专题06 函数与导数领域中的典型压轴小题全归纳与剖析（18大题型）（课件）-【上好课】2025年高考数学二轮复习讲练测（新高考通用）

高考二轮数学讲练测 专题06 函数与导数领域中的 典型压轴小题全归纳与剖析 目录 01 03 05 02 04 考情透视·目标导航 知识导图·思维引航 知识梳理·方法技巧 真题研析·精准预测 核心精讲·题型突破（17大题型，1个重难点） 2 考点要求 目标要求 考题统计 零点 掌握零点概念，熟练求解方法 2024年天津卷第15题，5分；2024年II卷第6题，5分 2023年II卷第11题，5分；2022年I卷第10题，5分 2021年I卷第7题，5分 不等式 掌握导数应用，解决不等式问题 2024年II卷第8题，5分；2021年II卷第16题，5分 三次函数 理解性质，熟练求解应用 2024年 I卷第10题，6分；2022年 I卷第10题，5分 2021年 乙卷第12题，5分 考情分析与命题预测 预测2025年高考数学，导数知识将成为重头戏。它或以简洁明了的选择题、填空题形式独立出现，主要考察基础计算与几何理解，难度相对较低；或巧妙融入解答题之中，成为解题关键。特别是利用导数探究函数单调性、极值与最值等深层次应用，预计将作为选择题、填空题的难点部分，出现在题序后端，难度适中偏上，综合考察学生的分析能力和解题技巧。这样的设计既考验学生的基础知识，又挑战其综合运用能力，是高考数学中的一大亮点。 考情透视·目标导航 3 知识导图·思维引航 4 1.求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的 解析式求值，当出现的形式时，应从内到外依次求值；当给出函数值求自变量 的值时，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值， 切记要代入检验，看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围. 2.含有抽象函数的分段函数，在处理时首先要明确目标，即让自变量向有具体解析式 的部分靠拢，其次要理解抽象函数的含义和作用(或者对函数图象的影响). 3.含分段函数的不等式在处理上通常有两种方法：一种是利用代数手段，通过对进行 分类讨论将不等式转变为具体的不等式求解；另一种是通过作出分段函数的图象，数 形结合，利用图象的特点解不等式. 知识梳理·方法技巧 4.分段函数零点的求解与判断方法： (1)直接法：直接根据题设条件构造关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围； (2)分离参数法：先将参数分离，转化成球函数值域的问题加以解决； (3)数形结合法：先将解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后 数形结合求解. 5.动态二次函数中静态的值： 解决这类问题主要考虑二次函数的有关性质及式子变形，注意二次函数的系数、图 象的开口、对称轴是否存在不变的性质，二次函数的图象是否过定点，从而简化解题. 知识梳理·方法技巧 6.动态二次函数零点个数和分布问题： 通常转化为相应二次函数的图象与轴交点的个数问题，结合二次函数的图象，通 过对称轴，根的判别式，相应区间端点函数值等来考虑. 7.求二次函数最值问题，应结合二次函数的图象求解，有三种常见类型： (1)对称轴变动，区间固定； (2)对称轴固定，区间变动； (3)对称轴变动，区间也变动. 这时要讨论对称轴何时在区间之内，何时在区间之外.讨论的目的是确定对称轴和 区间的关系，明确函数的单调情况，从而确定函数的最值. 知识梳理·方法技巧 7 8.由于三次函数的导函数为我们最熟悉的二次函数，所以基本的研究思路是：借助导 函数的图象来研究原函数的图象.