黄金卷04（上海专用）-【赢在中考·黄金8卷】备战2025年中考数学模拟卷

【赢在中考·黄金8卷】备战2025年中考数学模拟卷（上海专用） 黄金卷04 （考试时间：100分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答填空题时，请将每小题的答案直接填写在答题卡中对应横线上。写在本试卷上无效。 4．回答解答题时，每题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上。写在本试卷上无效。 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：（本大题共6题，每题4分，共24分.下列各题四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题卡的相应位置上.） 1．在下列各式中，二次根式的有理化因式是（    ） A． B． C． D． 2．下列说法中错误的是（    ） A．单项式0.5xyz的次数为3 B．单项式的次数是 C．10与同类项 D．1－x－xy是二次三项式 3．如果，为任意实数，那么下列不等式一定成立的是（　） A． B． C． D． 4．下列事件中，必然事件是（    ） A．随机购买一张电影票，座位号恰好是偶数 B．抛掷一枚质地均匀的硬币，落地后反面朝上 C．在只装有2个黄球和3个白球的盒子中，摸出一个球是红球 D．在平面内画一个三角形，该三角形的内角和等于 5．下列命题中，正确的是（   ） A．如果或，那么 B．如果、都是单位向量，那么 C．如果，那么 D．如果m、n为实数，那么 6．已知，如图，在梯形中，，，，，．有以下两个说法：①梯形的面积；②梯形的周长；对这两种说法的判断正确的是（    ） A． ①正确，②错误 B．①错误，②正确 C．①、②均正确 D．①、②均错误 二、填空题：（本大题共12题，每题4分，共48分.） 7．计算：= ． 8．已知关于x的方程是二项方程，那么 ． 9．沿着轴正方向看，抛物线在轴右侧的部分是 的（填“上升”或“下降”）． 10．和线段AB两个端点距离相等的轨迹是 ． 11．如果正比例函数的图像经过第一、三象限，那么的取值范围是 . 012．已知点P是线段的黄金分割点（），若，则 ． 13．从1到10这十个自然数中抽取一个数，这个数是素数的概率是 ． 14．如果两圆的半径分别为5或2，圆心距为7，那么这两个圆的位置关系是 ． 15．《九章算术》中记载：“今有牛五、羊二，直金十九两．牛二、羊五，直金十六两．牛、羊各直金几何？”题目大意是：“5头牛、2只羊共值金19两，2头牛、5只羊共值金16两，每头牛、每只羊各值金多少两？”根据题意，设1头牛值金x两，1只羊值金y两，那么可列方程组为 ． 16．某学习小组就本校学生的上学交通方式进行了一次随机抽样调查，并绘制了两幅不完整的统计图，如图１和图2所示．已知该校有1200名学生，估计该校步行上学的学生约为 人． 17．我们规定：一个正n边形（n为整数，n≥4）的最短对角线与最长对角线长度的比值叫做这个正n边形的“特征值”，记为λn，那么λ6= ． 18．如图，在中，，，点M在边上，，点是射线上一动点，连接，将沿直线翻折，点落在点处，联结，如果，那么的长是 ．    三、解答题：（本大题共7题，第19-22每题10分，第23-24每题12分，第25题14分，共78分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 19．计算：． 20．解方程组： 21．某企业在2024年1至3月的利润情况见表． 月份数（） 1 2 3 利润数（）（万元） 96 ？ 100 (1)如果这个企业在2024年1至3月的利润数是月份数的一次函数，求2月份的利润； (2)这个企业从3月份起，通过技术改革，经过两个月后的5月份获得利润为121万元，如果这个企业3月至5月中每月利润数的增长率相等，求这个企业3月至5月中利润数的月平均增长率． 22．在平面直角坐标系中（如图所示），已知点与点都在双曲线上． (1)求此双曲线的表达式及点的坐标； (2)判断的形状，并求的正切值． 23．已知等腰中，，点D、E是边、上的点，且，联结、，交点为F．    (1)若，求的值． (2)若，求证：． 24．如图1，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点．