三个版本，在过去， 它扬长补短，去粗取精，日臻完善；在未来，它承前启后，不断发展，未有竟时。 黄金无足色，白璧有微瑕，如果您在使用资料的过程中有任何宝贵意见，请 留言于我，欢迎您的使用，感谢您的支持！ 101 数学创作社 2025 年 1 月 9 日 第 2 页 共 18 页 目 录 【课内精选一】圆柱的表面积 ................................................................................................ 3 【课内精选二】圆柱的体积（一） ........................................................................................ 4 【课内精选三】圆柱的体积（二） ........................................................................................ 5 【课内精选四】圆柱的体积（三） ........................................................................................ 6 【奥数拓展一】圆柱的切拼问题（一） ................................................................................ 7 【奥数拓展二】圆柱的切拼问题（二） ................................................................................ 8 【奥数拓展三】圆柱的切拼问题（三） ................................................................................ 9 【奥数拓展四】圆柱的切拼问题（四） .............................................................................. 10 【奥数拓展五】圆柱的切拼问题（五） .............................................................................. 11 【奥数拓展六】整体代换法求表面积（一） ...................................................................... 12 【奥数拓展七】整体代换法求表面积（二） ...................................................................... 13 【奥数拓展八】组合或不规则圆柱体的表面积（一） ......................................................14 【奥数拓展九】组合或不规则圆柱体的表面积（二） ......................................................15 【奥数拓展十】排水法求体积（一） .................................................................................. 16 【奥数拓展十一】排水法求体积（二） .............................................................................. 17 第 3 页 共 18 页 2024-2025 学年六年级数学下册典型例题系列「2025 版」 第二单元圆柱和圆锥·思维素养篇·第一部分圆柱 【从课内到奥数】 【课内精选一】圆柱的表面积。 用一块长方形铁皮做一个圆柱形罐子（如图），剪图中的阴影部分正好可以围成 一个圆柱。制做这个罐子共需要多少平方分米铁皮？（接口处忽略不计） 【专项训练】 1．10个无盖油桶的外表面要刷漆，每平方米需油漆 0.6kg，每个油桶的底面直 径是 40cm，高是 60cm。刷 10个油桶需要多少油漆？ 第 4 页 共 18 页 2．制作一个无盖的圆柱形水桶，有以下几种型号的铁皮可供搭配选择。 （1）你选择的材料是（ ）号和（ ）号（填序号）。 （2）用你选择的材料制作水桶，一共用了多少 dm2的铁皮？ 3．某公园决定新挖一个直径是 6米，深 12分米的圆形水池。 （1）这个水池的占地面积是多少？ （2）如果这个水池修好后，需要用水泥把池底和侧壁粉刷（防水处理），如果 每平方米需要 400克水泥，共需要多少千克水泥？ 【课内精选二】圆柱的体积（一）。 一个圆柱体的高是 12.56厘米，它的侧面展开是一个正方形，这个圆柱体的体积 是多少立方厘米? 【专项训练】 1. 一个圆柱体的高是 31.4厘米，它的侧面展开是一个正方形，求这个圆柱体的 体积。 第 5 页 共 18 页 2. 一个圆柱体的侧面展开是一个正方形，圆柱的底面半径是 10厘米，这个圆柱 体的体积是多少立方厘米? 3. 一个圆柱体，它的侧面展开是一个长方形(宽为圆柱体的高)，已知展开后的长 方形的长是宽的 2倍，且宽是 15.7厘米，求这个圆柱体的体积。 【课内精选三】圆柱的体积（二）。 一个圆柱体水桶的侧面积是它的一个底面积的 3 倍，已知水桶的底面半径是 2 分米，这个水桶能装多少升水? 【专项训练】 1. 一个圆柱体水桶，如果将高改为原来的一半，底面直径改为原来的 2倍，可 装水 40千克，那么，原来的水桶可装水多少千克? 2. 一个圆柱体的高是 10厘米，若高减少 3厘米，则表面积比原来减少 94.2平方 厘米，求原来圆柱体的体积。 第 6 页 共 18 页 【课内精选四】圆柱的体积（三）。 一个底面半径为 3厘米的圆柱形量筒，把一个铁块放入量筒后，浸没在水中，水 面上升了 4厘米，求这个铁块的体积。 【专项训练】 1. 一个底面半径为 5厘米的圆柱形容器，放入一个石块后，浸没在水中，水面 上升了 2厘米，求这个石块的体积。 2. 在一个底面直径为 6厘米的圆柱形杯子里，一颗土豆完全浸没在水中，当把 土豆从水中取出后，杯中的水面下降了 2厘米，求这颗土豆的体积。 3. 在一只底面半径为 15厘米的圆柱形水桶里有一段直径为 10厘米的圆柱形钢 材浸没在水中，当钢材取出后，桶里的水面下降了 2厘米，这段钢材长多少厘米? 第 7 页 共 18 页 【奥数拓展一】圆柱的切拼问题（一）。 一个圆柱体，高减少 3厘米，表面积就减少 37.68平方厘米，那么这个圆柱的底 面积是多少? 【专项训练】 1. 一个圆柱体，高减少 4厘米，表面积就减少 50.24平方厘米，求这个圆柱体的 底面积。 2. 一根长 3米的圆柱形木头，截去 2分米长的一段圆柱形小木块后，表面积减 少了 12.56平方分米，那么，原来这根木头的表面积是多少? 3. 圆柱形的售报亭的高和底面直径相等，如图所示，开一个边长等于底面半径 的正方形售报窗口，窗口处挖去的圆柱部分的面积占圆柱形侧面积的几分之几? 第 8 页 共 18 页 【奥数拓展二】圆柱的切拼问题（二）。 一个圆柱体木块，底面半径是 8厘米，高是 10厘米。 (1)现在将它截成两个圆柱体小木块，那么，表面积增加多少平方厘米? (2)如果将它沿着底面直径截成两个半圆柱体小木块，那么，表面积增加多少平 方厘米? 【专项训练】 1. 一个圆柱体木块，底面半径是 6厘米，高是 5.2厘米。 (1)现在将它截成两个圆柱体小木块，那么，表面积增加多少平方厘米? (2)如果将它沿着底面直径截成两个半圆柱体小木块，那么，表面积增加多少平 方厘米? 2. 有 4个完全一样的圆柱形铁块，底面直径是 2分米，高是 1分米，现在将它 们底连着底焊接在一起，那么，表面积会减少多少平方分米? 3. 一个圆柱体木块，底面周长是 25.12厘米，高是 6厘米，现在将它截成四个圆 柱体小木块，那么，这四个圆柱体小木块的表面积之和为多少平方厘米? 第 9 页 共 18 页 【奥数拓展三】圆柱的切拼问题（三）。 一段圆柱体木料，如果截成两个小圆柱体，它的表面积增加 9.42平方厘米；如 果沿着底面直径截成两个半圆柱体，那么它的表面积将增加 100平方厘米，求原 来圆柱体的表面积。 【专项训练】 1. 一段圆柱体木料，如果截成两个小圆柱体，那么它的表面积增加 6.28平方厘 米；如果沿着直径截成两个半圆柱体，那么它的表面积将增加 75平方厘米，求 原来圆柱体的表面积。 2. 一段圆柱体，如果沿着直径截成两个半圆柱体，它的表面积将增加 160 平方 厘米；如果截成三个小圆柱体，它的表面积增加 16.2 平方厘米，求原来圆柱体 的表面积。 3. 把一根高为 10 分米的圆柱锯成完全相同的两部分，表面积比原来增加了 16 平方分米，这根圆柱原来的体积是多少立方分米?(不考虑斜切) 第 10 页 共 18 页 【奥数拓展四】圆柱的切拼问题（四）。 一个圆柱体的体积是 50.24立方厘米，底面半径是 2厘米，将它沿底面直径平均 分成若干个扇形后，再截开拼成一个和它等底等高的长方体，如图所示，表面积 增加了多少平方厘米? 【专项训练】 1. 将一个底面半径为 3厘米，体积是 141.3立方厘米的圆柱，沿底面直径平均分 成若干个扇形后，再截开拼成一个与它等底等高的长方体，表面积增加多少平方 厘米? 2. 将一个高为 6厘米，体积是 301.44立方厘米的圆柱，沿底面直径平均分成若 干个扇形后，再截开拼成一个与它等底等高的长方体，表面积增加多少平方厘米? 3. 一个圆柱体的体积是 150.72立方厘米，底面半径是 4厘米，将它沿底面直径 平均分成若干个扇形后，再截开拼成一个和它等底等高的长方体，求长方体的表 面积。 第 11 页 共 18 页 【奥数拓展五】圆柱的切拼问题（五）。 如图 1所示，这个圆柱体侧面积的一半是 12.56平方厘米，底面半径为 5厘米， 那么，它的体积是多少平方厘米? 【专项训练】 1. 圆柱体的侧面积是 100平方米，底面半径是 3米，它的体积是多少? 2. 一个圆柱的底面半径为 3厘米，将它的底面平均分成若干个扇形后，再截开 拼成一个和它等底等高的长方体，表面积增加了 42平方厘米，圆柱的体积是多 少? 3. 一个圆柱体的体积是 157立方厘米，将它的底面平均分成若干个扇形后，再 截开拼成一个和它等底等高的长方体，表面积增加了 20平方厘米，求：这个圆 柱体的底面半径是多少?表面积是多少? 第 12 页 共 18 页 【奥数拓展六】整体代换法求表面积（一）。 如图所示，一个正方体的纸盒中恰好能装入一个体积为 6.28立方厘米的圆柱， 纸盒的容积有多大? 【专项训练】 1. 把一个正方体削成一个体积最大的圆柱，如果圆柱的侧面积是 314平方厘米， 求正方体的表面积。 2. 将一个正方体木块削成一个最大的圆柱体，这个圆柱体的体积是 1256立方厘 米，问：原来正方体的体积有多大? 3. 沿圆柱的底面直径把圆柱剖开，剖面的面积是 60平方厘米，问：原来圆柱的 侧面积是多少平方厘米? 第 13 页 共 18 页 【奥数拓展七】整体代换法求表面积（二）。 把一个横截面是正方形的长方体木料削成一个最大的圆柱体，圆柱体的表面积为 32.97平方厘米，底面直径与高的比是 1:3，原来长方体的表面积是多少? 【专项训练】 1. 一个圆柱体的侧面积是 62.8平方米，高和底面半径相等，问：它的表面积是 多少平方米? 2. 如图所示，一个圆柱体的侧面展开图为正方形，已知它的一个底面面积是 10 平方厘米，求这个圆柱体的表面积。 3. 已知一个圆柱的底面半径等于一个正方体棱长的一半，高等于这个正方体的 棱长，这个正方体的底面积是 25平方分米，求这个圆柱的表面积。 第 14 页 共 18 页 【奥数拓展八】组合或不规则圆柱体的表面积（一）。 如图所示，两个圆柱体的高都是 8厘米，底面半径分别是 10厘米和 4厘米，现 在将它们组成了一个几何体，求这个物体的表面积。 【专项训练】 1. 一位魔术师要做一顶黑帽子，形状如图所示.帽顶部分是圆柱形，帽檐部分是 一个圆环，帽顶的半径、高与帽檐的宽都为 20厘米，请你算一算，一共需要黑 布多少平方厘米? 2. 有一个圆柱形的零件，高是 10厘米，底面直径是 6厘米，零件的一端有一个 圆柱形的直孔，圆孔的直径是 4厘米，孔深 5厘米，如果将这个零件接触空气的 部分涂上防锈漆，一共需涂多少平方厘米? 3. 如图所示，有一个立体图形，下部分是一个棱长为 40厘米的正方体，上部分 是一个半圆柱体，求这个立体图形的表面积。 第 15 页 共 18 页 【奥数拓展九】组合或不规则圆柱体的表面积（二）。 如图所示，柱体的高为 24厘米，底面是一个半径为 10厘米，圆心角为 270°的 扇形，求柱体的表面积。 【专项训练】 1. 如图所示，将高都是 1米，底面半径分别为 1.5米、1米和 0.5米的三个圆柱 组成一个物体，这个物体的表面积是多少平方米? 2. 如图所示，一个圆柱的底面半径为 5厘米，高为 6厘米，从它的底面挖去一 个边长为 2厘米的方形的孔贯穿圆柱，现在这个物体的表面积是多少? 3. 如图所示，这是一个底面半径为 4厘米，高为 4 厘米的圆柱，在它的中间依 次向下挖去半径分别为 3厘米、2厘米、1厘米，高分别为 2厘米、1厘米、0.5 厘米的圆柱，最后得到的立体图形表面积是多少? 第 16 页 共 18 页 【奥数拓展十】排水法求体积（一）。 如图所示，在一个圆柱形水桶内放入一个半径为 5厘米的圆柱形钢块，如果把钢 块浸没在水中，那么桶里的水面就会上升 9厘米；如果沿竖直方向把浸没在水中 的钢块提起，使其露出水面的部分长 8厘米，那么桶里的水面就会下降 4厘米， 求圆柱形钢块的体积。 【专项训练】 1. 有一只底面半径是 20厘米的圆柱形水桶，里面有一段底面半径是 5厘米的圆 柱体钢材浸没在水中，当钢材从水中取出后，桶里的水下降 2厘米，这段钢材长 多少厘米? 2. 如图所示，有一个高 8厘米，容积是 50毫升的圆柱形容器 A，里面装满了水， 现在把长 16厘米的圆柱 B垂直放入，使 B的底面与 A的底面接触，这时一部分 水从容器中溢出，当把 B从 A 中拿出来后，A 中的水高度为 6厘米，求圆柱 B 的体积。 第 17 页 共 18 页 3. 一个圆柱形容器，底面半径为 4厘米，水面高度为 6厘米，把一个长方体的 钢材放入水中，此时露出水面的钢材高 2厘米，是全长的 9 2 ，长方体的体积是多 少?(结果保留π) 【奥数拓展十一】排水法求体积（二）。 在一个底面积是 15平方厘米的水平放置的玻璃杯中装入高 3厘米的水，现在把 一个底面半径是 1厘米、高是 5厘米的圆柱形铁块竖直放入玻璃杯的水中，问水 面升高了多少厘米?(π取 3) 【专项训练】 1. 有一只长方体的玻璃缸，长 8分米、宽 5分米、高 4分米，里面的水深是 3.5 分米.如果放入一个底面直径为 3分米，高为 3分米的圆柱体铁块，那么缸里的 水会不会溢出来? 2. 一个盛有水的圆柱形容器，底面内半径为 5厘米，深 20厘米，水深 15厘米. 现在将一个底面半径为 2厘米、高为 17厘米的铁圆柱垂直放入容器中，那么这 时容器内的水深是多少厘米? 第 18 页 共 18 页 3. 在一个底面半径是 10厘米的圆柱形瓶中，水深是 8厘米，要将一块长和宽都 是 8厘米、高是 15厘米的铁块放入瓶中。 (1)如果把铁块横放在水中，水面上升多少厘米? (2)如果把铁块竖放在水中，水面上升多少厘米?(π取 3，结果保留一位小数) 篇首寄语 我们每位老师都希望把最好的教学资料留给学生使用，所以在平时教学时，能够快速找到高质量、高效率、高标准的资料显得十分重要。编者以前常常游走于各大学习网站寻找自己所需的资料，可却总在花费大量时间与精力后才能找到自己心仪的那份，这样费时费力不讨好，实在有些苦恼。正因如此，每次在寻找资料时，编者就会想，如果是自己来创作一份资料那又该如何呢？那么这份资料应该首先满足自身教学需要，并达到我的高标准要求，然后才能为他人提供参考。于是，本着这样的想法，在结合自身教学需求和学生实际情况后，最终酝酿出了一个既适宜课堂教学，又适应课后作业，还适合阶段复习的大综合系列。 《2024-2025学年六年级数学下册典型例题系列「2025版」》，它基于教材知识和常年真题进行总结与编辑，该系列主要分为典型例题篇、专项练习篇、单元复习篇、思维素养篇、分层试卷篇等五个部分。 1.典型例题篇，按照单元顺序进行编辑，主要分为计算和应用两大部分，其优点在于考题典型，考点丰富，变式多样。 2.专项练习篇，从高频考题和期末真题中选取专项练习，其优点在于选题经典，题型多样，题量适中。 3.单元复习篇，汇集系列精华，高效助力单元复习，其优点在于综合全面，精练高效，实用性强。 4.思维素养篇，新的学年，新的篇章，从课本到奥数，从方法到思维，从基础技能到核心素养，其优点在于由浅入深，思维核心，方法易懂。 5.分层试卷篇，根据试题难度和水平，主要分为A卷·基础巩固卷、B卷·素养提高卷、C卷·思维拓展卷，其优点在于考点广泛，分层明显，适应性广。 时光荏苒，转眼之间，《典型例题系列》已经历三个学年三个版本，在过去，它扬长补短，去粗取精，日臻完善；在未来，它承前启后，不断发展，未有竟时。 黄金无足色，白璧有微瑕，如果您在使用资料的过程中有任何宝贵意见，请留言于我，欢迎您的使用，感谢您的支持！ 101数学创作社 2025年1月9日 目 录 【课内精选一】圆柱的表面积 3 【课内精选二】圆柱的体积（一） 6 【课内精选三】圆柱的体积（二） 7 【课内精选四】圆柱的体积（三） 8 【奥数拓展一】圆柱的切拼问题（一） 10 【奥数拓展二】圆柱的切拼问题（二） 11 【奥数拓展三】圆柱的切拼问题（三） 12 【奥数拓展四】圆柱的切拼问题（四） 13 【奥数拓展五】圆柱的切拼问题（五） 14 【奥数拓展六】整体代换法求表面积（一） 16 【奥数拓展七】整体代换法求表面积（二） 17 【奥数拓展八】组合或不规则圆柱体的表面积（一） 18 【奥数拓展九】组合或不规则圆柱体的表面积（二） 20 【奥数拓展十】排水法求体积（一） 22 【奥数拓展十一】排水法求体积（二） 23 2024-2025学年六年级数学下册典型例题系列「2025版」 第二单元圆柱和圆锥·思维素养篇·第一部分圆柱 【从课内到奥数】 【课内精选一】圆柱的表面积。 用一块长方形铁皮做一个圆柱形罐子（如图），剪图中的阴影部分正好可以围成一个圆柱。制做这个罐子共需要多少平方分米铁皮？（接口处忽略不计） 【答案】75.36平方分米 【分析】圆柱的侧面展开图是一个长12.56分米、宽4分米的长方形，这个长方形的长等于圆柱的底面周长，长方形的宽等于圆柱的高；根据圆柱的底面周长公式C＝2πr可知，圆柱的底面半径r＝C÷π÷2，再根据圆柱的表面积公式S＝S侧＋2S底，其中S侧＝长方形的面积＝长×宽，S底＝πr2，代入数据计算即可求出做这个罐子需要铁皮的面积。 【详解】12.56÷3.14÷2 ＝4÷2 ＝2（分米） 12.56×4＋3.14×22×2 ＝50.24＋3.14×8 ＝50.24＋25.12 ＝75.36（平方米） 答：制做这个罐子共需要75.36平方分米铁皮。 【点睛】灵活运用圆柱的底面周长公式、圆柱的表面积公式是解题的关键。 【专项训练】 1．10个无盖油桶的外表面要刷漆，每平方米需油漆0.6kg，每个油桶的底面直径是40cm，高是60cm。刷10个油桶需要多少油漆？ 【答案】5.2752kg 【分析】无盖油桶只有一个底面，用底面积＋侧面积，求出一个油桶表面积，一个油桶表面积×10＝10个油桶需要刷漆的面积，统一单位，用需要刷漆的面积×每平方米需要的油漆质量即可。 【详解】40÷2＝20（cm） 3.14×20²＋3.14×40×60 ＝1256＋7536 ＝8792（cm²） 8792×10＝87920（cm²）＝8.792（m²） 8.792×0.6＝5.2752（kg） 答：刷10个油桶需要5.2752kg油漆。 【点睛】关键是掌握并灵活运用圆柱表面积公式，圆柱侧面积＝底面周长×高。 2．制作一个无盖的圆柱形水桶，有以下几种型号的铁皮可供搭配选择。 （1）你选择的材料是（     ）号和（     ）号（填序号）。 （2）用你选择的材料制作水桶，一共用了多少dm2的铁皮？ 【答案】（1）②；③； （2）75.36dm2 【分析】（1）圆柱的展开图中，长方形的长等于圆柱的底面周长，求出③和④中两个圆的周长，并找出和圆的周长相等的长方形的长； （2）需要铁皮的面积＝圆柱的底面积＋圆柱的侧面积，圆柱的侧面积就是图②中长方形的面积，据此解答。 【详解】（1）③3.14×4＝12.56（dm） ④3.14×2×3 ＝6.28×3 ＝18.84（dm） 所以，选择②和③可以制作一个无盖的圆柱形水桶。 （2）12.56×5＋3.14×（4÷2）2 ＝12.56×5＋3.14×4 ＝62.8＋12.56 ＝75.36（dm2） 答：一共用了75.36dm2的铁皮。 【点睛】掌握圆柱的展开图特征和圆柱的表面积计算公式是解答题目的关键。 3．某公园决定新挖一个直径是6米，深12分米的圆形水池。 （1）这个水池的占地面积是多少？ （2）如果这个水池修好后，需要用水泥把池底和侧壁粉刷（防水处理），如果每平方米需要400克水泥，共需要多少千克水泥？ 【答案】（1）28.26平方米（2）20.3472千克 【分析】（1）水池的占地面积就是这个直径为6米的圆形的面积，利用圆的面积公式即可解决； （2）粉刷的面积是指这个底面直径为6米的圆的面积，和底面直径是6米，高为12分米的圆柱的侧面积的和，利用圆柱的侧面积＝底面周长×高，再用面积和乘每平方米需要的水泥质量即可解答。 【详解】（1）3.14× ＝3.14×32 ＝3.14×9 ＝28.26（平方米） 答：这个水池的占地面积是28.26平方米。 （2）12分米＝1.2米 28.26＋3.14×6×1.2 ＝28.26＋22.608 ＝50.868（平方米） 50.868×400＝20347.2（克） 20347.2克＝20.3472千克 答：共需要20.3472千克水泥。 【点睛】此题考查了圆的面积公式和圆柱的表面积公式在实际问题中的灵活应用，注意单位的统一。 【课内精选二】圆柱的体积（一）。 一个圆柱体的高是12.56厘米，它的侧面展开是一个正方形，这个圆柱体的体积是多少立方厘米? 解析： 这个圆柱体的侧面展开是一个正方形，说明圆柱体的底面周长等于高，即都是12.56厘米，根据底面周长可以先求出底面半径，然后求出圆柱体的体积。 底面半径：12.56÷(2×3.14)=2(厘米) 体积：3.14×2²×12.56=157.7536(立方厘米) 答：这个圆柱体的体积是157.7536立方厘米。 【专项训练】 1. 一个圆柱体的高是31.4厘米，它的侧面展开是一个正方形，求这个圆柱体的体积。 解析： 31.4÷3.14÷2=5(厘米) 5²×3.14×31.4=2464.9(立方厘米). 答：这个圆柱体的体积是2464.9立方厘米。 2. 一个圆柱体的侧面展开是一个正方形，圆柱的底面半径是10厘米，这个圆柱体的体积是多少立方厘米? 解析： 10²×3.14×10×2×3.14=19719.2(立方厘米) 答：这个圆柱体的体积是19719.2立方厘米。 3. 一个圆柱体，它的侧面展开是一个长方形(宽为圆柱体的高)，已知展开后的长方形的长是宽的2倍，且宽是15.7厘米，求这个圆柱体的体积。 解析： 15.7×2=31.4(厘米) 31.4÷3.14÷2=5(厘米) 5²×3.14×15.7=1232.45(立方厘米) 答：这个圆柱体的体积是1232.45立方厘米。 【课内精选三】圆柱的体积（二）。 一个圆柱体水桶的侧面积是它的一个底面积的3倍，已知水桶的底面半径是2分米，这个水桶能装多少升水? 解析： 方法一：根据题意，要求水桶能装水多少升，也就是求水桶的容积，因此 水桶的侧面积为3.14×2²×3=37.68(平方分米) 水桶的高为37.68÷(3.14×2×2)=3(分米) 水桶的容积为3.14×2²×3=37.68(立方分米)=37.68(升) 方法二：根据题意，圆柱体侧面积是它的一个底面积的3倍，即 2πrh÷πr²=3 2h÷r=3 2h÷2=3 h=3 3.14×2²×3=37.68(立方分米)=37.68(升) 答：这个水桶能装37.68升水。 【专项训练】 1. 一个圆柱体水桶，如果将高改为原来的一半，底面直径改为原来的2倍，可装水40千克，那么，原来的水桶可装水多少千克? 解析： 高改为原来的一半，底面积变为原来的4倍，因此，改变后的体积是原来体积的2倍，则现在装水的质量也是原来的2倍，40÷2=20(千克)，所以，原来的水桶可装水20千克。 2. 一个圆柱体的高是10厘米，若高减少3厘米，则表面积比原来减少94.2平方厘米，求原来圆柱体的体积。 解析： 94.2÷3÷3.14÷2=5(厘米) 3.14×5²×10=785(立方厘米) 所以，原来圆柱体的体积是785立方厘米。 【课内精选四】圆柱的体积（三）。 一个底面半径为3厘米的圆柱形量筒，把一个铁块放入量筒后，浸没在水中，水面上升了4厘米，求这个铁块的体积。 解析： 我们知道，把一个铁块放入量筒后，浸没在水中，上升的那部分水的体积就是铁块的体积，所以， 3.14×3²×4=113.04(立方厘米) 答：这个铁块的体积是113.04立方厘米。 【专项训练】 1. 一个底面半径为5厘米的圆柱形容器，放入一个石块后，浸没在水中，水面上升了2厘米，求这个石块的体积。 解析： 5²×3.14×2=157(立方厘米) 答：这个石块的体积是157立方厘米。 2. 在一个底面直径为6厘米的圆柱形杯子里，一颗土豆完全浸没在水中，当把土豆从水中取出后，杯中的水面下降了2厘米，求这颗土豆的体积。 解析： (6÷2)²×3.14×2=56.52(立方厘米) 答：这颗土豆的体积是56.52立方厘米。 3. 在一只底面半径为15厘米的圆柱形水桶里有一段直径为10厘米的圆柱形钢材浸没在水中，当钢材取出后，桶里的水面下降了2厘米，这段钢材长多少厘米? 解析： 10÷2=5(厘米) 15²×3.14×2÷(5²×3.14)=18(厘米) 答：这段钢材长18厘米。 【奥数拓展一】圆柱的切拼问题（一）。 一个圆柱体，高减少3厘米，表面积就减少37.68平方厘米，那么这个圆柱的底面积是多少? 解析： 底面半径为：37.68÷(3×3.14×2)=2(厘米) 底面积为：3.14×2²=12.56(平方厘米) 答：这个圆柱的底面积是12.56平方厘米。 【专项训练】 1. 一个圆柱体，高减少4厘米，表面积就减少50.24平方厘米，求这个圆柱体的底面积。 解析： 50.24÷4=12.56(厘米) 12.56÷3.14÷2=2(厘米) 2²×3.14=12.56(平方厘米) 答：这个圆柱体的底面积是12.56平方厘米。 2. 一根长3米的圆柱形木头，截去2分米长的一段圆柱形小木块后，表面积减少了12.56平方分米，那么，原来这根木头的表面积是多少? 解析： 12.56÷2=6.28(分米) 6.28÷3.14÷2=1(分米) 3米=30分米 1²×3.14×2+6.28×30=194.68(平方分米) 所以，原来这根木头的表面积是194.68平方分米。 3. 圆柱形的售报亭的高和底面直径相等，如图所示，开一个边长等于底面半径的正方形售报窗口，窗口处挖去的圆柱部分的面积占圆柱形侧面积的几分之几? 解析： 【奥数拓展二】圆柱的切拼问题（二）。 一个圆柱体木块，底面半径是8厘米，高是10厘米。 (1)现在将它截成两个圆柱体小木块，那么，表面积增加多少平方厘米? (2)如果将它沿着底面直径截成两个半圆柱体小木块，那么，表面积增加多少平方厘米? 解析： （1）3.14×8²×2=401.92(平方厘米) 答：表面积增加401.92平方厘米。 （2）8×2×10×2=320(平方厘米) 答：表面积增加320平方厘米。 【专项训练】 1. 一个圆柱体木块，底面半径是6厘米，高是5.2厘米。 (1)现在将它截成两个圆柱体小木块，那么，表面积增加多少平方厘米? (2)如果将它沿着底面直径截成两个半圆柱体小木块，那么，表面积增加多少平方厘米? 解析： (1)π×6²×2=72π=226.08(平方厘米) (2)6×2×5.2×2=124.8(平方厘米) 所以，(1)表面积增加226.08平方厘米；(2)表面积增加124.8平方厘米。 2. 有4个完全一样的圆柱形铁块，底面直径是2分米，高是1分米，现在将它们底连着底焊接在一起，那么，表面积会减少多少平方分米? 解析： π×(2÷2)²×2×(4-1)=6π=18.84(平方分米) 所以，表面积会减少18.84平方分米。 3. 一个圆柱体木块，底面周长是25.12厘米，高是6厘米，现在将它截成四个圆柱体小木块，那么，这四个圆柱体小木块的表面积之和为多少平方厘米? 解析： 25.12÷3.14÷2=4(厘米) 3.14×4²×8+25.12×6=552.64(平方厘米) 答：这四个圆柱体小木块的表面积之和为552.64平方厘米。 【奥数拓展三】圆柱的切拼问题（三）。 一段圆柱体木料，如果截成两个小圆柱体，它的表面积增加9.42平方厘米；如果沿着底面直径截成两个半圆柱体，那么它的表面积将增加100平方厘米，求原来圆柱体的表面积。 解析： 我们知道，圆柱体的表面积=侧面积+底面积×2，圆柱体截成两个小圆柱体后，增加的9.42平方厘米就是两个底面的面积和；沿着直径截成两个半圆柱体，增加了两个“直径×高”的面，增加100平方厘米，因此，直径×高×2=100，而圆柱体的侧面积=直径×π×高，所以，侧面积=100÷2×π。 100÷2×π+9.42 =157+9.42 =166.42(平方厘米) 答：原来圆柱体的表面积是166.42平方厘米。 【专项训练】 1. 一段圆柱体木料，如果截成两个小圆柱体，那么它的表面积增加6.28平方厘米；如果沿着直径截成两个半圆柱体，那么它的表面积将增加75平方厘米，求原来圆柱体的表面积。 解析： 75÷2×π+6.28=124.03(平方厘米) 答：原来圆柱体的表面积是124.03平方厘米。 2. 一段圆柱体，如果沿着直径截成两个半圆柱体，它的表面积将增加160平方厘米；如果截成三个小圆柱体，它的表面积增加16.2平方厘米，求原来圆柱体的表面积。 解析： 160÷2×π+16.2÷2=259.3(平方厘米) 所以，原来圆柱体的表面积是259.3平方厘米。 3. 把一根高为10分米的圆柱锯成完全相同的两部分，表面积比原来增加了16平方分米，这根圆柱原来的体积是多少立方分米?(不考虑斜切) 解析：要考虑两种情况： (1)平行于圆柱的上、下底面，把它锯成两个完全相同的小圆柱，从图1上可以看出表面积比原来增加两个底面积，由此可知，圆柱的底面积是16÷2=8(平方分米),圆柱的体积是8×10=80(立方分米)。 (2)沿着底圆直径把圆柱锯成两部分，从图2上可以看出，表面积比原来增加两个完全相同的长方形的面积，长方形的长是圆柱的高，长方形的宽是圆柱的底面直径，由此可知，底面直径为16÷2÷10=0.8(分米)，圆柱底面积为3.14×(0.8÷2)² =0.5024(平方分米) 所以，圆柱的体积为0.5024×10=5.024(立方分米)。 【奥数拓展四】圆柱的切拼问题（四）。 一个圆柱体的体积是50.24立方厘米，底面半径是2厘米，将它沿底面直径平均分成若干个扇形后，再截开拼成一个和它等底等高的长方体，如图所示，表面积增加了多少平方厘米? 解析： 圆柱的高：50.24÷(3.14×2²)=4(厘米) 表面积增加：4×2×2=16(平方厘米) 答：表面积增加了16平方厘米。 【专项训练】 1. 将一个底面半径为3厘米，体积是141.3立方厘米的圆柱，沿底面直径平均分成若干个扇形后，再截开拼成一个与它等底等高的长方体，表面积增加多少平方厘米? 解析： 圆柱的高：141.3÷(3.14×3²)=5(厘米) 增加的面积：3×5×2=30(平方厘米) 答：表面积会增加30平方厘米。 2. 将一个高为6厘米，体积是301.44立方厘米的圆柱，沿底面直径平均分成若干个扇形后，再截开拼成一个与它等底等高的长方体，表面积增加多少平方厘米? 解析： 301.44÷6=50.24(平方厘米) 50.24÷3.14=16=4² 4×6×2=48(平方厘米) 所以，表面积增加48平方厘米。 3. 一个圆柱体的体积是150.72立方厘米，底面半径是4厘米，将它沿底面直径平均分成若干个扇形后，再截开拼成一个和它等底等高的长方体，求长方体的表面积。 解析： 3.14×4²=50.24(平方厘米) 150.72÷50.24=3(厘米) 50.24×2+3.14×4×2×3+4×3×2=199.84(平方厘米) 答：长方体的表面积是199.84平方厘米。 【奥数拓展五】圆柱的切拼问题（五）。 如图1所示，这个圆柱体侧面积的一半是12.56平方厘米，底面半径为5厘米，那么，它的体积是多少平方厘米? 解析： 我们知道，将一个圆柱体沿底面直径平均分成若干等份后，可以拼成一个体积相等的长方体，如图2所示.而长方体的体积=底面积×高，如果将长方体竖起来，如图3所示，那么 长方体的体积V=hr×πr=圆柱的高×半径×底面周长的一半；同样道理，将图2的前面朝下，如图4所示，有长方体的体积V=πrh×r=圆柱侧面积的一半×半径，所以，12.56×5=62.8(立方厘米)。 答：圆柱的体积为62.8立方厘米。 【专项训练】 1. 圆柱体的侧面积是100平方米，底面半径是3米，它的体积是多少? 解析： 100÷2×3=150(立方米) 所以，它的体积是150立方米。 2. 一个圆柱的底面半径为3厘米，将它的底面平均分成若干个扇形后，再截开拼成一个和它等底等高的长方体，表面积增加了42平方厘米，圆柱的体积是多少? 解析： 方法一：根据圆柱的体积推导过程，可知增加的面积实际上就是拼成的长方体的左、右两个侧面积之和，圆柱的体积可以用右侧面乘圆柱底面周长的一半来计算：42÷2×(3×3.14)=197.82(立方厘米) 方法二：3²π×(42÷2÷3)=63π=197.82(立方厘米) 3. 一个圆柱体的体积是157立方厘米，将它的底面平均分成若干个扇形后，再截开拼成一个和它等底等高的长方体，表面积增加了20平方厘米，求：这个圆柱体的底面半径是多少?表面积是多少? 解析： 半径为157÷(20÷2)÷3.14=5(厘米) 高为20÷2÷5=2(厘米) π×5²×2+π×5×2×2=70π=219.8(平方厘米) 所以，这个圆柱体的底面半径是5厘米，表面积是219.8平方厘米。 【奥数拓展六】整体代换法求表面积（一）。 如图所示，一个正方体的纸盒中恰好能装入一个体积为6.28立方厘米的圆柱，纸盒的容积有多大? 解析： 我们不妨设圆柱的底面半径为r，则正方体的棱长为2r，圆柱的体积是πr²×2r=2πr³=6.28，即r³=1，所以，(2r)³=8r³=8×1=8(立方厘米)。 答：纸盒的容积是8立方厘米。 【专项训练】 1. 把一个正方体削成一个体积最大的圆柱，如果圆柱的侧面积是314平方厘米，求正方体的表面积。 解析： 设正方体的棱长为a，a×3.14×a=314，得a²=100，6a²=6×100=600(平方厘米)答：正方体表面积为600平方厘米。 2. 将一个正方体木块削成一个最大的圆柱体，这个圆柱体的体积是1256立方厘米，问：原来正方体的体积有多大? 解析： 削成圆柱体的直径和高就是正方体的棱长，设正方体的棱长为a，则 3.14×(a÷2)²×a=1256 3.14×a³÷4=1256 a³=1600(立方厘米) 答：正方体的体积是1600立方厘米。 3. 沿圆柱的底面直径把圆柱剖开，剖面的面积是60平方厘米，问：原来圆柱的侧面积是多少平方厘米? 解析： 要求圆柱的侧面积，一般都要先知道圆柱的底面周长和高，但题中没有告诉我们，根据剖面的面积分析：剖面的面积=圆柱的底面直径×高；而侧面的面积=圆柱的底面周长×高，由此可见：侧面的面积就是剖面面积的π倍，即圆柱的侧面积=60×π=188.4(平方厘米) 【奥数拓展七】整体代换法求表面积（二）。 把一个横截面是正方形的长方体木料削成一个最大的圆柱体，圆柱体的表面积为32.97平方厘米，底面直径与高的比是1:3，原来长方体的表面积是多少? 解析： 我们不妨设底面直径为d，高为3d，那么，圆柱×3.14×2+d×3.14×3d，即体的表面积为×3.14×2+d×3.14×3d=32.97 1.57d²+9.42d²=32.97 10.99d²=32.97 d²=3 所以，长方体的表面积为 d²×2+d×3d×4=14d²=14×3=42(平方厘米) 答：长方体的表面积为42平方厘米。 【专项训练】 1. 一个圆柱体的侧面积是62.8平方米，高和底面半径相等，问：它的表面积是多少平方米? 解析： 设底面半径为r米，那么高为r米 根据题意，r×2×π×r=62.8，可得r²=10 62.8+2πr²=62.8+2×3.14×10=125.6(平方米) 所以，它的表面积是125.6平方米。 2. 如图所示，一个圆柱体的侧面展开图为正方形，已知它的一个底面面积是10平方厘米，求这个圆柱体的表面积。 解析： 设底面半径为r，则πr²=10，侧面展开图的边长为2πr，所以，圆柱体的表面积为10×2+2πr·2πr=20+4π·(πr²)=20+4×10×3.14=145.6(平方厘米) 答：圆柱体的表面积为145.6平方厘米。 3. 已知一个圆柱的底面半径等于一个正方体棱长的一半，高等于这个正方体的棱长，这个正方体的底面积是25平方分米，求这个圆柱的表面积。 解析： 设圆柱的底面半径为r，则高为2r，那么正方体的底面积为(2r)²=4r²=25，即r2=所以，圆柱的表面积为2πr×2r+2×π×r²=4πr²+2πr²=25=6πr²=117.75(平方分米) 答：这个圆柱的表面积为117.75平方分米。 【奥数拓展八】组合或不规则圆柱体的表面积（一）。 如图所示，两个圆柱体的高都是8厘米，底面半径分别是10厘米和4厘米，现在将它们组成了一个几何体，求这个物体的表面积。 解析： 小圆柱的底面A与大圆柱的环形底面B相加等于大圆柱的底面积，所以，这个物体的表面积是两个圆柱体的侧面积与大圆柱的两个底面积的和。 3.14×10²×2+(3.14×10×2×8+3.14×4×2×8) =3.14×2×10²+3.14×2×8×(10+4) =628+703.36 =1331.36(平方厘米) 答：这个物体的表面积是1331.36平方厘米。 【专项训练】 1. 一位魔术师要做一顶黑帽子，形状如图所示.帽顶部分是圆柱形，帽檐部分是一个圆环，帽顶的半径、高与帽檐的宽都为20厘米，请你算一算，一共需要黑布多少平方厘米? 解析： 3.14×(20+20)²+3.14×20×2×20=7536(平方厘米) 答：一共需要黑布7536平方厘米。 2. 有一个圆柱形的零件，高是10厘米，底面直径是6厘米，零件的一端有一个圆柱形的直孔，圆孔的直径是4厘米，孔深5厘米，如果将这个零件接触空气的部分涂上防锈漆，一共需涂多少平方厘米? 解析： π×6×10+π×(6÷2)²×2+π×4×5=98π=307.72(平方厘米) 所以，一共需涂307.72平方厘米。 3. 如图所示，有一个立体图形，下部分是一个棱长为40厘米的正方体，上部分是一个半圆柱体，求这个立体图形的表面积。 解析： 40×40×5=8000(平方厘米) 3.14×(40÷2)²=1256(平方厘米) 3.14×40÷2×40=2512(平方厘米) 8000+1256+2512=11768(平方厘米) 答：此立体图形的表面积为11768平方厘米。 【奥数拓展九】组合或不规则圆柱体的表面积（二）。 如图所示，柱体的高为24厘米，底面是一个半径为10厘米，圆心角为270°的扇形，求柱体的表面积。 解析： 柱体的表面积包括两个底面积、侧面积和两个长方形的面积.因为底面扇形的圆心角为270°，所以，底面积、侧面积分别是圆柱体底面积和侧面积的。 柱体的两个底面积与侧面积的和： (3.14×10²×2+2×3.14×10×24)× =(628+1507.2)× =1601.4(平方厘米) 两个长方形的面积和：10×24×2=480(平方厘米) 1601.4+480=2081.4(平方厘米) 答：柱体的表面积是2081.4平方厘米。 【专项训练】 1. 如图所示，将高都是1米，底面半径分别为1.5米、1米和0.5米的三个圆柱组成一个物体，这个物体的表面积是多少平方米? 解析： 上、下两个面面积为1.5²×π×2=4.5π(平方米) 侧面积为2π×0.5×1+2π×1×1+2π×1.5×1=6π(平方米) 表面积为4.5π+6π=10.5π =32.97(平方米) 2. 如图所示，一个圆柱的底面半径为5厘米，高为6厘米，从它的底面挖去一个边长为2厘米的方形的孔贯穿圆柱，现在这个物体的表面积是多少? 解析： 物体的上下两个底面面积和：3.14×5²×2-2²×2=149(平方厘米) 物体的侧面积：3.14×5×2×6=188.4(平方厘米) 四个长方形的面积和：2×6×4=48(平方厘米) 149+188.4+48=385.4(平方厘米) 答：现在这个物体的表面积为385.4平方厘米。 3. 如图所示，这是一个底面半径为4厘米，高为4厘米的圆柱，在它的中间依次向下挖去半径分别为3厘米、2厘米、1厘米，高分别为2厘米、1厘米、0.5厘米的圆柱，最后得到的立体图形表面积是多少? 解析： 大圆柱的表面积为4²×3.14×2+4×2×3.14×4=200.96(平方厘米) 三个小圆柱的侧面积和为3×2×3.14×2+2×2×3.14×1+1×2×3.14×0.5=53.38(平方厘米) 200.96+53.38=254.34(平方厘米) 答：最后得到的立体图形表面积是254.34平方厘米。 【奥数拓展十】排水法求体积（一）。 如图所示，在一个圆柱形水桶内放入一个半径为5厘米的圆柱形钢块，如果把钢块浸没在水中，那么桶里的水面就会上升9厘米；如果沿竖直方向把浸没在水中的钢块提起，使其露出水面的部分长8厘米，那么桶里的水面就会下降4厘米，求圆柱形钢块的体积。 解析： 根据题意，可以先求出露出水面的圆柱形钢块的体积是3.14×5²×8=628(立方厘米)，因为下降的水的体积与露出水面的圆柱形钢块的体积相等，所以，可以求出圆柱形水桶的底面积是628÷4=157(平方厘米) 当钢块浸没在水中时，上升的水的体积与钢块的体积相等.因为上升的水的体积是157×9=1413(立方厘米)，所以，圆柱形钢块的体积是1413立方厘米。 【专项训练】 1. 有一只底面半径是20厘米的圆柱形水桶，里面有一段底面半径是5厘米的圆柱体钢材浸没在水中，当钢材从水中取出后，桶里的水下降2厘米，这段钢材长多少厘米? 解析： 3.14×20²×2÷(3.14×5²)=32(厘米) 答：这段钢材长32厘米。 2. 如图所示，有一个高8厘米，容积是50毫升的圆柱形容器A，里面装满了水，现在把长16厘米的圆柱B垂直放入，使B的底面与A的底面接触，这时一部分水从容器中溢出，当把B从A中拿出来后，A中的水高度为6厘米，求圆柱B的体积。 解析： A中溢出水的体积等于B的体积的一半，要知道溢出水的体积就必须知道这部分水所形成圆柱体的底面积和高，现在已知高为8-6=2(厘米)，底面积可以由A容器的容积除以高而求得，50÷8×(8－6)×2=25(立方厘米) 答：圆柱B的体积为25立方厘米。 3. 一个圆柱形容器，底面半径为4厘米，水面高度为6厘米，把一个长方体的钢材放入水中，此时露出水面的钢材高2厘米，是全长的，长方体的体积是多少?(结果保留π) 解析： 根据“露出水面的钢材高2厘米，是全长的”，可以求出长方体的高度是2÷=9(厘米)，长方体钢材在水中的部分是9－2=7(厘米)，说明水面上升了7－6=1(厘米)，上升的水的体积是4²×1×π=16π(立方厘米)，这部分体积就是浸入水中的部分长方体钢材的体积，所以整个长方体的体积是16π÷=π(立方厘米)。 【奥数拓展十一】排水法求体积（二）。 在一个底面积是15平方厘米的水平放置的玻璃杯中装入高3厘米的水，现在把一个底面半径是1厘米、高是5厘米的圆柱形铁块竖直放入玻璃杯的水中，问水面升高了多少厘米?(π取3) 解析： 首先我们要考虑圆柱形铁块放入玻璃杯中，是全部浸入还是部分浸入，假设圆柱形铁块全部浸入水中，它所排开水的体积是3×1²×5=15(立方厘米)，要使水面升高5－3=2(厘米)，铁块必须排开15×2=30(立方厘米)的水，从这两个数据中看出，圆柱形铁块不可能全部浸入水中。 铁块不全部浸入水中，这样玻璃杯内水所覆盖的底面积是15－3×1²=12(平方厘米)，而水的体积没有变，还是15×3=45(立方厘米)，铁块放入水中后，水面高为45÷12=(厘米)，比原来高了－3=(厘米)。 【专项训练】 1. 有一只长方体的玻璃缸，长8分米、宽5分米、高4分米，里面的水深是3.5分米.如果放入一个底面直径为3分米，高为3分米的圆柱体铁块，那么缸里的水会不会溢出来? 解析：会溢出。 2. 一个盛有水的圆柱形容器，底面内半径为5厘米，深20厘米，水深15厘米.现在将一个底面半径为2厘米、高为17厘米的铁圆柱垂直放入容器中，那么这时容器内的水深是多少厘米? 解析：17.72厘米。 3. 在一个底面半径是10厘米的圆柱形瓶中，水深是8厘米，要将一块长和宽都是8厘米、高是15厘米的铁块放入瓶中。 (1)如果把铁块横放在水中，水面上升多少厘米? (2)如果把铁块竖放在水中，水面上升多少厘米?(π取3，结果保留一位小数) 解析：（1）3.2厘米；（2）2.2厘米。 第 1 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 $$第 1 页 共 24 页 篇首寄语 我们每位老师都希望把最好的教学资料留给学生使用，所以在平时教学时， 能够快速找到高质量、高效率、高标准的资料显得十分重要。编者以前常常游走 于各大学习网站寻找自己所需的资料，可却总在花费大量时间与精力后才能找到 自己心仪的那份，这样费时费力不讨好，实在有些苦恼。正因如此，每次在寻找 资料时，编者就会想，如果是自己来创作一份资料那又该如何呢？那么这份资料 应该首先满足自身教学需要，并达到我的高标准要求，然后才能为他人提供参考。 于是，本着这样的想法，在结合自身教学需求和学生实际情况后，最终酝酿出了 一个既适宜课堂教学，又适应课后作业，还适合阶段复习的大综合系列。 《2024-2025 学年六年级数学下册典型例题系列「2025 版」》，它基于教材 知识和常年真题进行总结与编辑，该系列主要分为典型例题篇、专项练习篇、单 元复习篇、思维素养篇、分层试卷篇等五个部分。 1.典型例题篇，按照单元顺序进行编辑，主要分为计算和应用两大部分，其 优点在于考题典型，考点丰富，变式多样。 2.专项练习篇，从高频考题和期末真题中选取专项练习，其优点在于选题经 典，题型多样，题量适中。 3.单元复习篇，汇集系列精华，高效助力单元复习，其优点在于综合全面， 精练高效，实用性强。 4.思维素养篇，新的学年，新的篇章，从课本到奥数，从方法到思维，从基 础技能到核心素养，其优点在于由浅入深，思维核心，方法易懂。 5.分层试卷篇，根据试题难度和水平，主要分为 A卷·基础巩固卷、B卷·素 养提高卷、C卷·思维拓展卷，其优点在于考点广泛，分层明显，适应性广。 时光荏苒，转眼之间，《典型例题系列》已经历三个学年三个版本，在过去， 它扬长补短，去粗取精，日臻完善；在未来，它承前启后，不断发展，未有竟时。 黄金无足色，白璧有微瑕，如果您在使用资料的过程中有任何宝贵意见，请 留言于我，欢迎您的使用，感谢您的支持！ 101 数学创作社 2025 年 1 月 9 日 第 2 页 共 24 页 目 录 【课内精选一】圆柱的表面积 ................................................................................................ 3 【课内精选二】圆柱的体积（一） ........................................................................................ 6 【课内精选三】圆柱的体积（二） ........................................................................................ 7 【课内精选四】圆柱的体积（三） ........................................................................................ 8 【奥数拓展一】圆柱的切拼问题（一） .............................................................................. 10 【奥数拓展二】圆柱的切拼问题（二） .............................................................................. 11 【奥数拓展三】圆柱的切拼问题（三） .............................................................................. 12 【奥数拓展四】圆柱的切拼问题（四） .............................................................................. 13 【奥数拓展五】圆柱的切拼问题（五） .............................................................................. 14 【奥数拓展六】整体代换法求表面积（一） ...................................................................... 16 【奥数拓展七】整体代换法求表面积（二） ...................................................................... 17 【奥数拓展八】组合或不规则圆柱体的表面积（一） ......................................................18 【奥数拓展九】组合或不规则圆柱体的表面积（二） ......................................................20 【奥数拓展十】排水法求体积（一） .................................................................................. 22 【奥数拓展十一】排水法求体积（二） .............................................................................. 23 第 3 页 共 24 页 2024-2025 学年六年级数学下册典型例题系列「2025 版」 第二单元圆柱和圆锥·思维素养篇·第一部分圆柱 【从课内到奥数】 【课内精选一】圆柱的表面积。 用一块长方形铁皮做一个圆柱形罐子（如图），剪图中的阴影部分正好可以围成 一个圆柱。制做这个罐子共需要多少平方分米铁皮？（接口处忽略不计） 【答案】75.36平方分米 【分析】圆柱的侧面展开图是一个长 12.56分米、宽 4分米的长方形，这个长方 形的长等于圆柱的底面周长，长方形的宽等于圆柱的高；根据圆柱的底面周长公 式 C＝2πr可知，圆柱的底面半径 r＝C÷π÷2，再根据圆柱的表面积公式 S＝S 侧 ＋2S 底，其中 S 侧＝长方形的面积＝长×宽，S 底＝πr2，代入数据计算即可求出做 这个罐子需要铁皮的面积。 【详解】12.56÷3.14÷2 ＝4÷2 ＝2（分米） 12.56×4＋3.14×22×2 ＝50.24＋3.14×8 ＝50.24＋25.12 第 4 页 共 24 页 ＝75.36（平方米） 答：制做这个罐子共需要 75.36平方分米铁皮。 【点睛】灵活运用圆柱的底面周长公式、圆柱的表面积公式是解题的关键。 【专项训练】 1．10个无盖油桶的外表面要刷漆，每平方米需油漆 0.6kg，每个油桶的底面直 径是 40cm，高是 60cm。刷 10个油桶需要多少油漆？ 【答案】5.2752kg 【分析】无盖油桶只有一个底面，用底面积＋侧面积，求出一个油桶表面积，一 个油桶表面积×10＝10个油桶需要刷漆的面积，统一单位，用需要刷漆的面积× 每平方米需要的油漆质量即可。 【详解】40÷2＝20（cm） 3.14×20²＋3.14×40×60 ＝1256＋7536 ＝8792（cm²） 8792×10＝87920（cm²）＝8.792（m²） 8.792×0.6＝5.2752（kg） 答：刷 10个油桶需要 5.2752kg油漆。 【点睛】关键是掌握并灵活运用圆柱表面积公式，圆柱侧面积＝底面周长×高。 2．制作一个无盖的圆柱形水桶，有以下几种型号的铁皮可供搭配选择。 （1）你选择的材料是（ ）号和（ ）号（填序号）。 （2）用你选择的材料制作水桶，一共用了多少 dm2的铁皮？ 【答案】（1）②；③； （2）75.36dm2 第 5 页 共 24 页 【分析】（1）圆柱的展开图中，长方形的长等于圆柱的底面周长，求出③和④ 中两个圆的周长，并找出和圆的周长相等的长方形的长； （2）需要铁皮的面积＝圆柱的底面积＋圆柱的侧面积，圆柱的侧面积就是图② 中长方形的面积，据此解答。 【详解】（1）③3.14×4＝12.56（dm） ④3.14×2×3 ＝6.28×3 ＝18.84（dm） 所以，选择②和③可以制作一个无盖的圆柱形水桶。 （2）12.56×5＋3.14×（4÷2）2 ＝12.56×5＋3.14×4 ＝62.8＋12.56 ＝75.36（dm2） 答：一共用了 75.36dm2的铁皮。 【点睛】掌握圆柱的展开图特征和圆柱的表面积计算公式是解答题目的关键。 3．某公园决定新挖一个直径是 6米，深 12分米的圆形水池。 （1）这个水池的占地面积是多少？ （2）如果这个水池修好后，需要用水泥把池底和侧壁粉刷（防水处理），如果 每平方米需要 400克水泥，共需要多少千克水泥？ 【答案】（1）28.26平方米（2）20.3472千克 【分析】（1）水池的占地面积就是这个直径为 6米的圆形的面积，利用圆的面 积公式即可解决； （2）粉刷的面积是指这个底面直径为 6米的圆的面积，和底面直径是 6米，高 为 12分米的圆柱的侧面积的和，利用圆柱的侧面积＝底面周长×高，再用面积和 乘每平方米需要的水泥质量即可解答。 【详解】（1）3.14× 262 （ ） ＝3.14×32 ＝3.14×9 ＝28.26（平方米） 第 6 页 共 24 页 答：这个水池的占地面积是 28.26平方米。 （2）12分米＝1.2米 28.26＋3.14×6×1.2 ＝28.26＋22.608 ＝50.868（平方米） 50.868×400＝20347.2（克） 20347.2克＝20.3472千克 答：共需要 20.3472千克水泥。 【点睛】此题考查了圆的面积公式和圆柱的表面积公式在实际问题中的灵活应用， 注意单位的统一。 【课内精选二】圆柱的体积（一）。 一个圆柱体的高是 12.56厘米，它的侧面展开是一个正方形，这个圆柱体的体积 是多少立方厘米? 解析： 这个圆柱体的侧面展开是一个正方形，说明圆柱体的底面周长等于高，即都是 12.56厘米，根据底面周长可以先求出底面半径，然后求出圆柱体的体积。 底面半径：12.56÷(2×3.14)=2(厘米) 体积：3.14×2²×12.56=157.7536(立方厘米) 答：这个圆柱体的体积是 157.7536立方厘米。 【专项训练】 1. 一个圆柱体的高是 31.4厘米，它的侧面展开是一个正方形，求这个圆柱体的 体积。 解析： 31.4÷3.14÷2=5(厘米) 5²×3.14×31.4=2464.9(立方厘米). 答：这个圆柱体的体积是 2464.9立方厘米。 2. 一个圆柱体的侧面展开是一个正方形，圆柱的底面半径是 10厘米，这个圆柱 体的体积是多少立方厘米? 解析： 第 7 页 共 24 页 10²×3.14×10×2×3.14=19719.2(立方厘米) 答：这个圆柱体的体积是 19719.2立方厘米。 3. 一个圆柱体，它的侧面展开是一个长方形(宽为圆柱体的高)，已知展开后的长 方形的长是宽的 2倍，且宽是 15.7厘米，求这个圆柱体的体积。 解析： 15.7×2=31.4(厘米) 31.4÷3.14÷2=5(厘米) 5²×3.14×15.7=1232.45(立方厘米) 答：这个圆柱体的体积是 1232.45立方厘米。 【课内精选三】圆柱的体积（二）。 一个圆柱体水桶的侧面积是它的一个底面积的 3 倍，已知水桶的底面半径是 2 分米，这个水桶能装多少升水? 解析： 方法一：根据题意，要求水桶能装水多少升，也就是求水桶的容积，因此 水桶的侧面积为 3.14×2²×3=37.68(平方分米) 水桶的高为 37.68÷(3.14×2×2)=3(分米) 水桶的容积为 3.14×2²×3=37.68(立方分米)=37.68(升) 方法二：根据题意，圆柱体侧面积是它的一个底面积的 3倍，即 2πrh÷πr²=3 2h÷r=3 2h÷2=3 h=3 3.14×2²×3=37.68(立方分米)=37.68(升) 答：这个水桶能装 37.68升水。 【专项训练】 1. 一个圆柱体水桶，如果将高改为原来的一半，底面直径改为原来的 2倍，可 装水 40千克，那么，原来的水桶可装水多少千克? 解析： 高改为原来的一半，底面积变为原来的 4倍，因此，改变后的体积是原来体积的 第 8 页 共 24 页 2倍，则现在装水的质量也是原来的 2 倍，40÷2=20(千克)，所以，原来的水桶 可装水 20千克。 2. 一个圆柱体的高是 10厘米，若高减少 3厘米，则表面积比原来减少 94.2平方 厘米，求原来圆柱体的体积。 解析： 94.2÷3÷3.14÷2=5(厘米) 3.14×5²×10=785(立方厘米) 所以，原来圆柱体的体积是 785立方厘米。 【课内精选四】圆柱的体积（三）。 一个底面半径为 3厘米的圆柱形量筒，把一个铁块放入量筒后，浸没在水中，水 面上升了 4厘米，求这个铁块的体积。 解析： 我们知道，把一个铁块放入量筒后，浸没在水中，上升的那部分水的体积就是铁 块的体积，所以， 3.14×3²×4=113.04(立方厘米) 答：这个铁块的体积是 113.04立方厘米。 【专项训练】 1. 一个底面半径为 5厘米的圆柱形容器，放入一个石块后，浸没在水中，水面 上升了 2厘米，求这个石块的体积。 解析： 5²×3.14×2=157(立方厘米) 答：这个石块的体积是 157立方厘米。 2. 在一个底面直径为 6厘米的圆柱形杯子里，一颗土豆完全浸没在水中，当把 土豆从水中取出后，杯中的水面下降了 2厘米，求这颗土豆的体积。 解析： (6÷2)²×3.14×2=56.52(立方厘米) 答：这颗土豆的体积是 56.52立方厘米。 3. 在一只底面半径为 15厘米的圆柱形水桶里有一段直径为 10厘米的圆柱形钢 材浸没在水中，当钢材取出后，桶里的水面下降了 2厘米，这段钢材长多少厘米? 第 9 页 共 24 页 解析： 10÷2=5(厘米) 15²×3.14×2÷(5²×3.14)=18(厘米) 答：这段钢材长 18厘米。 第 10 页 共 24 页 【奥数拓展一】圆柱的切拼问题（一）。 一个圆柱体，高减少 3厘米，表面积就减少 37.68平方厘米，那么这个圆柱的底 面积是多少? 解析： 底面半径为：37.68÷(3×3.14×2)=2(厘米) 底面积为：3.14×2²=12.56(平方厘米) 答：这个圆柱的底面积是 12.56平方厘米。 【专项训练】 1. 一个圆柱体，高减少 4厘米，表面积就减少 50.24平方厘米，求这个圆柱体的 底面积。 解析： 50.24÷4=12.56(厘米) 12.56÷3.14÷2=2(厘米) 2²×3.14=12.56(平方厘米) 答：这个圆柱体的底面积是 12.56平方厘米。 2. 一根长 3米的圆柱形木头，截去 2分米长的一段圆柱形小木块后，表面积减 少了 12.56平方分米，那么，原来这根木头的表面积是多少? 解析： 12.56÷2=6.28(分米) 6.28÷3.14÷2=1(分米) 3米=30分米 1²×3.14×2+6.28×30=194.68(平方分米) 所以，原来这根木头的表面积是 194.68平方分米。 3. 圆柱形的售报亭的高和底面直径相等，如图所示，开一个边长等于底面半径 的正方形售报窗口，窗口处挖去的圆柱部分的面积占圆柱形侧面积的几分之几? 第 11 页 共 24 页 解析： 12 1 【奥数拓展二】圆柱的切拼问题（二）。 一个圆柱体木块，底面半径是 8厘米，高是 10厘米。 (1)现在将它截成两个圆柱体小木块，那么，表面积增加多少平方厘米? (2)如果将它沿着底面直径截成两个半圆柱体小木块，那么，表面积增加多少平 方厘米? 解析： （1）3.14×8²×2=401.92(平方厘米) 答：表面积增加 401.92平方厘米。 （2）8×2×10×2=320(平方厘米) 答：表面积增加 320平方厘米。 【专项训练】 1. 一个圆柱体木块，底面半径是 6厘米，高是 5.2厘米。 (1)现在将它截成两个圆柱体小木块，那么，表面积增加多少平方厘米? (2)如果将它沿着底面直径截成两个半圆柱体小木块，那么，表面积增加多少平 方厘米? 解析： (1)π×6²×2=72π=226.08(平方厘米) (2)6×2×5.2×2=124.8(平方厘米) 所以，(1)表面积增加 226.08平方厘米；(2)表面积增加 124.8平方厘米。 2. 有 4个完全一样的圆柱形铁块，底面直径是 2分米，高是 1分米，现在将它 们底连着底焊接在一起，那么，表面积会减少多少平方分米? 解析： π×(2÷2)²×2×(4-1)=6π=18.84(平方分米) 第 12 页 共 24 页 所以，表面积会减少 18.84平方分米。 3. 一个圆柱体木块，底面周长是 25.12厘米，高是 6厘米，现在将它截成四个圆 柱体小木块，那么，这四个圆柱体小木块的表面积之和为多少平方厘米? 解析： 25.12÷3.14÷2=4(厘米) 3.14×4²×8+25.12×6=552.64(平方厘米) 答：这四个圆柱体小木块的表面积之和为 552.64平方厘米。 【奥数拓展三】圆柱的切拼问题（三）。 一段圆柱体木料，如果截成两个小圆柱体，它的表面积增加 9.42平方厘米；如 果沿着底面直径截成两个半圆柱体，那么它的表面积将增加 100平方厘米，求原 来圆柱体的表面积。 解析： 我们知道，圆柱体的表面积=侧面积+底面积×2，圆柱体截成两个小圆柱体后， 增加的 9.42平方厘米就是两个底面的面积和；沿着直径截成两个半圆柱体，增 加了两个“直径×高”的面，增加 100平方厘米，因此，直径×高×2=100，而圆柱 体的侧面积=直径×π×高，所以，侧面积=100÷2×π。 100÷2×π+9.42 =157+9.42 =166.42(平方厘米) 答：原来圆柱体的表面积是 166.42平方厘米。 【专项训练】 1. 一段圆柱体木料，如果截成两个小圆柱体，那么它的表面积增加 6.28平方厘 米；如果沿着直径截成两个半圆柱体，那么它的表面积将增加 75平方厘米，求 原来圆柱体的表面积。 解析： 75÷2×π+6.28=124.03(平方厘米) 答：原来圆柱体的表面积是 124.03平方厘米。 2. 一段圆柱体，如果沿着直径截成两个半圆柱体，它的表面积将增加 160 平方 厘米；如果截成三个小圆柱体，它的表面积增加 16.2 平方厘米，求原来圆柱体 第 13 页 共 24 页 的表面积。 解析： 160÷2×π+16.2÷2=259.3(平方厘米) 所以，原来圆柱体的表面积是 259.3平方厘米。 3. 把一根高为 10 分米的圆柱锯成完全相同的两部分，表面积比原来增加了 16 平方分米，这根圆柱原来的体积是多少立方分米?(不考虑斜切) 解析：要考虑两种情况： (1)平行于圆柱的上、下底面，把它锯成两个完全相同的小圆柱，从图 1上可以 看出表面积比原来增加两个底面积，由此可知，圆柱的底面积是 16÷2=8(平方分 米),圆柱的体积是 8×10=80(立方分米)。 (2)沿着底圆直径把圆柱锯成两部分，从图 2 上可以看出，表面积比原来增加两 个完全相同的长方形的面积，长方形的长是圆柱的高，长方形的宽是圆柱的底面 直径，由此可知，底面直径为 16÷2÷10=0.8(分米)，圆柱底面积为 3.14×(0.8÷2)² =0.5024(平方分米) 所以，圆柱的体积为 0.5024×10=5.024(立方分米)。 【奥数拓展四】圆柱的切拼问题（四）。 一个圆柱体的体积是 50.24立方厘米，底面半径是 2厘米，将它沿底面直径平均 分成若干个扇形后，再截开拼成一个和它等底等高的长方体，如图所示，表面积 增加了多少平方厘米? 解析： 圆柱的高：50.24÷(3.14×2²)=4(厘米) 表面积增加：4×2×2=16(平方厘米) 第 14 页 共 24 页 答：表面积增加了 16平方厘米。 【专项训练】 1. 将一个底面半径为 3厘米，体积是 141.3立方厘米的圆柱，沿底面直径平均分 成若干个扇形后，再截开拼成一个与它等底等高的长方体，表面积增加多少平方 厘米? 解析： 圆柱的高：141.3÷(3.14×3²)=5(厘米) 增加的面积：3×5×2=30(平方厘米) 答：表面积会增加 30平方厘米。 2. 将一个高为 6厘米，体积是 301.44立方厘米的圆柱，沿底面直径平均分成若 干个扇形后，再截开拼成一个与它等底等高的长方体，表面积增加多少平方厘米? 解析： 301.44÷6=50.24(平方厘米) 50.24÷3.14=16=4² 4×6×2=48(平方厘米) 所以，表面积增加 48平方厘米。 3. 一个圆柱体的体积是 150.72立方厘米，底面半径是 4厘米，将它沿底面直径 平均分成若干个扇形后，再截开拼成一个和它等底等高的长方体，求长方体的表 面积。 解析： 3.14×4²=50.24(平方厘米) 150.72÷50.24=3(厘米) 50.24×2+3.14×4×2×3+4×3×2=199.84(平方厘米) 答：长方体的表面积是 199.84平方厘米。 【奥数拓展五】圆柱的切拼问题（五）。 如图 1所示，这个圆柱体侧面积的一半是 12.56平方厘米，底面半径为 5厘米， 那么，它的体积是多少平方厘米? 第 15 页 共 24 页 解析： 我们知道，将一个圆柱体沿底面直径平均分成若干等份后，可以拼成一个体积相 等的长方体，如图 2所示.而长方体的体积=底面积×高，如果将长方体竖起来， 如图 3所示，那么 长方体的体积 V=hr×πr=圆柱的高×半径×底面周长的一半；同样道理，将图 2的 前面朝下，如图 4所示，有长方体的体积 V=πrh×r=圆柱侧面积的一半×半径，所 以，12.56×5=62.8(立方厘米)。 答：圆柱的体积为 62.8立方厘米。 【专项训练】 1. 圆柱体的侧面积是 100平方米，底面半径是 3米，它的体积是多少? 解析： 100÷2×3=150(立方米) 所以，它的体积是 150立方米。 2. 一个圆柱的底面半径为 3厘米，将它的底面平均分成若干个扇形后，再截开 拼成一个和它等底等高的长方体，表面积增加了 42平方厘米，圆柱的体积是多 少? 解析： 方法一：根据圆柱的体积推导过程，可知增加的面积实际上就是拼成的长方体的 左、右两个侧面积之和，圆柱的体积可以用右侧面乘圆柱底面周长的一半来计算： 42÷2×(3×3.14)=197.82(立方厘米) 方法二：3²π×(42÷2÷3)=63π=197.82(立方厘米) 第 16 页 共 24 页 3. 一个圆柱体的体积是 157立方厘米，将它的底面平均分成若干个扇形后，再 截开拼成一个和它等底等高的长方体，表面积增加了 20平方厘米，求：这个圆 柱体的底面半径是多少?表面积是多少? 解析： 半径为 157÷(20÷2)÷3.14=5(厘米) 高为 20÷2÷5=2(厘米) π×5²×2+π×5×2×2=70π=219.8(平方厘米) 所以，这个圆柱体的底面半径是 5厘米，表面积是 219.8平方厘米。 【奥数拓展六】整体代换法求表面积（一）。 如图所示，一个正方体的纸盒中恰好能装入一个体积为 6.28立方厘米的圆柱， 纸盒的容积有多大? 解析： 我们不妨设圆柱的底面半径为 r，则正方体的棱长为 2r，圆柱的体积是 πr²×2r=2πr³=6.28，即 r³=1，所以，(2r)³=8r³=8×1=8(立方厘米)。 答：纸盒的容积是 8立方厘米。 【专项训练】 1. 把一个正方体削成一个体积最大的圆柱，如果圆柱的侧面积是 314平方厘米， 求正方体的表面积。 解析： 设正方体的棱长为 a，a×3.14×a=314，得 a²=100，6a²=6×100=600(平方厘米) 答：正方体表面积为 600平方厘米。 2. 将一个正方体木块削成一个最大的圆柱体，这个圆柱体的体积是 1256立方厘 米，问：原来正方体的体积有多大? 解析： 削成圆柱体的直径和高就是正方体的棱长，设正方体的棱长为 a，则 第 17 页 共 24 页 3.14×(a÷2)²×a=1256 3.14×a³÷4=1256 a³=1600(立方厘米) 答：正方体的体积是 1600立方厘米。 3. 沿圆柱的底面直径把圆柱剖开，剖面的面积是 60平方厘米，问：原来圆柱的 侧面积是多少平方厘米? 解析： 要求圆柱的侧面积，一般都要先知道圆柱的底面周长和高，但题中没有告诉我们， 根据剖面的面积分析：剖面的面积=圆柱的底面直径×高；而侧面的面积=圆柱的 底面周长×高，由此可见：侧面的面积就是剖面面积的π倍，即圆柱的侧面积 =60×π=188.4(平方厘米) 【奥数拓展七】整体代换法求表面积（二）。 把一个横截面是正方形的长方体木料削成一个最大的圆柱体，圆柱体的表面积为 32.97平方厘米，底面直径与高的比是 1:3，原来长方体的表面积是多少? 解析： 我们不妨设底面直径为 d，高为 3d，那么，圆柱 2 2 d       ×3.14×2+d×3.14×3d，即体 的表面积为 2 2 d       ×3.14×2+d×3.14×3d=32.97 1.57d²+9.42d²=32.97 10.99d²=32.97 d²=3 所以，长方体的表面积为 d²×2+d×3d×4=14d²=14×3=42(平方厘米) 答：长方体的表面积为 42平方厘米。 【专项训练】 第 18 页 共 24 页 1. 一个圆柱体的侧面积是 62.8平方米，高和底面半径相等，问：它的表面积是 多少平方米? 解析： 设底面半径为 r米，那么高为 r米 根据题意，r×2×π×r=62.8，可得 r²=10 62.8+2πr²=62.8+2×3.14×10=125.6(平方米) 所以，它的表面积是 125.6平方米。 2. 如图所示，一个圆柱体的侧面展开图为正方形，已知它的一个底面面积是 10 平方厘米，求这个圆柱体的表面积。 解析： 设底面半径为 r，则πr²=10，侧面展开图的边长为 2πr，所以，圆柱体的表面积为 10×2+2πr·2πr=20+4π·(πr²)=20+4×10×3.14=145.6(平方厘米) 答：圆柱体的表面积为 145.6平方厘米。 3. 已知一个圆柱的底面半径等于一个正方体棱长的一半，高等于这个正方体的 棱长，这个正方体的底面积是 25平方分米，求这个圆柱的表面积。 解析： 设圆柱的底面半径为 r，则高为 2r，那么正方体的底面积为(2r)²=4r²=25，即 r2= 4 25 所以，圆柱的表面积为 2πr×2r+2×π×r²=4πr²+2πr²=25=6πr²=117.75(平方分米) 答：这个圆柱的表面积为 117.75平方分米。 【奥数拓展八】组合或不规则圆柱体的表面积（一）。 如图所示，两个圆柱体的高都是 8厘米，底面半径分别是 10厘米和 4厘米，现 在将它们组成了一个几何体，求这个物体的表面积。 第 19 页 共 24 页 解析： 小圆柱的底面 A与大圆柱的环形底面 B相加等于大圆柱的底面积，所以，这个 物体的表面积是两个圆柱体的侧面积与大圆柱的两个底面积的和。 3.14×10²×2+(3.14×10×2×8+3.14×4×2×8) =3.14×2×10²+3.14×2×8×(10+4) =628+703.36 =1331.36(平方厘米) 答：这个物体的表面积是 1331.36平方厘米。 【专项训练】 1. 一位魔术师要做一顶黑帽子，形状如图所示.帽顶部分是圆柱形，帽檐部分是 一个圆环，帽顶的半径、高与帽檐的宽都为 20厘米，请你算一算，一共需要黑 布多少平方厘米? 解析： 3.14×(20+20)²+3.14×20×2×20=7536(平方厘米) 答：一共需要黑布 7536平方厘米。 2. 有一个圆柱形的零件，高是 10厘米，底面直径是 6厘米，零件的一端有一个 圆柱形的直孔，圆孔的直径是 4厘米，孔深 5厘米，如果将这个零件接触空气的 部分涂上防锈漆，一共需涂多少平方厘米? 解析： π×6×10+π×(6÷2)²×2+π×4×5=98π=307.72(平方厘米) 所以，一共需涂 307.72平方厘米。 3. 如图所示，有一个立体图形，下部分是一个棱长为 40厘米的正方体，上部分 是一个半圆柱体，求这个立体图形的表面积。 第 20 页 共 24 页 解析： 40×40×5=8000(平方厘米) 3.14×(40÷2)²=1256(平方厘米) 3.14×40÷2×40=2512(平方厘米) 8000+1256+2512=11768(平方厘米) 答：此立体图形的表面积为 11768平方厘米。 【奥数拓展九】组合或不规则圆柱体的表面积（二）。 如图所示，柱体的高为 24厘米，底面是一个半径为 10厘米，圆心角为 270°的 扇形，求柱体的表面积。 解析： 柱体的表面积包括两个底面积、侧面积和两个长方形的面积.因为底面扇形的圆 心角为 270°，所以，底面积、侧面积分别是圆柱体底面积和侧面积的 4 3 。 柱体的两个底面积与侧面积的和： (3.14×10²×2+2×3.14×10×24)× 4 3 =(628+1507.2)× 4 3 =1601.4(平方厘米) 两个长方形的面积和：10×24×2=480(平方厘米) 1601.4+480=2081.4(平方厘米) 答：柱体的表面积是 2081.4平方厘米。 【专项训练】 第 21 页 共 24 页 1. 如图所示，将高都是 1米，底面半径分别为 1.5米、1米和 0.5米的三个圆柱 组成一个物体，这个物体的表面积是多少平方米? 解析： 上、下两个面面积为 1.5²×π×2=4.5π(平方米) 侧面积为 2π×0.5×1+2π×1×1+2π×1.5×1=6π(平方米) 表面积为 4.5π+6π=10.5π =32.97(平方米) 2. 如图所示，一个圆柱的底面半径为 5厘米，高为 6厘米，从它的底面挖去一 个边长为 2厘米的方形的孔贯穿圆柱，现在这个物体的表面积是多少? 解析： 物体的上下两个底面面积和：3.14×5²×2-2²×2=149(平方厘米) 物体的侧面积：3.14×5×2×6=188.4(平方厘米) 四个长方形的面积和：2×6×4=48(平方厘米) 149+188.4+48=385.4(平方厘米) 答：现在这个物体的表面积为 385.4平方厘米。 3. 如图所示，这是一个底面半径为 4厘米，高为 4 厘米的圆柱，在它的中间依 次向下挖去半径分别为 3厘米、2厘米、1厘米，高分别为 2厘米、1厘米、0.5 厘米的圆柱，最后得到的立体图形表面积是多少? 第 22 页 共 24 页 解析： 大圆柱的表面积为 4²×3.14×2+4×2×3.14×4=200.96(平方厘米) 三个小圆柱的侧面积和为 3×2×3.14×2+2×2×3.14×1+1×2×3.14×0.5=53.38(平方厘 米) 200.96+53.38=254.34(平方厘米) 答：最后得到的立体图形表面积是 254.34平方厘米。 【奥数拓展十】排水法求体积（一）。 如图所示，在一个圆柱形水桶内放入一个半径为 5厘米的圆柱形钢块，如果把钢 块浸没在水中，那么桶里的水面就会上升 9厘米；如果沿竖直方向把浸没在水中 的钢块提起，使其露出水面的部分长 8厘米，那么桶里的水面就会下降 4厘米， 求圆柱形钢块的体积。 解析： 根据题意，可以先求出露出水面的圆柱形钢块的体积是 3.14×5²×8=628(立方厘 米)，因为下降的水的体积与露出水面的圆柱形钢块的体积相等，所以，可以求 出圆柱形水桶的底面积是 628÷4=157(平方厘米) 当钢块浸没在水中时，上升的水的体积与钢块的体积相等.因为上升的水的体积 是 157×9=1413(立方厘米)，所以，圆柱形钢块的体积是 1413立方厘米。 【专项训练】 1. 有一只底面半径是 20厘米的圆柱形水桶，里面有一段底面半径是 5厘米的圆 柱体钢材浸没在水中，当钢材从水中取出后，桶里的水下降 2厘米，这段钢材长 多少厘米? 解析： 3.14×20²×2÷(3.14×5²)=32(厘米) 答：这段钢材长 32厘米。 2. 如图所示，有一个高 8厘米，容积是 50毫升的圆柱形容器 A，里面装满了水， 第 23 页 共 24 页 现在把长 16厘米的圆柱 B垂直放入，使 B的底面与 A的底面接触，这时一部分 水从容器中溢出，当把 B从 A 中拿出来后，A 中的水高度为 6厘米，求圆柱 B 的体积。 解析： A中溢出水的体积等于 B 的体积的一半，要知道溢出水的体积就必须知道这部 分水所形成圆柱体的底面积和高，现在已知高为 8-6=2(厘米)，底面积可以由 A 容器的容积除以高而求得，50÷8×(8－6)×2=25(立方厘米) 答：圆柱 B的体积为 25立方厘米。 3. 一个圆柱形容器，底面半径为 4厘米，水面高度为 6厘米，把一个长方体的 钢材放入水中，此时露出水面的钢材高 2厘米，是全长的 9 2 ，长方体的体积是多 少?(结果保留π) 解析： 根据“露出水面的钢材高 2 厘米，是全长的 9 2 ”，可以求出长方体的高度是 2÷ 9 2 =9(厘米)，长方体钢材在水中的部分是 9－2=7(厘米)，说明水面上升了 7－ 6=1(厘米)，上升的水的体积是 4²×1×π=16π(立方厘米)，这部分体积就是浸入水 中的部分长方体钢材的体积，所以整个长方体的体积是 16π÷ 9 7 = 7 144 π(立方厘米)。 【奥数拓展十一】排水法求体积（二）。 在一个底面积是 15平方厘米的水平放置的玻璃杯中装入高 3厘米的水，现在把 一个底面半径是 1厘米、高是 5厘米的圆柱形铁块竖直放入玻璃杯的水中，问水 面升高了多少厘米?(π取 3) 第 24 页 共 24 页 解析： 首先我们要考虑圆柱形铁块放入玻璃杯中，是全部浸入还是部分浸入，假设圆柱 形铁块全部浸入水中，它所排开水的体积是 3×1²×5=15(立方厘米)，要使水面升 高 5－3=2(厘米)，铁块必须排开 15×2=30(立方厘米)的水，从这两个数据中看出， 圆柱形铁块不可能全部浸入水中。 铁块不全部浸入水中，这样玻璃杯内水所覆盖的底面积是 15－3×1²=12(平方厘 米)，而水的体积没有变，还是 15×3=45(立方厘米)，铁块放入水中后，水面高为 45÷12= 4 33 (厘米)，比原来高了 4 33 －3= 4 3 (厘米)。 【专项训练】 1. 有一只长方体的玻璃缸，长 8分米、宽 5分米、高 4分米，里面的水深是 3.5 分米.如果放入一个底面直径为 3分米，高为 3分米的圆柱体铁块，那么缸里的 水会不会溢出来? 解析：会溢出。 2. 一个盛有水的圆柱形容器，底面内半径为 5厘米，深 20厘米，水深 15厘米. 现在将一个底面半径为 2厘米、高为 17厘米的铁圆柱垂直放入容器中，那么这 时容器内的水深是多少厘米? 解析：17.72厘米。 3. 在一个底面半径是 10厘米的圆柱形瓶中，水深是 8厘米，要将一块长和宽都 是 8厘米、高是 15厘米的铁块放入瓶中。 (1)如果把铁块横放在水中，水面上升多少厘米? (2)如果把铁块竖放在水中，水面上升多少厘米?(π取 3，结果保留一位小数) 解析：（1）3.2厘米；（2）2.2厘米。 篇首寄语 我们每位老师都希望把最好的教学资料留给学生使用，所以在平时教学时，能够快速找到高质量、高效率、高标准的资料显得十分重要。编者以前常常游走于各大学习网站寻找自己所需的资料，可却总在花费大量时间与精力后才能找到自己心仪的那份，这样费时费力不讨好，实在有些苦恼。正因如此，每次在寻找资料时，编者就会想，如果是自己来创作一份资料那又该如何呢？那么这份资料应该首先满足自身教学需要，并达到我的高标准要求，然后才能为他人提供参考。于是，本着这样的想法，在结合自身教学需求和学生实际情况后，最终酝酿出了一个既适宜课堂教学，又适应课后作业，还适合阶段复习的大综合系列。 《2024-2025学年六年级数学下册典型例题系列「2025版」》，它基于教材知识和常年真题进行总结与编辑，该系列主要分为典型例题篇、专项练习篇、单元复习篇、思维素养篇、分层试卷篇等五个部分。 1.典型例题篇，按照单元顺序进行编辑，主要分为计算和应用两大部分，其优点在于考题典型，考点丰富，变式多样。 2.专项练习篇，从高频考题和期末真题中选取专项练习，其优点在于选题经典，题型多样，题量适中。 3.单元复习篇，汇集系列精华，高效助力单元复习，其优点在于综合全面，精练高效，实用性强。 4.思维素养篇，新的学年，新的篇章，从课本到奥数，从方法到思维，从基础技能到核心素养，其优点在于由浅入深，思维核心，方法易懂。 5.分层试卷篇，根据试题难度和水平，主要分为A卷·基础巩固卷、B卷·素养提高卷、C卷·思维拓展卷，其优点在于考点广泛，分层明显，适应性广。 时光荏苒，转眼之间，《典型例题系列》已经历三个学年三个版本，在过去，它扬长补短，去粗取精，日臻完善；在未来，它承前启后，不断发展，未有竟时。 黄金无足色，白璧有微瑕，如果您在使用资料的过程中有任何宝贵意见，请留言于我，欢迎您的使用，感谢您的支持！ 101数学创作社 2025年1月9日 目 录 【课内精选一】圆柱的表面积 3 【课内精选二】圆柱的体积（一） 4 【课内精选三】圆柱的体积（二） 5 【课内精选四】圆柱的体积（三） 6 【奥数拓展一】圆柱的切拼问题（一） 7 【奥数拓展二】圆柱的切拼问题（二） 8 【奥数拓展三】圆柱的切拼问题（三） 9 【奥数拓展四】圆柱的切拼问题（四） 10 【奥数拓展五】圆柱的切拼问题（五） 11 【奥数拓展六】整体代换法求表面积（一） 12 【奥数拓展七】整体代换法求表面积（二） 13 【奥数拓展八】组合或不规则圆柱体的表面积（一） 14 【奥数拓展九】组合或不规则圆柱体的表面积（二） 15 【奥数拓展十】排水法求体积（一） 16 【奥数拓展十一】排水法求体积（二） 17 2024-2025学年六年级数学下册典型例题系列「2025版」 第二单元圆柱和圆锥·思维素养篇·第一部分圆柱 【从课内到奥数】 【课内精选一】圆柱的表面积。 用一块长方形铁皮做一个圆柱形罐子（如图），剪图中的阴影部分正好可以围成一个圆柱。制做这个罐子共需要多少平方分米铁皮？（接口处忽略不计） 【专项训练】 1．10个无盖油桶的外表面要刷漆，每平方米需油漆0.6kg，每个油桶的底面直径是40cm，高是60cm。刷10个油桶需要多少油漆？ 2．制作一个无盖的圆柱形水桶，有以下几种型号的铁皮可供搭配选择。 （1）你选择的材料是（     ）号和（     ）号（填序号）。 （2）用你选择的材料制作水桶，一共用了多少dm2的铁皮？ 3．某公园决定新挖一个直径是6米，深12分米的圆形水池。 （1）这个水池的占地面积是多少？ （2）如果这个水池修好后，需要用水泥把池底和侧壁粉刷（防水处理），如果每平方米需要400克水泥，共需要多少千克水泥？ 【课内精选二】圆柱的体积（一）。 一个圆柱体的高是12.56厘米，它的侧面展开是一个正方形，这个圆柱体的体积是多少立方厘米? 【专项训练】 1. 一个圆柱体的高是31.4厘米，它的侧面展开是一个正方形，求这个圆柱体的体积。 2. 一个圆柱体的侧面展开是一个正方形，圆柱的底面半径是10厘米，这个圆柱体的体积是多少立方厘米? 3. 一个圆柱体，它的侧面展开是一个长方形(宽为圆柱体的高)，已知展开后的长方形的长是宽的2倍，且宽是15.7厘米，求这个圆柱体的体积。 【课内精选三】圆柱的体积（二）。 一个圆柱体水桶的侧面积是它的一个底面积的3倍，已知水桶的底面半径是2分米，这个水桶能装多少升水? 【专项训练】 1. 一个圆柱体水桶，如果将高改为原来的一半，底面直径改为原来的2倍，可装水40千克，那么，原来的水桶可装水多少千克? 2. 一个圆柱体的高是10厘米，若高减少3厘米，则表面积比原来减少94.2平方厘米，求原来圆柱体的体积。 【课内精选四】圆柱的体积（三）。 一个底面半径为3厘米的圆柱形量筒，把一个铁块放入量筒后，浸没在水中，水面上升了4厘米，求这个铁块的体积。 【专项训练】 1. 一个底面半径为5厘米的圆柱形容器，放入一个石块后，浸没在水中，水面上升了2厘米，求这个石块的体积。 2. 在一个底面直径为6厘米的圆柱形杯子里，一颗土豆完全浸没在水中，当把土豆从水中取出后，杯中的水面下降了2厘米，求这颗土豆的体积。 3. 在一只底面半径为15厘米的圆柱形水桶里有一段直径为10厘米的圆柱形钢材浸没在水中，当钢材取出后，桶里的水面下降了2厘米，这段钢材长多少厘米? 【奥数拓展一】圆柱的切拼问题（一）。 一个圆柱体，高减少3厘米，表面积就减少37.68平方厘米，那么这个圆柱的底面积是多少? 【专项训练】 1. 一个圆柱体，高减少4厘米，表面积就减少50.24平方厘米，求这个圆柱体的底面积。 2. 一根长3米的圆柱形木头，截去2分米长的一段圆柱形小木块后，表面积减少了12.56平方分米，那么，原来这根木头的表面积是多少? 3. 圆柱形的售报亭的高和底面直径相等，如图所示，开一个边长等于底面半径的正方形售报窗口，窗口处挖去的圆柱部分的面积占圆柱形侧面积的几分之几? 【奥数拓展二】圆柱的切拼问题（二）。 一个圆柱体木块，底面半径是8厘米，高是10厘米。 (1)现在将它截成两个圆柱体小木块，那么，表面积增加多少平方厘米? (2)如果将它沿着底面直径截成两个半圆柱体小木块，那么，表面积增加多少平方厘米? 【专项训练】 1. 一个圆柱体木块，底面半径是6厘米，高是5.2厘米。 (1)现在将它截成两个圆柱体小木块，那么，表面积增加多少平方厘米? (2)如果将它沿着底面直径截成两个半圆柱体小木块，那么，表面积增加多少平方厘米? 2. 有4个完全一样的圆柱形铁块，底面直径是2分米，高是1分米，现在将它们底连着底焊接在一起，那么，表面积会减少多少平方分米? 3. 一个圆柱体木块，底面周长是25.12厘米，高是6厘米，现在将它截成四个圆柱体小木块，那么，这四个圆柱体小木块的表面积之和为多少平方厘米? 【奥数拓展三】圆柱的切拼问题（三）。 一段圆柱体木料，如果截成两个小圆柱体，它的表面积增加9.42平方厘米；如果沿着底面直径截成两个半圆柱体，那么它的表面积将增加100平方厘米，求原来圆柱体的表面积。 【专项训练】 1. 一段圆柱体木料，如果截成两个小圆柱体，那么它的表面积增加6.28平方厘米；如果沿着直径截成两个半圆柱体，那么它的表面积将增加75平方厘米，求原来圆柱体的表面积。 2. 一段圆柱体，如果沿着直径截成两个半圆柱体，它的表面积将增加160平方厘米；如果截成三个小圆柱体，它的表面积增加16.2平方厘米，求原来圆柱体的表面积。 3. 把一根高为10分米的圆柱锯成完全相同的两部分，表面积比原来增加了16平方分米，这根圆柱原来的体积是多少立方分米?(不考虑斜切) 【奥数拓展四】圆柱的切拼问题（四）。 一个圆柱体的体积是50.24立方厘米，底面半径是2厘米，将它沿底面直径平均分成若干个扇形后，再截开拼成一个和它等底等高的长方体，如图所示，表面积增加了多少平方厘米? 【专项训练】 1. 将一个底面半径为3厘米，体积是141.3立方厘米的圆柱，沿底面直径平均分成若干个扇形后，再截开拼成一个与它等底等高的长方体，表面积增加多少平方厘米? 2. 将一个高为6厘米，体积是301.44立方厘米的圆柱，沿底面直径平均分成若干个扇形后，再截开拼成一个与它等底等高的长方体，表面积增加多少平方厘米? 3. 一个圆柱体的体积是150.72立方厘米，底面半径是4厘米，将它沿底面直径平均分成若干个扇形后，再截开拼成一个和它等底等高的长方体，求长方体的表面积。 【奥数拓展五】圆柱的切拼问题（五）。 如图1所示，这个圆柱体侧面积的一半是12.56平方厘米，底面半径为5厘米，那么，它的体积是多少平方厘米? 【专项训练】 1. 圆柱体的侧面积是100平方米，底面半径是3米，它的体积是多少? 2. 一个圆柱的底面半径为3厘米，将它的底面平均分成若干个扇形后，再截开拼成一个和它等底等高的长方体，表面积增加了42平方厘米，圆柱的体积是多少? 3. 一个圆柱体的体积是157立方厘米，将它的底面平均分成若干个扇形后，再截开拼成一个和它等底等高的长方体，表面积增加了20平方厘米，求：这个圆柱体的底面半径是多少?表面积是多少? 【奥数拓展六】整体代换法求表面积（一）。 如图所示，一个正方体的纸盒中恰好能装入一个体积为6.28立方厘米的圆柱，纸盒的容积有多大? 【专项训练】 1. 把一个正方体削成一个体积最大的圆柱，如果圆柱的侧面积是314平方厘米，求正方体的表面积。 2. 将一个正方体木块削成一个最大的圆柱体，这个圆柱体的体积是1256立方厘米，问：原来正方体的体积有多大? 3. 沿圆柱的底面直径把圆柱剖开，剖面的面积是60平方厘米，问：原来圆柱的侧面积是多少平方厘米? 【奥数拓展七】整体代换法求表面积（二）。 把一个横截面是正方形的长方体木料削成一个最大的圆柱体，圆柱体的表面积为32.97平方厘米，底面直径与高的比是1:3，原来长方体的表面积是多少? 【专项训练】 1. 一个圆柱体的侧面积是62.8平方米，高和底面半径相等，问：它的表面积是多少平方米? 2. 如图所示，一个圆柱体的侧面展开图为正方形，已知它的一个底面面积是10平方厘米，求这个圆柱体的表面积。 3. 已知一个圆柱的底面半径等于一个正方体棱长的一半，高等于这个正方体的棱长，这个正方体的底面积是25平方分米，求这个圆柱的表面积。 【奥数拓展八】组合或不规则圆柱体的表面积（一）。 如图所示，两个圆柱体的高都是8厘米，底面半径分别是10厘米和4厘米，现在将它们组成了一个几何体，求这个物体的表面积。 【专项训练】 1. 一位魔术师要做一顶黑帽子，形状如图所示.帽顶部分是圆柱形，帽檐部分是一个圆环，帽顶的半径、高与帽檐的宽都为20厘米，请你算一算，一共需要黑布多少平方厘米? 2. 有一个圆柱形的零件，高是10厘米，底面直径是6厘米，零件的一端有一个圆柱形的直孔，圆孔的直径是4厘米，孔深5厘米，如果将这个零件接触空气的部分涂上防锈漆，一共需涂多少平方厘米? 3. 如图所示，有一个立体图形，下部分是一个棱长为40厘米的正方体，上部分是一个半圆柱体，求这个立体图形的表面积。 【奥数拓展九】组合或不规则圆柱体的表面积（二）。 如图所示，柱体的高为24厘米，底面是一个半径为10厘米，圆心角为270°的扇形，求柱体的表面积。 【专项训练】 1. 如图所示，将高都是1米，底面半径分别为1.5米、1米和0.5米的三个圆柱组成一个物体，这个物体的表面积是多少平方米? 2. 如图所示，一个圆柱的底面半径为5厘米，高为6厘米，从它的底面挖去一个边长为2厘米的方形的孔贯穿圆柱，现在这个物体的表面积是多少? 3. 如图所示，这是一个底面半径为4厘米，高为4厘米的圆柱，在它的中间依次向下挖去半径分别为3厘米、2厘米、1厘米，高分别为2厘米、1厘米、0.5厘米的圆柱，最后得到的立体图形表面积是多少? 【奥数拓展十】排水法求体积（一）。 如图所示，在一个圆柱形水桶内放入一个半径为5厘米的圆柱形钢块，如果把钢块浸没在水中，那么桶里的水面就会上升9厘米；如果沿竖直方向把浸没在水中的钢块提起，使其露出水面的部分长8厘米，那么桶里的水面就会下降4厘米，求圆柱形钢块的体积。 【专项训练】 1. 有一只底面半径是20厘米的圆柱形水桶，里面有一段底面半径是5厘米的圆柱体钢材浸没在水中，当钢材从水中取出后，桶里的水下降2厘米，这段钢材长多少厘米? 2. 如图所示，有一个高8厘米，容积是50毫升的圆柱形容器A，里面装满了水，现在把长16厘米的圆柱B垂直放入，使B的底面与A的底面接触，这时一部分水从容器中溢出，当把B从A中拿出来后，A中的水高度为6厘米，求圆柱B的体积。 3. 一个圆柱形容器，底面半径为4厘米，水面高度为6厘米，把一个长方体的钢材放入水中，此时露出水面的钢材高2厘米，是全长的，长方体的体积是多少?(结果保留π) 【奥数拓展十一】排水法求体积（二）。 在一个底面积是15平方厘米的水平放置的玻璃杯中装入高3厘米的水，现在把一个底面半径是1厘米、高是5厘米的圆柱形铁块竖直放入玻璃杯的水中，问水面升高了多少厘米?(π取3) 【专项训练】 1. 有一只长方体的玻璃缸，长8分米、宽5分米、高4分米，里面的水深是3.5分米.如果放入一个底面直径为3分米，高为3分米的圆柱体铁块，那么缸里的水会不会溢出来? 2. 一个盛有水的圆柱形容器，底面内半径为5厘米，深20厘米，水深15厘米.现在将一个底面半径为2厘米、高为17厘米的铁圆柱垂直放入容器中，那么这时容器内的水深是多少厘米? 3. 在一个底面半径是10厘米的圆柱形瓶中，水深是8厘米，要将一块长和宽都是8厘米、高是15厘米的铁块放入瓶中。 (1)如果把铁块横放在水中，水面上升多少厘米? (2)如果把铁块竖放在水中，水面上升多少厘米?(π取3，结果保留一位小数) 第 1 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 $$