如借助导函数的正负研究原函数的单调性；借助导函 数的(变号)零点研究原函数的极值点(最值点)；综合借助导函数的图象画出原函数的图 象并研究原函数的零点 具体来说，对于三次函数，其导函数为 ，根的判别式 知识梳理·方法技巧 8 判别式 图象 _______________________ ________________________ _______________________ 单调性 增区间：，； 减区间： 增区间： 增区间： 图象 ______________________________ 𝐷 _______________________________ 知识梳理·方法技巧 9 (1)当时，恒成立，三次函数在上为增函数，没有极值点，有且只 有一个零点； (2)当时，有两根，，不妨设，则，可得三次 函数在，上为增函数，在上为减函数，则，分别为三 次函数的两个不相等的极值点，那么： ① 若，则有且只有1个零点； ② 若，则有3个零点； ③ 若，则有2个零点. 特别地，若三次函数存在极值点，且 ，则地解析式为 同理，对于三次函数，其性质也可类比得到. 知识梳理·方法技巧 10 9.由于三次函数的导函数为 二次函数，其图象变化规律具有对称性，所以三次函数图象也应当具有对称性，其图 象对称中心应当为点，此结论可以由对称性的定义加以证明.事实上， 该图象对称中心的横坐标正是三次函数导函数的极值点. 10.对于三次函数图象的切线问题，和一般函数的研究方法相同.导数的几何意义就是求图 象在该店处切线的斜率，利用导数研究函数的切线问题，要区分“在”与“过”的不同，如 果是过某一点，一定要设切点坐标，然后根据具体的条件得到方程，然后解出参数即可. 11.恒成立(或存在性)问题常常运用分离参数法，转化为求具体函数的最值问题. 12.如果无法分离参数，可以考虑对参数或自变量进行分类讨论，利用函数性质求解， 常见的是利用函数单调性求解函数的最大、最小值. 知识梳理·方法技巧 11 13.当不能用分离参数法或借助于分类讨论解决问题时，还可以考虑利用函数图象来求 解，即利用数形结合思想解决恒成立(或存在性)问题，此时应先构造函数，作出符合 已知条件的图形，再考虑在给定区间上函数图象之间的关系，得出答案或列出条件， 求出参数的范围. 14.两类零点问题的不同处理方法 利用零点存在性定理的条件为函数图象在区间 上是连续不断的曲线，且 ①直接法：判断-一个零点时，若函数为单调函数，则只需取值证明 ②分类讨论法：判断几个零点时，需要先结合单调性，确定分类讨论的标准，再 利用零点存在性定理，在每个单调区间内取值证明 知识梳理·方法技巧 12 15.利用导数研究方程根(函数零点)的技巧 (1)研究方程根的情况，可以通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等. (2)根据题目要求，画出函数图象的走势规律，标明函数极(最)值的位置. (3)利用数形结合的思想去分析问题，可以使问题的求解有一个清晰、直观的整体展现. 16.已知函数零点个数求参数的常用方法 (1)分离参数法：首先分离出参数，然后利用求导的方法求出构造的新函数的最值，根 据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围. (2)分类讨论法：结合单调性，先确定参数分类的标准，在每个小范围内研究零点的个 数是否符合题意，将满足题意的参数的各小范围并在一起，即为所求参数范围. 知识梳理·方法技巧 13 1.(2024年新课标全国Ⅱ卷数学真题)设函数，若，则 的最小值为( ) C A. B. C. D.1 的定义域为，令解得；令解得；若，当时可知，此时，不合题意；若，当时可知，此时，不合题意；若，当时，可知，此时；当时，可知，此时；若，符合题意；若，当时，可知，此时，不合题意； 综上所述：，则，当且仅当时，等号成立，所以的最小值为； 真题研析·精准预测 真题研析 2.(2024年新课标全国Ⅱ卷数学真题)设函数，， 当时，曲线与恰有一个交点，则 ( ) D A. B. C.1 D.2 令，即，可得， 令，等价于当时曲线与恰有一个交点，可知该交点只能在轴上，可得即，解得， 若，令，可得 ∵，则，当且仅当时，等号成立， 可得，当且仅当时，等号成立， 则方程有且仅有一个实根0，即曲线与恰有一个 交点，∴符合题意；综上所述： 真题研析·精准预测 真题研析 15 5.