第06讲 勾股定理（4个知识点+9种题型+分层练习）- 2025年八年级数学寒假预习核心知识点与常见题型通关讲解练（沪科版）

第06讲 勾股定理（4个知识点+9种题型+分层练习） 知识导图 知识清单 知识点1．直角三角形的性质 （1）有一个角为90°的三角形，叫做直角三角形． （2）直角三角形是一种特殊的三角形，它除了具有一般三角形的性质外，具有一些特殊的性质： 性质1：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方（勾股定理）． 性质2：在直角三角形中，两个锐角互余． 性质3：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．（即直角三角形的外心位于斜边的中点） 性质4：直角三角形的两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积． 性质5：在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半； 在直角三角形中，如果有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°． 知识点2．勾股定理 （1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方． 如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2． （2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中． （3）勾股定理公式a2+b2＝c2 的变形有：a＝，b＝及c＝． （4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边． 知识点3．勾股定理的证明 （1）勾股定理的证明方法有很多种，教材是采用了拼图的方法证明的．先利用拼图的方法，然后再利用面积相等证明勾股定理． （2）证明勾股定理时，用几个全等的直角三角形拼成一个规则的图形，然后利用大图形的面积等于几个小图形的面积和化简整理得到勾股定理． 知识点4．等腰直角三角形 （1）两条直角边相等的直角三角形叫做等腰直角三角形． （2）等腰直角三角形是一种特殊的三角形，具有所有三角形的性质，还具备等腰三角形和直角三角形的所有性质．即：两个锐角都是45°，斜边上中线、角平分线、斜边上的高，三线合一，等腰直角三角形斜边上的高为外接圆的半径R，而高又为内切圆的直径（因为等腰直角三角形的两个小角均为45°，高又垂直于斜边，所以两个小三角形均为等腰直角三角形，则两腰相等）； （3）若设等腰直角三角形内切圆的半径r＝1，则外接圆的半径R＝+1，所以r：R＝1：+1． 题型强化 题型一、用勾股定理解三角形 1．（23-24八年级下·安徽铜陵·期末）已知一直角三角形两直角边的长分别为9，12，则它的斜边长为（    ） A．15 B．16 C．17 D．25 【答案】A 【知识点】用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了勾股定理，运用直角三角形的斜边平方等于两直角边平方和，代入数值进行计算，即可作答． 【详解】解：∵一直角三角形两直角边的长分别为9，12 ∴斜边长为 故选：A 2．（23-24八年级下·安徽黄山·期末）在直角三角形中，已知则直角三角形的面积为 ． 【答案】或 【知识点】用勾股定理解三角形 【分析】本题主要考查了勾股定理，分两种情况当为斜边时，利用勾股定理求出，即可求出直角三角形的面积，当当为斜边时，可以直接求出直角三角形的面积． 【详解】解：当为斜边时， 则， ∴直角三角形的面积为， 当为斜边时， 则直角三角形的面积为， 故答案为： 或． 3．（23-24八年级下·安徽黄山·期末）程大位，明代珠算大师，南直隶徽州府休宁人. 他的著作《算法统宗》中有一道“荡秋千”的问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地．送行二步与人齐，五尺人高曾记．仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉．良工高士素好奇，算出索长有几?”译文为：“有一架秋千，当它静止时，踏板离地尺，将它向前推送尺（水平距离）时，秋千踏板离地就和身高尺的人一样高，秋千的绳索始终拉得很直，试问绳索有多长?”即如图，尺，尺，尺，求的长． 【答案】尺 【知识点】用勾股定理解三角形 【分析】本题主要考查勾股定理的应用，设尺，根据题意可得尺，利用勾股定理可得，解方程求出的值即可． 【详解】解：设尺， 根据题意知，尺， 尺. 尺， 尺，      ， ，即           解得尺.            答：绳索长为尺． 题型二、勾股定理的证明方法 4．（22-23八年级下·安徽阜阳·期末）勾股定理是数学定理中证明方法最多的定理之一，也是用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，下列图形中可以证明勾股定理的有（   ） A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④ 【答案】D 【知识点】勾股定理的证明方法 【分析】此题考查了勾股定理的证明，熟练掌握利用图形面积相等证明勾股定理是解题的关键．利用同一个图形的面积的不同表示方法进行验证即可． 【详解】解：①，， ∴， 整理得， 故①满足题意； ②没有体现直角三角形斜边的长度，故②不符合题意； ③或， ∴， 故③符合题意； ④或， ∴， ∴， 故④满足题意； 故选：D 5．（八年级下·安徽安庆·期中）利用图1或图2两个图形中的有关面积的等量关系都能证明数学中一个十分著名的定理，这个定理称为 ，该定理的结论其数学表达式是 ． 【答案】 勾股定理 c2=a2+b2 【知识点】勾股定理的证明方法 【分析】通过图中三角形面积、正方形面积之间的关系，证明勾股定理． 【详解】解：如图2，正方形的面积=（a+b）2， 用三角形的面积与边长为c的正方形的面积表示为4×ab+c2， 即（a+b）2=4×ab+c2化简得a2+b2=c2． 这个定理称为：勾股定理． 故答案为：勾股定理，a2+b2=c2 【点睛】本题考查的是勾股定理的几何背景，本题是用数形结合来证明勾股定理，锻炼了同学们的数形结合的思想方法． 6．（2024八年级下·安徽·专题练习）小明学了勾股定理后很高兴，兴冲冲的回家告诉了爸爸：在中，若，，，，如图，根据勾股定理，则．爸爸笑眯眯地听完后说：很好，你又掌握了一样知识，现在考考你，若不是直角三角形，那勾股定理还成不成立？若成立，请说明理由；若不成立，请你类比勾股定理，试猜想与的关系，并证明你的结论．（下图备用） 【答案】①在锐角三角形中，．②在钝角三角形中，；证明见解析 【知识点】勾股定理的证明方法 【分析】本题考查了勾股定理，作出高转化到直角三角形中去，利用勾股定理得出结论．根据题意要分锐角三角形、钝角三角形分别证明，作出它们的高，根据高是两个直角三角形的一个公用直角边，利用勾股定理作出证明． 【详解】解：①当三角形是锐角三角形时， 证明：如图，作垂足是，设的长为， 根据勾股定理得： 整理得： ②当三角形为钝角三角形时 证明：如图，过点作的垂线交于点，设的长为， 在直角三角形中， 在直角三角形中，， 整理得： ，． 所以：①在锐角三角形中，． ②在钝角三角形中，． 题型三、利用勾股定理证明线段平方关系 7．（22-23八年级下·安徽六安·期中）在中，若，则下列式子成立的是(   ) A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】利用勾股定理证明线段平方关系 【分析】由于在三角形中，由于，所以，根据勾股定理即可得到正确答案． 