函数-河北中考数学三年（2022-2024）真题知识点分类汇编

三年河北中考数学真题分类汇编之函数 一．选择题（共5小题） 1．（2024•河北）平面直角坐标系中，我们把横、纵坐标都是整数，且横、纵坐标之和大于0的点称为“和点”．将某“和点”平移，每次平移的方向取决于该点横、纵坐标之和除以3所得的余数（当余数为0时，向右平移；当余数为1时，向上平移；当余数为2时，向左平移），每次平移1个单位长度． 例：“和点”P（2，1）按上述规则连续平移3次后，到达点P3（2，2），其平移过程如下：．若“和点”Q按上述规则连续平移16次后，到达点Q16（﹣1，9），则点Q的坐标为（　　） A．（6，1）或（7，1） B．（15，﹣7）或（8，0） C．（6，0）或（8，0） D．（5，1）或（7，1） 2．（2023•河北）如图是一种轨道示意图，其中和均为半圆，点M，A，C，N依次在同一直线上，且AM＝CN．现有两个机器人（看成点）分别从M，N两点同时出发，沿着轨道以大小相同的速度匀速移动，其路线分别为M→A→D→C→N和N→C→B→A→M．若移动时间为x，两个机器人之间距离为y．则y与x关系的图象大致是（　　） A．B． C． D． 3．（2022•河北）某项工作，已知每人每天完成的工作量相同，且一个人完成需12天．若m个人共同完成需n天，选取6组数对（m，n），在坐标系中进行描点，则正确的是（　　） A． B．C．D． 4．（2024•河北）节能环保已成为人们的共识．淇淇家计划购买500度电，若平均每天用电x度，则能使用y天．下列说法错误的是（　　） A．若x＝5，则y＝100 B．若y＝125，则x＝4 C．若x减小，则y也减小 D．若x减小一半，则y增大一倍 5．（2023•河北）已知二次函数y＝﹣x2+m2x和y＝x2﹣m2（m是常数）的图象与x轴都有两个交点，且这四个交点中每相邻两点间的距离都相等，则这两个函数图象对称轴之间的距离为（　　） A．2 B．m2 C．4 D．2m2 二．填空题（共1小题） 6．（2023•河北）如图，已知点A（3，3），B（3，1），反比例函数 图象的一支与线段AB有交点，写出一个符合条件的k的整数值：　 　． 三．解答题（共5小题） 7．（2022•河北）如图，平面直角坐标系中，线段AB的端点为A（﹣8，19），B（6，5）． （1）求AB所在直线的解析式； （2）某同学设计了一个动画： 在函数y＝mx+n（m≠0，y≥0）中，分别输入m和n的值，使得到射线CD，其中C（c，0）．当c＝2时，会从C处弹出一个光点P，并沿CD飞行；当c≠2时，只发出射线而无光点弹出． ①若有光点P弹出，试推算m，n应满足的数量关系； ②当有光点P弹出，并击中线段AB上的整点（横、纵坐标都是整数）时，线段AB就会发光．求此时整数m的个数． 8．（2023•河北）在平面直角坐标系中，设计了点的两种移动方式：从点（x，y）移动到点 （x+2，y+1）称为一次甲方式；从点（x，y）移动到点（x+1，y+2）称为一次乙方式． 例点P从原点O出发连续移动2次：若都按甲方式，最终移动到点M（4，2）；若都按乙方式，最终移动到点N（2，4）；若按1次甲方式和1次乙方式，最终移动到点E（3，3）． （1）设直线l1经过上例中的点M、N，求l1的解析式，并直接写出将l1向上平移9个单位长度得到的直线l2的解析式； （2）点P从原点O出发连续移动10次，每次移动按甲方式或乙方式，最终移动到点Q（x，y）．