已知，，点的纵坐标为．    (1)求抛物线的解析式； (2)若在抛物线上仅存在三个点到直线的距离为，求的值； (3)如图2，直线交抛物线于、两点，当的内心在轴上时，此时直线一定和经过原点的某条直线平行吗？若是，请求出这条过原点的直线解析式：若不是，请说明理由． 25．如图1，在菱形中，，点在对角线上，，是的外接圆，点与点之间的距离记为． (1)如图2，当时，联结，求证：； (2)延长交射线于点，如果是直角三角形，求的长； (3)当圆心在菱形外部时，用含的代数式表示的半径，并直接写出的取值范围． 2 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $$ 【赢在中考·黄金8卷】备战2025年中考数学模拟卷（上海专用） 黄金卷04 （考试时间：100分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答填空题时，请将每小题的答案直接填写在答题卡中对应横线上。写在本试卷上无效。 4．回答解答题时，每题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上。写在本试卷上无效。 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题 1．在下列各式中，二次根式的有理化因式是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用平方差公式及有理化因式的定义逐个判断即可． 【解析】解： 的有理化因式是，故A、C、D均不符合题意，选项B符合题意， 故选：B． 【点睛】本题考查二次根式的化简、分母有理化等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 2．下列说法中错误的是（    ） A．单项式0.5xyz的次数为3 B．单项式的次数是 C．10与同类项 D．1－x－xy是二次三项式 【答案】B 【分析】根据同类项、单项式、及多项式的概念进行解答即可． 【解析】解： A、单项式0.5xyz的次数为3，故A选项正确； B、单项式的系数，次数是2，故B选项错误； C、10与都属于常数项，是同类项，故C选项正确； D、1－x－xy是二次三项式，故D选项正确． 故答案为：B． 【点睛】本题考查同类项、单项式、及多项式的概念，同类项“同类项是所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项”；单项式“由数与字母的积组成的代数式叫做单项式；单独的一个数或一个字母也叫做单项式，字母前的常数为单项式的系数，所有字母的指数和为单项式的次数”；多项式“若干个单项式的和组成的式子叫做多项式，多项式中每个单项式叫做多项式的项，这些单项式中的最高次数，就是这个多项式的次数”． 3．如果，为任意实数，那么下列不等式一定成立的是（　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了不等式的性质，根据不等式的性质分析判断即可． 【解析】解：A、，当时，，故选项A不符合题意； B、，当时，，故选项B不符合题意； C、，为任意实数， ，故选项C不符合题意； D、，为任意实数， ，故选项D符合题意． 故选：D． 4．下列事件中，必然事件是（    ） A．随机购买一张电影票，座位号恰好是偶数 B．抛掷一枚质地均匀的硬币，落地后反面朝上 C．在只装有2个黄球和3个白球的盒子中，摸出一个球是红球 D．在平面内画一个三角形，该三角形的内角和等于 【答案】D 【分析】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．根据事件发生的可能性大小判断． 【解析】解：A、随机购买一张电影票，座位号是偶数，是随机事件； B、抛掷一枚质地均匀的硬币，反面朝下，是随机事件； C、在只装有2个黄球和3个白球的盒子中，摸出一个球是红球，是不可能事件； D、在平面内画一个三角形，该三角形的内角和等于，是必然事件； 故选D． 5．下列命题中，正确的是（   ） A．如果或，那么 B．如果、都是单位向量，那么 C．如果，那么 D．如果m、n为实数，那么 【答案】D 【分析】本题考查了平面向量的定义，向量的模，单位向量，平行向量，注意向量是既有大小又有方向的量，根据平面向量的定义，向量的模，单位向量，平行向量的定义一一判断即可． 【解析】解：A．