(多选题)(2024年新课标全国Ⅱ卷数学真题)设函数，则( ) AD A.当时，有三个零点 B.当时，是的极大值点 C.存在，使得为曲线的对称轴 D.存在，使得点为曲线的对称中心 A选项，由于，在取到极大值，在取到极小值，由，，则，根据零点存在定理在有一个零点，又，，则， 则在上各有一个零点，于是时，有三个零点，A选项正确； 直接利用拐点结论: ，， ，于是对称中心为， 由题意也是对称中心，故， 即存在使是对称中心，D选项正确. 真题研析·精准预测 真题研析 16 运用反函数思想妙 解压轴题 题型三 核心精讲·题型突破 不动点与稳定点 题型二 唯一零点求值问题 题型一 倍值函数 题型四 最值函数 题型五 嵌套函数 题型六 指数函数 与对数函数的交点 题型九 核心精讲·题型突破 双参数比值型问题 题型八 共零点问题 题型七 曼哈顿距离问题 题型十 平口单峰函数 题型十一 三次函数 题型十二 整数解问题 题型十五 核心精讲·题型突破 切线放缩与夹逼 题型十四 指对同构 题型十三 导数中的最短距离”问题 题型十六 等高线问题 题型十七 多变量问题 重难点突破 题型一：唯一零点求值问题 【典例1-1】已知函数有唯一零点， 则 ( ) D A.1 B. C. D. 等价转化为，利用偶函数性质有唯一零点，由得解.∵， 令 则，∵函数有唯一零点， ∴也有唯一零点，且为偶函数，图象关于轴对称，由偶函数对称性得 ，∴，解得 根据偶函数零点特性可知：若偶函数有唯一零点，则必然在处取得，即 核心精讲·题型突破 题型突破 20 【变式1-1】已知函数有唯一零点，则实数 ( ) D A. B.2 C. D. 当时，，此时有两个零点，不满足题意； 当时，函数的图象最低点为，函数的图象最低点为，由于，故两个函数的图象有两个交点，不满足题意； 当时，函数的图象最低点为，函数的图象最低点为，若两函数只有一个交点，则，即 故选： 转化函数的图象与函数的图象只有一个交点求的值 核心精讲·题型突破 21 1.已知函数有唯一零点，则实数 ( ) C A. B. C. D.1 的图象与的图象只有一个交点， 函数在上单调递增，在上单调递减，最高点为 ①当时，原方程有两个解，不合题意； ②当时，在上单调递增，在上单调递减，且图象关于对称，最高点为，，故不合题意， ③当时，在上单调递减，在上单调递增， 且图象关于对称，最低点为， 若两函数图象只有一个交点，则，得， 核心精讲·题型突破 命题预测 22 题型二：不动点与稳定点 【典例2-1】设函数(，e为自然对数的底数).若曲线 上存在使得，则的取值范围是______. 由已知可得，且， 由已知存在，使得，则 ， ∴存在，使得，可得， ∵函数在上单调递增，则，则 易知函数在 上单调递增. 故存在，使得，可得，则 ， 综上所述，实数的取值范围是 核心精讲·题型突破 题型突破 23 1.不动点 定义：一般地，对于定义在区间上的函数，若存在，使得 ，则称是函数的一阶不动点，简称不动点. 从代数角度看，一阶不动点是方程的根. 从几何角度看，一阶不动点是曲线与直线的交点的横坐标. 核心精讲·题型突破 24 2.稳定点 定义：若存在，使，则称是函数的二阶不动点， 简称稳定点. 从代数角度看，二阶不动点是方程的解，也就是方程组 的解； 从几何角度看，函数的二阶不动点是指：函数图象上关于直线对称的两点的横坐标(即函数与其反函数的交点的横坐标)，或直线 与函数交点的横坐标. 核心精讲·题型突破 25 3.不动点与稳定点的结论 (1)有解等价于有解.特别地，当函数单调递增时， 的解与的解相同. (2)无解等价于无解. (3)有解等价于有解. (4)无解等价于无解. 核心精讲·题型突破 26 1.高三·福建泉州·期中)已知函数，若曲线上存在点 ，使得，则实数的取值范围是______. 依题意，，而，即函数是奇函数， 由曲线上存在点，使得， 得存在，使得成立，则原问题等价于“在上有解”，即“在 上有解”， 设，，求导得，， 当时，；当时，，在 上递减，在 递增，因此，函数在 上单调递增，于是的值域为，即，则 ， ∴实数的取值范围是 核心精讲·题型突破 命题预测 27 题型三：反函数 【典例3-1】高三·江苏·课后作业)设点在曲线上，点在曲线 上，则的最小值为____________. 