其中，按甲方式移动了m次． ①用含m的式子分别表示x，y； ②请说明：无论m怎样变化，点Q都在一条确定的直线上．设这条直线为l3，在图中直接画出l3的图象； （3）在（1）和（2）中的直线l1，l2，l3上分别有一个动点A，B，C，横坐标依次为a，b，c，若A，B，C三点始终在一条直线上，直接写出此时a，b，c之间的关系式． 9．（2024•河北）如图，抛物线C1：y＝ax2﹣2x过点（4，0），顶点为Q．抛物线C2：y（x﹣t）2t2﹣2（其中t为常数，且t＞2），顶点为P． （1）直接写出a的值和点Q的坐标． （2）嘉嘉说：无论t为何值，将C1的顶点Q向左平移2个单位长度后一定落在C2上． 淇淇说：无论t为何值，C2总经过一个定点． 请选择其中一人的说法进行说理． （3）当t＝4时， ①求直线PQ的解析式； ②作直线l∥PQ，当l与C2的交点到x轴的距离恰为6时，求l与x轴交点的横坐标． （4）设C1与C2的交点A，B的横坐标分别为xA，xB，且xA＜xB，点M在C1上，横坐标为m（2≤m≤xB）．点N在C2上，横坐标为n（xA≤n≤t），若点M是到直线PQ的距离最大的点，最大距离为d，点N到直线PQ的距离恰好也为d，直接用含t和m的式子表示n． 10．（2023•河北）嘉嘉和淇淇在玩沙包游戏．某同学借此情境编制了一道数学题，请解答这道题． 如图，在平面直角坐标系中，一个单位长度代表1m长．嘉嘉在点A（6，1）处将沙包（看成点）抛出，其运动路线为抛物线C1：y＝a（x﹣3）2+2 的一部分，淇淇恰在点B（0，c）处接住，然后跳起将沙包回传，其运动路线为抛物线C2：的一部分． （1）写出C1的最高点坐标，并求a，c的值； （2）若嘉嘉在x轴上方1m的高度上，且到点A水平距离不超过1m的范围内可以接到沙包，求符合条件的n的整数值． 11．（2022•河北）如图，点P（a，3）在抛物线C：y＝4﹣（6﹣x）2上，且在C的对称轴右侧． （1）写出C的对称轴和y的最大值，并求a的值； （2）坐标平面上放置一透明胶片，并在胶片上描画出点P及C的一段，分别记为P′，C′．平移该胶片，使C′所在抛物线对应的函数恰为y＝﹣x2+6x﹣9．求点P′移动的最短路程． 三年河北中考数学真题分类汇编之函数 参考答案与试题解析 一．选择题（共5小题） 1．（2024•河北）平面直角坐标系中，我们把横、纵坐标都是整数，且横、纵坐标之和大于0的点称为“和点”．将某“和点”平移，每次平移的方向取决于该点横、纵坐标之和除以3所得的余数（当余数为0时，向右平移；当余数为1时，向上平移；当余数为2时，向左平移），每次平移1个单位长度． 例：“和点”P（2，1）按上述规则连续平移3次后，到达点P3（2，2），其平移过程如下：． 若“和点”Q按上述规则连续平移16次后，到达点Q16（﹣1，9），则点Q的坐标为（　　） A．（6，1）或（7，1） B．（15，﹣7）或（8，0） C．（6，0）或（8，0） D．