【详解】解：在中，若， ， 为直角边，为斜边， 根据勾股定理可得， ． 故选：A． 【点睛】本题主要考查勾股定理，分清楚直角边与斜边是解题的关键． 8．（23-24八年级下·期中）对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，如图，在“垂美”四边形中，对角线交于点O，若，则 ． 【答案】625 【知识点】利用勾股定理证明线段平方关系 【分析】本题考查的是垂直的定义，勾股定理的应用，正确理解“垂美”四边形的定义、灵活运用勾股定理是解题的关键．根据垂直的定义和勾股定理解答即可． 【详解】解：由题意得：， 由勾股定理得， 故答案为：625． 9．（20-21八年级下·安徽宿州·期末）如图所示，ABC和ADE是全等的等腰直角三角形，∠BAC＝∠D＝90°，BC与AD、AE分别交于点F、G，AP⊥AD，CP⊥BC，垂足分别为点A，C，AP，CP交于点P． （1）证明：ACP≌ABF； （2）BF，FG，GC之间有怎样的数量关系，请说明理由．    【答案】（1）证明过程见解析；（2）BF2+CG2＝FG2，理由见解析 【知识点】利用勾股定理证明线段平方关系 【分析】（1）由△ABC是等腰直角三角形，AP⊥AD，可以得到∠BAC＝∠PAD＝90°，所以∠BAF＝∠PAC，再由CP⊥BC，∠ACB＝45°，可以证得∠ABF＝∠ACP＝45°，即可以证明△ACP≌△ABF； （2）由（1）可得，△ACP≌△ABF，所以BF＝CP，AF＝AP，利用CP⊥BC，∠DAE＝45°，可以证得∠FAG＝∠PAG＝45°，先证△FAG≌△PAG，得到FG＝PG，在直角△PGC中，利用勾股定理得到三边的等式关系，等量代换，即可得到结论． 【详解】证明：（1）∵△ABC是等腰直角三角形， ∴∠BAC＝90°，AB＝AC，∠B＝∠ACB＝45°， ∵AP⊥AD， ∴∠PAD＝∠BAC＝90°， ∴∠BAC﹣∠DAC＝∠PAD﹣∠DAC， ∴∠BAF＝∠CAP， ∵PC⊥BC， ∴∠PCB＝90°， ∵∠ACP＝∠ACB＝45°， ∴∠ABF＝∠ACP， 在△ABF与△ACP中， ， ∴△ABF≌△ACP（ASA）； 解：（2）BF2+CG2＝FG2，理由如下： 如图1，连接PG，    由（1）可得，△ABF≌△ACP， ∴BF＝CP，AF＝AP， ∵△ADE是等腰直角三角形，∠PAD＝90°， ∴∠FAG＝∠PAG＝45°， 在△AFG与△APG中， ， ∴△AFG≌△APG（SAS）， ∴FG＝PG， 在Rt△PGC中， PG2＝CG2+CP2， ∴BF2+CG2＝FG2． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质，勾股定理，利用已知条件，找到证明全等的条件，是解决本题的关键，例如第（1）问中的∠BAF＝∠PAC，∠ABF＝∠ACP的推导，同时，要注意第（1）问的结论给第（2）问提供了条件，例如由（1）的结论可以得到BF＝CP． 题型四、已知两点坐标求两点距离 10．（23-24八年级下·安徽安庆·期中）在平面直角坐标系中，点到原点的距离为（    ） A． B． C． D．5 【答案】A 【知识点】已知两点坐标求两点距离 【分析】此题考查了平面直角坐标系中点到原点的距离．根据平面直角坐标系中点到原点的距离公式求解即可． 【详解】解：点到原点的距离为． 故选：A 11．（23-24八年级·安徽合肥·期中）定义：在平面直角坐标系中，已知点，这三个点中任意两点间的距离的最小值称为点的“最佳间距”．例如：点的“最佳间距”是1． （1）点的“最佳间距”是 ； （2）当点的“最佳间距”为时，点的横坐标为 ． 【答案】 3 ，或 【知识点】已知两点坐标求两点距离 【分析】本题考查了新定义，勾股定理，解题的关键是∶ （1）利用两点间距离公式求出，，，然后根据“最佳间距”定义求解即可； （2）分，，三种情况讨论即可． 【详解】解：（1）∵，，， ∴点，，的“最佳间距”是3； 故答案为：3； （2）∵点，，， ∴，， 当时，或 若， ，，符合题意； 若， ，，符合题意； 当时，或， 若， ，，符合题意； 当时，无解， 综上，点的横坐标为，或． 故答案为：，或． 12．（八年级下·安徽安庆·期中）如图平面直角坐标系中，已知三点 A（0，7），B（8，1），C（x，0）且 0<x <8． （1）求线段 AB 的长； （2）请用含 x 的代数式表示 AC+BC 的值； （3）求 AC+BC 的最小值. 【答案】（1）AB=10；（2）+；（3）AC+BC最小值为8． 【知识点】已知两点坐标求两点距离 【分析】（1）根据两点间的距离公式可求线段AB的长； （2）根据两点间的距离公式可求线段AC，BC的值，再相加即可求解； （3）作B点关于x轴对称点F点，连接AF，与x轴相交于点C．此时AC+BC最短．根据两点间的距离公式即可求解． 【详解】（1）； （2）AC+BC ； （3）如图，作B点关于x轴对称点F点，连接AF，与x轴相交于点C．此时AC+BC最短． ∵B（8，1），∴F（8，－1），∴AC+BC=AC+CF=AF=． 即AC+BC最小值为8． 【点睛】本题考查了最短路线问题，利用了数形结合的思想，构造出符合题意的直角三角形是解题的关键． 题型五、勾股树（数）问题 13．（22-23八年级下·安徽阜阳·期末）下列几组数中，是勾股数的是（   ） A．，2， B．4，5，6 C． D．5，12，13 【答案】D 【知识点】勾股树（数）问题 【分析】本题主要考查了勾股数，熟知勾股数的定义是解题的关键．根据勾股数的定义进行逐一判断即可：如果三个正整数a、b、c满足，那么a、b、c这一组数叫做勾股数． 【详解】解：A、，2， 这一组数中的数不都是正整数，故不是勾股数，不符合题意； B、∵，∴这一组数不是勾股数，不符合题意； C、这一组数中的数都不是正整数，故不是勾股数，不符合题意； D、∵，∴这一组数是勾股数，符合题意； 故选：D． 14．（22-23八年级下·安徽六安·期末）若a，12，13是一组勾股数，则 ． 【答案】5 【知识点】勾股树（数）问题 【分析】分a为最长边，13为最长边两种情况讨论，根据勾股数是正整数，同时还需验证两小边的平方和是否等于最长边的平方． 【详解】解：①a为最长边， ，a不是整数，不能构成勾股数，不符合题意． ②13为最长边， ，三边都是正整数，符合题意； 故答案为5． 【点睛】此题考查勾股数，解题关键在于掌握勾股定理的含义以及勾股数为正整数． 15．（20-21八年级下·安徽合肥·期末）我们把满足方程的正整数，，，称之为“三维勾股数”，如：①，，，；②，，，；③，，，；④，，，；… （1）已知，，，是“三维勾股数”，请求出，的值． （2）若，，，是三维勾股数（为正整数），请直接用含的式子分别表示，． 【答案】（1）；（2） 【知识点】勾股树（数）问题 【分析】（1）根据题意给出的四组三维勾股数，可知，第一个数比第四个数小2，据此列出方程组计算即可； （2）根据（1）的方法以及已知定义，列出方程组，进而用含的式子分别表示，． 【详解】（1），，，是“三维勾股数”， ， ， 由已知数据可知，第一个数比第四个数小2，且第一个数与第四个数的和是中间两数的积， ，且为正整数， ， 解得， （2）， ， 即， 令， 解得， ． 【点睛】本题考查了新概念类比勾股数进行求解即可，找出题目中所给数据的规律是解题的关键． 题型六、求梯子滑落高度(勾股定理的应用) 16．（23-24八年级下·安徽安庆·期末）如图，将长为m的梯子斜靠在墙上，使其顶端A距离地面6m．若将梯子顶端A向上移动2m，则梯子底端B向左移动（   ） A．m B．6m C．4m D．