图形的性质-河北中考数学三年（2022-2024）真题知识点分类汇编

三年河北中考数学真题分类汇编之图形的性质 一．选择题（共18小题） 1．（2023•河北）淇淇一家要到革命圣地西柏坡参观．如图，西柏坡位于淇淇家南偏西70°的方向，则淇淇家位于西柏坡的（　　） A．南偏西70°方向 B．南偏东20°方向 C．北偏西20°方向 D．北偏东70°方向 2．（2022•河北）①～④是由相同的小正方体粘在一起的几何体，若组合其中的两个，恰是由6个小正方体构成的长方体，则应选择（　　） A．①③ B．②③ C．③④ D．①④ 3．（2022•河北）依据所标数据，下列一定为平行四边形的是（　　） A． B． C． D． 4．（2022•河北）如图，将三角形纸片剪掉一角得四边形，设△ABC与四边形BCDE的外角和的度数分别为α，β，则正确的是（　　） A．α﹣β＝0 B．α﹣β＜0 C．α﹣β＞0 D．无法比较α与β的大小 5．（2022•河北）某款“不倒翁”（图1）的主视图是图2，PA，PB分别与所在圆相切于点A，B．若该圆半径是9cm，∠P＝40°，则的长是（　　） A．11πcm B．πcm C．7πcm D．πcm 6．（2022•河北）要得知作业纸上两相交直线AB，CD所夹锐角的大小，发现其交点不在作业纸内，无法直接测量．两同学提供了如下间接测量方案（如图1和图2）： 对于方案Ⅰ、Ⅱ，说法正确的是（　　） A．Ⅰ可行、Ⅱ不可行 B．Ⅰ不可行、Ⅱ可行 C．Ⅰ、Ⅱ都可行 D．Ⅰ、Ⅱ都不可行 7．（2022•河北）平面内，将长分别为1，5，1，1，d的线段，顺次首尾相接组成凸五边形（如图），则d可能是（　　） A．1 B．2 C．7 D．8 8．（2022•河北）题目：“如图，∠B＝45°，BC＝2，在射线BM上取一点A，设AC＝d，若对于d的一个数值，只能作出唯一一个△ABC，求d的取值范围．”对于其答案，甲答：d≥2，乙答：d＝1.6，丙答：d，则正确的是（　　） A．只有甲答的对 B．甲、丙答案合在一起才完整 C．甲、乙答案合在一起才完整 D．三人答案合在一起才完整 9．（2023•河北）如图，点P1～P8是⊙O的八等分点．若△P1P3P7，四边形P3P4P6P7的周长分别为a，b，则下列正确的是（　　） A．a＜b B．a＝b C．a＞b D．a，b大小无法比较 10．（2023•河北）综合实践课上，嘉嘉画出△ABD，利用尺规作图找一点C，使得四边形ABCD为平行四边形．（1）～（3）是其作图过程． （1）作BD的垂直平分线交BD于点O； （2）连接AO，在AO的延长线上截取OC＝AO； （3）连接DC，BC，则四边形ABCD即为所求． 在嘉嘉的作法中，可直接判定四边形ABCD为平行四边形的条件是（　　） A．两组对边分别平行 B．两组对边分别相等 C．对角线互相平分 D．一组对边平行且相等 11．（2023•河北）如图，直线l1∥l2，菱形ABCD和等边△EFG在l1，l2之间，点A，F分别在l1，l2 上，点B，D、E、G在同一直线上．若∠α＝50°，∠ADE＝146°，则∠β＝（　　） A．42° B．43° C．44° D．45° 12．（2023•河北）在△ABC和△A'B'C′中，∠B＝∠B'＝30°，AB＝A'B'＝6，AC＝A'C′＝4，已知∠C＝n°，则∠C′＝（　　） A．30° B．n° C．n°或180°﹣n° D．30°或150° 13．（2023•河北）如图，在Rt△ABC中，AB＝4，点M是斜边BC的中点，以AM为边作正方形AMEF．若S正方形AMEF＝16，则S△ABC＝（　　） A．4 B．8 C．12 D．16 14．（2024•河北）下面是嘉嘉作业本上的一道习题及解答过程： 已知：如图，△ABC中，AB＝AC，AE平分△ABC的外角∠CAN，点M是AC的中点，连接BM并延长交AE于点D，连接CD． 求证：四边形ABCD是平行四边形． 证明：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠3． ∵∠CAN＝∠ABC+∠3，∠CAN＝∠1+∠2，∠1＝∠2， ∴①______． 