黄金卷03（上海专用）-【赢在中考·黄金8卷】备战2025年中考数学模拟卷

【赢在中考·黄金8卷】备战2025年中考数学模拟卷（上海专用） 黄金卷03 （考试时间：100分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答填空题时，请将每小题的答案直接填写在答题卡中对应横线上。写在本试卷上无效。 4．回答解答题时，每题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上。写在本试卷上无效。 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：（本大题共6题，每题4分，共24分.下列各题四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题卡的相应位置上.） 1．下列实数是有理数的是（   ） A． B． C． D． 2．下列运算中，计算结果正确的是（    ） A． B． C． D． 3．下列函数中，函数值随自变量的值增大而增大的是（  ） A． B． C． D． 4．某校为了解学生在假期阅读课外书籍的情况，将调查所得的50个数据整理成下表： 课外书籍（本） 1 2 3 4 5 人数（人） 10 10 20 5 5 对于这组数据，下列判断中，正确的是（    ） A．众数和平均数相等 B．中位数和平均数相等 C．中位数和众数相等 D．中位数、众数和平均数都相等 5．下列命题中正确的是 A．一组对边相等，另一组对边平行的四边形是等腰梯形 B．对角线互相垂直且相等的四边形是矩形 C．对角线互相平分且相等的四边形是正方形 D．对角线互相垂直平分的四边形是菱形 6．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝18，AC＝24，点O在边AB上，且BO＝2OA．以点O为圆心，r为半径作圆，如果⊙O与Rt△ABC的边有3个公共点，那么下列各值中，半径r不可以取的是（    ） A．6 B．10 C．15 D．16 二、填空题：（本大题共12题，每题4分，共48分.） 7．分解因式： ． 8．已知，那么 ． 9．若最简二次根式和是同类二次根式，则ab的值为 10．一个正边形的每一个内角都等于，则 ． 11．将方程组转成两个二元一次方程组分别是 和 ． 12．某校抽取部分学生参与“大阅读”学习问卷，并对其得分情况进行了统计，绘制了如图所示的频率分布直方图，得分在60分到70分(含60分，不含70分)的频率是 ．    13．如果关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，那么k= ． 14．毕业典礼上，李明、王红、张立3位同学合影留念，3人随机站成一排，那么王红恰好站在中间的概率是 ． 15．如图，在中，点D是边上一点，且．设，，那么 ．(用、表示) 16．如图，一个高为米的长方体木箱沿坡比为的斜面下滑，当木箱滑至如图位置时，米，则木箱端点距地面的高度为 米． 17．若抛物线的顶点为，抛物线的顶点为B，且满足顶点A在抛物线上，顶点B在抛物线上，则称抛物线与抛物线互为“关联抛物线”，已知顶点为M的抛物线与顶点为N的抛物线互为“关联抛物线”，直线MN与轴正半轴交于点D，如果，那么顶点为N的抛物线的表达式为 18．如图，在矩形ABCD中，AD=4，点E在AD上，AE=1，连接BE，将△ABE沿BE折叠，使点A的对应点F恰好落在对角线AC上，作FG⊥AC交边AD于点G，则FG= ． 三、解答题：（本大题共7题，第19-22每题10分，第23-24每题12分，第25题14分，共78分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 19．计算： 20．解不等式组，并把解集在数轴上表示出来； 21．某学校为了加强常规和应急消毒工作，计划购买甲、乙两种类型的消毒剂，预计购进乙种类型的消毒剂（升）与甲种类型的消毒剂（升）之间的函数关系如图所示. (1)求关于的函数解析式（不需要写定义域）； (2)该学校用2000元选购了甲种类型的消毒剂，用2400元选购了乙种类型的消毒剂，甲种类型消毒剂的单价比乙种类型消毒剂的单价贵20元，求选购的甲、乙两种类型的消毒剂分别是多少升？ 