2m 【答案】D 【知识点】求梯子滑落高度(勾股定理的应用) 【分析】本题考查了勾股定理的应用，根据题意画出对应几何图形，求出即可求解. 【详解】解：如图所示： 由题意得：m，m， ∴m， ∵m，m， ∴m， ∴梯子底端B向左移动了： 故选：D 17．（22-23八年级下·阶段练习）如图，一架2.5米长的梯子靠在一竖直的墙上，此时梯子底部离墙面0.7米．若梯子的顶部滑下0.4米，则梯子的底部向外滑出距离为 米． 【答案】0.8/ 【知识点】求梯子滑落高度(勾股定理的应用) 【分析】先根据勾股定理求出米，再求出米，然后根据勾股定理求出米，最后求出梯子的底部向外滑出距离即可． 【详解】解：∵， ∴与都是直角三角形， ∵米，米， ∴根据勾股定理得：米， ∵米， ∴（米）， ∴根据勾股定理得：米， ∴梯子的底部向外滑出距离为：（米）， 故答案为：0.8． 【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键是熟练掌握勾股定理，求出下滑后梯子底部距离墙面的距离． 18．（23-24八年级下·安徽合肥·期中）如图，小巷左右两侧是竖直的高度相等的墙，一根竹竿斜靠在左墙时，竹竿底端O到左墙角的距离为2米，顶端B距墙顶的距离为1米，若保持竹竿底端位置不动，将竹竿斜靠在右墙时，竹竿底端到右墙角的距离为3米，顶端E距墙顶D的距离为2米，点在一条直线上，点在一条直线上，．求：    (1)墙的高度； (2)竹竿的长度． 【答案】(1)4米 (2)米 【知识点】求梯子滑落高度(勾股定理的应用) 【分析】本题主要考查勾股定理的实际应用，解题的关键是根据两种不同状态竹竿长不变列等式及正确计算． （1）设墙高x米，则米，米，在和中，根据勾股定理可列出关于x的方程，再求解即可； （2）把（1）中的x代入勾股定理即可得到答案． 【详解】（1）解：设墙高x米，则米，米， 在中，， 在中，， 由题意可知， ∴， 解得：， 答：墙的高度为4米； （2）解：米． 答：竹竿的长度为米． 题型七、求小鸟飞行距离(勾股定理的应用) 19．（23-24八年级下·安徽阜阳·阶段练习）如图，庭院中有两棵树，喜鹊要从一棵高的树顶飞到一棵高 的树顶上，两棵树相距，则喜鹊至少要飞（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求小鸟飞行距离(勾股定理的应用) 【分析】 本题考查了勾股定理的应用，根据勾股定理，进行计算即可求解． 【详解】解：如图所示， 依题意， ∴， 故选：C． 20．（八年级下·安徽淮南·期中）有两棵树，如图，一棵高13米，另一棵高8米，两树相距12米，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了 米. 【答案】13 【知识点】求小鸟飞行距离(勾股定理的应用) 【分析】构造直角△ABC，用勾股定理求解． 【详解】解：如图，连接AB，过点B作BC⊥AD垂足为点C，则AC＝13－8＝5，BC＝12， 在Rt△ABC中，AB＝＝13． 故答案为：13． 【点睛】本题考查了勾股定理的实际应用，用勾股定理解决实际问题时，要根据题意画出图形，并且构造直角三角形，再用勾股定理直接求解或列方程求解． 21．（21-22八年级下·安徽芜湖·期末）如图，一只小鸟旋停在空中A点，A点到地面的高度米，A点到地面C点（B、C两点处于同一水平面）的距离米．若小鸟竖直下降12米到达D点（D点在线段AB上），求此时小鸟到地面C点的距离． 【答案】17米 【知识点】求小鸟飞行距离(勾股定理的应用) 【分析】已知AB和AC的长度，根据勾股定理即可求出BC的长度，小鸟下降12米，则BD=AB-12，根据勾股定理即可求出CD的长度． 【详解】解：由勾股定理得；， ∴（米）， ∵（米）， ∴在中，由勾股定理得， ∴此时小鸟到地面C点的距离17米． 答； 此时小鸟到地面C点的距离为17米． 【点睛】本题主要考查了勾股定理得实际应用，熟练地掌握勾股定理的内容是解题的关键． 题型八、解决航海问题(勾股定理的应用) 22．（20-21八年级下·安徽黄山·期末）甲、乙两艘客轮同时离开港口，航行的速度都是40km/h．甲客轮用1.5h到达点A，乙客轮用2h到达点B．若A，B两点的直线距离为100km，甲客轮沿着北偏东30°的方向航行，则乙客轮的航行方向可能是（    ） A．南偏西30° B．北偏西30° C．南偏东60° D．南偏西60° 【答案】C 【知识点】解决航海问题(勾股定理的应用) 【分析】依照题意画出图形，根据路程＝速度×时间可求出OA、OB，根据OA、OB、AB的长度，利用勾股定理的逆定理即可得出∠AOB＝90°，结合∠NOA的度数即可求出∠SOB的度数，此题得解． 【详解】解：OA＝40×1.5＝60km，OB＝40×2＝80km，AB＝100km， ∵802＋602＝1002， ∴OA2＋OB2＝AB2， ∴△AOB为直角三角形，且∠AOB＝90° ∵∠NOA＝30°， ∴∠SOB＝60° ∴乙客轮的航行方向为南偏东60°， 故选：C． 【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理以及方向角，根据OA、OB、AB的长度，利用勾股定理的逆定理找出∠AOB＝90°是解题的关键． 23．（23-24八年级下·安徽合肥·期末）一艘轮船以24海里/小时的速度离开港口向东北方向航行，另一艘轮船同时同地以18海里/小时的速度向西北方向航行，它们离开港口2.5小时后相距 海里． 【答案】75 【知识点】解决航海问题(勾股定理的应用) 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，方向角，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用． 根据已知条件，构建直角三角形，利用勾股定理进行解答． 【详解】解：如图， 由题意得，海里，海里， 在中，， 由勾股定理得， （海里）． 答：两船半小时后相距75海里， 故答案为：75． 24．（23-24八年级下·安徽六安·期末）小明和小红同时骑车从新华书店出发，小明家在新华书店北偏西方位上，小红家在新华书店南偏西方位上，小红骑车平均速度为，1.5小时后他们同时到达各自的家，已知小明家和小红家相距，根据题意，在下面图中画出示意图，并求小明骑车的平均速度． 【答案】小明骑车的平均速度为． 【知识点】解决航海问题(勾股定理的应用) 【分析】本题考查方位角，勾股定理的应用，正确画出图形，求得是解题的关键． 根据方位角正确画出图形，然后求得，即可由勾股定理求解． 【详解】解：如图所示： 由题意可知，，， ∴， ∵，， ∴， ∴小明的平均速度为， 答：小明骑车的平均速度为． 题型九、求最短路径(勾股定理的应用) 25．（23-24八年级下·安徽蚌埠·期中）如图是一块长，宽，高分别是，，的长方体木块，一只蚂蚁从点出发，沿长方体的表面爬到点吃食物，那么它需要爬行到达点的最短路线长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求最短路径(勾股定理的应用) 【分析】本题考查了长方体的侧面展开，两点间的最短距离，勾股定理，分情况讨论即可，然后利用勾股定理即可求得最短线段的长，再比较最短的线段即可得到答案，根据长方体的侧面展开分类讨论是解题的关键． 【详解】解：如图，展开图， ∴； 如图，展开图， ∴； 如图，展开图， ∴； 综上可知：∵ ∴爬行到达点的最短路线长为， 故选：． 26．（23-24八年级下·安徽阜阳·期末）如图，在一个边长为的正方形纸片上，放着一根长方体木块，已知该木块的较长边与平行，横截面是边长为的正方形，一只蚂蚁从点A爬过木块到达蜂蜜C处需爬行的最短路程是 ． 