又∵∠4＝∠5，MA＝MC， ∴△MAD≌△MCB（②______）． ∴MD＝MB．∴四边形ABCD是平行四边形． 若以上解答过程正确，①，②应分别为（　　） A．∠1＝∠3，AAS B．∠1＝∠3，ASA C．∠2＝∠3，AAS D．∠2＝∠3，ASA 15．（2024•河北）直线l与正六边形ABCDEF的边AB，EF分别相交于点M，N，如图所示，则α+β＝（　　） A．115° B．120° C．135° D．144° 16．（2024•河北）在平面直角坐标系中，我们把一个点的纵坐标与横坐标的比值称为该点的“特征值”．如图，矩形ABCD位于第一象限，其四条边分别与坐标轴平行，则该矩形四个顶点中“特征值”最小的是（　　） A．点A B．点B C．点C D．点D 17．（2024•河北）扇文化是中华优秀传统文化的组成部分，在我国有着深厚的底蕴．如图，某折扇张开的角度为120°时，扇面面积为S，该折扇张开的角度为n°时，扇面面积为Sn，若m，则m与n关系的图象大致是（　　） A．B． C． D． 18．（2024•河北）观察图中尺规作图的痕迹，可得线段BD一定是△ABC的（　　） A． 角平分线 B．高线 C．中位线 D．中线 19．四边形ABCD的边长如图所示，对角线AC的长度随四边形形状的改变而变化．当△ABC为等腰三角形时，对角线AC的长为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 二．填空题（共1小题） 20．（2023•河北）将三个相同的六角形螺母并排摆放在桌面上，其俯视图如图1，正六边形边长为2且各有一个顶点在直线l上．两侧螺母不动，把中间螺母抽出并重新摆放后，其俯视图如图2，其中，中间正六边形的一边与直线l平行，有两边分别经过两侧正六边形的一个顶点．则图2中： （1）∠α＝　 　度； （2）中间正六边形的中心到直线l的距离为 　 　（结果保留根号）． 三．解答题（共5小题） 21．（2022•河北）如图1，四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，∠C＝30°，AD＝3，AB＝2，DH⊥BC于点H．将△PQM与该四边形按如图方式放在同一平面内，使点P与A重合，点B在PM上，其中∠Q＝90°，∠QPM＝30°，PM＝4． （1）求证：△PQM≌△CHD； （2）△PQM从图1的位置出发，先沿着BC方向向右平移（图2），当点P到达点D后立刻绕点D逆时针旋转（图3），当边PM旋转50°时停止． ①边PQ从平移开始，到绕点D旋转结束，求边PQ扫过的面积； ②如图2，点K在BH上，且BK＝9﹣4．若△PQM右移的速度为每秒1个单位长，绕点D旋转的速度为每秒5°，求点K在△PQM区域（含边界）内的时长； ③如图3，在△PQM旋转过程中，设PQ，PM分别交BC于点E，F，若BE＝d，直接写出CF的长（用含d的式子表示）． 22．（2023•河北）如图1和图2，平面上，四边形ABCD中，AB＝8，，CD＝12，DA＝6．∠A＝90°，点M在AD边上，且DM＝2．将线段MA绕点M顺时针旋转n°（0＜n≤180）到MA'，∠A′MA的平分线MP所在直线交折线AB﹣BC于点P，设点P在该折线上运动的路径长为x（x＞0），连接A′P． （1）若点P在AB上，求证：A'P＝AP； （2）如图2，连接BD． ①求∠CBD的度数，并直接写出当n＝180时，x的值； ②若点P到BD的距离为2，求tan∠A′MP的值； （3）当0＜x≤8时，请直接写出点A′到直线AB的距离（用含x的式子表示）． 23．（2023•河北）装有水的水槽放置在水平台面上，其横截面是以AB为直径的半圆O，AB＝50cm，如图1和图2所示，MN为水面截线，GH为台面截线，MN∥GH． 计算：在图1中，已知MN＝48cm，作OC⊥MN于点C． （1）求OC的长． 操作：将图1中的水槽沿GH向右作无滑动的滚动，使水流出一部分，当∠ANM＝30°时停止滚动．如图2．其中，半圆的中点为Q，GH与半圆的切点为E，连接OE交MN于点D． 