函数与函数互为反函数，图象关于对称. 函数上的点到直线的距离为 设函数，则 ∵当时，，当时， ∴当时， ∴ ∴最小值为 核心精讲·题型突破 题型突破 28 1.反函数定义：已知函数，其值域为如果对中的任意给定的 一个值，在中满足的值有且仅有一个，那么由此得到的关于的函数叫 作的反函数，记作∵习惯上将视为自变量， 视为函数值，∴通常将该函数写为 2.反函数性质：原函数与反函数关于对称. 核心精讲·题型突破 29 【变式3-1】设点在曲线上，点在曲线上，若的最小值为 ，则___. -1 ∵与互为反函数，其图象关于直线对称， ∴曲线上的点到直线的最小距离为， 设与直线平行且与曲线相切的切线的切点， ，解得，∴，得到切点，点到直线距离，解得或3. 当时，∴与相交，不符合题意； 当时，∴与不相交，符合题意. 综上， 核心精讲·题型突破 30 变形为和， 记，， 则为与图象交点的横坐标， 为与图象交点的横坐标， 又与的图象关于直线对称， 而的图象与直线相交于点， ∴ 故答案为：9. 1.设分别是方程和的根，则___. 9 核心精讲·题型突破 命题预测 31 题型四：倍值函数 【典例4-1】已知函数(且)，若存在实数， 使函数在上的值域恰好为，则的取值范围为_______. 当时，在上单调递增，在R上单调递增， 当时，在上单调递减，在R上单调递减， 故在 单调递增， ，， 即有两个解，设，，即有两个不相等的正根， 故，解得 核心精讲·题型突破 题型突破 32 对于函数 ，这样的问题称之为倍值函数问题，该 类问题主要有三个模型： (1)模型一：函数单调递增，方程同构即可； (2)模型二：函数单调递减，两式相减即可； (3)模型三：函数有增有减，分类讨论即可. 核心精讲·题型突破 33 【变式4-1】已知函数，若存在实数，，使得函数在区间 的 值域为，则实数的取值范围是________. ∵，∴在 上单调递增， 要使得函数在区间上的值域为 ，∴，即，∴为方程的两不相等的非负实数根， ∴，解得，即 核心精讲·题型突破 34 1.高三·浙江·开学考试)函数的定义域为，若存在闭区间，使得 函数满足： (1)在 上是单调函数； 由题意 在 内是单调函数； 核心精讲·题型突破 命题预测 35 (2)在上的值域为，则称区间为的“倍值区间”.下列函 数中存在“倍值区间”的有______.(填上所有正确的序号) ①③ ①； ②； ③； ④ 对于③. ，，解得，故存在“倍值区间” ； 对于④. ，即为方程的两个实数根. 有两个不等的正根，故存在“倍值区间” ； 由题意，或， 对于①. 解得，∴存在“倍值区间” ； 对于②. ，构建，故， ∴函数在处取得极小值且为最小值，由，∴无解，故函数不存在“倍值区间”； 核心精讲·题型突破 36 题型五：最值函数 【典例5-1】天津北辰·三模)设，对任意实数，记 若有三个零点，则实数的取值范围是________. 令， 由题知为函数的零点即，∴， 令，可得，由已知有两个根， 设，则有两个正根， ∴，，∴，故， 核心精讲·题型突破 题型突破 37 指的是二者之中取最小， 指的是二者之中取最大. 性质一： . 性质二： . 核心精讲·题型突破 38 【变式5-1】定义为数集M中最大的数，已知，若或 ，则 的最小值为__. 根据数轴上点的距离公式，可得分别为线段的长，如图所示，若点固定，即求三个线段中最长线段的长的最小值， 可知当三个线段等长时，最长的线段长取最小值，不妨设为，的长为，则，即， 若，则，即，解得； 若，则，即，解得， ∵，∴的最小值为 核心精讲·题型突破 1.设表示，，中最大的数，设，且，则 的最小值为______. 令其中，∴， ∵，则，即， ，则,故,则，当且仅当且时等号成立， 如取时可满足等号成立， ∴的最小值为 核心精讲·题型突破 命题预测 40 题型六：嵌套函数 【典例6-1】已知函数，，则函数 的零点个数为____个. 10 令，得， 令，得或， 解得或或，∴或或， 作出函数图象，如图所示： 由图象可知有4个解，有2个解，有4个解， ∴共有10个零点. 