如果或，那么，故不正确； B．如果、都是单位向量，那么不一定成立，因为方向可能不同，故不正确； C．如果，那么不一定成立，因为方向可能不同，故不正确； D．如果m、n为实数，那么，正确； 故选D． 6．已知，如图，在梯形中，，，，，．有以下两个说法：①梯形的面积；②梯形的周长；对这两种说法的判断正确的是（    ） A．①正确，②错误 B．①错误，②正确 C．①、②均正确 D．①、②均错误 【答案】C 【分析】此题考查了梯形的性质，勾股定理等知识，解题的关键掌握以上知识点． 设，交于点O，根据题意得到，，，然后利用勾股定理求出，，，进而利用梯形的面积和周长公式求解即可． 【解析】如图所示，设，交于点O， ∵在梯形中，，， ∴，， ∵，， ∴，即 ∴ 同理可得， ∴ ∵ ∴梯形的面积； ∵，， ∴ ∴ ∴梯形的周长． 故选：C． 二、填空题 7．计算：= ． 【答案】﹣2 【分析】根据立方根的定义，求数a的立方根，也就是求一个数x，使得x3=a，则x就是a的立方根． 【解析】∵（－2）3=－8， ∴， 故答案为：-2 8．已知关于x的方程是二项方程，那么 ． 【答案】0 【分析】本题主要考查了二项方程的定义，根据关于x的方程是二项方程，即不含这一项，可得． 【解析】解：∵关于x的方程是二项方程， ∴． 故答案为：0． 9．沿着轴正方向看，抛物线在轴右侧的部分是 的（填“上升”或“下降”）． 【答案】上升 【分析】本题考查了二次函数图象的性质．画出函数图象，直观判断即可． 【解析】解：抛物线的图象如图所示： 可以看出，在y轴右侧部分上升， 故答案为：上升． 10．和线段AB两个端点距离相等的轨迹是 ． 【答案】线段AB的垂直平分线 【分析】根据线段垂直平分线的性质解题即可． 【解析】到线段AB两个端点的距离相等的点的轨迹是线段AB的垂直平分线， 故答案为：线段AB的垂直平分线． 【点睛】本题考查线段垂直平分线的性质，是重要考点，难度容易，掌握相关知识是解题关键． 11．如果正比例函数的图像经过第一、三象限，那么的取值范围是 . 【答案】 【分析】本题考查了正比例函数的图象，根据正比例函数的图象经过第一、三象限，可得，据此即可求解，掌握正比例函数的图象特点是解题的关键． 【解析】解：∵正比例函数的图象经过第一、三象限， ∴， ∴， 故答案为：． 12．已知点P是线段的黄金分割点（），若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查黄金分割点．掌握黄金分割点是指把一条线段分割为两部分，使其中较长部分与全长之比等于另一部分与这部分之比，且其比值是一个无理数，用分数表示为是解题关键．根据黄金分割点的定义即得出，代入数据先求出，再求出即可． 【解析】解：∵点P是线段的黄金分割点（），， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 13．从1到10这十个自然数中抽取一个数，这个数是素数的概率是 ． 【答案】/0.4 【分析】此题考查了概率公式，用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．先找出素数的个数，再根据概率公式即可得出答案． 【解析】解：从1到10这十个自然数中，素数有4个， 则抽到这个数是素数的概率是． 故答案为：． 14．如果两圆的半径分别为5或2，圆心距为7，那么这两个圆的位置关系是 ． 【答案】外切 【分析】根据圆心距d，以及两圆半径R，r的数量关系间的联系得出两圆位置关系． 【解析】解：∵， ∴这两个圆外切． 故答案为：外切． 【点睛】被踢主要考查了圆于圆之间的位置关系，解题的管家是掌握：当时，两圆外离；当时，两圆外切；当时，两圆内切；当时，两圆内离；当时，两圆相交． 15．《九章算术》中记载：“今有牛五、羊二，直金十九两．牛二、羊五，直金十六两．牛、羊各直金几何？”题目大意是：“5头牛、2只羊共值金19两，2头牛、5只羊共值金16两，每头牛、每只羊各值金多少两？”根据题意，设1头牛值金x两，1只羊值金y两，那么可列方程组为 ． 【答案】 【分析】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解题的关键是明确题意，找到等量关系，列出相应的方程组.根据“5头牛、2只羊共值金19两．2头牛、5只羊共值金16两”，得到2个等量关系，即可列出方程组． 【解析】解：设1头牛值金x两，1只羊值金y两， 由题意可得，， 故答案为：． 