（5，1）或（7，1） 【答案】D 【解答】解：根据已知：点P3（2，2）横、纵坐标之和除以3所得的余数为1，继而向上平移1个单位得到P4（2，3），此时横、纵坐标之和除以3所得的余数为2，继而向左平移1个单位得到P5（1，3），此时横、纵坐标之和除以3所得的余数为1，又向上平移1个单位………，因此发现规律为若“和点”横、纵坐标之和除以3所得的余数为0时，先向右平移1个单位，再按照向上、向左，向上、向左不断重复的规律平移； 若“和点”Q按上述规则连续平移16次后，到达点Q16（﹣1.9），则按照“和点”Q16 反向运动16次即可，可以分为两种情况： ①Q16先向右1个单位得到Q15（0，9），此时横、纵坐标之和除以3所得的余数为0，应该是Q15向右平移1个单位得到Q16，故矛盾，不成立； ②Q16先向下1个单位得到Q15（﹣1，8），此时横、纵坐标之和除以3所得的余数为1，则应该向上平移1个 单位得到Q16，故符合题意， ∴点Q16先向下平移，再向右平移，当平移到第15次时，共计向下平移了8次，向右平移了7次，此时坐标为（﹣1+7，9﹣8），即（6，1）， ∴最后一次若向右平移则为（7，1），若向左平移则为（5，1）， 故选：D． 2．（2023•河北）如图是一种轨道示意图，其中和均为半圆，点M，A，C，N依次在同一直线上，且AM＝CN．现有两个机器人（看成点）分别从M，N两点同时出发，沿着轨道以大小相同的速度匀速移动，其路线分别为M→A→D→C→N和N→C→B→A→M．若移动时间为x，两个机器人之间距离为y．则y与x关系的图象大致是（　　） A．B． C． D． 【答案】D 【解答】解：由题意可得：机器人（看成点）分别从M，N两点同时出发，设圆的半径为R， ∴两个机器人最初的距离是AM+CN+2R， ∵两个机器人速度相同， ∴同时到达点A，C， ∴两个机器人之间的距离y越来越小，故排除A、C； 当两个机器人分别沿A→D→C和C→B→A移动时，此时两个机器人之间的距离是2R，保持不变， 当机器人分别沿C→N和A→M移动时，此时两个机器人之间的距离越来越大，故排除B； 故选：D． 3．（2022•河北）某项工作，已知每人每天完成的工作量相同，且一个人完成需12天．若m个人共同完成需n天，选取6组数对（m，n），在坐标系中进行描点，则正确的是（　　） A．B．C．D． 【答案】C 【解答】解：∵一个人完成需12天， ∴一人一天的工作量为， ∵m个人共同完成需n天， ∴一人一天的工作量为， ∵每人每天完成的工作量相同， ∴mn＝12． ∴n， ∴n是m的反比例函数， ∴选取6组数对（m，n），在坐标系中进行描点，则正确的是：C． 故选：C． 4．（2024•河北）节能环保已成为人们的共识．淇淇家计划购买500度电，若平均每天用电x度，则能使用y天．下列说法错误的是（　　） A．若x＝5，则y＝100 B．若y＝125，则x＝4 C．若x减小，则y也减小 D．若x减小一半，则y增大一倍 【答案】C 【解答】解：由题意得，； A、若x＝5，则y100，正确，故此选项不符合题意； B、若y＝125，则，解得x＝4，正确，故此选项不符合题意； C、若x减小，则y增大，原说法错误，故此选项符合题意； D、若x减小一半，即y'，所以y增大一倍，正确，故此选项不符合题意； 故选：C． 5．（2023•河北）已知二次函数y＝﹣x2+m2x和y＝x2﹣m2（m是常数）的图象与x轴都有两个交点，且这四个交点中每相邻两点间的距离都相等，则这两个函数图象对称轴之间的距离为（　　） A．2 B．m2 C．4 D．2m2 【答案】A 【解答】解：令y＝0，则﹣x2+m2x＝0和x2﹣m2＝0， ∴x＝0或x＝m2或x＝﹣m或x＝m， ∵这四个交点中每相邻两点间的距离都相等， 若m＞0，则m2＝2m， ∴m＝2， 若m＜0时，则m2＝﹣2m， ∴m＝﹣2． ∵抛物线y＝x2﹣m2的对称轴为直线x＝0，抛物线y＝﹣x2+m2x的对称轴为直线x， ∴这两个函数图象对称轴之间的距离2． 