6.2.1 向量的加法运算（分层作业，4大题型）-【上好课】2024-2025学年高一数学同步精品课堂（人教A版2019必修第二册）

6.2.1向量的加法运算 题型一 向量的加法法则 1．向量﹒化简后等于（ ） A． B．0 C． D． 2．设P是所在平面内的一点，，则 A． B． C． D． 3．中，点、、分别在边、、上，且，，，若，则 . 4．已知向量，，，求作和. 题型二 向量加法运算律 1．若非零向量满足，则(    ) A． B． C． D． 2．下列等式不正确的是(    ) ①； ②； ③. A．②③ B．② C．① D．③ 3．在所在的平面内有一点，若，那么的面积与的面积之比是 ． 4．化简下列各式: (1) (2) 5．如图所示，求： (1)； (2)； (3)； (4). 题型三 向量加法的几何应用 1.若在中，，，且，，则的形状是（    ） A．正三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等腰直角三角形 2．如果一架飞机向东飞行200 km，再向南飞行300 km，记飞机飞行的路程为，位移为，那么（   ） A． B． C． D．与不能比大小 3．平行四边形法则 平面上任意给定两个不共线的向量，在该平面内任取一点A，作，，以AB，AC为邻边作一个平行四边形ABDC，作出向量，因为，所以 ，这种求向量和的作图方法，称为向量加法的 . 4．求证：对角线互相平分的四边形是平行四边形． 已知：如图，四边形ABCD的两条对角线AC，BD的交点为O，且O是AC，BD的中点． 求证：四边形ABCD是平行四边形．    5．如图，在任意四边形ABCD中，E，F分别是AD，BC中点．求证：．    题型四 相反向量 1．下列说法正确的是（    ） A．若方向相反，则与为相反向量 B．模相等的两个平行向量相等 C．有向线段可以表示向量但不是向量，且向量也不是有向线段 D．共线向量是在同一条直线上的向量 2．若是的负向量，则下列说法中错误的是（    ） A．与的长度必相等； B．； C．与一定不相等； D．是的负向量． 3．如图，在四边形ABCD中，若，则图中相等的向量是（    ）    A．与 B．与 C．与 D．与 1．关于平面向量，下列说法正确的是（   ） A．零向量没有方向 B．两个单位向量是相等向量 C．共线的两个向量方向相同 D．若两个非零向量的和为零向量，则它们互为相反向量 2．在四边形中，，，，若，不共线，则四边形为（   ） A．平行四边形 B．矩形 C．梯形 D．菱形 3．在平面四边形中，E，F分别为AD，BC的中点，则下列向量与不相等的是（   ） A． B． C． D． 4．设向量表示“向东走2 km”；向量表示“向西走1 km”；向量表示“向南走2 km”；向量表示“向北走1 km”，试说明下列向量所表示的意义： (1)； (2)； (3)； (4)． 5．如图是由边长为1的小正方形组成的网格，按要求，分别以A、B、C为向量的起点，在图中画出下列向量： (1)正北方向且模为2的向量； (2)模为、方向为北偏西的向量， (3)（2）中向量的负向量. 4 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $$ 6.2.1向量的加法运算 题型一 向量的加法法则 1．向量﹒化简后等于（ ） A． B．0 C． D． 【答案】D 【分析】根据向量的线性运算，化简即可求解. 【详解】 , 故选D. 【点睛】本题主要考查了向量的加法运算，注意首尾相接的向量相加等于第一个向量的始点指向最后一个向量的终点，属于中档题. 2．设P是所在平面内的一点，，则 A． B． C． D． 【答案】B 【详解】移项得.故选B 3．中，点、、分别在边、、上，且，，，若，则 . 【答案】 【分析】分别用、、表示、、，可计算出，进而可求得的值. 【详解】，则，可得， 同理可得，， 所以，， 因此，. 故答案为：. 【点睛】本题考查平面向量模的计算，涉及平面向量加法和减法法则的应用，解题的关键就是选择合适的基底来表示向量，考查计算能力，属于中等题. 4．已知向量，，，求作和. 【答案】详见解析 【分析】根据向量加减法的三角形法则作图即可. 【详解】由向量加法的三角形法则作图： 由向量三角形加减法则作图： 【点睛】本题主要考查了向量加减法的三角形法则，属于中档题. 题型二 向量加法运算律 1．若非零向量满足，则(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据向量加法的性质即可判断：. 【详解】因为， ∴. 若与共线，由则中有一个必为零向量， 与不共线，即， . 同理知无法判断之间的大小关系. 故选：C. 2．下列等式不正确的是(    ) ①； ②； ③. A．②③ B．② C．① D．③ 【答案】B 【分析】根据向量加法的运算律判断即可. 【详解】对于①，，正确； 对于②，，错误； 对于③，，正确. 故选：B 3．在所在的平面内有一点，若，那么的面积与的面积之比是 ． 【答案】 【分析】利用向量加法和减法运算，证得是线段上，靠近点的四等分点，由此求得两个三角形面积的比值. 【详解】依题意，所以，即，所以是线段上，靠近点的四等分点，故两个三角形面积的比等于. 【点睛】本小题主要考查平面向量加法和减法的运算，考查平面向量方向相反的表示，属于基础题. 4．化简下列各式: (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）（2）应用向量加法运算律化简即可. 【详解】（1）原式. （2）原式 5．如图所示，求： (1)； (2)； (3)； (4). 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）（2）（3）（4）按照向量加法法则直接计算即可. 【详解】（1）； （2）； （3）； （4）. 题型三 向量加法的几何应用 1.若在中，，，且，，则的形状是（    ） A．