探究：在图2中． （2）操作后水面高度下降了多少？ （3）连接OQ并延长交GH于点F，求线段EF与的长度，并比较大小． 24．（2024•河北）情境 图1是由正方形纸片去掉一个以中心O为顶点的等腰直角三角形后得到的．该纸片通过裁剪，可拼接为图2所示的钻石型五边形，数据如图所示． （说明：纸片不折叠，拼接不重叠无缝隙无剩余） 操作 嘉嘉将图1所示的纸片通过裁剪，拼成了钻石型五边形． 如图3，嘉嘉沿虚线EF，GH裁剪，将该纸片剪成①，②，③三块，再按照图4所示进行拼接．根据嘉嘉的剪拼过程，解答问题： （1）直接写出线段EF的长； （2）直接写出图3中所有与线段BE相等的线段，并计算BE的长． 探究 淇淇说：将图1所示纸片沿直线裁剪，剪成两块，就可以拼成钻石型五边形． 请你按照淇淇的说法设计一种方案：在图5所示纸片的BC边上找一点P（可以借助刻度尺或圆规），画出裁剪线（线段PQ）的位置，并直接写出BP的长． 25．（2024•河北）已知⊙O的半径为3，弦MN＝2．△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝3．在平面上，先将△ABC和⊙O按图1位置摆放（点B与点N重合，点A在⊙O上，点C在⊙O内），随后移动△ABC，使点B在弦MN上移动，点A始终在⊙O上随之移动．设BN＝x． （1）当点B与点N重合时，求劣弧的长； （2）当OA∥MN时，如图2，求点B到OA的距离，并求此时x的值； （3）设点O到BC的距离为d． ①当点A在劣弧上，且过点A的切线与AC垂直时，求d的值； ②直接写出d的最小值． 三年河北中考数学真题分类汇编之图形的性质 参考答案与试题解析 一．选择题（共18小题） 1．（2023•河北）淇淇一家要到革命圣地西柏坡参观．如图，西柏坡位于淇淇家南偏西70°的方向，则淇淇家位于西柏坡的（　　） A．南偏西70°方向 B．南偏东20°方向 C．北偏西20°方向 D．北偏东70°方向 【答案】D 【解答】解：如图： 由题意得：∠ABC＝70°，AB∥CD， ∴∠ABC＝∠DCB＝70°， ∴淇淇家位于西柏坡的北偏东70°方向， 故选：D． 2．（2022•河北）①～④是由相同的小正方体粘在一起的几何体，若组合其中的两个，恰是由6个小正方体构成的长方体，则应选择（　　） A．①③ B．②③ C．③④ D．①④ 【答案】D 【解答】解：由题意知，组合后的几何体是长方体且由6个小正方体构成， ∴①④符合要求， 故选：D． 3．（2022•河北）依据所标数据，下列一定为平行四边形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解：A、80°+110°≠180°，故A选项不符合条件； B、只有一组对边平行不能确定是平行四边形，故B选项不符合题意； C、不能判断出任何一组对边是平行的，故C选项不符合题意； D、有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，故D选项符合题意； 故选：D． 4．（2022•河北）如图，将三角形纸片剪掉一角得四边形，设△ABC与四边形BCDE的外角和的度数分别为α，β，则正确的是（　　） A．α﹣β＝0 B．α﹣β＜0 C．α﹣β＞0 D．无法比较α与β的大小 【答案】A 【解答】解：∵任意多边形的外角和为360°， ∴α＝β＝360°． ∴α﹣β＝0． 故选：A． 5．（2022•河北）某款“不倒翁”（图1）的主视图是图2，PA，PB分别与所在圆相切于点A，B．若该圆半径是9cm，∠P＝40°，则的长是（　　） A．11πcm B．πcm C．7πcm D．πcm 【答案】A 【解答】解：OA⊥PA，OB⊥PB，OA，OB交于点O，如图， ∴∠OAP＝∠OBP＝90°， ∵∠P＝40°， ∴∠AOB＝140°， ∴优弧AMB对应的圆心角为360°﹣140°＝220°， ∴优弧AMB的长是：11π（cm）， 故选：A． 6．（2022•河北）要得知作业纸上两相交直线AB，CD所夹锐角的大小，发现其交点不在作业纸内，无法直接测量．