22．在学习“三角形的重心”一课时，小王向同桌小刘提出这样一个问题：四边形有没有重心，如果四边形有重心，它的重心如何确定呢？小刘在周末查阅了相关资料，得到如下的信息：四边形也有重心；在平面内，图形与图形拼成一个图形，那么图形的重心一定在图形的重心与图形的重心连接的线段上．根据以上信息，解决下列问题： 如图，有两张全等的直角三角形纸片，其中一张记为，为直角顶点，，将这两个三角形拼成一个四边形，使得斜边重合． (1)请画出所有符合要求的四边形，并作出所作四边形的重心；（不用写作法，保留痕迹，写出结论） (2)直接写出线段与线段之比的比值． 23．已知：如图，直线经过矩形顶点，分别过顶点、作的垂线，垂足分别为点E和点F，且，连接． (1)求证：； (2)连接和，求证：． 24．已知抛物线与x轴交于点A、点B（点A在点B的左侧，点B在原点O右侧），与y轴交于点C，且．    (1)求抛物线的表达式． (2)如图1，点D是抛物线上一点，直线恰好平分的面积，求点D的坐标； (3)如图2，点E坐标为，在抛物线上存在点P，满足，请直接写出直线的表达式． 25．梯形中，，于点，，，以为直径，以为直径，直线与交于点，与交于点（如图），设． (1)记两圆交点为、（在上方），当时，求的值； (2)当与线段交于、时，设，求关于的函数关系式，并写出定义域； (3)连接，线段与交于点，分别连接、，若与相似，求的值． 2 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 【赢在中考·黄金8卷】备战2025年中考数学模拟卷（上海专用） 黄金卷03 一、选择题：（本大题共6题，每题4分，共24分.下列各题四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题卡的相应位置上.） 1 2 3 4 5 6 C B A C D C 二、填空题：（本大题共12题，每题4分，共48分.） 7． 8．2 9．2 10． 11． 12． 13． 14． 15． 16．3 17． 18． 三、解答题：（本大题共7题，第19-22每题10分，第23-24每题12分，第25题14分，共78分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 19．解： 20．解： 由①得：， 由②得：， ∴原不等式组的解集为， 在数轴上表示如下： 21．（1）解：设所求函数解析式为， 由图像知，直线过两点， 把这两点坐标分别代入中，得：， 解得：， ∴关于的函数解析式为． （2）解：设甲种类型消毒剂购买了x升，则乙种类型消毒剂购买了升， 根据题意，得：， 整理得：， 解得：， 经检验，，都是原方程的解，但当时，，与题意不符， ∴， ∴； 答：甲种类型消毒剂购买了升，乙种类型消毒剂购买了升． 22．（1）解：如下图所示， 直角的重心是直角三角形三条中线的交点， 两个完全相同直角三角形拼成一个矩形， 当两个的直角三角形的斜边重合时，两个直角三角形的重心连接的线段与斜边的交点就是四边形的重心； 如下图所示， 直角的重心是直角三角形三条中线的交点， 直角的重心是直角三角形三条中线的交点， 由题意可知和是等腰三角形且，， 和的重心都在边上， 四边形的重心是线段与的交点； （2）解：当两个直角三角形拼成一个矩形时， 如下图所示， 矩形对角线互相平分， ， ． 当直角三角形拼成如下图所示的四边形时， ， 是的垂直平分线， ， ， 设，则， ， ，， 点是重心， ， ，， 设， 则有， ， ， 整理得：， 解得：， ， ． 综上所述线段与线段的比值是或． 23．（1）证明：如图，连接交于点O， ∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴，即， （2）由（1）得，， ∴， 又∵， ∴ 24．