嵌套函数：又名复合函数，指的是形如的函数，嵌套函数零点问题的求解关键在于“设”，注意定义域与值域的转化，结合图像解题. 核心精讲·题型突破 题型突破 41 【变式6-1】河南南阳·模拟预测)已知函数 有三个不同的零点，且， 则的值为____. 36 ∴ 有三个不同的零点， 令，则，∴当时，当时， ∴,当时，令，则 必有两个根，不妨令，且, 即必有一解，-有两解，且， 故 核心精讲·题型突破 42 由题意，得，显然x1x2是方程的根， 于是关于的方程的解就是1或2， 根据题意画图如图所示， 由图知1有两个不等实根，2只有一个不等实根， ∴有3个不同的实数根. 1.高三·湖北襄阳·期中)若函数有极值点 ，，则关于的方程 的不同实数根的 个数是___. 3 核心精讲·题型突破 命题预测 43 题型七：共零点问题 【典例7-1】设函数，若，则 ( ) A A.0 B.1 C.e D.前3个答案都不对 显然的定义域为，若， 当时，，可得； 当时，； 当时，，可得； 又∵在上单调递增， 可知过点， 则，即， ∴ 共零点问题：此类问题往往是的形式，其特征是两个函数具备相同的零点. 核心精讲·题型突破 题型突破 44 【变式7-1】全国·模拟预测)设函数，若 恒成立，则的最小值为( ) C A. B. C. D.9 的定义域为R，易知函数在R上单调递增，在R单调递减， 令解得或； 由恒成立可知必有， 则， 当且仅当时，等号成立， ∴的最小值为 同法一得， 设点，则点在定直线上， 设点，则， 当时有最小值，由点线距公式可得， 故的最小值为 核心精讲·题型突破 45 1.若函数是R上的单调减函数，已知 ，,且在定义域内恒成立，则实 数的取值范围为________________. 或 恒成立，故，由题可知在恒成立，①当时，函数恒成立，转化为恒成立， ， ②当时，，解得； ，解得，即； 要使得两种情形下都能恒成立，则取其交集得到，， 综上所述，或 核心精讲·题型突破 命题预测 46 题型八：双参数比值型问题 【典例8-1】江苏·一模)已知函数，其中e为自然对数 的底数，若不等式恒成立，则的最大值为__. 当时，函数取得最大值即恒成立，转化为求解的最大值. ，令，则，当时，取得最大值：， 且当时，∴，， 据此可知在区间上单调递增，在区间上单调递减， 即函数的最大值为 核心精讲·题型突破 题型突破 47 对于双参数比值型问题，零点比大小法是一种有效的解决策略。这种方法类似于 数形结合的思想，首先我们将问题中的曲线和直线部分“曲直分开”，分别绘制出它们 的图像，并找出它们的零点。 在这里，直线的零点具有特殊的意义，它通常对应着我们待求的双参数比值。接 下来，我们观察直线和曲线的交点情况，特别是当直线的零点与曲线的零点重合时， 这意味着双参数比值取得了最值(这个最值可能是最大值，也可能是最小值，具体取决 于题目的要求)。 在图像上，这种最值情况表现为直线与曲线在曲线的零点处相切。换句话说，当 直线与曲线仅有一个交点，并且这个交点恰好是曲线的零点时，双参数的比值就达到 了它的最值。 因此，通过绘制曲线和直线的图像，寻找它们的零点，并观察它们之间的交点情 况，我们可以直观地找到双参数比值的最值。这种方法不仅直观易懂，而且在实际应 用中非常有效。 核心精讲·题型突破 48 【变式8-1】河北沧州·三模)若不等式，对于恒成 立，则的最大值为______. 令函数，由，解得， ∴在处取得极小值，也是最小值为， 由不等式，可得， ∴， 令，则， 当时，；当时，， ∴在上单调递增，在上单调递减， 即，即，∴的最大值为 核心精讲·题型突破 1.已知为实数，，若对恒成立，则 的最小值为___. 0 ，由题可知， ， 恒成立，，， ， 令，则， 由，可得，由，可得， ∴在区间上单调递减，在区间上单调递增， ，即的最小值为0. 核心精讲·题型突破 命题预测 50 题型九：指数函数与对数函数的交点 【典例9-1】山东济南·一模)设分别是函数和 的零点(其中)，则的取值范围为( ) C A. B. C. D. 令，得即，∴是图像与图像 的交点，且显然， 令，得，即，∴是图像与图像 的交点， ∵与关于对称，∴两根也关于对称，∴有， ∴，令在上单调递减，∴ 核心精讲·题型突破 题型突破 51 当时，方程有且只有三解； 当时，方程有且只有一解. 