两同学提供了如下间接测量方案（如图1和图2）： 对于方案Ⅰ、Ⅱ，说法正确的是（　　） A．Ⅰ可行、Ⅱ不可行 B．Ⅰ不可行、Ⅱ可行 C．Ⅰ、Ⅱ都可行 D．Ⅰ、Ⅱ都不可行 【答案】C 【解答】解：方案Ⅰ，∵∠HEN＝∠CFG， ∴MN∥CD， 根据两直线平行，内错角相等可知，直线AB，CD所夹锐角与∠AEM相等， 故方案Ⅰ可行， 方案Ⅱ，根据三角形内角和定理可知，直线AB，CD所夹锐角与180°﹣∠AEH﹣∠CFG相等， 故方案Ⅱ可行， 故选：C． 7．（2022•河北）平面内，将长分别为1，5，1，1，d的线段，顺次首尾相接组成凸五边形（如图），则d可能是（　　） A．1 B．2 C．7 D．8 【答案】C 【解答】解：∵平面内，将长分别为1，5，1，1，d的线段，顺次首尾相接组成凸五边形， ∴1+d+1+1＞5且1+5+1+1＞d， ∴d的取值范围为：2＜d＜8， ∴则d可能是7． 故选：C． 8．（2022•河北）题目：“如图，∠B＝45°，BC＝2，在射线BM上取一点A，设AC＝d，若对于d的一个数值，只能作出唯一一个△ABC，求d的取值范围．”对于其答案，甲答：d≥2，乙答：d＝1.6，丙答：d，则正确的是（　　） A．只有甲答的对 B．甲、丙答案合在一起才完整 C．甲、乙答案合在一起才完整 D．三人答案合在一起才完整 【答案】B 【解答】解：由题意知，当CA⊥BA或CA＞BC时，能作出唯一一个△ABC， ①当CA⊥BA时， ∵∠B＝45°，BC＝2， ∴AC＝BC•sin45°＝2， 即此时d， ②当CA＝BC时， ∵∠B＝45°，BC＝2， ∴此时AC＝2， 即d≥2， 综上，当d或d≥2时能作出唯一一个△ABC， 故选：B． 9．（2023•河北）如图，点P1～P8是⊙O的八等分点．若△P1P3P7，四边形P3P4P6P7的周长分别为a，b，则下列正确的是（　　） A．a＜b B．a＝b C．a＞b D．a，b大小无法比较 【答案】A 【解答】解：连接P4P5，P5P6． ∵点P1～P8是⊙O的八等分点， ∴P3P4＝P4P5＝P5P6＝P6P7，P1P7＝P1P3＝P4P6， ∴b﹣a＝P3P4+P7P6﹣P1P3， ∵P5P4+P5P6＞P4P6， ∴P3P4+P7P6＞P1P3， ∴b﹣a＞0， ∴a＜b， 故选：A． 10．（2023•河北）综合实践课上，嘉嘉画出△ABD，利用尺规作图找一点C，使得四边形ABCD为平行四边形．（1）～（3）是其作图过程． （1）作BD的垂直平分线交BD于点O； （2）连接AO，在AO的延长线上截取OC＝AO； （3）连接DC，BC，则四边形ABCD即为所求． 在嘉嘉的作法中，可直接判定四边形ABCD为平行四边形的条件是（　　） A．两组对边分别平行 B．两组对边分别相等 C．对角线互相平分 D．一组对边平行且相等 【答案】C 【解答】解：由作图得：DO＝BO，AO＝CO， ∴四边形ABCD为平行四边形， 故选：C． 11．（2023•河北）如图，直线l1∥l2，菱形ABCD和等边△EFG在l1，l2之间，点A，F分别在l1，l2 上，点B，D、E、G在同一直线上．若∠α＝50°，∠ADE＝146°，则∠β＝（　　） A．42° B．43° C．44° D．45° 【答案】C 【解答】解：如图，延长BG， ∵∠ADE＝146°， ∴∠ADB＝180°﹣∠ADE＝34°， ∵∠α＝∠ADB+∠AHD， ∴∠AHD＝∠α﹣∠ADB＝50°﹣34°，＝16°， ∵l1∥l2， ∴∠GIF＝∠AHD＝16°， ∵∠EGF＝∠β+∠GIF， ∵△EFG是等边三角形， ∴∠EGF＝60°， ∴∠β＝∠EGF﹣∠GIF＝60°﹣16°＝44°， 故选：C． 12．（2023•河北）在△ABC和△A'B'C′中，∠B＝∠B'＝30°，AB＝A'B'＝6，AC＝A'C′＝4，已知∠C＝n°，则∠C′＝（　　） A．30° B．n° C．n°或180°﹣n° D．30°或150° 【答案】C 【解答】解：当BC＝B′C′时，△ABC≌△A′B′C′（SSS）， ∴∠C′＝∠C＝n°， 当BC≠B′C′时，如图， ∵A′C′＝A′C″， ∴∠A′C″C′＝∠C′＝n°， ∴∠A′C″B′＝180°﹣n°， ∴∠C′＝n°或180°﹣n°， 故选：C． 