2024年江苏省南京市中考数学第26题一题多解

2024年南京市中考数学第26题解析 1 试题呈现 (2024年南京中考第26题)（1）如图1，点E, F分别在正方形ABCD的边AB, CD上，联结EF。求作GH，使点G, H分别在边BC, AD上（均不与顶点重合），且GH⊥EF. （2） 已知点P, Q, R, S的位置如图2所示，若它们分别在一个正方形的四条边上，用两种不同的方法求作该正方形过点P的边所在的直线. （要求：①用直尺和圆规作图；②保留作图痕迹，写出必要的文字说明。） 2 解法探究 2.1 第（1）问的解法 思路1：直接做垂线. 解法1：如图3，作线段EF的垂直平分线，分别交BC, AD于点G, H. 解法2：如图4，在线段EF上取点О，过点О作EF的垂线，分别交BC, AD于点G, H. 思路2：构造全等三角形. 解法3：如图5，作∠EFC的角平分线交BC于点G，在线段FE上截取FO=FC，联结GO并延长交AD边于点H. 分析：利用△FOG≌△FCG(SAS)，得到∠FOG=∠C=90°. 解法4：如图6，在BC边上截取CG=DF，在AD边上截取DH=AE，联结GH. 分析：由GC=DF，DH=AE得GN=FM，利用Rt△EMF≌Rt△HNG(SAS)，得到∠FEM=∠GHN，从而得到∠FOG=90°. 思路3：利用四边形内角和. 解法5：如图7，在BC边上取点G，作∠CGH=∠EFD，交AD边于点H. 分析：由∠CGH=∠EFD，得到∠CGH+∠EFC=180°，由∠C=90°，利用四边形内角和为360°，得到∠FOG=90°. 思路4：利用直径所对的圆周角是直角. 解法6：如图8，在BC边上取点G，以线段FG为直径作⊙О交EF边于点M，联结GM并延长交AD边于点H. 分析：由FG为⊙О直径，可得∠FMG=90°. 思路5：联想十字架模型. 解法7：如图9，在AD上任取一点H，以点H为圆心，以EF为半径，画圆弧，交BC于点G，联结GH，即可得到GH⊥EF. 2.2 第（2）问的解法 思路1：利用十字架模型构图. 解法1：如图10，联结RS，作QM⊥RS且QM=RS，作直线PM. 分析：过点Q作BC∥PM，过点R作AB⊥BC交PM于点A，过点S作SC⊥BC交PM于点D，作MF⊥BC，垂足为F，过点S作SE⊥AB，垂足为E。易证四边形EBCS、四边形MFCD、四边形ABCD为矩形，得到ES=BC，MF=DC. 由QM⊥RS，QM=RS可证得△RES≌△QFM，得到ES=FM，从而BC=DC，所以矩形ABCD为正方形. 同样地，如图11，也可以联结PQ，作RN⊥PQ且RN=PQ，作直线SN，作直线PM⊥NS，则直线PM为所求直线. 思路2：利用对角线与边的夹角为45°构图. 解法2：如图12，联结PR，以线段PR为直径作⊙K与线段PR的垂直平分线交于点M，联结QS，以线段QS为直径作⊙L与线段QS的垂直平分线交于点N，作直线MN交⊙K于点A，交⊙L于点C，作直线PA. 分析：联结AR并延长交CQ的延长线于点B，联结CS并延长交直线AP于点D. 在⊙K中，PR为直径，得到∠RAP=90°，同理∠BCD=90°. 因为⊙K与线段RP的垂直平分线交于点M，所以，得到∠PAM=∠RAM=45°. 同理，∠NCS=∠NCQ=45°，因为点A, M, N, C在一条直线上，所以∠ABC=90°，又因为AB=BC，所以四边形ABCD为正方形. 同样地，如图13，也可以联结RQ，以线段RQ为直径作⊙K与线段RQ的垂直平分线交于点M，联结PS，以线段PS为直径作⊙L与线段PS的垂直平分线交于点N，作直线MN交⊙L于点D，作直线PD，则直线PD为所求直线. 3. 解题感想 对于此题的解题感想，首先根据南京市前几年的中考题来看，这类尺规作图题目是常考题型，所以在实际考场上在这个题号位置出现这样的题目，不应该感到惊讶，只是今年2024年这道作图题，主要还是第（2）问的做法②，特别是正方形与圆结合产生45°的圆周角，然后再利用45°角去获得相等的圆弧，如果平时没有训练过类似的作图问题，那在有限的时间内还是很难想的，考场上可以直接放弃，分值也不会有多少。 因此，对于今年的南京市学友们的备考，建议最好把南京往年的中考作图题先看看，然后再多做一做天津市，武汉市，陕西省，福建省，河南省等省市的中考真题中的作图题。这是因为当前的考试，回归到新课标对学生作图能力的新要求，所以建议学友们参照自己省市的中考情况，酌情备考！ 学科网（北京）股份有限公司 $$