当，方程无解 当时，方程有且只有一解. 当时，方程有且只有两解 核心精讲·题型突破 52 【变式9-1】设，分别是函数和的零点 (其中)，则的取值范围( ) A A. B. C. D. 由，分别是函数和的零点(其中)可知是方程的解；是方程的解； 则，分别为函数的图象与函数和函数的图象交点的横坐标； 设交点分别为 由，知； 又∵和以及的图像均关于直线， ∴两交点一定关于对称，由于点，关于直线的对称点坐标为，∴，有，则，由于，故等号不能成立，的取值范围 核心精讲·题型突破 53 1.已知关于的方程有解，则实数的取值范围是___________ 若关于的方程有解， 即与的图像有交点， ∵与互为反函数， ∴与的图像关于直线对称， 如图所示： 设函数与直线相切，切点为， ，则有，解得：， 由图像可知，当时，曲线与直线有交点， 即与的图像有交点， 即方程有解. 故答案为： 核心精讲·题型突破 命题预测 54 题型十：曼哈顿距离问题 【典例10-1】浙江·一模)设函数，当 时，记的最大值为，则的最小值为___. ，根据二次函数的性质 ∴在的最大值为，，，中之一， ∴可得，， ，， 即有，可得的最小值为 核心精讲·题型突破 题型突破 55 结论1：已知，为定点，且，则到 直线上任意一点的“曼哈顿距离”为： 结论2：已知两平行直线：， ，分别为上任意一点，则之间的“曼哈 顿距离”为： (证明过程留给读者) 核心精讲·题型突破 56 【变式10-1】在平面直角坐标系中，定义为两点 ，之间的“折线距离”，则椭圆上一点和直线 上一点的“折线距离”的最小值为_______ 设直线上的任意一点坐标，椭圆上任意一点的坐标为 由题意可知 分类讨论：①， ②解同上； ③， 椭圆上一点P与直线上一点Q的“折线距离”的最小值为 核心精讲·题型突破 57 1.“曼哈顿距离”是十九世纪的赫尔曼闵可夫斯基所创词汇，定义如下：在直角坐标平 面上任意两点的曼哈顿距离为： 已知 点在圆上，点在直线上，则的最小值为 ( ) D A. B. C. D. 如图，过点作平行于轴的直线交直线于点，过点作于点 表示的长度，，即，当固定点时，为定值，此时为零时，最小，即与重合 (平行于轴) 时，最小，如图所示， 设，，则， ， 由三角函数知识可知，其中， 则其最大值是，∴，故D正确. 核心精讲·题型突破 命题预测 58 题型十一：平口单峰函数 【典例11-1】已知函数，当，时，的最大 值为，则的最小值为( ) A. B. C. D.1 B 解：函数，当，时，的最大值为， 可得， ，① (1)，② (4)，③ 可得，，， ， 则，即有的最小值为， 核心精讲·题型突破 题型突破 59 若为上连续的单峰函数，且，则称为平口单峰函数. 结论：若为上的平口单峰函数，且，为极值点，则当 变化时，的最大值中的最小值为，当且仅当 ，时取得. 核心精讲·题型突破 60 【变式11-1】已知函数定义域为，，记的最大值为， 则的最小值为( ) C A.4 B.3 C.2 D. 函数定义域为，，记的最大值为， 可得，(1)，(2)，由于， 可得 ， ， 可得的最小值为2. 核心精讲·题型突破 61 1.已知函数，若对任意的实数，，总存在， ，使得 成立，则实数的取值范围是( ) B A. B.， C.， D.， 记函数最大值为，对任意，恒成立， ∴，依题意，，，， ， 分别令，0，2， 可得，，，，(2)|， ∴，，，， ∴，当且仅当，即，时等号 成立，∴ 核心精讲·题型突破 命题预测 62 题型十二：三次函数 【典例12-1】河南郑州·一模)已知函数，实数 满足， ，则 ( ) A A.6 B.8 C.10 D.12 设函数图象的对称中心为，则有， 整理得， 比较系数可得 ∴函数图象的对称中心为 又，，且， 点关于对称， 选 核心精讲·题型突破 题型突破 63 1.由于三次函数的导函数为 二次函数，其图象变化规律具有对称性，∴三次函数图象也应当具有对称性，其图 象对称中心应当为点，此结论可以由对称性的定义加以证明.事实上， 该图象对称中心的横坐标正是三次函数导函数的极值点. 