正三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】D 【分析】根据条件便有，再由便可得出，从而便可得到为等腰直角三角形． 【详解】解：如图，   ； ； 为等腰直角三角形． 故选：D． 2．如果一架飞机向东飞行200 km，再向南飞行300 km，记飞机飞行的路程为，位移为，那么（   ） A． B． C． D．与不能比大小 【答案】A 【分析】根据向量的合成即可求解. 【详解】路程是数量，位移是向量，从而，由位移的合成易得，故. 故选：A. 3．平行四边形法则 平面上任意给定两个不共线的向量，在该平面内任取一点A，作，，以AB，AC为邻边作一个平行四边形ABDC，作出向量，因为，所以 ，这种求向量和的作图方法，称为向量加法的 . 【答案】 平行四边形法则 【分析】略 【详解】略 4．求证：对角线互相平分的四边形是平行四边形． 已知：如图，四边形ABCD的两条对角线AC，BD的交点为O，且O是AC，BD的中点． 求证：四边形ABCD是平行四边形．    【答案】证明见解析 【分析】根据向量的线性运算即可求证. 【详解】证明：由题知，， 因此． 所以AB，DC平行且相等，因此四边形ABCD是平行四边形． 5．如图，在任意四边形ABCD中，E，F分别是AD，BC中点．求证：．    【答案】证明见解析 【分析】根据已知可得，.进而根据向量加法的多边形法则表示出，相加即可得出证明. 【详解】因为E，F分别是AD，BC中点， 所以，，. 因为，， 所以，. 题型四 相反向量 1．下列说法正确的是（    ） A．若方向相反，则与为相反向量 B．模相等的两个平行向量相等 C．有向线段可以表示向量但不是向量，且向量也不是有向线段 D．共线向量是在同一条直线上的向量 【答案】C 【分析】根据共线向量，相反向量的定义即可求解. 【详解】，方向相反，但模不一定相等，与不一定是相反向量，故A错误； 相反向量的模相等，且为平行向量，但不是相等向量，故B错误； 由有向线段和向量的定义知，C正确； 共线的两个非零向量也可能不在同一条直线上，故D错误． 故选：C 2．若是的负向量，则下列说法中错误的是（    ） A．与的长度必相等； B．； C．与一定不相等； D．是的负向量． 【答案】C 【分析】由相反向量的定义，模长相等，方向相反，即可依次判断． 【详解】A．与为相反向量，模长相等，方向相反，长度必相等，正确，不符合题意； B．与为相反向量，模长相等，方向相反，故，正确，不符合题意； C．当时，，此时，选项错误，符合题意； D．若是的负向量，故是的负向量，正确，不符合题意； 故选：C． 3．如图，在四边形ABCD中，若，则图中相等的向量是（    ）    A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】C 【分析】由条件可得四边形ABCD是平行四边形，然后逐一判断即可. 【详解】因为，所以四边形ABCD是平行四边形， 所以，，，，故ABD错误，C正确. 故选：C. 1．关于平面向量，下列说法正确的是（   ） A．零向量没有方向 B．两个单位向量是相等向量 C．共线的两个向量方向相同 D．若两个非零向量的和为零向量，则它们互为相反向量 【答案】D 【分析】根据零向量的的定义、平面向量的定义，结合相等向量的定义、共线向量的定义逐一判断即可. 【详解】向量既有大小又有方向，A不正确． 两个单位向量的方向不一定相同，则它们不一定是相等向量，B不正确． 共线的两个向量方向相同或相反，C不正确． 若两个非零向量的和为零向量，则它们互为相反向量，D正确 故选：D 2．在四边形中，，，，若，不共线，则四边形为（   ） A．平行四边形 B．矩形 C．梯形 D．菱形 【答案】C 【分析】先根据向量的加法得出，根据一组对边平行且不等得出四边形为梯形. 【详解】由已知得，， 故，且，所以四边形是梯形． 故选：C. 3．在平面四边形中，E，F分别为AD，BC的中点，则下列向量与不相等的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据向量的加法结合图形特征计算判断各个选项即可. 【详解】 因为在平面四边形中，E，F分别为AD，BC的中点， 所以，． 因为，， 所以，所以A正确； 因为，，所以，所以B正确； 因为，， 所以，所以C正确； 因为，所以D错误. 故选:D． 4．设向量表示“向东走2 km”；向量表示“向西走1 km”；向量表示“向南走2 km”；向量表示“向北走1 km”，试说明下列向量所表示的意义： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)向东走4 km (2)向东南走km (3)向东北走km (4)向南走3 km 【分析】由向量表示“向东走2 km”；向量表示“向西走1 km”；向量表示“向南走2 km”；向量表示“向北走1 km”，根据向量的加法法则即可求解各小问. 【详解】（1） 由题意，因为向量表示“向东走2 km”， 则表示“向东走4 km”； （2）因为向量表示“向东走2 km”， 向量表示“向南走2 km”， 所以表示“向东南走km”； （3）因为向量表示“向东走2 km”；向量表示“向西走1 km”；向量表示“向北走1 km”， 所以表示“向东北走km”； （4）因为向量表示“向南走2 km”，向量表示“向北走1 km”， 所以表示“向南走3 km”. 5．如图是由边长为1的小正方形组成的网格，按要求，分别以A、B、C为向量的起点，在图中画出下列向量： (1)正北方向且模为2的向量； (2)模为、方向为北偏西的向量， (3)（2）中向量的负向量. 【答案】(1)作图见解析 (2)作图见解析 (3)作图见解析 【分析】（1）根据向量的长度作出； （2）根据方向及模长即可求解； （3）根据模长相等方向相反即可作图. 【详解】（1）作出向量如下图所示： （2）作出向量如上图所示： （3）作出向量的负向量如上图所示. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$