（1）解：令，则， ，， ∵， ， ， 把点B代入得：，解得：， 故抛物线表达式为； （2）解：由（1）知抛物线的表达式为， 故令得：解得：，， 点A的坐标为， 如图：记直线交于点F，   直线恰好平分的面积， 点F为的中点， ，， 点F的坐标为， 设直线的解析式为， 把点B、F的坐标分别代入，得 解得 直线的解析式为， 解得或(舍去)， 故点D的坐标为； （3）解：当点P在x轴上方时， 如图：在y轴上取，连接，过点B作直线交抛物线于点P，交y轴于点M，使， 则，过点G作于点H，   点E坐标为， ， ，，， ， 又， ， ， 设，则， 在中，， ， 解得，(舍去)， ， ， ， 设直线的解析式为， 把点M、B的坐标分别代入解析式，得 解得 故此时直线的解析式为； 当点P在x轴下方时， 同理可得，直线的解析式为， 综上，直线的解析式为或． 【点睛】本题考查了利用待定系数法求二次函数及一次函数的解析式，二次函数与一次函数的交点问题，角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，作出辅助线，采用分类求解是解决本题的关键． 25．（1）解：过点A作AG⊥BC，连接O1E，O2E 由题意得垂直平分EF， 又 ∴，∠EHO2=∠EHO1=90°，EH=EF=3 又AG⊥BC， ∴∠AGC=∠AGB=90°，∠DCG=90° ∵ ∴∠AIO2=∠AIO1=90°，∠DO2I=∠O1O2C=∠ADO2=90° ∴四边形ADCG和四边形ADO2I是矩形 ∴DC=AG，DA=CG= IO2，DO2=AI ∵O2是DC的中点 ∴I是AG的中点 ∵O1是AB的中点 ∴O1I是△ABG的中位线 ∴O1I=BG ∵， ∴AG=8，BG=6 ∴O1I=BG=×6=3 在Rt△O1HE和Rt△O2HE中 O1H===4 O2H=== ∴O1 O2= O1H + O2H=4+ ∴AD=IO2= O1 O2- O1I==4+-3=1+ （2）解：由（1）可知，O1 O2= AD+O1I=x+3 过点O2作O2G⊥PQ于点G ∴PG=PQ=y 在Rt△O2PG中 O2G=== ∵ ∴∠O2O1G=∠B 又 ∴tan∠O2O1G= ∴sin∠O2O1G= 又O1 O2= x+3 ∴= ∴=-(x+3)2+64（1≤x＜2） （3）解：∵MN=O2N+O1M-O1O2 ∴MN=4+5-（3+x）=6-x 由∽，得 = 由=，得MN=GN=6-x ∴∠GMN=∠MGN 又O1A= O1M ∴∠GMN=∠O1AM ∴∠O1AM=∠MGN ∴∠AM O1为公共角 ∴△AMO1∽△GMN ∴△AMO1∽ ∴= ∴AM=（6-x） ∵ ∴ 又 ∴5 过点A作AH⊥MN 又O1A=5 ∴O1H=3，AH=4 ∴HM=O1M-O1H=5-3=2 在Rt△AHM中 AM===2 ∴（6-x）=2 解得x=6- 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $$ 【赢在中考·黄金8卷】备战2025年中考数学模拟卷（上海专用） 黄金卷03 （考试时间：100分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答填空题时，请将每小题的答案直接填写在答题卡中对应横线上。写在本试卷上无效。 4．回答解答题时，每题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上。写在本试卷上无效。 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 1、 选择题 1．下列实数是有理数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查对有理数、无理数的定义、平方根和立方根、锐角三角函数．正确理解无理数的定义是解题的关键，注意无理数包括三种形式：（1）开方开不尽的数，如：；（2）无限不循环小数，如：（相邻两个2之间依次多1个0）；（3）含有的某些数，如：． 根据有理数以及无理数的定义（无理数是指无限不循环小数）判断即可． 【解析】解：A、是无理数，不符合题意； B、是无理数，不符合题意； C、是有理数，符合题意； D、是无理数，不符合题意； 故选：C． 2．下列运算中，计算结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据多项式的乘法、幂的乘方、积的乘方、同底数幂的除法、完全平方公式的运算法则逐项分析判断即可求解． 