2.对于三次函数图象的切线问题，和一般函数的研究方法相同.导数的几何意义就是求图 象在该店处切线的斜率，利用导数研究函数的切线问题，要区分“在”与“过”的不同，如 果是过某一点，一定要设切点坐标，然后根据具体的条件得到方程，然后解出参数即可. 核心精讲·题型突破 64 【变式12-1】已知函数，则下列结论错误的是( ) B A.当时，若有三个零点，则的取值范围为 B.若满足，则 C.若过点可作曲线的三条切线，则 D.若存在极值点，且，其中，则 满足， 根据函数的对称可知的对称点为， 将其代入， 得， 解得，故选项B错误； 核心精讲·题型突破 65 1.已知函数，若过点可作曲线的三条切线， 则实数的取值范围是( ) A A. B. C. D. 曲线在的切线方程为， 即，关于的方程有三个不同的根， 令，，解得或， 当时，取得极大值，当时，取得极小值， 关于的方程有三个不同的根，等价于与的图 象有三个不同的交点，，， 实数的取值范围为 核心精讲·题型突破 命题预测 66 题型十三：指对同构 【典例13-1】全国·模拟预测)在数学中，我们把仅有变量不同，而结构、形式相 同的两个式子称为同构式，相应的方程称为同构方程，相应的不等式称为同构不等式. 若关于的方程和关于的方程(，，)可化为同构方 程，则___，___. 3 8 ①. ②. ∴，解得 设()，则，∴函数在上单调递增， ∴方程的解只有一个，∴， ∴，故 核心精讲·题型突破 题型突破 67 常见同构式 ①积型 对数化:令，得 指数化:令，得 不等式两边同时取对数变形：令，得 核心精讲·题型突破 68 ②商型 对数化:令，得 指数化:令，得 不等式两边同时取对数变形：令，得 ③和差型 对数化:令，得 指数化:令，得 再比如 令，得 核心精讲·题型突破 69 【变式13-1】同构式通俗的讲是结构相同的表达式，如：， ，称与为同构式.已知实数满足 ，，则___. 5 易判断为增函数，， ， 即，， ∴， 故答案为：5 核心精讲·题型突破 1.湖南郴州·三模)设实数，若对任意的，不等式 恒成立，则实数的取值范围为________. ∵通分得：即： ；设 ，函数在单调递增， 恒成立，得：即 设， 易知函数在上单调递增，在上单调递减 核心精讲·题型突破 命题预测 71 题型十四：切线放缩与夹逼 【典例14-1】山西晋中·二模)若存在实数满足，则 ( ) C A. B.0 C.1 D. 令函数，可得， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减， ∴当，可得， 令函数，则，当且仅当时取等号， 又由，∴， ∴，∴ 核心精讲·题型突破 题型突破 72 (1)指数函数的切线不等式： ①；② (2)对数函数的切线不等式： ①；②；③ (3)三角函数的切线不等式： ①当时， ；当时， ； ②当时， ；当时， ③切线与割线相结合的形式：当时， 核心精讲·题型突破 73 【变式14-1】河南·一模)已知实数满足 ，则 ( ) C A. B. C. D. 将原式作如下变形得： 由此可构造函数： 不妨设， 可得，由知， 时，，时，，∴(当且仅当时取“”). 即 解得，故故选 核心精讲·题型突破 74 1.若，是实数，是自然对数的底数，，则 ____. 令，则，时有， 时有，从而得在上递增，在上递减， 即，即，当且仅当时取“”， ，当且仅当 时取“”，显然，即，从而得当且仅当时取“”， 于是得，当且仅当时取“”， 即，从而得 ，当且仅当时取“”， 解得，此时 核心精讲·题型突破 命题预测 75 题型十五：整数解问题 【典例15-1】已知，存在唯一的整数，使得成立， 则的取值范围是( ) D A. B. C. D. 设，，∵， 又，，， 且当时，当时；如图： ∵直线过定点，且当时， ∴，即，故， 即的取值范围是 核心精讲·题型突破 题型突破 76 1.直接法：为了得到含参函数的单调性与最值，往往需要对参数进行分类讨论； 2.参数分离法：参数分离后，根据所得函数的图象，讨论参数的取值范围，分离又有 完全分离与不完全分离两种. 