故选：A． 二．填空题（共1小题） 6．（2023•河北）如图，已知点A（3，3），B（3，1），反比例函数 图象的一支与线段AB有交点，写出一个符合条件的k的整数值：　k＝4（答案不唯一）　． 【解答】解：由图可知：k＞0， ∵反比例函数y（k＞0）的图象与线段AB有交点，且点A（3，3），B（3，1）， ∴把B （3，1）代入y得，k＝3， 把A（3，3）代入y得，k＝3×3＝9， ∴满足条件的k值的范围是3≤k≤9的整数， 故k＝4（答案不唯一）， 故答案为：k＝4（答案不唯一）． 三．解答题（共5小题） 7．（2022•河北）如图，平面直角坐标系中，线段AB的端点为A（﹣8，19），B（6，5）． （1）求AB所在直线的解析式； （2）某同学设计了一个动画： 在函数y＝mx+n（m≠0，y≥0）中，分别输入m和n的值，使得到射线CD，其中C（c，0）．当c＝2时，会从C处弹出一个光点P，并沿CD飞行；当c≠2时，只发出射线而无光点弹出． ①若有光点P弹出，试推算m，n应满足的数量关系； ②当有光点P弹出，并击中线段AB上的整点（横、纵坐标都是整数）时，线段AB就会发光．求此时整数m的个数． 【答案】（1）y＝﹣x+11； （2）①2m+n＝0； ②5个． 【解答】解：（1）设直线AB的解析式为y＝kx+b， 把A（﹣8，19），B（6，5）代入，得， 解得， ∴直线AB的解析式为y＝﹣x+11； （2）①由题意直线y＝mx+n经过点（2，0）， ∴2m+n＝0； ②∵线段AB上的整数点有15个：（﹣8，19），（﹣7，18），（﹣6，17），（﹣5，16），（﹣4，15），（﹣3，14），（﹣2，13），（﹣1，12），（0，11），（1，10），（2，9），（3，8），（4，7），（5，6），（6，5）． 当射线CD经过（2，0），（﹣7，18）时，y＝﹣2x+4，此时m＝﹣2，符合题意， 当射线CD经过（2，0），（﹣1，12）时，y＝﹣4x+8，此时m＝﹣4，符合题意， 当射线CD经过（2，0），（1，10）时，y＝﹣10x+20，此时m＝﹣10，符合题意， 当射线CD经过（2，0），（3，8）时，y＝8x﹣16，此时m＝8，符合题意， 当射线CD经过（2，0），（5，6）时，y＝2x﹣4，此时m＝2，符合题意， 其他点，都不符合题意． 解法二：设线段AB上的整数点为（t，﹣t+11），则tm+n＝﹣t+11， ∵2m+n＝0， ∴（t﹣2）m＝﹣t+11， ∴m1， ∵﹣8≤t≤6，且t为整数，m也是整数， ∴t﹣2＝±1，±3，±9， ∴t＝1，m＝﹣10， t＝3，m＝8， t＝5，m＝2， t＝﹣1，m＝﹣4， t＝﹣7，m＝﹣2， t＝11，m＝0（不符合题意舍去）， 综上所述，符合题意的m的值有5个 8．（2023•河北）在平面直角坐标系中，设计了点的两种移动方式：从点（x，y）移动到点 （x+2，y+1）称为一次甲方式；从点（x，y）移动到点（x+1，y+2）称为一次乙方式． 例点P从原点O出发连续移动2次：若都按甲方式，最终移动到点M（4，2）；若都按乙方式，最终移动到点N（2，4）；若按1次甲方式和1次乙方式，最终移动到点E（3，3）． （1）设直线l1经过上例中的点M、N，求l1的解析式，并直接写出将l1向上平移9个单位长度得到的直线l2的解析式； （2）点P从原点O出发连续移动10次，每次移动按甲方式或乙方式，最终移动到点Q（x，y）．