【答案】10 【知识点】求最短路径(勾股定理的应用) 【分析】本题考查了勾股定理在最短路径中的应用，将长方体侧面展开得蚂蚁的爬行的最短路径为的长，用勾股定理即可求解；能找出最短路径是解题的关键． 【详解】解：如图，将长方体侧面展开得， 蚂蚁的爬行的最短路径为的长， （）， ， 蚂蚁的爬行的最短路径为， 故答案：． 27．（2024八年级下·安徽·专题练习）如图，圆柱形无盖玻璃容器，高，底面圆的直径为，在外侧距下底的点处有一蜘蛛，与蜘蛛相对的圆柱形容器的上口外侧距开口的处有一苍蝇，试求急于捕获苍蝇充饥的蜘蛛所走的最短路线的长度．（结果保留根号） 【答案】 【知识点】求最短路径(勾股定理的应用) 【分析】本题考查了最短路径问题，解题思路为：①先根据题意把立体图形展开成平面图形后并画出展开图，再确定两点之间的最短路径．一般情况是两点之间，线段最短；②构建直角三角形，利用勾股定理列式求解，首先将圆柱展开，将两个点放在同一平面上，构建直角，可知捕获苍蝇充饥的蜘蛛所走的最短路线就是的长；根据已知求出，由题意可知：是底面的周长的一半，根据底面圆的直径为和圆的周长公式，可以求的长，从而由勾股定理求出的长． 【详解】解：画圆柱的展开图，如图所示：过作于， 由题意得：，， ， ， 由勾股定理得：， 答：急于捕获苍蝇充饥的蜘蛛所走的最短路线的长度为． 分层练习 一、单选题 1．如图，△ABC中，∠B=90°，AC=4， BC=3,则三角形的面积（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】用勾股定理解三角形 【分析】根据勾股定理求AB的长，然后利用三角形面积公式求解. 【详解】解：∵△ABC中，∠B=90° ∴ ∴三角形的面积为： 故选：C 【点睛】本题考查勾股定理及三角形的面积，熟记公式正确计算是本题的解题关键. 2．一次函数y＝x＋3的图象与x轴，y轴分别交于A，B两点，则A，B两点之间的距离是(　　) A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【知识点】勾股定理 【详解】一次函数y＝x＋3的图象与x轴、y轴的交点坐标为A(-4，0)、B（0，3），所以OA=4，OB=3，在Rt△OAB中，根据勾股定理求得AB=5，即A，B两点之间的距离是5，故选C. 3．从2023年12月开始，哈尔滨因花式宠粉南方游客频繁登上热搜．元旦假期，哈尔滨接棒淄博，成为这个冬天最火爆的旅游城市．为了防止游客脚滑，工作人员在哈尔滨中央大街地下通道铺设防滑地毯．如图是地下通道部分阶梯的示意图，阶梯的宽为，，，若在阶梯上铺设防滑材料，则所需防滑材料的面积至少为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】利用平移解决实际问题、用勾股定理解三角形 【分析】此题考查了平移的性质、勾股定理等知识， 根据平移的性质得到水平的防滑毯的长度为，铅直的防滑毯的长度为进一步即可求出至少需防滑毯的面积． 【详解】由图可知： ， 由平移的性质可得：水平的防滑毯的长度为，铅直的防滑毯的长度为 ∴至少需防滑毯的长为： ∵防滑毯宽为 ∴至少需防滑毯的面积为． 故选：A． 4．下列各组数是勾股数的是（   ） A．4，5，6 B．0.5，1.2，1.3 C．1，2，3 D．5，12，13 【答案】D 【知识点】勾股树（数）问题 【分析】本题考查勾股定理数定义及计算，根据勾股定理数定义，逐项验证即可得到答案，熟记勾股定理是解决问题的关键． 【详解】解：A、由，该组数不是勾股数，不符合题意； B、由勾股数定义可知，各数必须是正整数，0.5，1.2，1.3不是勾股数，不符合题意； C、由，该组数不是勾股数，不符合题意； D、由，该组数是勾股数，符合题意； 故选：D． 5．《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，书中有一个关于门和竹竿的问题：今有户不知高、广，竿不知长短．横之不出四尺，从之不出二尺，邪之适出．问户高、广、邪各几何？简译为：今有一扇门，不知门的高和宽．另有一竹竿，也不知竹竿的长短．竹竿横着放时比门的宽长4尺，竹竿竖着放时比门的高长2尺，竹竿斜着放时与门的对角线恰好相等，求门的高、宽和对角线的长各是多少？若设门的对角线长为x尺，则可列方程为（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】用勾股定理解三角形、与图形有关的问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查勾股定理的运用， 根据题中所给的条件可知，竿斜放就恰好等于门的对角线长，可与门的宽和高构成直角三角形，运用勾股定理可求出门高、宽、对角线长，将数学思想运用到实际问题中是解答本题的关键． 【详解】解：设门的对角线长为x尺，则可列方程为： ， 故选：B． 6．如图，在四边形中，对角线相交于点E，，，，若四边形的面积为96，则的长为(     ) A．16 B．12 C． D． 【答案】D 【知识点】根据三角形中线求面积、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了勾股定理，三角形中线平分三角形面积的性质，掌握这两个知识点是关键；由勾股定理求得的长，则可计算出的面积；由得，；再由四边形的面积为96，得，从而得，从而得，再由勾股定理即可求解． 【详解】解：在中，，由勾股定理得， ∴； ∵， ∴，； ∵四边形的面积为96， ∴， ∴， ∴； 在中，， 根据勾股定理得． 故选：D． 7．如图，,试求的小数部分（    ）．    A．0.118 B． C． D．0.618 【答案】D 【知识点】用勾股定理解三角形、无理数的大小估算 【分析】设，然后利用已知条件分别用x表示出，最后代入计算即可解答． 【详解】解：设，则， ∵ ∴， 根据作图痕迹可得：，， ∴． 故选D． 【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用、无理数等知识点，分别用x表示出是解答本题的关键． 8．如图，两个全等的直角三角形和一个等腰直角三角形恰好构成一个梯形．甲说：梯形的面积可以表示为，乙说：梯形的面积可以表示为，则有(　　) A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】勾股定理的证明方法 【分析】根据梯形的面积的两种求法，构建关系式即可解决问题． 【详解】解：根据题意得，， ∴a2+b2=c2， 故选：B． 【点睛】本题考查勾股定理的证明、等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会利用面积法解决问题，属于中考常考题型． 9．如图，已知的两直角边分别为6和8，分别以其三边为直径作半圆，则图中阴影部分的面积为（   ）    A． B．24 C．48 D． 【答案】B 【知识点】以直角三角形三边为边长的图形面积、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了勾股定理的运用，解答此题的关键是，根据图形中半圆的面积、三角形的面积与阴影部分的面积的关系，找出对应部分的面积，列式解答即可．先分别求出以，，10为直径的三个半圆的面积，再求出三角形的面积，阴影部分的面积是三角形的面积加以为直径和以为直径的两个半圆的面积再减去以为直径的半圆的面积． 【详解】解：∵，， ∴ 以为直径的半圆的面积：， 以为直径的半圆的面积：， 以为直径的半圆的面积：， 三角形的面积：， 阴影部分的面积：， 故选：B． 10．