核心精讲·题型突破 77 【变式15-1】已知函数，若不等式的解集中有且仅有一个 整数，则实数的取值范围是( ) D A. B. C. D. ，∴，作出的函数图象如图所示： 由仅有一个整数解， 得只有一个整数解，设， 当时，在上恒成立，不符合题意， 当时，若只有1个整数解，则此整数解必为1， ∴，即，解得 核心精讲·题型突破 78 1.高三·重庆·期中)若关于的不等式 的解集中恰有 三个整数解，则整数的取值是( 参考数据 B A.4 B.5 C.6 D.7 核心精讲·题型突破 命题预测 79 题型十六：导数中的“最短距离”问题 【典例16-1】曲线上的点到直线的最短距离是( ) A A. B.2 C. D. 如图所示，将直线平移至与函数图象相切时， 切点到直线的距离最短,设切点坐标为， ,令得，， 则切点坐标为， ∴切点到直线的距离为： 此类问题可以通过构造函数、平移直线或者利用不等式等方法来求解 核心精讲·题型突破 题型突破 80 【变式16-1】高三·天津和平·期中)已知函数 ，若对任意的正实数，在R上都是增 函数，则实数的取值范围是( ) D A. B. C. D. 由题意在R上恒成立，其中，整理得对恒成立， ∴对恒成立， ， 令，，∴， ∴的最小值是16， ∴ 核心精讲·题型突破 81 1.点是曲线上的一个动点，点是曲线上的一个动点，则的最小 值为.( ) A A. B. C. D. 先由与互为反函数，得到两函数图像关于直线对称；因 此只需两点关于直线对称，点到直线距离最小时，最小； 设，∴两函数图像关于直线对称；点是曲线上的一个动点， 点是曲线上的一个动点，∴只需两点关于直线对称，点到直线 距离最小时，最小；设，， 令，则，故, ∴，因此的最小值为 核心精讲·题型突破 命题预测 82 题型十七：等高线问题 【典例17-1】函数，若，且 互不相等，则的取值范围是( ) C A. B. C. D. 由，且， 不妨设，作图如下： 由图可知，且二次函数的对称轴为直线， 易知，则，， 可得；由图可知，则，可得，解得 综上所述， 核心精讲·题型突破 题型突破 83 对于函数，若，则直线叫做函数的等高线.此类题通常以求取值范围的形式出现，其基本方法是“减元”，即充分利用函数值相等这一条件实施“消元”. 核心精讲·题型突破 84 【变式17-1】已知函数，若关于的方程有4个不 同的实根，且，则 ( ) A A. B. C. D. 由图可知，又可得， 易知，可知，则有， ∴，易知二次函数图象关于对称， 即可得关于对称，即， 即可得，令， 解得或，∴，因此 核心精讲·题型突破 85 重难点突破：多变量问题 【典例18-1】已知函数，若有两个极值点， ，且，则的取值范围是( ) C A. B. C. D. ，令可得： 有两个极值点， 有两根 令，则， 当时，；当时，， 在上单调递增，在上单调递减，， 令，则，解得：，此时 有两根等价于与交于两点，. 核心精讲·题型突破 题型突破 86 求解双变量函数或不等式问题的基本思想是通过消元，将双变量问题转化为单变量问题加以解决.可以利用双变量之间的关系代入消元；也可以通过整体换元后化为单变量函数；还可以分离双变量后，根据同构式直接构造函数；对于多变量问题，可以合理选择其中一个变量为主元，逐个处理变量；对于某些含有“任意”“存在”等关键词的恒成立或有解问题，则通过分析函数的值域或最值来解决. 核心精讲·题型突破 87 【变式18-1】四川绵阳·模拟预测)已知函数，若有 两个极值点、且，则实数的取值范围为( ) A A. B. C. D. 方程有两个实根，令，则， 时；时，， 由图可知，且当时，随 的减小而增大，不妨考虑的情形，此时，∵，∴， 将代入得：，两式相除得， 故，即 ∴当且仅当时，有两个极值点、且 核心精讲·题型突破 88 1.高三·江苏镇江·期中)已知函数，，实数， 满足，若，，使得成立，则 的最大值为( ) B A.7 B.6 C. D. ，，使得成立求解. ∵，∴， 当时，，当时，，， ∴在处取得极小值，且为定义域内唯一极值， ， 作函数与的图象， 如图所示： 当时，方程两根分别为和，则的最大值为： 核心精讲·题型突破 命题预测 89 感 谢 观 看 THANK YOU $$