其中，按甲方式移动了m次． ①用含m的式子分别表示x，y； ②请说明：无论m怎样变化，点Q都在一条确定的直线上．设这条直线为l3，在图中直接画出l3的图象； （3）在（1）和（2）中的直线l1，l2，l3上分别有一个动点A，B，C，横坐标依次为a，b，c，若A，B，C三点始终在一条直线上，直接写出此时a，b，c之间的关系式． 【答案】（1）直线l1的解析式为y＝﹣x+6；直线l2的解析式为y＝﹣x+15； （2）①x＝m+10，y＝20﹣m； ②直线l3的解析式为y＝﹣x+30；图象见解析过程； （3）a，b，c之间的关系式为5a+3c＝8b． 【解答】解：（1）设l1的解析式为y＝kx+b， 由题意可得：， 解得：， ∴l1的解析式为y＝﹣x+6， 将l1向上平移9个单位长度得到的直线l2的解析式为y＝﹣x+15； （2）∵点P按照甲方式移动了m次，点P从原点O出发连续移动10次， ∴点P按照乙方式移动了（10﹣m）次， ∴点P按照甲方式移动m次后得到的点的坐标为（2m，m）， ∴点（2m，m）按照乙方式移动（10﹣m）次后得到的点的横坐标为2m+10﹣m＝m+10，纵坐标为m+2（10﹣m）＝20﹣m， ∴x＝m+10，y＝20﹣m； ②∵x+y＝m+10+20﹣m＝30， ∴直线l3的解析式为y＝﹣x+30； 函数图象如图所示： （3）∵点A，B，C，横坐标依次为a，b，c， ∴点A（a，﹣a+6），点B（b，﹣b+15），点C（c，﹣c+30）， 当a≠b≠c，﹣a+6≠﹣b+15≠﹣c+30时， 设直线AB的解析式为y＝mx+n， 由题意可得：， 解得：， ∴直线AB的解析式为y＝（﹣1）x+6， ∵点A，点B，点C三点始终在一条直线上， ∴c（﹣1）+6c+30， ∴5a+3c＝8b， 当a＝b＝c时，则点A，点B，点C共线，则5a+3c＝8b， 当﹣a+6＝﹣b+15＝﹣c+30时，﹣2a+b+c＝33，则5a+3c＝8b， ∴a，b，c之间的关系式为5a+3c＝8b． 9．（2024•河北）如图，抛物线C1：y＝ax2﹣2x过点（4，0），顶点为Q．抛物线C2：y（x﹣t）2t2﹣2（其中t为常数，且t＞2），顶点为P． （1）直接写出a的值和点Q的坐标． （2）嘉嘉说：无论t为何值，将C1的顶点Q向左平移2个单位长度后一定落在C2上． 淇淇说：无论t为何值，C2总经过一个定点． 请选择其中一人的说法进行说理． （3）当t＝4时， ①求直线PQ的解析式； ②作直线l∥PQ，当l与C2的交点到x轴的距离恰为6时，求l与x轴交点的横坐标． （4）设C1与C2的交点A，B的横坐标分别为xA，xB，且xA＜xB，点M在C1上，横坐标为m（2≤m≤xB）．点N在C2上，横坐标为n（xA≤n≤t），若点M是到直线PQ的距离最大的点，最大距离为d，点N到直线PQ的距离恰好也为d，直接用含t和m的式子表示n． 【答案】（1），Q（2，﹣2）； （2）两人说法都正确，理由见解答； （3）①y＝4x﹣10； ②或； （4）n＝2+t﹣m． 