第06讲 平行四边形（5个知识点+11种题型+分层练习） -2025年八年级数学寒假预习核心知识点与常见题型通关讲解练（人教版）

第06讲 平行四边形（5个知识点+11种题型+分层练习） 知识导图 知识清单 知识点1．平行线之间的距离 （1）平行线之间的距离 从一条平行线上的任意一点到另一条直线作垂线，垂线段的长度叫两条平行线之间的距离． （2）平行线间的距离处处相等． 知识点2．三角形中位线定理 （1）三角形中位线定理： 三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半． （2）几何语言： 如图，∵点D、E分别是AB、AC的中点 ∴DE∥BC，DE＝BC． 知识点3．平行四边形的性质 （1）平行四边形的概念：有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形． （2）平行四边形的性质： ①边：平行四边形的对边相等． ②角：平行四边形的对角相等． ③对角线：平行四边形的对角线互相平分． （3）平行线间的距离处处相等． （4）平行四边形的面积： ①平行四边形的面积等于它的底和这个底上的高的积． ②同底（等底）同高（等高）的平行四边形面积相等． 知识点4．平行四边形的判定 （1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形．符号语言：∵AB∥DC，AD∥BC∴四边行ABCD是平行四边形． （2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形．符号语言：∵AB＝DC，AD＝BC∴四边行ABCD是平行四边形． （3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形． 符号语言：∵AB∥DC，AB＝DC∴四边行ABCD是平行四边形． （4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形． 符号语言：∵∠ABC＝∠ADC，∠DAB＝∠DCB∴四边行ABCD是平行四边形． （5）对角线互相平分的四边形是平行四边形．符号语言：∵OA＝OC，OB＝OD∴四边行ABCD是平行四边形． 知识点5．平行四边形的判定与性质 平行四边形的判定与性质的作用 平行四边形对应边相等，对应角相等，对角线互相平分及它的判定，是我们证明直线的平行、线段相等、角相等的重要方法，若要证明两直线平行和两线段相等、两角相等，可考虑将要证的直线、线段、角、分别置于一个四边形的对边或对角的位置上，通过证明四边形是平行四边形达到上述目的． 运用定义，也可以判定某个图形是平行四边形，这是常用的方法，不要忘记平行四边形的定义，有时用定义判定比用其他判定定理还简单． 凡是可以用平行四边形知识证明的问题，不要再回到用三角形全等证明，应直接运用平行四边形的性质和判定去解决问题． 题型强化 题型一、利用平行四边形的性质求解 1．（21-22八年级下·海南省直辖县级单位·期末）平行四边形不具有的特点是（    ） A．平行四边形对边相等 B．平行四边形对角相等 C．平行四边形对角线相等 D．平行四边形邻角互补 2．（23-24八年级下·吉林四平·期中）在平行四边形中，若，则 ． 3．（23-24八年级下·全国·单元测试）已知：如图，在中，点是的中点，连接并延长，交的延长线于点，求证：． 题型二、利用平行四边形的性质证明 4．（23-24八年级下·山东临沂·开学考试）小明同学写下了平行四边形的四条性质，其中不正确的是（    ） A．对角互补 B．邻角互补 C．对边平行 D．对角线互相平分 5．（23-24八年级下·内蒙古包头·期中）如图，过对角线的交点，交于点，交于点．则：①；②若，，则；③；④．其中正确的结论有 ． 6．（22-23八年级下·云南·期末）如图，在中，点E，F分别在边和上，且，求证：． 题型三、平行四边形性质的其他应用 7．（23-24八年级下·广东东莞·期末）为更好地开展劳动教育课程，学校计划将一块空地（如图）修建一条笔直的小路（小路宽度忽略不计）．有两个要求：经过边上一点；分成面积相等的两部分．则小路除了经过点外，还经过（   ） A．点 B．的中点 C．的中点 D．边上的点，且 8．（22-23八年级下·山东淄博·期中）请列举一条菱形、矩形、正方形都有的一条性质： ． 9．（23-24八年级下·北京·期中）定义：至少有一组对边相等的四边形为“等对边四边形”． (1)请写出一个你学过的特殊四边形中是“等对边四边形”的名称； (2)如图，在中，点、分别在边、边上，且满足，线段、交于点， 求证：． 题型四、判断能否构成平行四边形 10．（23-24八年级下·广东清远·期末）如图，已知四边形，下列条件能判定四边形为平行四边形的是（   ） A．， B．， C．， D．， 11．（23-24八年级下·湖南衡阳·期末）下列给出的条件中，不能判定四边形是平行四边形的是 （填序号）． ①，；②，；③，；④，． 12．（23-24八年级下·吉林·期中）图①，图②均是4×4的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．其中点A，B，C均在格点上，请在给定的网格中按要求画四边形： (1)在图①中，找一格点D，使以点A，B，C，D为顶点的四边形是轴对称图形． (2)在图②中，找一格点E，使以点A，B，C，E为顶点的四边形是平行四边形． 题型五、添一个条件成为平行四边形 13．（2024八年级下·山东·专题练习）如图，在四边形中，，若添加一个条件，使得四边形为平行四边形，则下列不正确的是（      ） A． B． C． D． 14．（23-24八年级下·青海玉树·期末）如图，四边形中，，要使四边形为平行四边形，则需添加一个条件，这个条件可以是 ． 15．（21-22八年级下·全国·课后作业）如图，在平行四边形中，点，是对角线上的两点，请添加一个不同于“”的条件，使四边形是平行四边形，并写出证明的过程． 题型六、数图形中平行四边形的个数 16．（23-24八年级下·北京顺义·期末）如图所示的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，线段的两个端点都在格点上，若线段为的一边，的四个顶点都在正方形网格的格点上，则这样的平行四边形的个数为（   ） A．3个 B．4个 C．8个 D．11个 17．（22-23八年级下·海南省直辖县级单位·阶段练习）如图，、、都是等边三角形，则图中的平行四边形有 个；    题型七、证明四边形是平行四边形 18．（23-24八年级下·内蒙古·阶段练习）下列说法中，错误的是（   ） A．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 B．两条对角线互相平分的四边形是平行四边形 C．两条对角线互相垂直的四边形是平行四边形 D．两组对角相等的四边形是平行四边形 19．（23-24八年级下·福建泉州·期末）阅读以下作图步骤： ①任意画两条相交直线、，记交点为； ②以点为中心，分别在直线、上截取与、与，使，； ③顺序连接所得的四点得到四边形． 根据以上作图，可以推断四边形的形状是 ．    20．（22-23八年级下·浙江温州·期中）如图，是由边长为1的正方形构成的网格，正方形的顶点称为格点． (1)在图1中，画出以为一边的格点． (2)在图2中，画出以为对角线的格点，且它的面积最大． 题型八、利用平行四边形的判定与性质求解 21．（23-24八年级下·全国·期末）如图，已知，，，给出下面四个结论：其中正确的有（      ） A．个 B．个 C．个 D．个 22．（23-24八年级下·全国·单元测试）如图，在四边形中，，，为上一点，，垂足为如果四边形的面积为，，那么 ． 23．（23-24八年级下·江西鹰潭·期末）如图，点E为的边上的一点，连接并延长，使，连接并延长，使，连接．H为的中点，连接，． (1)若，，求的度数； (2)求证：四边形为平行四边形； (3)连接，交于点O，若，，求的长度． 题型九、利用平行四边形性质和判定证明 24．（2023·四川达州·模拟预测）如图，是的边延长线上一点，连接，，，交于点．添加以下条件，不能判定四边形为平行四边形的是（    ） A． B． C． D． 25．（23-24八年级下·全国·期中）如图，，下面给出四个结论：①四边形是平行四边形；②；③；④．其中正确的有 ．（填序号） 26．（2023八年级下·全国·专题练习）如图，在平行四边形中，点M，N分别是边的中点． 求证：． 题型十、平行四边形性质和判定的应用 27．