16．某学习小组就本校学生的上学交通方式进行了一次随机抽样调查，并绘制了两幅不完整的统计图，如图１和图2所示．已知该校有1200名学生，估计该校步行上学的学生约为 人． 【答案】240 【分析】本题考查了样本百分比估计总体百分比，先求出步行所占百分比，再用学生总数乘以步行学生所占的百分比即可估计全校步行上学的学生人数 【解析】解：抽查的人数为：（人） ∴步行上学在扇形图中所占比例为， ∴全校步行上学的学生人数为：（人） 故答案为：240 17．我们规定：一个正n边形（n为整数，n≥4）的最短对角线与最长对角线长度的比值叫做这个正n边形的“特征值”，记为λn，那么λ6= ． 【答案】 【解析】解：如图，正六边形ABCDEF中，对角线BE、CF交于点O，连接EC． 易知BE是正六边形最长的对角线，EC的正六边形的最短的对角线， ∵△OBC是等边三角形 ∴∠OBC=∠OCB=∠BOC=60°， ∵OE=OC ∴∠OEC=∠OCE， ∵∠BOC=∠OEC+∠OCE ∴∠OEC=∠OCE=30° ∴∠BCE=90°， ∴△BEC是直角三角形 ∴=cos30°=， ∴λ6=. 考点：1.正多边形与圆；2.等边三角形的性质；3.锐角三角函数 18．如图，在中，，，点M在边上，，点是射线上一动点，连接，将沿直线翻折，点落在点处，联结，如果，那么的长是 ．    【答案】6 【分析】本题主要考查了三角形折叠与解直角三角形，过M点作，，垂足分别为、、，由，，求出，，，，得出、、三点在同一直线上，进而可得，再求出，由解题． 【解析】解：过M点作，，垂足分别为、、，    设， ∵， ∴ ∵，， ∴，解得， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ， ∵， ∴，即与点重合， ∴、、三点在同一直线上， ∴， 由折叠可知：， ∴， ∵， ∴， 故答案为6 【点睛】本题涉及了解三角形、折叠性质、等腰三角形性质、勾股定理等，解题关键是通过计算点M到的距离等于得出、、三点在同一直线上． 三、解答题 19．计算：． 【答案】 【分析】根据负分数指数幂、特殊角的三角函数值，二次根式的混合运算，即可求解． 【解析】解： ． 【点睛】本题考查了负分数指数幂、特殊角的三角函数值，二次根式的混合运算，掌握相关的运算法则是解题的关键． 20．解方程组： 【答案】或 【分析】先将分解因式为：，则，与组合成两个方程组，解出即可． 【解析】解：由，得， ∴， ∴原方程组可转化为： 或 解得：或 ∴原方程组的解为：或． 【点睛】本题主要考查二元二次方程组的解，解题关键在于掌握运算法则，准确计算． 21．某企业在2024年1至3月的利润情况见表． 月份数（） 1 2 3 利润数（）（万元） 96 ？ 100 (1)如果这个企业在2024年1至3月的利润数是月份数的一次函数，求2月份的利润； (2)这个企业从3月份起，通过技术改革，经过两个月后的5月份获得利润为121万元，如果这个企业3月至5月中每月利润数的增长率相等，求这个企业3月至5月中利润数的月平均增长率． 【答案】(1)2月份的利润为98万元 (2)这个企业利润数的月平均增长率为 【分析】本题主要考查了一次函数的应用，一元二次方程的应用，解题的关键是利用待定系数法求出一次函数解析式，根据等量关系，列出方程． （1）利用待定系数法求出一次函数解析式，然后将代入求值即可； （2）设这个企业利润数的月平均增长率为x．根据经过两个月后的5月份获得利润为121万元，列出方程，求出结果即可． 【解析】（1）解：根据题意设利润数y与月份数x一次函数关系式为，根据题意得： ， 解此方程组得：， ∴利润数y与月份数x一次函数关系式为：， 当时，， 答：2月份的利润为98万元； （2）解：设这个企业利润数的月平均增长率为x．根据题意得： ， 解得，（不合题意，舍去）， ∴． 答：这个企业利润数的月平均增长率为． 22．在平面直角坐标系中（如图所示），已知点与点都在双曲线上． (1)求此双曲线的表达式及点的坐标； (2)判断的形状，并求的正切值． 【答案】(1)，； (2)直角三角形，． 【分析】（1）将A点坐标值代入函数解析式，求出m的值，得到双曲线表达式，再将B点坐标代入表达式求出b即可； （2）通过A、B坐标点分别求出线段OA、OB、AB，可以发现三条线段满足勾股定理，可证明是直角三角形，再根据正切值定义求解即可． 