如图，∠BAC=∠DAF=90°，AB＝AC，AD＝AF，点D，E为BC边上的两点，且∠DAE＝45°，连接EF，BF，则下列结论：①△AFB≌△ADC；②△ABD为等腰三角形；③∠ADC=120°；④BE2＋DC2=DE2，其中正确的有(   )个 A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【知识点】利用勾股定理证明线段平方关系、全等三角形综合问题 【分析】根据∠DAF=∠BAC=90°，可以得出∠FAB=∠DAC，利用SAS可证△AFB≌△ADC，所以，可判断①正确；没有条件可以证得△ABD为等腰三角形与∠ADC=120°；根据∠DAF=90°，∠DAE=45°，可以得出∠FAE=45°，再利用SAS证明△AED≌△AED，得到EF=ED，由①可知BF=CD，∠FBA=∠C=45°，从而可以证得∠FBE=90°，得到BE2＋DC2=DE2. 【详解】①因为∠DAF=∠BAC=90°，即∠FAB+∠BAD=∠BAD+∠DAC，所以∠FAB=∠DAC，在△AFB≌△ADC中，AF=AD,∠FAB=∠DAC,AB=AC，所以△AFB≌△ADC，所以①正确； ②在Rt△ABC中，AB=AC，可以得出∠ABC=∠C=45°，但D、是BC上的点，所以AD一定不等于AB，所以②错误； ③没有任何条件可以证出∠ADC=120°，所以③错误； ④由①可知BF=CD，∠FBA=∠C=45°，所以∠FBA+∠ABC=90°，即∠FBE=90°，根据勾股定理可知,所以BE2＋DC2=DE2成立，所以④正确； 综上所述，答案选C. 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质和勾股定理，熟练的利用全等得到△AFB≌△ADC是解答本题的关键，每一小问都离不开这一组全等之后带来的条件. 二、填空题 11．已知：在中，，为斜边上的高，如果，，那么 ． 【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形 【分析】本题考查勾股定理，等积法求高，勾股定理求出的长，等积法求出的长，再利用勾股定理求出的长，即可得出结果． 【详解】解：在中，，，， ， ， ， ， ， ． 12．一艘轮船以16海里/小时的速度离开A港向东南方向航行，另一艘轮船同时以12海里/小时的速度离开A港向西南方向航行，经过2小时它们之间的距离是 海里． 【答案】40 【知识点】解决航海问题(勾股定理的应用) 【分析】画出平面直角坐标系，标出2艘轮船的准确位置，根据夹角计算距离． 【详解】 OA为第2艘轮船的行驶路线，OB为第一艘轮船的行驶路线， 则OA=12×2=24海里， OB=16×2=32海里， 且∠AOB为90°， ∴AB==40海里． 故答案为40． 【点睛】本题考查了勾股定理的运用，斜边的平方等于2直角边平方和，准确画出直角三角形，并利用勾股定理是解本题的关键． 13．如图，四边形是一块长方形地面， ，，中间有一堵墙的高，蚂蚁从点到点， 必须翻过中间这堵墙，则它至少要爬 ． 【答案】 【知识点】求最短路径(勾股定理的应用) 【分析】此题考查了平面展开最短路线问题及勾股定理，根据题意画出图形是解答此题的关键． 连接，利用勾股定理求出的长，再把中间的墙平面展开，使原来的矩形长度增加而宽度不变，求出新矩形的对角线长即可． 【详解】解：如图所示： 将图展开，图形长度增加， 原图长度增加米，则， 如图：连接， ， 蚂蚁从点爬到点，它至少要走的路程， 故答案为：． 14．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，D、E分别是斜边AB和直角边CB上的点，把△ABC沿着直线DE折叠，顶点B的对应点是点B′，如果点B′落在直角边AC的中点上，则CE的长为 ． 【答案】 【知识点】勾股定理与折叠问题 【分析】设CE＝x，则BE＝8－x，根据折叠的性质，利用勾股定理即可得答案． 【详解】因为点是AC的中点， 所以＝AC＝3， 设CE＝x，则BE＝8－x， 由题意得＝BE＝8－x， 由勾股定理得， 解得x＝， 即CE的长为． 【点睛】本题考查了折叠的性质，勾股定理，熟练掌握折叠的性质，灵活使用勾股定理是解题的关键． 三、解答题 15．如图，一辆小汽车在一条限速的街路上沿直道行驶，某一时刻刚好行驶到路面车速检测仪的正前方处的点，过了后，测得小汽车所在的点与车速检测仪之间的距离为． (1)求，间的距离． (2)这辆小汽车超速了吗？请说明理由． 【答案】(1) (2)没有超速，见解析 【知识点】判断汽车是否超速(勾股定理的应用)、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． （1）利用勾股定理代入数据即可求得答案． （2）先根据B，C间的距离求得小汽车在内行驶的速度，再和限速40比较大小即可． 【详解】（1）在中， ，，且为斜边， ， 答：，间的距离为； （2）这辆小汽车没有超速． 理由：，平均速度为：，， ， 这辆小汽车没有超速． 16．一艘轮船从A港向南偏西48°方向航行到达B岛，再从B岛沿方向航行到达C岛，A港到航线的最短距离是．若轮船速度为，求轮船从C岛沿返回A港所需的时间．    【答案】3h 【知识点】解决航海问题(勾股定理的应用) 【详解】解：由题意，得，，，． 在中，，即， ∴，∴． 在中，，即． ． 故轮船从C岛沿CA返回A港所需的时间为3h． 17．对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式． (1)如图1所示的大正方形，是由两个正方形和两个形状大小完全相同的长方形拼成的．用两种不同的方法计算图中阴影部分的面积，可以得到的数学等式是 ； (2)如图2所示的大正方形，是由四个三边长分别为a、b、c的全等的直角三角形（a、b为直角边）和一个正方形拼成，试通过两种不同的方法计算中间正方形的面积，并探究a、b、c之间满足怎样的等量关系． 【答案】(1)a2+b2= ( a+b) 2-2ab； (2)． 【知识点】以弦图为背景的计算题、完全平方公式在几何图形中的应用 【分析】（1）分别用两种不同的方法表示阴影部分面积即可得等式． （2）先直接用c表示中间正方形的面积，再用大正方形的面积减去4个小三角形的面积表示中间正方形的面积，从而可得结论． 【详解】（1）解∶如图1，∵ S阴影=a2+b2，S阴影= ( a+b) 2-2ab ． ∴a2+b2= ( a+b) 2-2ab， 故答案为∶a2+b2= ( a+b) 2-2ab； （2）解：如图2，∵S中间正方形=c2，S中间正方形=(a+b)2-4×ab， ∴， ∴． 【点睛】本题考查完全平方公式及勾股定理的几何背景，用两种方法表示同一个图形的面积是求解本题的关键． 18．明代科学家徐光启所著的《农政全书》是中国古代四大农书之一，其中记载了中国古代的一种采桑工具——桑梯（如图1），其示意图如图2，已知，与的张角记为α，为保证采桑人的安全，α可调整的范围是，为固定张角α大小的锁链． (1)求锁链长度的最大值； (2)若，将桑梯放置在水平地面上，求此时桑梯顶端D到地面的距离．（结果保留根号） 【答案】(1)锁链长度的最大值为 (2)桑梯顶端D到地面的距离为 【知识点】含30度角的直角三角形、等边三角形的判定和性质、用勾股定理解三角形 【分析】本题主要考查了勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，等边三角形的判定与性质等等； （1）根据当时，锁链长度的最大，可得是等边三角形，即可求解； （2）过点D作，垂足为E，在中，用勾股定理即可求解 【详解】（1）解：（1）由题意得：当时，锁链长度的最大， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴锁链长度的最大值为； （2）（2）过点D作，垂足为E， ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， 在中， ， ∴ ∴此时桑梯顶端D到地面的距离为． 19．如图，小明在研究性学习活动中，对自己家所在的小区进行调查后发现，小区汽车入口宽AB为3.3m，在入口的一侧安装了停止杆CD，其中AE为支架．当停止杆仰起并与地面成60°角时，停止杆的端点C恰好与地面接触．此时CA为0.7m．在此状态下，若一辆货车高3m，宽2.5m，入口两侧不能通车，那么这辆货车在不碰杆的情况下，能从入口内通过吗？请你通过计算说明．（参考数据：≈1.7） 【答案】不能通过，理由见解析 【知识点】用勾股定理解三角形 【分析】直接利用已知得出CF，CG的长，再利用勾股定理得出CF的长进而得出答案． 【详解】不能通过． 如图，在AB之间找一点F，使BF＝2.5m，过点F作GF⊥AB交CD于点G， ∵AB＝3.3m，CA＝0.7m，BF＝2.5m， ∴CF＝AB﹣BF+CA＝1.5m， ∵∠ECA＝60°，∠CGF＝30° ∴CG＝2CF＝3m， ∴GF＝≈2.55（m）， ∵2.55＜3 ∴这辆货车在不碰杆的情况下，不能从入口内通过． 【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用，正确得出CG的长是解题关键． 20．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，． (1)画出关于轴对称的． (2)的面积为________，边上的高为________； (3)轴上存在一点使得的面积是面积的2倍，则点的坐标为________． 【答案】(1)见解析 (2)3， (3)或 【知识点】利用二次根式的性质化简、坐标与图形、已知两点坐标求两点距离、坐标与图形变化——轴对称 【分析】本题考查了画轴对称图形、坐标与图形、勾股定理，熟练掌握坐标与图形的应用是解题关键． （1）先根据轴对称的性质画出点，再顺次连接即可得； （2）先求出，再利用三角形的面积公式求解即可得； （3）设点的坐标为，利用三角形的面积公式建立方程，解方程即可得． 【详解】（1）解：如图，即为所求． ． （2）解：∵，， ，边上的高为2，， 的面积为， ∴边上的高为， 故答案为：3，． （3）解：由题意，设点的坐标为， 则， 解得或， 则点的坐标为或， 故答案为：或． 21．某传媒公司张贴广告如图所示，已知吊臂总长米，吊臂支柱B点与楼房的距离米，且吊臂B点距离地面1.5米． (1)求吊臂最高点A与地面的距离（的长度）； (2)完成A处张贴任务后，吊车沿射线前移，使得吊臂上顶点A下滑至C处，若已知长为3米，求吊臂支柱B点移动的距离（的长度）． 【答案】(1)10.5米 (2)米 【知识点】用勾股定理解三角形 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，熟记勾股定理是解题的关键． （1）先根据勾股定理求出的长，再由即可得出结论； （2）先由米得出的长，再由勾股定理求出的长，由即可得出结论． 【详解】（1）解：米，米， （米）， 吊臂点距离地面1.5米， 米， （米）， 答：吊臂最高点与地面的距离是10.5米； （2）解：由（1）知，米， 米， （米）， 米， （米）， （米）． 22．某消防队在一次应急演练中，消防员架起一架长的云梯，如图，云梯斜靠在一栋楼的外墙面上，这时云梯底端距墙脚的距离，． (1)当消防员接到命令，按要求将云梯从顶端A下滑到位置上（云梯长度不改变），即，那么它的底部B在水平方向滑动到的距离是多少？ (2)在演练中，高的楼房窗口处有求救声，消防员需调整云梯去救援被困人员，经验表明，云梯靠墙摆放时，如果云梯底端离墙的距离不小于云梯长度的，则云梯和消防员相对安全，在相对安全的前提下，云梯的顶端能否到达高的楼房窗口去救援被困人员？ 【答案】(1)它的底部B在水平方向滑动到的距离是 (2)云梯的顶端能到达高的楼房窗口去救援被困人员 【知识点】求梯子滑落高度(勾股定理的应用) 【分析】本题考查了勾股定理的应用； （1）在中利用勾股定理求出，可得的长度，然后在中利用勾股定理求出，进而可求的长； （2）利用勾股定理求出能够到达墙面的最大高度，然后与进行比较即可． 【详解】（1）解：∵在中，， ∴， ∵在中，， ∴， 即它的底部B在水平方向滑动到的距离是； （2）解：若云梯底端离墙的距离刚好为云梯长度的， 则能够到达墙面的最大高度为：， ∵， ∴， ∴云梯的顶端能到达高的楼房窗口去救援被困人员． 23．课本原题呈现： 一架云梯长25米，如图斜靠在一面墙上，梯子底端离墙7米． （1）这个梯子的顶端距底而有多高? （2）如果梯子的顶端下滑了4米，那么梯子的底部在水平方向也滑动了4米吗? 解决问题： (1)请直接写出原题中（1）问这个梯子的顶端距底面_______米；（2）问中，梯子的底部_______在水平方向也滑动4米（填会或不会）； (2)在原题中，若保持梯子底端不动，将梯子再次斜靠到原题当中的墙体的对面，且与之平行的另一面墙上，梯子的顶端到地面的距离为15米，求这两面墙之间的距离． (3)将原题中的条件“云梯长25米”改变为“云梯顶端距底面20米”，将“梯子底端离墙7米”改变为“梯子的顶端下滑了5米，梯子的底部在水平方向也滑动了5米”，请求出此梯子的长度是多少米？ 【答案】(1)24；不会 (2)27米 (3)25米 【知识点】求梯子滑落高度(勾股定理的应用) 【分析】此题考查勾股定理的实际应用． （1）直接利用勾股定理求得直角边的长即可；首先求得的长，然后利用勾股定理求得线段的长，最后求得线段的长即可； （2）由勾股定理得出米，再由即可得出答案； （3）先由题意得米，设米，则米，再根据列关于a的等式方程，解方程得出a，再由勾股定理得出即可． 【详解】（1）解：由题意可得，，米，米，米， ∴， ∴， ∴， ， ∴梯子底部不会在水平方向也滑动4米； 故答案为：24；不会； （2）解：由题意可得，，，米，米，米， ∴， ∴米， ∴米， ∴这两面墙之间的距离为27米； （3）解：由题意得，米，米，米， ∴米， 设米，则米， 又∵， ∴，即， 解得：， ∴米， ∴梯子的长度是25米． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第06讲 勾股定理（4个知识点+9种题型+分层练习） 知识导图 知识清单 知识点1．直角三角形的性质 （1）有一个角为90°的三角形，叫做直角三角形． （2）直角三角形是一种特殊的三角形，它除了具有一般三角形的性质外，具有一些特殊的性质： 性质1：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方（勾股定理）． 性质2：在直角三角形中，两个锐角互余． 性质3：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．（即直角三角形的外心位于斜边的中点） 性质4：直角三角形的两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积． 性质5：在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半； 在直角三角形中，如果有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°． 知识点2．勾股定理 （1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方． 如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2． （2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中． （3）勾股定理公式a2+b2＝c2 的变形有：a＝，b＝及c＝． （4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边． 知识点3．勾股定理的证明 （1）勾股定理的证明方法有很多种，教材是采用了拼图的方法证明的．先利用拼图的方法，然后再利用面积相等证明勾股定理． （2）证明勾股定理时，用几个全等的直角三角形拼成一个规则的图形，然后利用大图形的面积等于几个小图形的面积和化简整理得到勾股定理． 知识点4．等腰直角三角形 （1）两条直角边相等的直角三角形叫做等腰直角三角形． （2）等腰直角三角形是一种特殊的三角形，具有所有三角形的性质，还具备等腰三角形和直角三角形的所有性质．即：两个锐角都是45°，斜边上中线、角平分线、斜边上的高，三线合一，等腰直角三角形斜边上的高为外接圆的半径R，而高又为内切圆的直径（因为等腰直角三角形的两个小角均为45°，高又垂直于斜边，所以两个小三角形均为等腰直角三角形，则两腰相等）； （3）若设等腰直角三角形内切圆的半径r＝1，则外接圆的半径R＝+1，所以r：R＝1：+1． 题型强化 题型一、用勾股定理解三角形 1．（23-24八年级下·安徽铜陵·期末）已知一直角三角形两直角边的长分别为9，12，则它的斜边长为（    ） A．15 B．16 C．17 D．25 2．（23-24八年级下·安徽黄山·期末）在直角三角形中，已知则直角三角形的面积为 ． 3．（23-24八年级下·安徽黄山·期末）程大位，明代珠算大师，南直隶徽州府休宁人. 他的著作《算法统宗》中有一道“荡秋千”的问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地．送行二步与人齐，五尺人高曾记．仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉．良工高士素好奇，算出索长有几?”译文为：“有一架秋千，当它静止时，踏板离地尺，将它向前推送尺（水平距离）时，秋千踏板离地就和身高尺的人一样高，秋千的绳索始终拉得很直，试问绳索有多长?”即如图，尺，尺，尺，求的长． 题型二、勾股定理的证明方法 4．（22-23八年级下·安徽阜阳·期末）勾股定理是数学定理中证明方法最多的定理之一，也是用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，下列图形中可以证明勾股定理的有（   ） A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④ 5．（八年级下·安徽安庆·期中）利用图1或图2两个图形中的有关面积的等量关系都能证明数学中一个十分著名的定理，这个定理称为 ，该定理的结论其数学表达式是 ． 6．（2024八年级下·安徽·专题练习）小明学了勾股定理后很高兴，兴冲冲的回家告诉了爸爸：在中，若，，，，如图，根据勾股定理，则．爸爸笑眯眯地听完后说：很好，你又掌握了一样知识，现在考考你，若不是直角三角形，那勾股定理还成不成立？若成立，请说明理由；若不成立，请你类比勾股定理，试猜想与的关系，并证明你的结论．（下图备用） 题型三、利用勾股定理证明线段平方关系 7．（22-23八年级下·安徽六安·期中）在中，若，则下列式子成立的是(   ) A． B． C． D． 8．（23-24八年级下·期中）对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，如图，在“垂美”四边形中，对角线交于点O，若，则 ． 9．（20-21八年级下·安徽宿州·期末）如图所示，ABC和ADE是全等的等腰直角三角形，∠BAC＝∠D＝90°，BC与AD、AE分别交于点F、G，AP⊥AD，CP⊥BC，垂足分别为点A，C，AP，CP交于点P． （1）证明：ACP≌ABF； （2）BF，FG，GC之间有怎样的数量关系，请说明理由．    题型四、已知两点坐标求两点距离 10．（23-24八年级下·安徽安庆·期中）在平面直角坐标系中，点到原点的距离为（    ） A． B． C． D．5 11．（23-24八年级·安徽合肥·期中）定义：在平面直角坐标系中，已知点，这三个点中任意两点间的距离的最小值称为点的“最佳间距”．例如：点的“最佳间距”是1． （1）点的“最佳间距”是 ； （2）当点的“最佳间距”为时，点的横坐标为 ． 12．（八年级下·安徽安庆·期中）如图平面直角坐标系中，已知三点 A（0，7），B（8，1），C（x，0）且 0<x <8． （1）求线段 AB 的长； （2）请用含 x 的代数式表示 AC+BC 的值； （3）求 AC+BC 的最小值. 题型五、勾股树（数）问题 13．（22-23八年级下·安徽阜阳·期末）下列几组数中，是勾股数的是（   ） A．，2， B．4，5，6 C． D．5，12，13 14．（22-23八年级下·安徽六安·期末）若a，12，13是一组勾股数，则 ． 15．（20-21八年级下·安徽合肥·期末）我们把满足方程的正整数，，，称之为“三维勾股数”，如：①，，，；②，，，；③，，，；④，，，；… （1）已知，，，是“三维勾股数”，请求出，的值． （2）若，，，是三维勾股数（为正整数），请直接用含的式子分别表示，． 题型六、求梯子滑落高度(勾股定理的应用) 16．（23-24八年级下·安徽安庆·期末）如图，将长为m的梯子斜靠在墙上，使其顶端A距离地面6m．若将梯子顶端A向上移动2m，则梯子底端B向左移动（   ） A．m B．6m C．4m D．2m 17．（22-23八年级下·阶段练习）如图，一架2.5米长的梯子靠在一竖直的墙上，此时梯子底部离墙面0.7米．若梯子的顶部滑下0.4米，则梯子的底部向外滑出距离为 米． 18．（23-24八年级下·安徽合肥·期中）如图，小巷左右两侧是竖直的高度相等的墙，一根竹竿斜靠在左墙时，竹竿底端O到左墙角的距离为2米，顶端B距墙顶的距离为1米，若保持竹竿底端位置不动，将竹竿斜靠在右墙时，竹竿底端到右墙角的距离为3米，顶端E距墙顶D的距离为2米，点在一条直线上，点在一条直线上，．求：    (1)墙的高度； (2)竹竿的长度． 题型七、求小鸟飞行距离(勾股定理的应用) 19．（23-24八年级下·安徽阜阳·阶段练习）如图，庭院中有两棵树，喜鹊要从一棵高的树顶飞到一棵高 的树顶上，两棵树相距，则喜鹊至少要飞（    ） A． B． C． D． 20．（八年级下·安徽淮南·期中）有两棵树，如图，一棵高13米，另一棵高8米，两树相距12米，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了 米. 21．（21-22八年级下·安徽芜湖·期末）如图，一只小鸟旋停在空中A点，A点到地面的高度米，A点到地面C点（B、C两点处于同一水平面）的距离米．若小鸟竖直下降12米到达D点（D点在线段AB上），求此时小鸟到地面C点的距离． 题型八、解决航海问题(勾股定理的应用) 22．（20-21八年级下·安徽黄山·期末）甲、乙两艘客轮同时离开港口，航行的速度都是40km/h．甲客轮用1.5h到达点A，乙客轮用2h到达点B．若A，B两点的直线距离为100km，甲客轮沿着北偏东30°的方向航行，则乙客轮的航行方向可能是（    ） A．南偏西30° B．北偏西30° C．南偏东60° D．南偏西60° 23．（23-24八年级下·安徽合肥·期末）一艘轮船以24海里/小时的速度离开港口向东北方向航行，另一艘轮船同时同地以18海里/小时的速度向西北方向航行，它们离开港口2.5小时后相距 海里． 24．（23-24八年级下·安徽六安·期末）小明和小红同时骑车从新华书店出发，小明家在新华书店北偏西方位上，小红家在新华书店南偏西方位上，小红骑车平均速度为，1.5小时后他们同时到达各自的家，已知小明家和小红家相距，根据题意，在下面图中画出示意图，并求小明骑车的平均速度． 