（23-24八年级下·陕西西安·阶段练习）如图，在平行四边形中，cm，cm，点在边上以的速度从点向点运动，点在边上，以的速度从点出发，在上运动到点后返回点，其中一点到达终点时，两点同时停止运动，在运动过程中，当以，，，四点为顶点的四边形为平行四边形时，点运动的时间为（   ） A．2s B．s C．4s D．5s 28．（22-23八年级下·北京海淀·阶段练习）为了保证铁路的两条直铺的铁轨互相平行，只要使互相平行的加在铁轨之间的枕木长相等就可以了，请你说出这样判断的依据是 ． 29．（23-24八年级下·辽宁鞍山·期末）如图，四边形中，，，点是的中点．请利用无刻度直尺画出边中点，并说明理由． 题型十一、三角形中位线的实际应用 30．（23-24八年级下·云南昆明·期末）如图所示，A，B两点被池塘隔开，A，B，C三点不共线，设的中点分别为点M，N，测得米，可求出A，B两点之间的距为（    ） A．32米 B．24米 C．20米 D．18米 31．（22-23八年级下·云南昆明·期末）如图，要测定被池塘隔开的，两点的距离．可以在外选一点连接，，并分别找出它们的中点，，连接．现测得，则 m． 32．（21-22八年级下·全国·课后作业）要测量B，C两地的距离，小明想出一个方法：在池塘外取点A，得到线段，，并取，的中点D，E，连结．只要测出的长，就可以求得B，C两地的距离．你认为这个方法正确吗？请说明理由． 分层练习 一、单选题 1．如图，在中，平分，是的中点，，，，则的长为（    ） A．1 B． C．2 D． 2．如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，则下列说法一定正确的是（ ） A．AO=OD B．AO⊥OD C．AO=OC D．AO⊥AB 3．如图，跷跷板的支柱经过它的中点O，且垂直于地面于点C，当它的一端A着地时，另一端B离地面的高度为（    ）    A．0.6m B．1m C．1.1m D．1.2m 4．如图，已知平行四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AB⊥AC，若AB＝，AC＝2，则对角线BD的长是（　　） A． B． C． D． 5．依据所标数据，下列一定为平行四边形的是（    ） A． B． C． D． 6．如图，四边形的对角线交于点O，下列哪组条件不能判断四边形是平行四边形（　　） A．， B．， C．， D．， 7．如图，在四边形中，对角线、交于点O．下列条件不能判断四边形是平行四边形的是（    ） A．， B．， C．， D．， 8．如图，平行四边形ABCD中，AD＝5，AB＝3，AE平分∠BAD交BC边于点E，则EC等于（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 9．如图，在中，P是对角线上一点，过点P作，与和分别交于点E和点F，连结．已知，则阴影部分的面积和是（    ） A． B． C．5 D．10 10．如图，在中，，点在上，为的中点，连结，，，，则的长为（　　） A． B．3 C． D．4 二、填空题 11．中，，则的面积为 ． 12．如图，在平行四边形中，对角线与交于点，若，则平行四边形的面积 ． 13．如图，在等腰中，，，点是边上一点，且，连结，过点作的角平分线交于点．若点是边的中点，连结，则的长为 ． 14．如图，中，对角线，相交于点，交于点，连接，若的周长为15，则的周长为 ． 15．平行四边形的一个内角平分线将该平行四边形的一边分为2cm和3cm两部分，则该平行四边形的周长为 ． 16．如图，两张等宽的纸条交叉叠放在一起，重合部分构成四边形，P为上一点，连接，若四边形的面积为，纸条的宽为3，，则的长为 ． 17．如图，在中，，，D是所在平面内一点，以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形，设此平行四边形的对角线交点为O，则的长为 ． 18．在平行四边形ABCD中，点A1，A2，A3，A4和C1，C2，C3，C4分别AB和CD的五等分点，点B1，B2和D1，D2分别是BC和DA的三等分点，已知四边形A4B2C4D2的面积为3，则平行四边形ABCD面积为 三、解答题 19．如图，平行四边形的对角线的中点，过点且与，分别相交于点，． 求证：． 20．（1）化简并求值：，其中． （2）如图，在□ABCD中，点O是AC的中点，点F在边CB的延长线上，连接FO并延长交AD的延长线于点E，EF分别与AB、CD交于点H、G．求证：． 21．如图1，A、B两地被建筑物阻隔，为测量A、B两地的距离，在地面上选一点C，连接，分别取，的中点D、E． (1)测得的长为，则A、B两地的距离为_______． (2)如图2，在四边形中，，点E、F分别是和的中点， 求的长 22．在一次数学探究活动中，小明用两条直线把平行四边形分割成四个部分，使含有一组对顶角的两个图形全等． (1)请在图中的三个平行四边形中画出满足小明分割方法的直线； (2)根据小明的分割方法，你认为把平行四边形分割成满足以上全等关系的直线有______组；由上述实验操作过程，你发现小明所画的两条直线的主要特点是______． (3)拓展延伸：将一张平行四边形的纸片沿过对角线的中点的直线折叠，折痕交边、于点、，点落在点处，点落在点处．设交于点，分别交、于点、．求证：． 23．阅读与思考 问题情境： 如图1，某小区内有一池塘，同学们想利用所学知识测量池塘两端A，B两点间的距离． 可用工具：测量长度的卷尺、测量角度的测角仪． 方法分析： “圆周率”小组的操作过程如下：如图2，取能直接到达A和B的点C，量出的长和的度数；作；在射线上找一点D，使；测出的长度，就可得到A，B两点间的距离． “智慧”小组的操作过程如下：如图3，取能直接到达A和B的点C，连接，；分别取，的中点D，E，测出的长度，乘以2就可得到A，B两点间的距离． 说明：以上各点都在同一水平面内． （1）上面操作中，“圆周率”小组通过测量的长度得到A，B两点间的距离，依据是 ．“智慧”小组通过测量的长度乘以2，就可得到A，B两点间的距离，依据是 ． 迁移应用： （2）请你设计一种与上面方法不同的测量方案，要求： ①在图1中画出可操作的方案图； ②简要说明你的操作步骤； ③测量方案中，得到A，B两点间的距离的主要依据是 ． 24．如图，在四边形中，，点，分别是，的中点，，，求线段的长. 25．综合实践：“构图法”计算图形面积． 提出问题： 在中， 的长度分别为．，求的面积．素材准备：三张的网格纸． 分析问题：如果运用三角形面积公式 （a为底边，h为对应的高）求解，由于三角形的三条边均为无理数，高h的计算较为复杂．进一步观察发现：，，．若把放到图1的正方形网格中（每个小正方形的边长为1），且的三个顶点恰好都在小正方形的顶点（格点），这样无需求三角形的高，直接借助网格就能计算出的面积．种借助网格计算面积的方法我们称为“构图法”． 解决问题： （1）在图1中，已知点A的位置（点A是格点）．请分别画线段： （点B、C也是格点）． 则可以计算出的面积为______． （2）已知以格点M、N、P、Q为顶点的平行四边形的面积为5，在图2中已经作出格点 M、N． ①在图2中作出格点 P、Q的位置（作出一种得可）； ②这样的平行四边形共有______个． （3）若的边长分别为：．求的面积． 26．如图①所示，平行四边形是某公园的平面示意图．、、、分别是该公园的四个入口，两条主干道、交于点，请你帮助公园的管理人员解决以下问题：    (1)若，，，公园的面积为______； (2)在（1）的条件下，如图②，公园管理人员在参观了南湖绿道后，为提升游客游览的体验感，准备修建三条绿道、、，其中点在上，点在上，且（点与点、不重合），并计划在与两块绿地所在区域种植郁金香，求种郁金香区域的面积； (3)若将公园扩大，此时，，，修建（2）中的绿道每千米费用为万元，请你计算该公园修建这三条绿道投入资金的是小值． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第06讲 平行四边形（5个知识点+11种题型+分层练习） 知识导图 知识清单 知识点1．平行线之间的距离 （1）平行线之间的距离 从一条平行线上的任意一点到另一条直线作垂线，垂线段的长度叫两条平行线之间的距离． （2）平行线间的距离处处相等． 知识点2．三角形中位线定理 （1）三角形中位线定理： 三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半． （2）几何语言： 如图，∵点D、E分别是AB、AC的中点 ∴DE∥BC，DE＝BC． 知识点3．平行四边形的性质 （1）平行四边形的概念：有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形． （2）平行四边形的性质： ①边：平行四边形的对边相等． ②角：平行四边形的对角相等． ③对角线：平行四边形的对角线互相平分． （3）平行线间的距离处处相等． （4）平行四边形的面积： ①平行四边形的面积等于它的底和这个底上的高的积． ②同底（等底）同高（等高）的平行四边形面积相等． 知识点4．平行四边形的判定 （1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形．符号语言：∵AB∥DC，AD∥BC∴四边行ABCD是平行四边形． （2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形．符号语言：∵AB＝DC，AD＝BC∴四边行ABCD是平行四边形． （3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形． 符号语言：∵AB∥DC，AB＝DC∴四边行ABCD是平行四边形． （4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形． 符号语言：∵∠ABC＝∠ADC，∠DAB＝∠DCB∴四边行ABCD是平行四边形． （5）对角线互相平分的四边形是平行四边形．符号语言：∵OA＝OC，OB＝OD∴四边行ABCD是平行四边形． 知识点5．平行四边形的判定与性质 平行四边形的判定与性质的作用 平行四边形对应边相等，对应角相等，对角线互相平分及它的判定，是我们证明直线的平行、线段相等、角相等的重要方法，若要证明两直线平行和两线段相等、两角相等，可考虑将要证的直线、线段、角、分别置于一个四边形的对边或对角的位置上，通过证明四边形是平行四边形达到上述目的． 运用定义，也可以判定某个图形是平行四边形，这是常用的方法，不要忘记平行四边形的定义，有时用定义判定比用其他判定定理还简单． 凡是可以用平行四边形知识证明的问题，不要再回到用三角形全等证明，应直接运用平行四边形的性质和判定去解决问题． 题型强化 题型一、利用平行四边形的性质求解 1．（21-22八年级下·海南省直辖县级单位·期末）平行四边形不具有的特点是（    ） A．平行四边形对边相等 B．平行四边形对角相等 C．平行四边形对角线相等 D．平行四边形邻角互补 【答案】C 【知识点】利用平行四边形的性质求解 【分析】本题考查了平行四边形的性质，根据平行四边形的性质判断即可求解，掌握平行四边形的性质是解题的关键． 【详解】解：平行四边形不具有的特点是对角线相等， 故选：． 2．（23-24八年级下·吉林四平·期中）在平行四边形中，若，则 ． 【答案】30 【知识点】利用平行四边形的性质求解 【分析】本题考查了平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解此题的关键，根据平行四边形对角相等可得． 【详解】解：在平行四边形中，若，则． 故答案为：30． 3．（23-24八年级下·全国·单元测试）已知：如图，在中，点是的中点，连接并延长，交的延长线于点，求证：． 【答案】见解析 【知识点】利用平行四边形的性质求解、全等三角形综合问题 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，平行四边形的性质等知识，由平行四边形的性质得到，，再证明即可解决问题．解决的关键是正确寻找全等三角形解决问题． 【详解】解：是的中点， ， 四边形是平行四边形， ，， ， 在和中， ， ， ， ． 题型二、利用平行四边形的性质证明 4．（23-24八年级下·山东临沂·开学考试）小明同学写下了平行四边形的四条性质，其中不正确的是（    ） A．对角互补 B．邻角互补 C．对边平行 D．对角线互相平分 【答案】A 【知识点】利用平行四边形的性质证明 【分析】此题考查了平行四边形的性质，根据平行四边形的性质进判断即可. 【详解】解：平行四边形对角相等但不一定互补，邻角互补，对边平行，对角线互相平分， 故选：A 5．（23-24八年级下·内蒙古包头·期中）如图，过对角线的交点，交于点，交于点．则：①；②若，，则；③；④．其中正确的结论有 ． 【答案】①②④ 【知识点】全等三角形综合问题、利用平行四边形的性质证明 【分析】本题考查平行四边形的性质和全等三角形的判定及性质，牢记平行四边形的性质和全等三角形的判定定理是解题关键． 根据平行四边形的性质可得到，可判断①正确；根据三角形三边关系可得到，进而求得的取值范围，可判断②正确；根据平行四边形的性质可知为中点，则，进而求得与的数量关系，可判断③正确；根据，利用，可判断④正确． 【详解】①∵四边形为平行四边形， ∴，． ∴，． 在和中， ， ∴． ∴． 故①正确． ②∵四边形为平行四边形， ∴，． 又， ∴． ∴． 故②正确． ③∵为的中点， ∴． ∴． 故③错误． ④∵， ∴． ∴． 故④正确． 故答案为：①②④． 6．（22-23八年级下·云南·期末）如图，在中，点E，F分别在边和上，且，求证：． 【答案】见解析 【知识点】利用平行四边形的性质证明、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的性质与判定，根据平行四边形的性质可得，，结合已知条件进而证明，根据全等三角形的性质，即可得证． 【详解】证明：四边形是平行四边形 ， 在和中 ． 题型三、平行四边形性质的其他应用 7．（23-24八年级下·广东东莞·期末）为更好地开展劳动教育课程，学校计划将一块空地（如图）修建一条笔直的小路（小路宽度忽略不计）．有两个要求：经过边上一点；分成面积相等的两部分．则小路除了经过点外，还经过（   ） A．点 B．的中点 C．的中点 D．边上的点，且 【答案】B 【知识点】平行四边形性质的其他应用 【分析】本题考查了平行四边形的性质，根据平行四边形的性质即可得出答案，熟练掌握平行四边形的性质是解此题的关键． 【详解】解：由平行四边形的性质结合题意得：小路除了经过点外，还经过的中点， 故选：B． 8．（22-23八年级下·山东淄博·期中）请列举一条菱形、矩形、正方形都有的一条性质： ． 【答案】对角线互相平分（答案不唯一） 【知识点】平行四边形性质的其他应用 【分析】菱形、矩形、正方形都有的性质即为平行四边形的性质，解题即可． 【详解】解：∵菱形、矩形、正方形都是平行四边形， ∴共同的性质为：对角线互相平分，对边平行且相等，对角相等； 故答案为：对角线互相平分（答案不唯一）． 【点睛】本题考查平行四边形的性质，熟记平行四边形的性质是解题的关键． 9．（23-24八年级下·北京·期中）定义：至少有一组对边相等的四边形为“等对边四边形”． (1)请写出一个你学过的特殊四边形中是“等对边四边形”的名称； (2)如图，在中，点、分别在边、边上，且满足，线段、交于点， 求证：． 【答案】(1)平行四边形（答案不唯一） (2)见详解 【知识点】平行四边形性质的其他应用、多边形内角和问题 【分析】本题考查新定义题型，涉及特殊的四边形，四边形内角和． （1）根据定义，平行四边形，菱形，矩形都符合，写出一个即可； （2）利用四边形内角和及邻补角的性质即可得到答案． 【详解】（1）解：写出一个学过的特殊四边形中是“等对边四边形”的名称，如：平行四边形； （2） , ． 题型四、判断能否构成平行四边形 10．（23-24八年级下·广东清远·期末）如图，已知四边形，下列条件能判定四边形为平行四边形的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【知识点】判断能否构成平行四边形 【分析】本题考查了平行四边形的判定，根据平行四边形的判定定理逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：A. ，，不能判定四边形为平行四边形，故该选项不符合题意；     B. ，，不能判定四边形为平行四边形，故该选项不符合题意；         C. ，，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 ，能判定四边形为平行四边形，故该选项符合题意；     D. ，，不能判定四边形为平行四边形，故该选项不符合题意；     故选：C． 11．（23-24八年级下·湖南衡阳·期末）下列给出的条件中，不能判定四边形是平行四边形的是 （填序号）． ①，；②，；③，；④，． 【答案】③ 【知识点】判断能否构成平行四边形 【分析】本题考查了平行四边形的判定定理，根据平行四边形的判定定理逐项判断即可得出答案． 【详解】解：①∵，，∴四边形是平行四边形，不符合题意； ②∵，，∴四边形是平行四边形，不符合题意； ③，不能判定四边形是平行四边形，符合题意； ④∵，，∴四边形是平行四边形，不符合题意； 故答案为：③． 12．（23-24八年级下·吉林·期中）图①，图②均是4×4的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．其中点A，B，C均在格点上，请在给定的网格中按要求画四边形： (1)在图①中，找一格点D，使以点A，B，C，D为顶点的四边形是轴对称图形． (2)在图②中，找一格点E，使以点A，B，C，E为顶点的四边形是平行四边形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】判断能否构成平行四边形、画轴对称图形、平移(作图) 【分析】本题考查了轴对称图形、平移作图，熟练掌握轴对称图形与平行四边形的概念是解题关键． （1）以所在直线为对称轴，找出点的对称点即为点，再顺次连接点即可得； （2）根据点平移至点的方式，将点进行平移即可得点，再顺次连接点即可得． 【详解】（1）解：如图①，四边形是轴对称图形． （2）解：先将点向左平移2格，再向上平移1个可得到点， 则将点按照同样的平移方式可得到点， 如图②，四边形平行四边形． 题型五、添一个条件成为平行四边形 13．（2024八年级下·山东·专题练习）如图，在四边形中，，若添加一个条件，使得四边形为平行四边形，则下列不正确的是（      ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】添一个条件成为平行四边形 【分析】本题考查了平行四边形的判定．根据平行四边形的判定定理逐项分析判断即可求解． 【详解】解：A、根据，，能判断四边形为平形四边形，故该选项不符合题意； B、根据，，不能判断四边形为平形四边形，故该选项符合题意； C、根据，，能判断四边形为平形四边形，故该选项不符合题意； D、∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形为平形四边形， 故该选项不符合题意； 故选：B． 14．（23-24八年级下·青海玉树·期末）如图，四边形中，，要使四边形为平行四边形，则需添加一个条件，这个条件可以是 ． 【答案】（答案不唯一） 【知识点】添一个条件成为平行四边形 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定方法是解题的关键． 根据平行四边形的判定方法解答即可． 【详解】解：在四边形中，，， 四边形是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）， 可添加的条件是：； 在四边形中， ， ∴四边形是平行四边形； ∴可添加条件； 故答案是：（答案不唯一）. 15．（21-22八年级下·全国·课后作业）如图，在平行四边形中，点，是对角线上的两点，请添加一个不同于“”的条件，使四边形是平行四边形，并写出证明的过程． 【答案】添加的条件为：；证明见解析 【知识点】添一个条件成为平行四边形 【分析】添加的条件为：，证明，得到，即可得证． 【详解】添加的条件为：． 证明：∵ ∴ ∴ ∵四边形为平行四边形 ∴，， ∴ ∴ ∴， 又∵ ∴四边形为平行四边形． 【点睛】本题考查平行四边形的判定．熟练掌握平行四边形的判定方法，是解题的关键． 题型六、数图形中平行四边形的个数 16．（23-24八年级下·北京顺义·期末）如图所示的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，线段的两个端点都在格点上，若线段为的一边，的四个顶点都在正方形网格的格点上，则这样的平行四边形的个数为（   ） A．3个 B．4个 C．8个 D．11个 【答案】D 【知识点】数图形中平行四边形的个数 【分析】本题考查平行四边形的判定，解题的关键掌握平行四边形的判定定理，属于中考常考题型． 根据平行四边形的判定定理，即可解决问题． 【详解】解：如图，都可以成为平行四边形的顶点，所以这样的平行四边形最多可以画11个， 故选：D． 17．（22-23八年级下·海南省直辖县级单位·阶段练习）如图，、、都是等边三角形，则图中的平行四边形有 个；    【答案】2 【知识点】数图形中平行四边形的个数 【分析】根据等边三角形的性质，求出四边形角和边的关系，即可知道哪些四边形是平行四边形． 【详解】解：∵、、都是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形． 故答案为：2． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定，在应用判定定理判定平行四边形时，应仔细观察题目所给的条件，仔细选择适合于题目的判定方法进行解答，避免混用判定方法． 题型七、证明四边形是平行四边形 18．（23-24八年级下·内蒙古·阶段练习）下列说法中，错误的是（   ） A．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 B．两条对角线互相平分的四边形是平行四边形 C．两条对角线互相垂直的四边形是平行四边形 D．两组对角相等的四边形是平行四边形 【答案】C 【知识点】证明四边形是平行四边形 【分析】本题考查了平行四边形的判定，利用平行四边形的判定依次判断可求解． 【详解】一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，则选项A正确，不符合题意； 两条对角线互相平分的四边形是平行四边形，则选项B正确，不符合题意； 平行四边形的两条对角线不一定互相垂直，则选项C错误，符合题意； 两组对角相等的四边形是平行四边形，则选项D正确，不符合题意； 故选：C． 19．（23-24八年级下·福建泉州·期末）阅读以下作图步骤： ①任意画两条相交直线、，记交点为； ②以点为中心，分别在直线、上截取与、与，使，； ③顺序连接所得的四点得到四边形． 根据以上作图，可以推断四边形的形状是 ．    【答案】平行四边形 【知识点】证明四边形是平行四边形 【分析】本题考查了平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定是解题关键．根据对角线互相平分的四边形是平行四边形即可得出答案． 【详解】解：∵，， ∴四边形是平行四边形． 故答案为：平行四边形． 20．（22-23八年级下·浙江温州·期中）如图，是由边长为1的正方形构成的网格，正方形的顶点称为格点． (1)在图1中，画出以为一边的格点． (2)在图2中，画出以为对角线的格点，且它的面积最大． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】证明四边形是平行四边形 【分析】此题考查了网格中作平行四边形， （1）根据题意画出图形即可； （2）根据题意作出图形即可． 【详解】（1）如图，即为所求， （2）如图，即为所求， 题型八、利用平行四边形的判定与性质求解 21．（23-24八年级下·全国·期末）如图，已知，，，给出下面四个结论：其中正确的有（      ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】D 【知识点】利用平行四边形的判定与性质求解 【分析】本题主要考查平行四边形的判定与性质，同底等高面积相等等知识，先证明四边形是平行四边形，可判断①②，再根据同底等高面积相等判断③④即可 【详解】解：∵，即且 ∴四边形是平行四边形， ∴故①正确； ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ 又，即 ∴四边形是平行四边形， ∴故②正确； 设间的距离为， ∴ ∴故③正确； 又 ∵ ∴故④正确； 综上，正确的绪论是①②③④，共4个， 故选：D 22．（23-24八年级下·全国·单元测试）如图，在四边形中，，，为上一点，，垂足为如果四边形的面积为，，那么 ． 【答案】 【知识点】利用平行四边形的判定与性质求解 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，根据题意可推出四边形是平行四边形，连接，作，由、即可求解. 【详解】解：∵，， ∴四边形是平行四边形， 连接，作， ∵ ∴ ∵， ∴， 解得： 故答案为： 23．（23-24八年级下·江西鹰潭·期末）如图，点E为的边上的一点，连接并延长，使，连接并延长，使，连接．H为的中点，连接，． (1)若，，求的度数； (2)求证：四边形为平行四边形； (3)连接，交于点O，若，，求的长度． 【答案】(1) (2)见解析 (3)2 【知识点】与三角形中位线有关的证明、利用平行四边形的判定与性质求解 【分析】本题考查平行四边形的判定和性质，三角形的中位线定理： （1）根据平行四边形的性质，结合角的和差关系进行求解即可； （2）三角形的中位线定理，得到，进而推出，即可得证； （3）连接、、，证明四边形是平行四边形，得到，即可得出结果． 【详解】（1）解：四边形是平行四边形， ，， ， ， ； （2）证明：四边形是平行四边形， ，，， ，， 是的中位线， ，， 为的中点， ， ，， ，， 四边形是平行四边形； （3）解：如图，连接、、， ，， ，， ， ， 四边形是平行四边形， ，， ， ， 又， ． 题型九、利用平行四边形性质和判定证明 24．（2023·四川达州·模拟预测）如图，是的边延长线上一点，连接，，，交于点．添加以下条件，不能判定四边形为平行四边形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】利用平行四边形性质和判定证明 【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，平行线的判定和性质；添加条件后可证明，得到，进而可得结论，A不符合题意；添加条件，可证明，进而得到，从而证明结论，B不符合题意；添加条件，可证，进而证明结论，C不符合题意；添加条件，无法得到四边形为平行四边形，D符合题意． 【详解】解：A、∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形，不符合题意； B、∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形，不符合题意； C、∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形，不符合题意； D、添加条件，无法证明四边形为平行四边形，符合题意； 故选：D． 25．（23-24八年级下·全国·期中）如图，，下面给出四个结论：①四边形是平行四边形；②；③；④．其中正确的有 ．（填序号） 【答案】①②③ 【知识点】利用平行四边形性质和判定证明 【分析】此题主要考查平行四边形的判定与性质，和等（同）底等高的两个平行四边形面积相等，和同底等高的两个三角形的面积相等．由已知可得，四边形和四边形都是平行四边形，可推出4个结论是否成立． 【详解】解：， 四边形是平行四边形，故①正确； ， 四边形是平行四边形， ，故②正确； ， 四边形和四边形等底等高， ，故③正确； 四边形是平行四边形，四边形是平行四边形， ，故④错误； 故答案为：①②③． 26．（2023八年级下·全国·专题练习）如图，在平行四边形中，点M，N分别是边的中点． 求证：． 【答案】证明见解析 【知识点】利用平行四边形性质和判定证明 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质与判定，先根据平行四边形对边相等且平行得到，再由线段中点的定义得到，则，据此可证明四边形是平行四边，则可证明． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵点M，N分别是边的中点， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边， ∴． 题型十、平行四边形性质和判定的应用 27．（23-24八年级下·陕西西安·阶段练习）如图，在平行四边形中，cm，cm，点在边上以的速度从点向点运动，点在边上，以的速度从点出发，在上运动到点后返回点，其中一点到达终点时，两点同时停止运动，在运动过程中，当以，，，四点为顶点的四边形为平行四边形时，点运动的时间为（   ） A．2s B．s C．4s D．5s 【答案】B 【知识点】平行四边形性质和判定的应用 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，进行分类讨论是解题的关键． 根据平行四边形的性质得出，分情况讨论，再列出方程，求出方程的解即可． 【详解】解：设经过t秒，以点，，，为顶点组成平行四边形， ∵在边上运动， ∴， ∵以点，，，为顶点组成平行四边形， ∴， 分以下情况：①点Q的运动路线是 由题意得：， 解得：，不符合题意． ②点Q的运动路线是 由题意得：， 解得：；符合题意． 点Q的运动路线是 由题意得：， 解得：；不合题意． 点Q的运动路线是 由题意得：， 解得：，不合题意． 故选：B． 28．（22-23八年级下·北京海淀·阶段练习）为了保证铁路的两条直铺的铁轨互相平行，只要使互相平行的加在铁轨之间的枕木长相等就可以了，请你说出这样判断的依据是 ． 【答案】一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 【知识点】平行四边形性质和判定的应用 【分析】根据一组对边平行且相等的四边形为平行四边形进行判定，然后结合平行四边形的性质证明即可． 【详解】解：如图所示，设与为两条铁轨，，，等均为枕木， 由题意，，， ∴四边形为平行四边形， ∴， 同理可证，四边形等均为平行四边形， ∴ ∴保证铁路的两条直铺的铁轨互相平行，只要使互相平行的放在铁轨之间的枕木长相等就可以了， ∴这样判断的依据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形． 故答案为：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形． 【点睛】本题考查平行四边形的判定与性质，理解并掌握平行四边形的判定方法是解题关键． 29．（23-24八年级下·辽宁鞍山·期末）如图，四边形中，，，点是的中点．请利用无刻度直尺画出边中点，并说明理由． 【答案】图见解析，理由见解析． 【知识点】无刻度直尺作图、平行四边形性质和判定的应用 【分析】本题考查了无刻度直尺作图，平行四边形的判定和中点的定义，连接交于点，则点即为所求，再通过平行四边形的判定即可求证，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图：连接交于点， ∴点即为所求； 证明：连接， ∵，点是的中点， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴，，即点是中点． 题型十一、三角形中位线的实际应用 30．（23-24八年级下·云南昆明·期末）如图所示，A，B两点被池塘隔开，A，B，C三点不共线，设的中点分别为点M，N，测得米，可求出A，B两点之间的距为（    ） A．32米 B．24米 C．20米 D．18米 【答案】A 【知识点】三角形中位线的实际应用 【分析】本题考查三角形的中位线的应用，根据三角形的中位线性质得到，进而求解即可． 【详解】解：∵的中点分别为点M，N， ∴， ∵米， ∴米， 故选：A． 31．（22-23八年级下·云南昆明·期末）如图，要测定被池塘隔开的，两点的距离．可以在外选一点连接，，并分别找出它们的中点，，连接．现测得，则 m． 【答案】 【知识点】三角形中位线的实际应用 【分析】本题考查了三角形的中位线定理，属于基础题，熟练掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半． 根据中位线定理可得：． 【详解】解：是的中点，是的中点， 是的中位线， ， ， ， 故答案为：． 32．（21-22八年级下·全国·课后作业）要测量B，C两地的距离，小明想出一个方法：在池塘外取点A，得到线段，，并取，的中点D，E，连结．只要测出的长，就可以求得B，C两地的距离．你认为这个方法正确吗？请说明理由． 【答案】这种说法正确，理由见解析 【知识点】三角形中位线的实际应用 【分析】连接，根据三角形的中位线定理，得出，再判断即可． 【详解】这种说法正确，理由如下： 连接， ，的中点为D，E， 是的中位线， ， 只要测出的长，就可以求得B，C两地的距离， 所以，这个说法是正确的． 【点睛】本题考查了三角形的中位线性质，熟练掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键． 分层练习 一、单选题 1．如图，在中，平分，是的中点，，，，则的长为（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】A 【知识点】等腰三角形的性质和判定、与三角形中位线有关的求解问题 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，三角形中位线的性质定理，关键是作辅助线得到等腰三角形． 延长交的延长线于点，证明是等腰三角形，则得的长，点E是的中点，求得的长，从而是中位线，即可求得的长． 【详解】延长交的延长线于点，如图， ， ， 平分， ， ， 是等腰三角形， ，点E是的中点， ，是的中位线， ． 故选：A． 2．如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，则下列说法一定正确的是（ ） A．AO=OD B．AO⊥OD C．AO=OC D．AO⊥AB 【答案】C 【知识点】利用平行四边形的性质证明 【详解】平行四边形的对角线不一定相等，A不符合题意； 对角线不一定互相垂直，B不符合题意； 对角线互相平分，C符合题意； 对角线与边不一定垂直，D不符合题意． 故选C． 【点睛】本题考查平行四边形的性质．掌握平行四边形的性质对角线互相平分是解题关键． 3．如图，跷跷板的支柱经过它的中点O，且垂直于地面于点C，当它的一端A着地时，另一端B离地面的高度为（    ）    A．0.6m B．1m C．1.1m D．1.2m 【答案】D 【知识点】与三角形中位线有关的求解问题 【分析】过点B作交的延长线于D，根据三角形中位线定理解答即可． 【详解】解：过点B作交的延长线于D，    ∵， ∴， ∵， ∴， ∴是的中位线， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查的是三角形中位线定理，掌握三角形中位线等于第三边的一半是解题的关键． 4．如图，已知平行四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AB⊥AC，若AB＝，AC＝2，则对角线BD的长是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用平行四边形的性质和勾股定理易求BO的长，进而可求出BD的长． 【详解】解：∵▱ABCD的对角线AC与BD相交于点O， ∴BO＝DO，AO＝CO＝AC＝， ∵AB⊥AC，AB＝， ∴BO＝， ∴BD＝2BO＝， 故选B． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质以及勾股定理的运用，是中考常见题型，比较简单． 5．依据所标数据，下列一定为平行四边形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】利用平行四边形性质和判定证明 【分析】根据平行四边形的判定及性质定理判断即可； 【详解】解：平行四边形对角相等，故A错误； 一组对边平行不能判断四边形是平行四边形，故B错误； 三边相等不能判断四边形是平行四边形，故C错误； 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，故D正确； 故选：D． 【点睛】本题主要考查平行四边形的判定及性质，掌握平行四边形的判定及性质是解题的关键． 6．如图，四边形的对角线交于点O，下列哪组条件不能判断四边形是平行四边形（　　） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【知识点】判断能否构成平行四边形 【分析】利用平行四边形的判定定理分别进行分析即可． 【详解】A、根据对角线互相平分的四边形是平行四边形可判定四边形为平行四边形，故此选项不合题意； B、不能判定四边形是平行四边形，故此选项符合题意； C、根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形可判定四边形为平行四边形，故此选项不合题意； D、根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可判定四边形为平行四边形，故此选项不合题意； 故选：B． 【点睛】此题主要考查了平行四边形的判定，关键是掌握（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形．（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形．（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形．（5）对角线互相平分的四边形是平行四边形． 7．如图，在四边形中，对角线、交于点O．下列条件不能判断四边形是平行四边形的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、判断能否构成平行四边形 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定以及全等三角形的判定以及性质，根据两组对边分别相等可判定A， 根据对角线互相平分可判定C，先利用平行线的性质可得出，再证明，由全等三角形的性质可得出，再根据对角线互相平分可判定D． 【详解】解：A．，，根据两组对边分别相等，可以判定平行四边形，故该选项不符合题意； B．，，无法判断四边形是平行四边形，故该选项符合题意； C．，，根据对角线互相平分，可以判定平行四边形，故该选项不符合题意； D．∵， ∴， 又，， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形，故该选项不符合题意； 故选∶B． 8．如图，平行四边形ABCD中，AD＝5，AB＝3，AE平分∠BAD交BC边于点E，则EC等于（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【知识点】根据等角对等边证明边相等、利用平行四边形的性质求解 【分析】根据平行四边形及平行线的性质可得，再由角平分线及等量代换得出，利用等角对等边可得，结合图形即可得出线段长度． 【详解】解：∵四边形ABCD为平行四边形， ∴， ∴， ∵AE平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 【点睛】题目主要考查 平行四边形及平行线的性质，利用角平分线计算，等角对等边等，理解题意，熟练运用平行四边形的性质是解题关键． 9．如图，在中，P是对角线上一点，过点P作，与和分别交于点E和点F，连结．已知，则阴影部分的面积和是（    ） A． B． C．5 D．10 【答案】B 【知识点】利用平行四边形的判定与性质求解、含30度角的直角三角形 【分析】过点P作MN∥AD，交AB于M，交CD于N，过点P作PH⊥AE于H，易证S△ABD=S△CBD，AB∥EF∥CD，AD∥MN∥BC，得出四边形AEPM、四边形BFPM、四边形DEPN、四边形CFPN都是平行四边形，则S△AEP=S△AMP，S△DEP=S△DNP，S△BMP=S△BFP，S△CFP=S△CNP，得出S△AEP=S△CFP，由MN∥BC，求出PH，由S阴影部分=2S△AEP即可得出结果． 【详解】解：过点P作MN∥AD，交AB于M，交CD于N，过点P作PH⊥AE于H，如图所示： ∵四边形ABCD是平行四边形，EF∥AB，MN∥AD， ∴S△ABD=S△CBD，AB∥EF∥CD，AD∥MN∥BC， ∴四边形AEPM、四边形BFPM、四边形DEPN、四边形CFPN都是平行四边形， ∴S△AEP=S△AMP，S△DEP=S△DNP，S△BMP=S△BFP，S△CFP=S△CNP， ∴S△AEP=S△CFP， ∵MN∥BC， ∴∠AMP=∠ABC=60°， ∵四边形AEPM是平行四边形， ∴∠PEH=60°， ∴∠EPH=30°， ∴HE=EP=1， ∴PH=， ∴S阴影部分=2S△AEP=2×AE•PH=2××5×=， 故选：B． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质、平行线的性质、三角形面积的计算等知识；熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键． 10．如图，在中，，点在上，为的中点，连结，，，，则的长为（　　） A． B．3 C． D．4 【答案】A 【知识点】与三角形中位线有关的求解问题、用勾股定理解三角形、根据平行线判定与性质证明 【分析】本题考查了勾股定理，三角形中位线定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 过作于，得到，求得，根据勾股定理得到，根据三角形中位线定理即可得到结论． 【详解】解：如图，过作于， ， ， ， 为的中点， 点是的中点， ， ，， ， ， ， ， ， 为的中点，点是的中点， 是的中位线， ． 故选：A． 二、填空题 11．中，，则的面积为 ． 【答案】12 【知识点】利用平行四边形的性质求解、含30度角的直角三角形 【分析】如图，作于点E，先根据30度角的直角三角形的性质求出，再根据平行四边形的面积公式计算． 【详解】解：如图，作于点E， ∵， ∴， ∴的面积为． 故答案为：12 【点睛】本题考查了平行四边形的面积公式和含30度角的直角三角形的性质，熟知直角三角形中，30度角对的直角边等于斜边的一半是解题关键． 12．如图，在平行四边形中，对角线与交于点，若，则平行四边形的面积 ． 【答案】16 【知识点】利用平行四边形的性质求解 【分析】由平行四边形的性质可知，，进而可求平行四边形的面积． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， 则与等底同高，∴， 同理可得：， ∴平行四边形的面积为：， 故答案为：16． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质的运用，得到是关键． 13．如图，在等腰中，，，点是边上一点，且，连结，过点作的角平分线交于点．若点是边的中点，连结，则的长为 ． 【答案】 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、用勾股定理解三角形、与三角形中位线有关的求解问题 【分析】根据勾股定理得到，求得，根据全等三角形的性质得到，根据三角形中位线定理即可得到结论． 【详解】解：在等腰中，，， ， ， ， 平分， ， 在与中， ， ， ， 点是边的中点， 是的中位线， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角形中位线定理，全等三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键． 14．如图，中，对角线，相交于点，交于点，连接，若的周长为15，则的周长为 ． 【答案】30 【知识点】线段垂直平分线的性质、利用平行四边形的性质求解 【分析】根据平行四边形的性质得出，，，由中垂线的性质确定EB=ED，利用∆ABE的周长为15，得出，根据平行四边形的性质即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∵， ∴是线段的垂直平分线， ∴EB=ED， ∵∆ABE的周长为15， ∴的周长． ∴平行四边形ABCD的周长为：2（AB+AD）=30 故答案为：30． 【点睛】本题考查平行四边形的性质、线段垂直平分线的判定与性质、三角形的周长，熟练掌握平行四边形的性质及中垂线的性质，证明是线段的垂直平分线是解答的关键． 15．平行四边形的一个内角平分线将该平行四边形的一边分为2cm和3cm两部分，则该平行四边形的周长为 ． 【答案】14cm或16cm 【知识点】利用平行四边形的性质求解 【详解】试题分析:根据题意画出图形，由平行四边形得出对边平行，又由角平分线可以得出△ABE为等腰三角形，然后分别讨论BE=2cm，CE=3cm或BE=3cm，CE=2cm，继而求得答案． 解：如图，∵四边形ABCD为平行四边形， ∴AD∥BC， ∴∠DAE=∠AEB， ∵AE为角平分线， ∴∠DAE=∠BAE， ∴∠AEB=∠BAE， ∴AB=BE， ∴①当AB=BE=2cm，CE=3cm时， 则周长为14cm； ②当AB=BE=3cm时，CE=2cm， 则周长为16cm． 故答案为14cm或16cm． 考点：平行四边形的性质． 16．如图，两张等宽的纸条交叉叠放在一起，重合部分构成四边形，P为上一点，连接，若四边形的面积为，纸条的宽为3，，则的长为 ． 【答案】 【知识点】化为最简二次根式、用勾股定理解三角形、利用平行四边形的性质求解 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，平行四边形的性质，化为最简二次根式，先求解，求解，再进一步利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图：过作 ，过B作， 由题意可得：四边形是平行四边形，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 17．如图，在中，，，D是所在平面内一点，以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形，设此平行四边形的对角线交点为O，则的长为 ． 【答案】或1或 【知识点】利用平行四边形的性质求解、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了平行四边形的性质和勾股定理，运用数形结合思想与分类讨论思想是解决本题的关键．分三种情况讨论：①为边，是对角线；②，为边，③，为边，作出图形，分别由平行四边形的性质和勾股定理可求的长． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ①如图，若，为边，是对角线， ∵四边形是平行四边形，且，， ∴； ②若，为边，为对角线， ∵四边形是平行四边形， ∴； ③若，为边，为对角线， ∵是平行四边形， ∴， ∴， 故答案为：或1或． 18．在平行四边形ABCD中，点A1，A2，A3，A4和C1，C2，C3，C4分别AB和CD的五等分点，点B1，B2和D1，D2分别是BC和DA的三等分点，已知四边形A4B2C4D2的面积为3，则平行四边形ABCD面积为 【答案】 【知识点】利用平行四边形的性质求解 【详解】试题解析：设平行四边形ABCD的面积是S，设AB=5a，BC=3b．AB边上的高是3x，BC边上的高是5y． 则S=5a•3x=3b•5y．即ax=by=． △AA4D2与△B2CC4全等，B2C=BC=b，B2C边上的高是•5y=4y． 则△AA4D2和△B2CC4的面积是2by=． 同理△D2C4D与△A4BB2的面积是． 则四边形A4B2C4D2的面积是S----=，即=1， 解得S=． 三、解答题 19．如图，平行四边形的对角线的中点，过点且与，分别相交于点，． 求证：． 【答案】见解析 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、利用平行四边形的性质证明 【分析】本题主要考查平行四边形的性质，掌握平行四边形的对边平行、对角线互相平分是解题的关键．由平行四边形性质可证得，则可证得． 【详解】证明：平行四边形的对角线的中点， ，， ， 在和中， ， ． 20．（1）化简并求值：，其中． （2）如图，在□ABCD中，点O是AC的中点，点F在边CB的延长线上，连接FO并延长交AD的延长线于点E，EF分别与AB、CD交于点H、G．求证：． 【答案】（1），2；（2）见解析 【知识点】利用平行四边形的性质证明、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、分式化简求值 【分析】（1）根据分式的减法运算计算化简，然后将代入即可求解； （2）由平行四边形的性质得AD∥BC，根据平行线的性质证明∠E=∠F，角边角证明△AFG≌△CEH，其性质得AG=CH． 【详解】（1）解：原式＝ ； 当时，原式＝； （2）证明：如图所示： ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥DC， 点O是AC的中点， 又 ∴AH=CG； 【点睛】本题考查了分式的化简求值，平行四边形的性质，等边三角形的性质与判定，掌握以上知识是解题的关键． 21．如图1，A、B两地被建筑物阻隔，为测量A、B两地的距离，在地面上选一点C，连接，分别取，的中点D、E． (1)测得的长为，则A、B两地的距离为_______． (2)如图2，在四边形中，，点E、F分别是和的中点， 求的长 【答案】(1) (2) 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、与三角形中位线有关的求解问题 【分析】本题考查的是三角形中位线定理的含义，全等三角形的判定与性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键． （1）证明为的中位线，利用三角形的中位线的性质可得答案； （2）如图，取的中点，连接，连接，并延长交于，证明，可得，证明三点共线，再利用三角形的中位线的性质可得答案． 【详解】（1）解：∵，的中点为D、E． ∴为的中位线， ∴， ∵， ∴； （2）如图，取的中点，连接，连接，并延长交于， ∵点E是的中点， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵为的中点， ∴， ∵， ∴， ∵点H、F分别是和的中点，， ∴，， ∴三点共线， ∵点H、E分别是和的中点，， ∴， ∴． 22．在一次数学探究活动中，小明用两条直线把平行四边形分割成四个部分，使含有一组对顶角的两个图形全等． (1)请在图中的三个平行四边形中画出满足小明分割方法的直线； (2)根据小明的分割方法，你认为把平行四边形分割成满足以上全等关系的直线有______组；由上述实验操作过程，你发现小明所画的两条直线的主要特点是______． (3)拓展延伸：将一张平行四边形的纸片沿过对角线的中点的直线折叠，折痕交边、于点、，点落在点处，点落在点处．设交于点，分别交、于点、．求证：． 【答案】(1)作图见详解，（答案不唯一）； (2)无数，两条直线都经过平行四边形对角线的交点； (3)见解析 【知识点】折叠问题、利用平行四边形的性质证明、全等三角形综合问题、根据平行线的性质探究角的关系 【分析】（1）由平行四边形是中心对称图形，只要过它的对称中心画直线即可； （2）由（1）即可得答案； （3）由平行四边形的性质得，再由证得，得出，然后由折叠性质得，最后证得，即可得出结论． 【详解】（1）解：作图时首先找到对角线的交点，只要过对角线的交点，任画一条直线即可， 答案不唯一：如图所示； （2）解：把平行四边形分割成满足以上全等关系的直线有无数组，由上述实验操作过程，发现小明所画的两条直线的主要特点是：这两条直线过平行四边形对角线的交点， 故答案为：无数，两条直线都经过平行四边形对角线的交点； （3）证明：四边形是平行四边形， ， ， 在和中， ， ， ， 由折叠的性质得：， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定与性质，平行线的性质等知识，熟练掌握平行四边形是中心对称图形，平行四边形的两条对角线交于一点，这个点是平行四边形的中心，也是两条对角线的中心，经过中心的任意一条直线可将平行四边形分成完全重合的两个图形是解题的关键． 23．阅读与思考 问题情境： 如图1，某小区内有一池塘，同学们想利用所学知识测量池塘两端A，B两点间的距离． 可用工具：测量长度的卷尺、测量角度的测角仪． 方法分析： “圆周率”小组的操作过程如下：如图2，取能直接到达A和B的点C，量出的长和的度数；作；在射线上找一点D，使；测出的长度，就可得到A，B两点间的距离． “智慧”小组的操作过程如下：如图3，取能直接到达A和B的点C，连接，；分别取，的中点D，E，测出的长度，乘以2就可得到A，B两点间的距离． 说明：以上各点都在同一水平面内． （1）上面操作中，“圆周率”小组通过测量的长度得到A，B两点间的距离，依据是 ．“智慧”小组通过测量的长度乘以2，就可得到A，B两点间的距离，依据是 ． 迁移应用： （2）请你设计一种与上面方法不同的测量方案，要求： ①在图1中画出可操作的方案图； ②简要说明你的操作步骤； ③测量方案中，得到A，B两点间的距离的主要依据是 ． 【答案】（1）平行四边形对边相等；三角形的中位线等于第三边的一半；（2）①作图见解析；②步骤见解析；③全等三角形对应边相等 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、平行四边形性质和判定的应用、三角形中位线的实际应用 【分析】（1）根据平行四边形的性质和三角形的中位线性质进行解答即可； （2）构造全等三角形，画出图形，利用全等三角形的对应边进行解答即可． 【详解】解：（1）“圆周率”小组：∵， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴“圆周率”小组通过测量的长度得到A，B两点间的距离，依据是平行四边形对边相等； “智慧”小组：∵D，E分别为，的中点， ∴为的中位线， ∴， ∴“智慧”小组通过测量的长度乘以2，就可得到A，B两点间的距离，依据是三角形的中位线等于第三边的一半； （2）①如图， ②先在平地上取一个可直接到达A，B的点C，再连接，并分别延长至点D，至点E，使， ，最后量出的距离就是的距离； ③在和中， ， ∴， ∴， ∴得到A，B两点间的距离的主要依据是全等三角形对应边相等． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定和性质的应用，三角形中位线的应用，三角形全等的应用，平行线的判定，解题的关键是理解题意熟练掌握相关的判定和性质． 24．如图，在四边形中，，点，分别是，的中点，，，求线段的长. 【答案】. 【知识点】与三角形中位线有关的求解问题 【分析】根据三角形中位线定理和直角三角形斜边上的中线推出，再由等腰三角形的性质求得，在等腰直角三角形△BEF中求得线段的长度即. 【详解】∵，分别是，的中点， ∴且. ∵，， ∴，. 连接.∵，是的中点，， ∴. ∴. ∴. ∴. ∴. 【点睛】考查了三角形中位线定理和直角三角形斜边上的中线，根据三角形中位线定理和直角三角形斜边上的中线推出△BEF是等腰三角形是解题的关键. 25．综合实践：“构图法”计算图形面积． 提出问题： 在中， 的长度分别为．，求的面积．素材准备：三张的网格纸． 分析问题：如果运用三角形面积公式 （a为底边，h为对应的高）求解，由于三角形的三条边均为无理数，高h的计算较为复杂．进一步观察发现：，，．若把放到图1的正方形网格中（每个小正方形的边长为1），且的三个顶点恰好都在小正方形的顶点（格点），这样无需求三角形的高，直接借助网格就能计算出的面积．种借助网格计算面积的方法我们称为“构图法”． 解决问题： （1）在图1中，已知点A的位置（点A是格点）．请分别画线段： （点B、C也是格点）． 则可以计算出的面积为______． （2）已知以格点M、N、P、Q为顶点的平行四边形的面积为5，在图2中已经作出格点 M、N． ①在图2中作出格点 P、Q的位置（作出一种得可）； ②这样的平行四边形共有______个． （3）若的边长分别为：．求的面积． 【答案】（1）图见解析，的面积为3．（2）① 图见解析；② 7 （3） 【知识点】利用网格求三角形面积、平行四边形性质和判定的应用、勾股定理与网格问题 【分析】本题考查本作图—应用与设计作图，勾股定理，平行四边形的判定和性质，分割法求几何图形面积，熟练掌握勾股定理，利用数形结合的思想是解题的关键． （1）取格点，画出 ，利用分割法即可求解的面积； （2）① 根据平行四边形的面积公式，构造底边为5，高为1的平行四边形即可，② 通过取不同的格点，结合利用割补法，图象的翻转，即可找到所有满足条件的平行四边形； （3）通过构造小矩形长为，宽为的矩形网格图，然后取格点，使得，，，再利用割补法即可求解； 【详解】解：（1）取格点，画出 ，如图所示， ， 故的面积为3． （2）① 取格点，依次连接M、N、P、Q，构成平行四边形， 平行四边形的底边为5，高为1， 平行四边形的面积为5. ② 这样的平行四边形共有7个，除了第①中的平行四边形外，还有以下6种情况， ， ， ， ． （3）在备用图中，设矩形网格图中，小矩形长为，宽为，取格点，如图所示， ，，， 符合题意， 的面积为：， 的面积． 26．如图①所示，平行四边形是某公园的平面示意图．、、、分别是该公园的四个入口，两条主干道、交于点，请你帮助公园的管理人员解决以下问题：    (1)若，，，公园的面积为______； (2)在（1）的条件下，如图②，公园管理人员在参观了南湖绿道后，为提升游客游览的体验感，准备修建三条绿道、、，其中点在上，点在上，且（点与点、不重合），并计划在与两块绿地所在区域种植郁金香，求种郁金香区域的面积； (3)若将公园扩大，此时，，，修建（2）中的绿道每千米费用为万元，请你计算该公园修建这三条绿道投入资金的是小值． 【答案】(1) (2) (3)（万元） 【知识点】利用平行四边形的判定与性质求解、用勾股定理解三角形、等边三角形的判定和性质、两点之间线段最短 【分析】（1）根据平行四边形的性质求得、，作辅助线，从而求得，则可求得答案； （2）根据已知条件可得，从而的值转化为求的值即可； （3）由题意可知为定值，从而将沿向下平移至，连接交于点，此时即为取最小值，此时点位于处，过作于点，先判定四边形和四边形均为平行四边形，再得出是等边三角形，根据含度角的直角三角形的性质，勾股定理求得的长，可得最短的绿道长度，从而求得费用的最小值． 【详解】（1）解：四边形是平行四边形，，， ，， 在中，过点作于点，如图：   ，，， ， ， ， ； 公园的面积为； 故答案为： （2）解：连接、，如图：   在中，， ， ， ，，， ， ， ． 种植郁金香区域的面积为． （3）解：将沿向下平移至， 连接交于点，此时即为取最小值，此时点位于处，过作于点，如图：   ，， 为的中位线， ， 四边形和四边形均为平行四边形， ， ，，， ， 是等边三角形， ， ， 在中，由勾股定理得：， 在中， 由勾股定理得：， ， 、、和的最小值为：， 投入资金的最小值为：（万元）． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、勾股定理、三角形中位线定理及等边三角形的判定与性质等知识点在最值问题中的综合运用，综合性强，画出图象分析计算、数形结合是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$