【解析】解：A． ，故该选项不正确，不符合题意； B．，故该选项正确，符合题意； C．，故该选项不正确，不符合题意； D．，故该选项不正确，不符合题意． 故选B． 【点睛】本题考查了整式的乘法、幂的乘方、积的乘方、同底数幂的除法、完全平方公式等知识，熟练掌握各自运算方法及运算法则是解题的关键． 3．下列函数中，函数值随自变量的值增大而增大的是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分别对各项的函数解析式进行分析判断即可. 【解析】A：为一次函数，x取所有实数，∵，∴函数值随自变量的值增大而增大，故选项正确； B：为一次函数，x取所有实数，∵-，∴函数值随自变量的值增大而减小，故选项错误； C：为反比例函数，x≠0，在内，函数值随自变量的值增大而减小，并且在内，函数值随自变量的值增大而减小，故选项错误； D：为反比例函数，x≠0，在内，函数值随自变量的值增大而增大，并且在内，函数值随自变量的值增大而增大，但在从左侧到右侧时不满足条件“函数值随自变量的值增大而增大”，故选项错误； 故选：A. 【点睛】本题主要考查了一次函数图像与反比例函数图像的性质，熟练掌握相关概念是解题关键. 4．某校为了解学生在假期阅读课外书籍的情况，将调查所得的50个数据整理成下表： 课外书籍（本） 1 2 3 4 5 人数（人） 10 10 20 5 5 对于这组数据，下列判断中，正确的是（    ） A．众数和平均数相等 B．中位数和平均数相等 C．中位数和众数相等 D．中位数、众数和平均数都相等 【答案】C 【分析】利用数据处理中各参考量的定义求解判断即可． 【解析】众数是指出现最多的数，为3； 中位数是指大小排序后位于中间的一位数或中间两位数的平均值，为3； 平均数为总数除以总量的值，为； 中位数和众数相等，只有选项C正确． 故选C． 【点睛】本题考查数据处理中中位数、众数、平均数的定义和算法，熟悉数据参考量的算法和正确的计算是解题的关系． 5．下列命题中正确的是 A．一组对边相等，另一组对边平行的四边形是等腰梯形 B．对角线互相垂直且相等的四边形是矩形 C．对角线互相平分且相等的四边形是正方形 D．对角线互相垂直平分的四边形是菱形 【答案】D 【分析】选项A根据等腰梯形的判定方法判断即可；选项B根据矩形的判定方法判断即可；选项C根据正方形的判定方法判断即可；选项D根据菱形的判定方法判断即可． 【解析】解：A、一组对边相等，另一组对边平行的四边形是等腰梯形或平行四边形，原说法错误，故本选项不合题意； B． 对角线互相平分且相等的四边形是矩形，原说法错误，故本选项不合题意； C．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形，原说法错误，故本选项不合题意； D．对角线互相垂直平分的四边形是菱形，说法正确，故本选项符合题意． 故选：D. 【点睛】本题考查了等腰梯形的判定，矩形的判定，正方形的判定以及菱形的判定，掌握相关四边形的判定方法是解答本题的关键． 6．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝18，AC＝24，点O在边AB上，且BO＝2OA．以点O为圆心，r为半径作圆，如果⊙O与Rt△ABC的边有3个公共点，那么下列各值中，半径r不可以取的是（    ） A．6 B．10 C．15 D．16 【答案】C 【分析】根据勾股定理得到，求得OA＝10，OB＝20，过O分别作OD⊥AC于D，OE⊥BC于E，根据相似三角形的性质即可得到结论． 【解析】解：∵∠C＝90°，BC＝18，AC＝24， ∴， ∵BO＝2OA， ∴OA＝10，OB＝20， 过O分别作OD⊥AC于D，OE⊥BC于E， ∴∠BEO＝∠C＝∠ADO， ∵∠A＝∠A，∠B＝∠B， ∴△BEO∽△BCA，△AOD∽△ABC， ∴，， ∴，， ∴OE＝16，OD＝6， 当⊙O过点C时，连接OC，根据勾股定理得， 如图，∵以点O为圆心，r为半径作圆，如果⊙O与Rt△ABC的边有3个公共点， ∴r＝6或10或16或， 故选：C． 【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，相似三角形的判定和性质，正确的理解题意是解题的关键． 二、填空题 7．分解因式： ． 【答案】 【分析】此题考查公式法分解因式，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键． 再利用平方差公式分解即可． 【解析】解： ． 故答案为：． 8．已知，那么 ． 【答案】2 【分析】根据函数的定义，将代入即可． 【解析】解：将代入， 得：． 故答案为：2． 【点睛】本题考查求函数值，把自变量的值代入函数解析式进行计算即可，正确掌握函数值的求法是解题的关键． 9．若最简二次根式和是同类二次根式，则ab的值为 【答案】2 【分析】由最简二次根式与同类二次根式的概念可得出：，解方程可得到a、b的值，再将a、b的值带回原式中检验即可得出答案. 【解析】解：∵最简二次根式和是同类二次根式， ∴可得：，解得： 或； ∵二次根式要满足, ∴舍去； ∴，ab=2. 故答案为2. 【点睛】本题考查同类二次根式的判断，在判断两个二次根式是否是同类二次根式前，必须要确定这两个二次根式都是最简二次根式后才可以比较，如果两个根式是最简二次根式，那么只要使两个根号下式子相等就可以得到同类二次根式. 10．一个正边形的每一个内角都等于，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了正多边形内角和与外角和综合．首先求出外角度数，再用除以外角度数可得答案． 【解析】解：∵正边形的每一个内角都等于， ∴每一个外角都等于， ∴边数； 故答案为：． 11．将方程组转成两个二元一次方程组分别是 和 ． 【答案】 【分析】将分解为，即可得到或，从而得到答案． 【解析】解：， ， 或， 方程组转成两个二元一次方程组分别是和， 故答案为：，． 【点睛】本题主要考查了因式分解和解二元二次方程组，将高次方程转化为低次方程是解题的关键． 12．某校抽取部分学生参与“大阅读”学习问卷，并对其得分情况进行了统计，绘制了如图所示的频率分布直方图，得分在60分到70分(含60分，不含70分)的频率是 ．    【答案】 【分析】根据频数分布直方图可知组距为10，求得得分在60分到70分(含60分，不含70分)的值，进而即可求解． 【解析】设的频率/组距为：， 由题意得， 解得：， ∴频率为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了频数分布直方图，掌握频数、频率的关系是解题的关键． 13．如果关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，那么k= ． 【答案】 【分析】因为关于的一元二次方程有两个相等的实数根，所以且判别式，建立关于的方程，解方程即可求出的值．本题考查了一元二次方程根的判别式的应用．切记不要忽略一元二次方程二次项系数不为零这一隐含条件． 【解析】解：关于的一元二次方程有两个相等的实数根， 且判别式， 解得：． 故答案为：． 14．毕业典礼上，李明、王红、张立3位同学合影留念，3人随机站成一排，那么王红恰好站在中间的概率是 ． 【答案】 【分析】画树状图展示所有6种等可能的结果数，再找出甲站在中间的结果数，然后根据概率公式求解即可． 【解析】解∶分别用甲、乙、丙表示王红、李明、张立，画树状图为∶ 共有6种等可能的结果数，其中甲即王红站在中间的结果数为2， 所以王红恰好站在中间的概率． 故答案为∶． 【点睛】本题考查了列表法与树状图法∶通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式求出事件A或B的概率． 15．如图，在中，点D是边上一点，且．设，，那么 ．(用、表示) 【答案】 【分析】根据，计算求解即可． 【解析】解：由题意知 故答案为：． 【点睛】本题考查了向量的线性运算．解题的关键在于明确各向量之间的关系． 0【答案】3 【分析】根据锐角三角函数值，求出相关角度，从而进行求解即可. 【解析】解：设、交于点， ∵斜坡的坡比为， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， 解得，（米）， ∴（米）， ∴（米）， 在中，， ∴（米）， ∴（米）， 故答案为：3． 【点睛】本题主要考查锐角三角函数，掌握锐角三角函数的相关知识是解题的关键． 17．若抛物线的顶点为，抛物线的顶点为B，且满足顶点A在抛物线上，顶点B在抛物线上，则称抛物线与抛物线互为“关联抛物线”，已知顶点为M的抛物线与顶点为N的抛物线互为“关联抛物线”，直线MN与轴正半轴交于点D，如果，那么顶点为N的抛物线的表达式为 【答案】 【分析】设顶点为N的抛物线顶点坐标N为（a，b），由题意可知，即可求得D点坐标为（6，0），则有直线MD解析式为，因为N点过直线MD，N点也过抛物线，故有，解得，故N点坐标为（，），可设顶点为N的抛物线的表达式为，又因为M点过，即可解得a=-1，故顶点为N的抛物线的表达式为． 【解析】设顶点为N的抛物线顶点坐标N为（a，b） 已知抛物线的顶点坐标M为（2，3） ∵ ∴ 即 解得 ∵直线MN与轴正半轴交于点D ∴D点坐标为（6，0） 则直线MD解析式为 N点在直线MD上，N点也在抛物线 故有 化简得 联立得 化简得 解得a=或a=2（舍） 将a=代入有 解得 故N点坐标为（，） 则顶点为N的抛物线的表达式为 将（2，3）代入有 化简得 解得a=-1 故顶点为N的抛物线的表达式为 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数的图象及其性质，三角函数的应用．理解题意所述“关联抛物线”的特点，即若抛物线的顶点为，抛物线的顶点为B，且满足顶点A在抛物线上，顶点B在抛物线上是解题的关键． 18．如图，在矩形ABCD中，AD=4，点E在AD上，AE=1，连接BE，将△ABE沿BE折叠，使点A的对应点F恰好落在对角线AC上，作FG⊥AC交边AD于点G，则FG= ． 【答案】 【分析】设BE交AF于点H，由折叠性质可知BE为AF的垂直平分线，AH=HF，再证明△ABE∽△DAC，列出比例式求出AB=2，进而得BE=，由，可得．再根据三角函数求出EH的长，最后证明AHE∽△AFG，列出比例式求得FG的长． 【解析】解：设BE交AF于点H，如图所示． 由折叠性质可知BE为AF的垂直平分线，AH=HF． ∵∠DAC+∠CAB=90°，∠CAB+∠ABH=90°， ∴∠DAC=∠ABH， 又∵∠D=∠EAB=90°， ∴△ABE∽△DAC． ∴，可得AB•DC=DA•AE，又AB=CD， ∴AB2=DA•AE=4×1=4， ∴AB=2． ∴． ∴，． 又∠DAC=∠ABH， ∴， ∴． 又∴∠EHF=∠GFC=90°， ∴△AHE∽△AFG， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定及性质，勾股定理，矩形的性质，锐角三角函数的定义，翻折变换的性质，熟练掌握折叠的性质是解题的关键． 三、解答题 19．计算： 【答案】0 【分析】先分别计算绝对值，幂的乘方的逆运算与幂的乘方，负整数指数幂，分母有理化，然后进行加减运算即可． 【解析】解： 【点睛】本题主要考查了绝对值，幂的乘方的逆运算与幂的乘方，负整数指数幂，分母有理化．解题的关键在于正确的运算． 20．解不等式组，并把解集在数轴上表示出来； 【答案】，数轴见详解 【分析】根据一元一次不等式组的解法可进行求解，然后再把解集在数轴上表示即可． 【解析】解： 由①得：， 由②得：， ∴原不等式组的解集为， 在数轴上表示如下： 【点睛】本题主要考查一元一次不等式组的解法，熟练掌握一元一次不等式组的解法是解题的关键． 21．某学校为了加强常规和应急消毒工作，计划购买甲、乙两种类型的消毒剂，预计购进乙种类型的消毒剂（升）与甲种类型的消毒剂（升）之间的函数关系如图所示. (1)求关于的函数解析式（不需要写定义域）； (2)该学校用2000元选购了甲种类型的消毒剂，用2400元选购了乙种类型的消毒剂，甲种类型消毒剂的单价比乙种类型消毒剂的单价贵20元，求选购的甲、乙两种类型的消毒剂分别是多少升？ 【答案】(1)关于的函数解析式为 (2)甲种类型消毒剂购买了升，乙种类型消毒剂购买了升 【分析】本题考查了一次函数的应用，分式方程的应用，利用待定系数法求出 解析式是解题的关键． （1）在图像上找两点，利用待定系数法即可求解； （2）设甲种类型消毒剂购买了x升，则乙种类型消毒剂购买了升，根据等量关系：甲种类型消毒剂的单价比乙种类型消毒剂的单价贵20元，列出分式方程并求解即可． 