13．（2023•河北）如图，在Rt△ABC中，AB＝4，点M是斜边BC的中点，以AM为边作正方形AMEF．若S正方形AMEF＝16，则S△ABC＝（　　） A．4 B．8 C．12 D．16 【答案】B 【解答】解：∵四边形AMEF是正方形， 又∵S正方形AMEF＝16， ∴AM2＝16， ∴AM＝4， 在Rt△ABC中，点M是斜边BC的中点， ∴， 即BC＝2AM＝8， 在Rt△ABC中，AB＝4， ∴， ∴， 故选：B． 14．（2024•河北）下面是嘉嘉作业本上的一道习题及解答过程： 已知：如图，△ABC中，AB＝AC，AE平分△ABC的外角∠CAN，点M是AC的中点，连接BM并延长交AE于点D，连接CD．求证：四边形ABCD是平行四边形． 证明：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠3． ∵∠CAN＝∠ABC+∠3，∠CAN＝∠1+∠2，∠1＝∠2， ∴①______． 又∵∠4＝∠5，MA＝MC， ∴△MAD≌△MCB（②______）． ∴MD＝MB．∴四边形ABCD是平行四边形． 若以上解答过程正确，①，②应分别为（　　） A．∠1＝∠3，AAS B．∠1＝∠3，ASA C．∠2＝∠3，AAS D．∠2＝∠3，ASA 【答案】D 【解答】证明：∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠3， ∵∠CAN＝∠ABC+∠3，∠CAN＝∠1+∠2，∠1＝∠2， ∴∠2＝∠3， ∵点M是AC的中点， ∴MA＝MC， 在△MAD和△MCB中， ， ∴△MAD≌△MCB（ASA）， ∴MD＝MB， ∴四边形ABCD是平行四边形． ∴①，②分别为∠2＝∠3，ASA， 故选：D． 15．（2024•河北）直线l与正六边形ABCDEF的边AB，EF分别相交于点M，N，如图所示，则α+β＝（　　） A．115° B．120° C．135° D．144° 【答案】B 【解答】解：正六边形每个内角为：， 而六边形MBCDEN的内角和也为（6﹣2）×180°＝720°， ∴∠B+∠C+∠D+∠E+∠ENM+∠NMB＝720°， ∴∠ENM+∠NMB＝720°﹣4×120°＝240°， ∵β+∠ENM+α+∠NMB＝180°×2＝360°， ∴α+β＝360°﹣240°＝120°， 故选：B． 16．（2024•河北）在平面直角坐标系中，我们把一个点的纵坐标与横坐标的比值称为该点的“特征值”．如图，矩形ABCD位于第一象限，其四条边分别与坐标轴平行，则该矩形四个顶点中“特征值”最小的是（　　） A．点A B．点B C．点C D．点D 【答案】B 【解答】解：设A（a，b），AB＝m，AD＝n， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AD＝BC＝n，AB＝CD＝m， ∴D（a，b+n），B（a+m，b），C（a+m，b+n）， ∵，而， ∴该矩形四个顶点中“特征值”最小的是点B； 故选：B． 17．（2024•河北）扇文化是中华优秀传统文化的组成部分，在我国有着深厚的底蕴．如图，某折扇张开的角度为120°时，扇面面积为S，该折扇张开的角度为n°时，扇面面积为Sn，若m，则m与n关系的图象大致是（　　） A．B． C． D． 【答案】C 【解答】解：设该扇子所在圆的半径为R， S， ∴πR2﹣πr2＝3S， ∵该折扇张开的角度为n°时，扇面面积为Sn， ∴Sn， ∴m， ∴m是n的正比例函数， ∵0≤n≤360， ∴它的图象是过原点的一条线段， 故选：C． 18．（2024•河北）观察图中尺规作图的痕迹，可得线段BD一定是△ABC的（　　） A．角平分线 B．高线 C．中位线 D．中线 【答案】B 【解答】解：由作图可知BD⊥AC，故线段BD是△ABC的高． 故选：B． 19．四边形ABCD的边长如图所示，对角线AC的长度随四边形形状的改变而变化．当△ABC为等腰三角形时，对角线AC的长为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【解答】解：∵△ABC为等腰三角形， ∴AB＝AC或AC＝BC， 当AC＝BC＝4时，AD+CD＝AC＝4，此时不满足三角形三边关系定理， 当AC＝AB＝3时．满足三角形三边关系定理， ∴AC＝3． 故选：B． 二．填空题（共1小题） 20．（2023•河北）将三个相同的六角形螺母并排摆放在桌面上，其俯视图如图1，正六边形边长为2且各有一个顶点在直线l上．两侧螺母不动，把中间螺母抽出并重新摆放后，其俯视图如图2，其中，中间正六边形的一边与直线l平行，有两边分别经过两侧正六边形的一个顶点．则图2中： （1）∠α＝　30　度； （2）中间正六边形的中心到直线l的距离为 　2　（结果保留根号）． 【答案】30；2． 【解答】解：（1）作图如图所示， ∵多边形是正六边形， ∴∠ACB＝60°， ∵BC∥直线l， ∴∠ABC＝90°， ∴α＝30°； 故答案为：30°； （2）取中间正六边形的中心为O， 作图如图所示，由题意得，AG∥BF，AB∥GF，BF⊥AB， ∴四边形ABFG为矩形， ∴AB＝GF， ∵∠BAC＝∠FGH，∠ABC＝∠GFH＝90°， ∴△ABC≌△GFH（SAS）， ∴BC＝FH， 在Rt△PDE中，DE＝1，PE， 由图1知AG＝BF＝2PE＝2，OM＝PE， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． ∴中间正六边形的中心到直线l的距离为2， 故答案为：2． 三．解答题（共5小题） 21．（2022•河北）如图1，四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，∠C＝30°，AD＝3，AB＝2，DH⊥BC于点H．将△PQM与该四边形按如图方式放在同一平面内，使点P与A重合，点B在PM上，其中∠Q＝90°，∠QPM＝30°，PM＝4． （1）求证：△PQM≌△CHD； （2）△PQM从图1的位置出发，先沿着BC方向向右平移（图2），当点P到达点D后立刻绕点D逆时针旋转（图3），当边PM旋转50°时停止． ①边PQ从平移开始，到绕点D旋转结束，求边PQ扫过的面积； ②如图2，点K在BH上，且BK＝9﹣4．若△PQM右移的速度为每秒1个单位长，绕点D旋转的速度为每秒5°，求点K在△PQM区域（含边界）内的时长； ③如图3，在△PQM旋转过程中，设PQ，PM分别交BC于点E，F，若BE＝d，直接写出CF的长（用含d的式子表示）． 【答案】（1）证明见解析部分； （2）①95π； ②（43）s； ③． 【解答】（1）证明：∵四边形ABHD是矩形， ∴AB＝DH＝2，∠DHB＝∠DHC＝90°， 在Rt△AQM中，∠Q＝90°，∠QAM＝30°，AM＝4， ∴QMAM＝2， ∴QM＝DH， ∵∠Q＝∠DHC＝90°，∠QAM＝∠C＝30°， 在△PQM和△CHD中， ， ∴△PQM≌△CHD（AAS）； （2）解：①如图1中，PQ扫过的面积＝平行四边形AQQ′D的面积+扇形DQ′Q″的面积． 设QQ′交AM于点T． ∵AQQM＝6，QT⊥AM， ∴AT＝AQ•cos30°＝3， ∴PQ扫过的面积＝3×395π； ②如图2﹣1中，连接DK．当DM运动到与DH重合时， ∵BH＝AD＝3，BK＝9﹣4， ∴KH＝3﹣（9﹣4）＝46， ∴CK＝46+6＝4， ∵CD＝2DH＝4， ∴CD＝CK， ∴∠CKD（180°﹣30°）＝75°， ∴∠KDH＝15°， ∵∠QDK＝30°﹣15°＝15°， ∴点K在△PQM区域（含边界）内的时长（43）s； ③如图3中， 在Rt△CDH中，DH＝2，∠C＝30°， ∴CHDH＝6， ∵BH＝3，BE＝d， ∴EH＝|3﹣d|， ∵DH＝2，∠DHE＝90°， ∴DE2＝EH2+DH2＝（3﹣d）2+（2）2， ∵∠DEF＝∠CED，∠EDF＝∠C＝30°， ∴△DEF∽△CED， ∴DE2＝EF•EC， ∴（3﹣d）2+12＝EF•（9﹣d）， ∴EF， ∴CF＝BC﹣BE﹣EF＝9﹣d． 22．（2023•河北）如图1和图2，平面上，四边形ABCD中，AB＝8，，CD＝12，DA＝6．∠A＝90°，点M在AD边上，且DM＝2．将线段MA绕点M顺时针旋转n°（0＜n≤180）到MA'，∠A′MA的平分线MP所在直线交折线AB﹣BC于点P，设点P在该折线上运动的路径长为x（x＞0），连接A′P． （1）若点P在AB上，求证：A'P＝AP； （2）如图2，连接BD． ①求∠CBD的度数，并直接写出当n＝180时，x的值； ②若点P到BD的距离为2，求tan∠A′MP的值； （3）当0＜x≤8时，请直接写出点A′到直线AB的距离（用含x的式子表示）． 【解答】（1）证明：∵将线段MA绕点M顺时针旋转n° （0＜n≤180）得到MA′， ∴A′M＝AM， ∵∠A′MA的平分线MP所在的直线交折线AB﹣BC于点P， ∴∠A′MP＝∠AMP， ∵PM＝PM， ∴△A′MP≌△AMP（SAS）， ∴A′P＝AP； （2）解：①∵AB＝8，DA＝6，∠A＝90°， ∴BD10， 又∵，CD＝12， ∴BD2+BC2＝100+44＝144，CD2＝144， ∴BD2+BC2＝CD2， ∴∠CBD＝90°； 如图2所示，当n＝180时，设MP交BD与点N． ∵PM平分∠A′MA．∠PMA＝90°， ∴PM∥AB， ∴△DNM∽△DBA， ∴， ∵DM＝2，DA＝6， ∴， ∴， ∴， ∵∠PBN＝∠NMD＝90°，∠PNB＝∠DNM， ∴△PBN∽△DMN， ∴，即 ， ∴PB＝5， ∴x＝AB+PB＝8+5＝13． ②如图所示，当P点在AB上时，PQ＝2，∠A′MP＝∠AMP， ∴AB＝8，DA＝6，∠A＝90°， ∴， ∴， ∴BP， ∴， ∴tan∠AMP， 如图所示，当P在BC上时，则PB＝2，过点P作PQ⊥AB交AB的延长线于点Q，延长MP交AB的延长线于点H， ∵∠PQB＝∠CBD＝∠DAB＝90°， ∴∠QPB＝90°﹣∠PBQ＝∠DBA， ∴△PQB∽△BAD， ∴，即 ， ∴，， ∴， ∵PQ⊥AB，DA⊥AB， ∴PQ∥AD， ∴△HPQ∽△HMA， ∴， ∴， 解得：， ∴tan∠AMP＝tan∠QPH， 综上所述，tan∠A′MP的值为或； （3）解：∵当0＜x≤8时， ∴P在AB上， 如图所示，过点A′作A′F⊥AD于点F，过点P作PE⊥A′F于点E，则四边形AFEP是矩形， 由△A′PE∽△MA'F， ∴， ∵A′P＝AP＝x，MA′＝MA＝4，设 A′F＝y，PE＝h， 即 ∴，4（x﹣y）＝x（h﹣4）， ∴， 整理得 ， 即点A′到直线AB的距离为． 解法二：连接AA′交PM于点G，过点A′作A′H⊥AB于点H． ∵MA＝MA′，∠PMA＝∠PMA′， ∴PM⊥AA′，GA＝GA′， ∵AP＝x，AM＝4， ∴PM， ∴AG， ∴AA′＝2AG， ∵PG＝PA•coS∠APM， ∵PA•A′H•AA′•PG， ∴A′H． 23．（2023•河北）装有水的水槽放置在水平台面上，其横截面是以AB为直径的半圆O，AB＝50cm，如图1和图2所示，MN为水面截线，GH为台面截线，MN∥GH． 计算：在图1中，已知MN＝48cm，作OC⊥MN于点C． （1）求OC的长． 操作：将图1中的水槽沿GH向右作无滑动的滚动，使水流出一部分，当∠ANM＝30°时停止滚动．如图2．其中，半圆的中点为Q，GH与半圆的切点为E，连接OE交MN于点D． 探究：在图2中． （2）操作后水面高度下降了多少？ （3）连接OQ并延长交GH于点F，求线段EF与的长度，并比较大小． 【解答】解：（1）连接OM， ∵O为圆心，OC⊥MN于点C，MN＝48cm， ∴MCMN＝24cm， ∵AB＝50cm， ∴OMAB＝25cm， 在Rt△OMC 中，OC7（cm）； （2）∵GH与半圆的切点为E， ∴OE⊥GH， ∵MN∥GH， ∴OE⊥MN于点D， ∵∠ANM＝30°，ON＝25cm， ∴， ∴操作后水面高度下降高度为：； （3）∵OE⊥MN于点D，∠ANM＝30°， ∴∠DOB＝60°， ∵半圆的中点为Q， ∴， ∴∠QOB＝90°， ∴∠QOE＝30°， ∴EF＝tan∠QOE•OE（cm）， 的长为（cm）， ∵0， ∴EF． 