【解答】解：（1）∵抛物线过点（4，0），顶点为Q， ∴16a﹣8＝0， 解得， ∴抛物线为， ∴Q（2，﹣2）； （2）把Q（2，﹣2）向左平移2个单位长度得到对应点的坐标为（0，﹣2）， 当x＝0时，， ∴（0，﹣2）在C2上， ∴嘉嘉说法正确； ， 当x＝0时，y＝﹣2， ∴， 过定点（0，﹣2）， ∴淇淇说法正确； （3）①当t＝4时，， ∴顶点P（4，6）， 而Q（2，﹣2）， 设PQ为y＝cx+f， ∴， 解得， ∴PQ为y＝4x﹣10； ②∵P（4，6）， ∴P到x轴的距离为6， ∴l与C2交点的纵坐标为﹣6， 当时（等于6两直线重合不符合题意）， （x﹣4）2＝24， ∴， ∵直线PQ的解析式为y＝4x﹣10， 当y＝﹣6时，﹣6＝4x﹣10， 解得x＝1， y＝4x﹣10＝0时，x， 设l与x轴交点横坐标为x， 则1﹣（4﹣2）， 解得， 此时直线l与x轴交点的横坐标为； （4+2）﹣1＝x， 解得， 此时直线l与x轴交点的横坐标为． 综上，直线l与x轴交点的横坐标为或； （4）∵，， ∴C2是由C1通过旋转180°，再平移得到的，两个函数图象的形状相同， 如图，连接AB交PQ于L，连接AQ，BQ，AP，BP， ∴四边形APBQ是平行四边形， 当点M是到直线PQ的距离最大的点，最大距离为d，点N到直线PQ的距离恰好也为d，此时M与B重合，N与A重合， ∵Q（2，﹣2），P（t，）， ∴L的横坐标为，，， ∴L的横坐标为， ∴， 解得n＝2+t﹣m． 10．（2023•河北）嘉嘉和淇淇在玩沙包游戏．某同学借此情境编制了一道数学题，请解答这道题． 如图，在平面直角坐标系中，一个单位长度代表1m长．嘉嘉在点A（6，1）处将沙包（看成点）抛出，其运动路线为抛物线C1：y＝a（x﹣3）2+2 的一部分，淇淇恰在点B（0，c）处接住，然后跳起将沙包回传，其运动路线为抛物线C2：的一部分． （1）写出C1的最高点坐标，并求a，c的值； （2）若嘉嘉在x轴上方1m的高度上，且到点A水平距离不超过1m的范围内可以接到沙包，求符合条件的n的整数值． 【答案】（1）C1的最高点坐标为（3，2），a，c＝1； （2）符合条件的n的整数值为4和5． 【解答】解：（1）∵抛物线C1：y＝a（x﹣3）2+2， ∴C1的最高点坐标为（3，2）， ∵点A（6，1）在抛物线C1：y＝a（x﹣3）2+2上， ∴1＝a（6﹣3）2+2， ∴a， ∴抛物线C1：y（x﹣3）2+2， 当x＝0时，c＝1； （2）∵嘉嘉在x轴上方1m的高度上，且到点A水平距离不超过1m的范围内可以接到沙包， ∴此时，接到沙包的位置坐标范围是（5，1）～（7，1）， 当经过（5，1）时，1255+1+1， 解得：n， 当经过（7，1）时，1497+1+1， 解得：n， ∴n， ∵n为整数， ∴符合条件的n的整数值为4和5． 11．（2022•河北）如图，点P（a，3）在抛物线C：y＝4﹣（6﹣x）2上，且在C的对称轴右侧． （1）写出C的对称轴和y的最大值，并求a的值； （2）坐标平面上放置一透明胶片，并在胶片上描画出点P及C的一段，分别记为P′，C′．平移该胶片，使C′所在抛物线对应的函数恰为y＝﹣x2+6x﹣9．求点P′移动的最短路程． 【答案】（1）对称轴是直线x＝6，y的最大值为4，a＝7； （2）5． 【解答】解：（1）∵抛物线C：y＝4﹣（6﹣x）2＝﹣（x﹣6）2+4， ∴抛物线的顶点为Q（6，4）， ∴抛物线的对称轴为直线x＝6，y的最大值为4， 当y＝3时，3＝﹣（x﹣6）2+4， ∴x＝5或7， ∵点P在对称轴的右侧， ∴P（7，3）， ∴a＝7； （2）∵平移后的抛物线的解析式为y＝﹣（x﹣3）2， ∴平移后的顶点Q′（3，0）， ∵平移前抛物线的顶点Q（6，4）， ∴点P′移动的最短路程＝QQ′5． ( — 1 — ) 学科网（北京）股份有限公司 $$