题型九、求最短路径(勾股定理的应用) 25．（23-24八年级下·安徽蚌埠·期中）如图是一块长，宽，高分别是，，的长方体木块，一只蚂蚁从点出发，沿长方体的表面爬到点吃食物，那么它需要爬行到达点的最短路线长为（    ） A． B． C． D． 26．（23-24八年级下·安徽阜阳·期末）如图，在一个边长为的正方形纸片上，放着一根长方体木块，已知该木块的较长边与平行，横截面是边长为的正方形，一只蚂蚁从点A爬过木块到达蜂蜜C处需爬行的最短路程是 ． 27．（2024八年级下·安徽·专题练习）如图，圆柱形无盖玻璃容器，高，底面圆的直径为，在外侧距下底的点处有一蜘蛛，与蜘蛛相对的圆柱形容器的上口外侧距开口的处有一苍蝇，试求急于捕获苍蝇充饥的蜘蛛所走的最短路线的长度．（结果保留根号） 分层练习 一、单选题 1．如图，△ABC中，∠B=90°，AC=4， BC=3,则三角形的面积（  ） A． B． C． D． 2．一次函数y＝x＋3的图象与x轴，y轴分别交于A，B两点，则A，B两点之间的距离是(　　) A．3 B．4 C．5 D．6 3．从2023年12月开始，哈尔滨因花式宠粉南方游客频繁登上热搜．元旦假期，哈尔滨接棒淄博，成为这个冬天最火爆的旅游城市．为了防止游客脚滑，工作人员在哈尔滨中央大街地下通道铺设防滑地毯．如图是地下通道部分阶梯的示意图，阶梯的宽为，，，若在阶梯上铺设防滑材料，则所需防滑材料的面积至少为（    ） A． B． C． D． 4．下列各组数是勾股数的是（   ） A．4，5，6 B．0.5，1.2，1.3 C．1，2，3 D．5，12，13 5．《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，书中有一个关于门和竹竿的问题：今有户不知高、广，竿不知长短．横之不出四尺，从之不出二尺，邪之适出．问户高、广、邪各几何？简译为：今有一扇门，不知门的高和宽．另有一竹竿，也不知竹竿的长短．竹竿横着放时比门的宽长4尺，竹竿竖着放时比门的高长2尺，竹竿斜着放时与门的对角线恰好相等，求门的高、宽和对角线的长各是多少？若设门的对角线长为x尺，则可列方程为（    ）． A． B． C． D． 6．如图，在四边形中，对角线相交于点E，，，，若四边形的面积为96，则的长为(     ) A．16 B．12 C． D． 7．如图，,试求的小数部分（    ）．    A．0.118 B． C． D．0.618 8．如图，两个全等的直角三角形和一个等腰直角三角形恰好构成一个梯形．甲说：梯形的面积可以表示为，乙说：梯形的面积可以表示为，则有(　　) A． B． C． D． 9．如图，已知的两直角边分别为6和8，分别以其三边为直径作半圆，则图中阴影部分的面积为（   ）    A． B．24 C．48 D． 10．如图，∠BAC=∠DAF=90°，AB＝AC，AD＝AF，点D，E为BC边上的两点，且∠DAE＝45°，连接EF，BF，则下列结论：①△AFB≌△ADC；②△ABD为等腰三角形；③∠ADC=120°；④BE2＋DC2=DE2，其中正确的有(   )个 A．4 B．3 C．2 D．1 二、填空题 11．已知：在中，，为斜边上的高，如果，，那么 ． 12．一艘轮船以16海里/小时的速度离开A港向东南方向航行，另一艘轮船同时以12海里/小时的速度离开A港向西南方向航行，经过2小时它们之间的距离是 海里． 13．如图，四边形是一块长方形地面， ，，中间有一堵墙的高，蚂蚁从点到点， 必须翻过中间这堵墙，则它至少要爬 ． 14．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，D、E分别是斜边AB和直角边CB上的点，把△ABC沿着直线DE折叠，顶点B的对应点是点B′，如果点B′落在直角边AC的中点上，则CE的长为 ． 三、解答题 15．如图，一辆小汽车在一条限速的街路上沿直道行驶，某一时刻刚好行驶到路面车速检测仪的正前方处的点，过了后，测得小汽车所在的点与车速检测仪之间的距离为． (1)求，间的距离． (2)这辆小汽车超速了吗？请说明理由． 16．一艘轮船从A港向南偏西48°方向航行到达B岛，再从B岛沿方向航行到达C岛，A港到航线的最短距离是．若轮船速度为，求轮船从C岛沿返回A港所需的时间．    17．对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式． (1)如图1所示的大正方形，是由两个正方形和两个形状大小完全相同的长方形拼成的．用两种不同的方法计算图中阴影部分的面积，可以得到的数学等式是 ； (2)如图2所示的大正方形，是由四个三边长分别为a、b、c的全等的直角三角形（a、b为直角边）和一个正方形拼成，试通过两种不同的方法计算中间正方形的面积，并探究a、b、c之间满足怎样的等量关系． 18．明代科学家徐光启所著的《农政全书》是中国古代四大农书之一，其中记载了中国古代的一种采桑工具——桑梯（如图1），其示意图如图2，已知，与的张角记为α，为保证采桑人的安全，α可调整的范围是，为固定张角α大小的锁链． (1)求锁链长度的最大值； (2)若，将桑梯放置在水平地面上，求此时桑梯顶端D到地面的距离．（结果保留根号） 19．如图，小明在研究性学习活动中，对自己家所在的小区进行调查后发现，小区汽车入口宽AB为3.3m，在入口的一侧安装了停止杆CD，其中AE为支架．当停止杆仰起并与地面成60°角时，停止杆的端点C恰好与地面接触．此时CA为0.7m．在此状态下，若一辆货车高3m，宽2.5m，入口两侧不能通车，那么这辆货车在不碰杆的情况下，能从入口内通过吗？请你通过计算说明．（参考数据：≈1.7） 20．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，． (1)画出关于轴对称的． (2)的面积为________，边上的高为________； (3)轴上存在一点使得的面积是面积的2倍，则点的坐标为________． 21．某传媒公司张贴广告如图所示，已知吊臂总长米，吊臂支柱B点与楼房的距离米，且吊臂B点距离地面1.5米． (1)求吊臂最高点A与地面的距离（的长度）； (2)完成A处张贴任务后，吊车沿射线前移，使得吊臂上顶点A下滑至C处，若已知长为3米，求吊臂支柱B点移动的距离（的长度）． 22．某消防队在一次应急演练中，消防员架起一架长的云梯，如图，云梯斜靠在一栋楼的外墙面上，这时云梯底端距墙脚的距离，． (1)当消防员接到命令，按要求将云梯从顶端A下滑到位置上（云梯长度不改变），即，那么它的底部B在水平方向滑动到的距离是多少？ (2)在演练中，高的楼房窗口处有求救声，消防员需调整云梯去救援被困人员，经验表明，云梯靠墙摆放时，如果云梯底端离墙的距离不小于云梯长度的，则云梯和消防员相对安全，在相对安全的前提下，云梯的顶端能否到达高的楼房窗口去救援被困人员？ 23．课本原题呈现： 一架云梯长25米，如图斜靠在一面墙上，梯子底端离墙7米． （1）这个梯子的顶端距底而有多高? （2）如果梯子的顶端下滑了4米，那么梯子的底部在水平方向也滑动了4米吗? 解决问题： (1)请直接写出原题中（1）问这个梯子的顶端距底面_______米；（2）问中，梯子的底部_______在水平方向也滑动4米（填会或不会）； (2)在原题中，若保持梯子底端不动，将梯子再次斜靠到原题当中的墙体的对面，且与之平行的另一面墙上，梯子的顶端到地面的距离为15米，求这两面墙之间的距离． (3)将原题中的条件“云梯长25米”改变为“云梯顶端距底面20米”，将“梯子底端离墙7米”改变为“梯子的顶端下滑了5米，梯子的底部在水平方向也滑动了5米”，请求出此梯子的长度是多少米？ 学科网（北京）股份有限公司 $$