24．（2024•河北）情境 图1是由正方形纸片去掉一个以中心O为顶点的等腰直角三角形后得到的．该纸片通过裁剪，可拼接为图2所示的钻石型五边形，数据如图所示． （说明：纸片不折叠，拼接不重叠无缝隙无剩余） 操作 嘉嘉将图1所示的纸片通过裁剪，拼成了钻石型五边形． 如图3，嘉嘉沿虚线EF，GH裁剪，将该纸片剪成①，②，③三块，再按照图4所示进行拼接．根据嘉嘉的剪拼过程，解答问题： （1）直接写出线段EF的长； （2）直接写出图3中所有与线段BE相等的线段，并计算BE的长． 探究 淇淇说：将图1所示纸片沿直线裁剪，剪成两块，就可以拼成钻石型五边形． 请你按照淇淇的说法设计一种方案：在图5所示纸片的BC边上找一点P（可以借助刻度尺或圆规），画出裁剪线（线段PQ）的位置，并直接写出BP的长． 【答案】（1）1； （2），BE＝GE＝AH＝GH；BP的长为或． 【解答】解：（1）如图，过G′作G′K⊥FH′于K，结合题意可得：四边形FOG′K为矩形， ∴FO＝KG'， 由拼接可得：HF＝FO＝KG'， 由正方形的性质可得：∠A＝45°， ∴△AHG，ΔH′G'D，△AFE为等腰直角三角形， ∴△GKH'为等腰直角三角形， 设H′K＝KG'＝x， ∴H′G′＝H′Dx， ∴，HF＝FO＝x， ∵正方形的边长为2， ∴对角线的长， ∴， ∴， 解得：， ∴； （2）∵△AFE为等腰直角三角形，EF＝AF＝1； ∴， ∴， ∵，， ∴BE＝GE＝AH＝GH； 如图，以B为圆心，BO为半径画弧交BC于P'，交AB于Q'，则直线P'Q'为分割线， 此时，，符合要求， 或以C圆心，CO为半径画弧，交BC于P，交CD于Q，则直线PQ为分割线， 此时，， ∴， 综上：BP的长为或． 25．（2024•河北）已知⊙O的半径为3，弦MN＝2．△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝3．在平面上，先将△ABC和⊙O按图1位置摆放（点B与点N重合，点A在⊙O上，点C在⊙O内），随后移动△ABC，使点B在弦MN上移动，点A始终在⊙O上随之移动．设BN＝x． （1）当点B与点N重合时，求劣弧的长； （2）当OA∥MN时，如图2，求点B到OA的距离，并求此时x的值； （3）设点O到BC的距离为d． ①当点A在劣弧上，且过点A的切线与AC垂直时，求d的值； ②直接写出d的最小值． 【答案】（1）劣弧的长为π； （2）点B到OA的距离为2，x的值为3； （3）d的最小值为． 【解答】解：如图，连接OA，OB， ∵⊙O的半径为3，AB＝3， ∴OA＝OB＝AB＝3， ∴△AOB 为等边三角形， ∴∠AOB＝60°， ∴ 的长为π， ∴劣弧的长为π； （2）过B作BI⊥OA于I，过O作OH⊥MN于H，连接MO，如图： ∵OA∥MN， ∴∠IBH＝∠BHO＝∠HOI＝∠BIO＝90°， ∴四边形BIOH是矩形， ∴BH＝OI，BI＝OH， ∵，OH⊥MN， ∴， 而OM＝3， ∴， ∴点B到OA的距离为2； ∵AB＝3，BI⊥OA， ∴， ∴， ∴； （3）①过O作OJ⊥BC于J，过O作OK⊥AB于K，如图： ∵∠ABC＝90°，过点A的切线与AC垂直， ∴AC过圆心， ∴四边形KOJB为矩形， ∴OJ＝KB， ∵AB＝3，， ∴， ∴， ∴， ∴，即 ； ②如图，当B为MN中点时，过O作OL⊥B′C′于L，过O作OJ⊥BC于J， ∵∠OJL＞90°， ∴OL＞OJ，故当B为MN中点时，d最短小， 过A作AQ⊥OB于Q， ∵B为MN中点， ∴OB⊥MN， 同（2）可得OB＝2， ∴BQ＝OQ＝1， ∴， ∵∠ABC＝90°＝∠AQB， ∴∠OBJ+∠ABO＝90°＝∠ABO+∠BAQ， ∴∠OBJ＝∠BAQ， ∴tan∠OBJ＝tan∠BAQ， ∴， 设OJ＝m，则 ， ∵OJ2+BJ2＝OB2， ∴， 解得： （m的负值已舍去）， ∴OJ的最小值为 ，即d的最小值为． ( — 1 — ) 学科网（北京）股份有限公司 $$