【解析】（1）∵点在双曲线上， ∴，得m=2， ∴双曲线表达式为； ∵点在双曲线上， ∴，得b=4， ∴点B的坐标为． （2）∵A、B两点的坐标为、， ∴， ， ， ∴， ∴是直角三角形，， ∴． 【点睛】本题考查了反比例函数，熟练掌握通过已知坐标点求函数解析式和通过两点坐标求线段长，熟悉勾股定理是解题关键． 23．已知等腰中，，点D、E是边、上的点，且，联结、，交点为F．    (1)若，求的值． (2)若，求证：． 【答案】(1)1 (2)见解析 【分析】（1）作，交延长线于G，证明，根据相似三角形的性质得出，则，进而得出； （2）根据已知条件证明，得出，进而证明，根据相似三角形的性质以及，即可得证． 【详解】（1）解：作，交延长线于G，        ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 又， ∴， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． 24．如图1，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点．已知，，点的纵坐标为．    (1)求抛物线的解析式； (2)若在抛物线上仅存在三个点到直线的距离为，求的值； (3)如图2，直线交抛物线于、两点，当的内心在轴上时，此时直线一定和经过原点的某条直线平行吗？若是，请求出这条过原点的直线解析式：若不是，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用待定系数法求函数解析式即可； （2）设是抛物线在上方的一点，，当取得最大值时，的长即为所求，进而表示出的长，根据二次函数的性质，即可求解． （3）设分别交轴于点，依题意，平分，则，分别求得直线，进而联立抛物线解析式得出的坐标，待定系数法求直线解析式，进而即可求解． 【解析】（1）解：∵抛物线与x轴交于A，B两点，，， ∴设， ∵点在轴且纵坐标为，则， 将代入得： 解：， ∴函数表达式为； （2）解：∵， ∴，则是等腰直角三角形， 设直线的解析式为 则 解得： ∴直线 如图所示，设是抛物线在上方的一点，，作轴交于于点，    设是抛物线在上方的一点，，当取得最大值时，则在抛物线上仅存在三个点到直线的距离为，此时， 设，则 ∴, ∵轴，则是等腰直角三角形， ∴ 则时取得最大值，， ∴ （3）解：如图所示，设分别交轴于点， 依题意，平分，则，    设直线的解析式为，将点代入得， 即 则直线的解析式为， ∴，则，则 设直线的解析式为，将点代入得， ∴ ∴直线的解析式为 联立与抛物线， 即 解得： 则即， 联立与抛物线， 即 解得： 则即， 将，代入 得， 解得： 即的解析式为， ∴直线一定和经过原点的某条直线平行，这条过原点的直线解析式为． 【点睛】本题考查了二次函数综合问题，最值问题，一次函数与二次函数综合，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 25．如图1，在菱形中，，点在对角线上，，是的外接圆，点与点之间的距离记为． (1)如图2，当时，联结，求证：； (2)延长交射线于点，如果是直角三角形，求的长； (3)当圆心在菱形外部时，用含的代数式表示的半径，并直接写出的取值范围． 【答案】(1)见解析 (2)或； (3)⊙O的半径为，m的取值范围为或． 【分析】（1）连接、，交于，由，得出，根据垂径定理得出，，则．由，得出．根据菱形的性质得出，则， （2）分当时，当时，如图所示，设交于点，分别画出图形，解直角三角形，即可求解； （3）连接，过点O作于点E，延长交于点F，过点O作于点G，利用垂径定理得到，，在和中，求得，，在中，利用勾股定理即可得出⊙O的半径；再根据点在对角线上，点与点之间的距离记为，减去圆心在菱形及内部时的情况即可求出m的取值范围． 【解析】（1）解：连接、，交于，如图， ， ， ，， ． ， ， ． 四边形为菱形， ， ， ； （2）解：当时，如图所示， ∵ ∴是的直径， ∵菱形中，， ∴，， ∴， ∵，则， ∴， ∴， 设，则，， 在中，， ∴， 解得：或（舍去）， ∴， ∴， ∴， ∴， 当时，如图所示，设交于点 ∵，， ∴， 又∵，则 ∴ 综上所述，或； （3）解：连接，过点O作于点E，延长交于点F，过点O作于点G，如图， ∵， ∴， 同理，， ∵，， ∵， ∴， ∴． 在中， ∵， ∴． 