【解析】（1）解：设所求函数解析式为， 由图像知，直线过两点， 把这两点坐标分别代入中，得：， 解得：， ∴关于的函数解析式为． （2）解：设甲种类型消毒剂购买了x升，则乙种类型消毒剂购买了升， 根据题意，得：， 整理得：， 解得：， 经检验，，都是原方程的解，但当时，，与题意不符， ∴， ∴； 答：甲种类型消毒剂购买了升，乙种类型消毒剂购买了升． 22．在学习“三角形的重心”一课时，小王向同桌小刘提出这样一个问题：四边形有没有重心，如果四边形有重心，它的重心如何确定呢？小刘在周末查阅了相关资料，得到如下的信息：四边形也有重心；在平面内，图形与图形拼成一个图形，那么图形的重心一定在图形的重心与图形的重心连接的线段上．根据以上信息，解决下列问题： 如图，有两张全等的直角三角形纸片，其中一张记为，为直角顶点，，将这两个三角形拼成一个四边形，使得斜边重合． (1)请画出所有符合要求的四边形，并作出所作四边形的重心；（不用写作法，保留痕迹，写出结论） (2)直接写出线段与线段之比的比值． 【答案】(1)见解析； (2)或． 【分析】当两个直角三角形拼成一个矩形时，两个三角形的重心连接的线段与斜边的交点就是拼成的四边形的重心；当两个直角三角形拼成一个任意四边形时，四边形的两条对边线把四边形分成两对三角形，与的重心连接的线段与，与的重心连接的线段的交点就是四边形的重心； 根据重心的定义，可知四边形的重心是两个直角三角形的重心与直角三角形斜边的交点，分两种情况求出与的比值． 【解析】（1）解：如下图所示， 直角的重心是直角三角形三条中线的交点， 两个完全相同直角三角形拼成一个矩形， 当两个的直角三角形的斜边重合时，两个直角三角形的重心连接的线段与斜边的交点就是四边形的重心； 如下图所示， 直角的重心是直角三角形三条中线的交点， 直角的重心是直角三角形三条中线的交点， 由题意可知和是等腰三角形且，， 和的重心都在边上， 四边形的重心是线段与的交点； （2）解：当两个直角三角形拼成一个矩形时， 如下图所示， 矩形对角线互相平分， ， ． 当直角三角形拼成如下图所示的四边形时， ， 是的垂直平分线， ， ， 设，则， ， ，， 点是重心， ， ，， 设， 则有， ， ， 整理得：， 解得：， ， ． 综上所述线段与线段的比值是或． 【点睛】本题主要考查了四边形的重心、三角形的重心、三角形的中线和勾股定理．解决本题的关键是根据三角形的重心是三角形三条中线的交点，两个三角形拼成的四边形的中心是两个三角形重心连接的线段的中点． 23．已知：如图，直线经过矩形顶点，分别过顶点、作的垂线，垂足分别为点E和点F，且，连接． (1)求证：； (2)连接和，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了矩形的性质和相似三角形的判定和性质，根据梯形中位线定理得出是解题关键． （1）连接交于点O，得是梯形的中位线，进而可得，再证明，由相似三角形性质即可得出结论， （2）根据垂直平分即可得出结论． 【解析】（1）证明：如图，连接交于点O， ∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴，即， （2）由（1）得，， ∴， 又∵， ∴ 24．已知抛物线与x轴交于点A、点B（点A在点B的左侧，点B在原点O右侧），与y轴交于点C，且．    (1)求抛物线的表达式． (2)如图1，点D是抛物线上一点，直线恰好平分的面积，求点D的坐标； (3)如图2，点E坐标为，在抛物线上存在点P，满足，请直接写出直线的表达式． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）首先由抛物线的解析式可求得点C的坐标，由，可求得点B的坐标，再把点B的坐标代入解析式，即可求解； （2）首先可求得点A的坐标，记直线交于点F，由直线恰好平分的面积，可知点F为的中点，即可求得点F的坐标，即可求得直线的解析式，再与抛物线的解析式联立成方程组，解方程组，即可求解； （3）分点P在x轴上方、点P在x轴下方两种情况；当点P在x轴上方时，在y轴上取，连接，过点B作直线交抛物线于点P，交y轴于点M，使，则，过点G作于点H，根据角平分线的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质，即可求得点M的坐标，据此即可求解；同理可得点P在x轴下方时的解． 【解析】（1）解：令，则， ，， ∵， ， ， 把点B代入得：，解得：， 故抛物线表达式为； （2）解：由（1）知抛物线的表达式为， 故令得：解得：，， 点A的坐标为， 如图：记直线交于点F，   直线恰好平分的面积， 点F为的中点， ，， 点F的坐标为， 设直线的解析式为， 把点B、F的坐标分别代入，得 解得 直线的解析式为， 解得或(舍去)， 故点D的坐标为； （3）解：当点P在x轴上方时， 如图：在y轴上取，连接，过点B作直线交抛物线于点P，交y轴于点M，使， 则，过点G作于点H，   点E坐标为， ， ，，， ， 又， ， ， 设，则， 在中，， ， 解得，(舍去)， ， ， ， 设直线的解析式为， 把点M、B的坐标分别代入解析式，得 解得 故此时直线的解析式为； 当点P在x轴下方时， 同理可得，直线的解析式为， 综上，直线的解析式为或． 【点睛】本题考查了利用待定系数法求二次函数及一次函数的解析式，二次函数与一次函数的交点问题，角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，作出辅助线，采用分类求解是解决本题的关键． 25．梯形中，，于点，，，以为直径，以为直径，直线与交于点，与交于点（如图），设． (1)记两圆交点为、（在上方），当时，求的值； (2)当与线段交于、时，设，求关于的函数关系式，并写出定义域； (3)连接，线段与交于点，分别连接、，若与相似，求的值． 【答案】(1)1+ (2)=-(x+3)2+64（1≤x＜2） (3)6- 【分析】（1）过点A作AG⊥BC，连接O1E，O2E，由题意得垂直平分EF，，通过解直角三角形可得AG=8，BG=6，再由，，，AG⊥BC得四边形ADCG和四边形ADO2I是矩形，根据勾股定理求出O1N和O2H，进而求AD； （2）过点O2作O2G⊥PQ于点G，勾股定理求O2G=，再由正切求得关于的函数关系式； （3）由∽，得=，由=，得MN=GN，过点A作AH⊥MN，利用正切和勾股定理求出AM=2，再由相似的性质和判定求出AM=（6-x），进而得x． 【解析】（1）解：过点A作AG⊥BC，连接O1E，O2E 由题意得垂直平分EF， 又 ∴，∠EHO2=∠EHO1=90°，EH=EF=3 又AG⊥BC， ∴∠AGC=∠AGB=90°，∠DCG=90° ∵ ∴∠AIO2=∠AIO1=90°，∠DO2I=∠O1O2C=∠ADO2=90° ∴四边形ADCG和四边形ADO2I是矩形 ∴DC=AG，DA=CG= IO2，DO2=AI ∵O2是DC的中点 ∴I是AG的中点 ∵O1是AB的中点 ∴O1I是△ABG的中位线 ∴O1I=BG ∵， ∴AG=8，BG=6 ∴O1I=BG=×6=3 在Rt△O1HE和Rt△O2HE中 O1H===4 O2H=== ∴O1 O2= O1H + O2H=4+ ∴AD=IO2= O1 O2- O1I==4+-3=1+ （2）解：由（1）可知，O1 O2= AD+O1I=x+3 过点O2作O2G⊥PQ于点G ∴PG=PQ=y 在Rt△O2PG中 O2G=== ∵ ∴∠O2O1G=∠B 又 ∴tan∠O2O1G= ∴sin∠O2O1G= 又O1 O2= x+3 ∴= ∴=-(x+3)2+64（1≤x＜2） （3）解：∵MN=O2N+O1M-O1O2 ∴MN=4+5-（3+x）=6-x 由∽，得 = 由=，得MN=GN=6-x ∴∠GMN=∠MGN 又O1A= O1M ∴∠GMN=∠O1AM ∴∠O1AM=∠MGN ∴∠AM O1为公共角 ∴△AMO1∽△GMN ∴△AMO1∽ ∴= ∴AM=（6-x） ∵ ∴ 又 ∴ 过点A作AH⊥MN 又O1A=5 ∴O1H=3，AH=4 ∴HM=O1M-O1H=5-3=2 在Rt△AHM中 AM===2 ∴（6-x）=2 解得x=6- 【点睛】本题是圆的综合，考查了相似三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，锐角三角函数求值，中位线的性质以及勾股定理等知识点，属于中考中的压轴题． 28 / 28 学科网（北京）股份有限公司 $$