在中，， 在中， ∵， ∴， ∴⊙O的半径为， 设菱形对角线交点为K， ∵，， ∴，， ∴， ∵点在对角线上，点与点之间的距离记为， ∴； ∵圆心在菱形外部， ①当圆心到达边时， 此时为直径，即， 即点P与点K重合， 此时； ②当圆心到达边时， 如图所示，过点作于点，过点作于点， ∵， ∴， ∵ 设 则 ∴ ∴， ∴， ∵， ∴， 此时， 综上所述，m的取值范围为或． 【点睛】本题考查了菱形的性质，解直角三角形，垂径定理，圆周角定理，熟练掌握解直角三角形，与圆的相关性质是解题的关键． 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 $$ 【赢在中考·黄金8卷】备战2025年中考数学模拟卷（上海专用） 黄金卷04 一、选择题：（本大题共6题，每题4分，共24分.下列各题四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题卡的相应位置上.） 1 2 3 4 5 6 B B D D D C 二、填空题：（本大题共12题，每题4分，共48分.） 7．﹣2 8．0 9．上升0 10．线段AB的垂直平分线 11． 12． 13．/0.4 14．外切 15． 16．240 17． 18．6 三、解答题：（本大题共7题，第19-22每题10分，第23-24每题12分，第25题14分，共78分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 19．解： ． 20．解：由，得， ∴， ∴原方程组可转化为： 或 解得：或 ∴原方程组的解为：或． 21．（1）解：根据题意设利润数y与月份数x一次函数关系式为，根据题意得： ， 解此方程组得：， ∴利润数y与月份数x一次函数关系式为：， 当时，， 答：2月份的利润为98万元； （2）解：设这个企业利润数的月平均增长率为x．根据题意得： ， 解得，（不合题意，舍去）， ∴． 答：这个企业利润数的月平均增长率为． 22．1）∵点在双曲线上， ∴，得m=2， ∴双曲线表达式为； ∵点在双曲线上， ∴，得b=4， ∴点B的坐标为． （2）∵A、B两点的坐标为、， ∴， ， ， ∴， ∴是直角三角形，， ∴． 23．（1）解：作，交延长线于G，        ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 又， ∴， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴． 24．（1）解：∵抛物线与x轴交于A，B两点，，， ∴设， ∵点在轴且纵坐标为，则， 将代入得： 解：， ∴函数表达式为； （2）解：∵， ∴，则是等腰直角三角形， 设直线的解析式为 则 解得： ∴直线 如图所示，设是抛物线在上方的一点，，作轴交于于点，    设是抛物线在上方的一点，，当取得最大值时，则在抛物线上仅存在三个点到直线的距离为，此时， 设，则 ∴, ∵轴，则是等腰直角三角形， ∴ 则时取得最大值，， ∴ （3）解：如图所示，设分别交轴于点， 依题意，平分，则，    设直线的解析式为，将点代入得， 即 则直线的解析式为， ∴，则，则 设直线的解析式为，将点代入得， ∴ ∴直线的解析式为 联立与抛物线， 即 解得： 则即， 联立与抛物线， 即 解得： 则即， 将，代入 得， 解得： 即的解析式为， ∴直线一定和经过原点的某条直线平行，这条过原点的直线解析式为． 25．（1）解：连接、，交于，如图， ， ， ，， ． ， ， ． 四边形为菱形， ， ， ； （2）解：当时，如图所示， ∵ ∴是的直径， ∵菱形中，， ∴，， ∴， ∵，则， ∴， ∴， 设，则，， 在中，， ∴， 解得：或（舍去）， ∴， ∴， ∴， ∴， 当时，如图所示，设交于点 ∵，， ∴， 又∵，则 ∴ 综上所述，或； （3）解：连接，过点O作于点E，延长交于点F，过点O作于点G，如图， ∵， ∴， 同理，， ∵，， ∵， ∴， ∴． 在中， ∵， ∴． 在中，， 在中， ∵， ∴， ∴⊙O的半径为， 设菱形对角线交点为K， ∵，， ∴，， ∴， ∵点在对角线上，点与点之间的距离记为， ∴； ∵圆心在菱形外部， ①当圆心到达边时， 此时为直径，即， 即点P与点K重合， 此时； ②当圆心到达边时， 如图所示，过点作于点，过点作于点， ∵， ∴， ∵ 设 则 ∴ ∴， ∴， ∵， ∴， 此时， 综上所述，m的取值范围为或． 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $$