第1部分 第3模块 第13讲 二次函数的实际应用(精练册)-【夺冠百分百】2025年中考数学冲刺复习PPT

第13讲　二次函数的实际应用 考点 二次函数的实际应用(10年5考) 命题角度一　以几何图形为背景 1.某种正方形合金板材的成本y(元)与它的面积成正比,设边长为x厘米,当x=3时,y=18,那么当成本为72元时,边长为( ) A.6厘米 B.12厘米 C.24厘米 D.36厘米 　 A 目录 上页 首页 下页 ‹#› 2.(2020河北23题)用承重指数W衡量水平放置的长方体木板的最大承重量,实验室有一些同材质同长同宽而厚度不一的木板,实验发现:木板承重指数W与木板厚度x(厘米)的平方成正比,当x=3时,W=3. (1)求W与x的函数关系式; (2)如图,选一块厚度为6厘米的木板,把它分割成与原来同长同宽但薄厚不同的两块板(不计分割损耗).设薄板的厚度为x(厘米),Q=W厚-W薄. ①求Q与x的函数关系式; ②x为何值时,Q是W薄的3倍? [注:(1)及(2)中的①不必写x的取值范围] 　 解:W=x2. 解:Q=12-4x; 解:当x=2时,Q是W薄的3倍. 目录 上页 首页 下页 ‹#› 命题角度二　以实物模型为背景 3.(2023河北23题)嘉嘉和淇淇在玩沙包游戏.某同学借此情境编制了一道数学题,请解答这道题. 如图,在平面直角坐标系中,一个单位长度代表1 m长.嘉嘉在点A(6,1)处将沙包(看成点)抛出,其运动路线为抛物线C1:y=a(x-3)2+2的一部分,淇淇恰在点B(0,c)处接住,然后跳起将沙包回传,其运动路线为抛物线C2:y=-x2+x+c+1的一部分. (1)写出C1的最高点坐标,并求a,c的值; 解:∵抛物线C1:y=a(x-3)2+2, ∴C1的最高点坐标为(3,2). ∵点A(6,1)在抛物线C1:y=a(x-3)2+2上, ∴1=a(6-3)2+2, ∴a=-, ∴抛物线C1:y=-(x-3)2+2, 当x=0时,c=1. 目录 上页 首页 下页 ‹#› (2)若嘉嘉在x轴上方1 m的高度上,且到点A水平距离不超过1 m的范围内可以接到沙包,求符合条件的n的整数值. 解:∵嘉嘉在x轴上方1 m的高度上,且到点A水平距离不超过1 m的范围内可以接到沙包, ∴此时点A的坐标范围是(5,1)~(7,1), 当经过(5,1)时,1=-×25+×5+1+1, 解得n=, 当经过(7,1)时,1=-×49+×7+1+1,解得n=,∴≤n≤, ∵n为整数,∴符合条件的n的整数值为4和5. 目录 上页 首页 下页 ‹#› 4.(2018河北26题)如图是轮滑场地的截面示意图,平台AB距x轴(水平)18米,与y轴交于点B,与滑道y=(x≥1)交于点A,且AB=1米,运动员(看成点)在BA方向获得速度v米/秒后,从A处向右下方向飞向滑道,点M是下落路线的某位置.忽略空气阻力,实验表明:M,A的竖直距离h(米)与飞出时间t(秒)的平方成正比,且t=1时h=5;M,A的水平距离是vt米. (1)求k,并用t表示h; (2)设v=5.用t表示点M的横坐标x和纵坐标y,并求出y与x的关系式(不写x的取值范围),及y=13时运动员与正下方滑道的竖直距离; 解:k=18,h=5t2. 解:点M的横坐标x=5t+1, 点M的纵坐标y=18-5t2. y=-(x-1)2+18, 当y=13时,解得x=6(负值舍去),把x=6代入y=,得y=3, ∴运动员与正下方滑道的竖直距离为13-3=10(米). 目录 上页 首页 下页 ‹#› (3)若运动员甲、乙同时从A处飞出,速度分别是5米/秒、v乙米/秒.当甲距x轴1.8米,且乙位于甲右侧超过4.5米的位置时,直接写出t的值及v乙的范围. 解:t=1.8,v乙的取值范围是v乙>7.5. 目录 上页 首页 下页 ‹#› 5.(2021河北25题)如图是某同学正在设计的一动画示意图,x轴上依次有A,O,N三个点,且AO=2,在ON上方有五个台阶T1~T5(各拐角均为90°),每个台阶的高、宽分别是1和1.5,台阶T1到x轴距离OK=10.从点A处向右上方沿抛物线L:y=-x2+4x+12发出一个带光的点P. (1)求点A的横坐标,且在图中补画出y轴,并直接指出点P会落在哪个台阶上; 解:对于抛物线y=-x2+4x+12, 令y=0,即x2-4x-12=0,解得x=-2或x=6, ∴A(-2,0), ∴点A的横坐标为-2. 补全y轴如图所示, 由题意可知台阶T4左边的端点坐标为(4.5,7),右边的端点坐标为(6,7), 当x=4.5时,y=9.75>7, 当x=6时,y=0<7, 当y=7时,7=-x2+4x+12, 解得x=-1或x=5, ∴抛物线与台阶T4有交点, ∴点P会落在台阶T4上. 目录 上页 首页 下页 ‹#› (2)当点P落到台阶上后立即弹起,又形成了另一条与L形状相同的抛物线C,且最大高度为11,求C的解析式,并说明其对称轴是否与台阶T5有交点; 解:由题意,设C的解析式为y=-(x-h)2+11, 如图,由(1)可知抛物线L与台阶T4交点为R(5,7). 把R(5,7)的坐标代入C的解析式,得7=-(5-h)2+11,解得h=7或h=3, ∵h>5,∴h=7, ∴C的解析式为y=-(x-7)2+11, ∴C的对称轴为直线x=7. ∵台阶T5的左边的端点为(6,6),右边的端点为(7.5,6),6<7<7.5, ∴抛物线C的对称轴与台阶T5有交点. 目录 上页 首页 下页 ‹#› (3)在x轴上从左到右有两点D,E,且DE=1,从点E向上作EB⊥x轴,且BE=2.在△BDE沿x轴左右平移时,必须保证(2)中沿抛物线C下落的点P能落在边BD(包括端点)上,则点B横坐标的最大值比最小值大多少? [注:(2)中不必写x的取值范围] 解:对于y=-(x-7)2+11,当点P落在B,D之间时,其横坐标x>7. 当y=2时,2=-(x-7)2+11,解得x1=4(舍去),x2=10, ∴点P落在点B时,xB=10; 当y=0时,0=-(x-7)2+11, 解得x1=7-(舍去),x2=7+, ∴点P落在点D时,xD=7+. ∴点B横坐标的最大值比最小值大(7++1)-10=-2. 目录 上页 首页 下页 ‹#› 命题角度三　利润问题 6.(2017河北26题)某厂按用户的月需求量x(件)完成一种产品的生产,其中x>0.每件的售价为18万元,每件的成本y(万元)是基础价与浮动价的和,其中基础价保持不变,浮动价与月需求量x(件)成反比.经市场调研发现,月需求量x与月份n(n为整数,1≤n≤12)符合关系式x=2n2-2kn+9(k+3)(k为常数),且得到了表中的数据. (1)求y与x满足的关系式,请说明一件产品的利润能否是12万元; (2)求k,并推断是否存在某个月既无盈利也不亏损; (3)在这一年12个月中,若第m个月和第(m+1)个月的利润相差最大,求m. 月份n(月) 1 2 成本y(万元/件) 11 12 需求量x(件/月) 120 100 解:y=6+,一件产品的利润不能是12万元. 解:k=13,不存在某个月既无盈利也不亏损. 解:当m=1或m=11时,第m个月和第(m+1)个月的利润相差最大. 目录 上页 首页 下页 ‹#› 新题型·新考法 (应用意识)(2024河北石家庄模拟)【发现问题】小明和小强做弹球游戏,如图1,小明向斜坡抛一个乒乓球,乒乓球弹起的运行路线是一条抛物线,乒乓球落地后又弹起,第二次弹起的运行路线和第一次运行路线的抛物线形状相同,小强在地面立一块高度为0.4 m的木板,当乒乓球在第二次下落时能落在木板上,则小强获胜. 【提出问题】小强将木板放在距斜坡底端多远,才能确保获胜? 【分析问题】小强以斜坡底端O为坐标原点,地面水平线为x轴,取单位长度为1 m,建立如图2所示的平面直角坐标系,乒乓球的大小忽略不计,经测量发现,抛球点A的坐标为(-1,3.36),第一次弹起的运行路线最高点坐标为(-0.5,3.61),第二次弹起的最大高度为 1.21 m.小强通过这些数据,经过计算,确定了立木板的位置,从而确保自己获胜. 图1　　 　图2 目录 上页 首页 下页 ‹#› 【解决问题】 (1)求乒乓球第一次弹起运行路线的抛物线的解析式; (2)求乒乓球第一次落地点B距斜坡底端O的距离; 解:根据题意,知乒乓球第一次弹起运行路线的抛物线顶点为 (-0.5,3.61), 过点A(-1,3.36), 设乒乓球第一次弹起运行路线的抛物线解析式为y1=a(x+0.5)2+3.61, 代入A(-1,3.36),得3.36=a(-1+0.5)2+3.61,解得 a=-1, ∴乒乓球第一次弹起运行路线的抛物线解析式为y1=-(x+0.5)2+3.61=-x2-x+3.36. 解:令 y1=0,则-(x+0.5)2+3.61=0,解得 x1=1.4,x2=-2.4 (舍去), ∴OB=1.4 m, ∴乒乓球第一次落地点B距斜坡底端O的距离为1.4 m. 目录 上页 首页 下页 ‹#› (3)小强将木板立在距斜坡底端O多远的范围内,才能确保自己获胜? 解:∵乒乓球第二次弹起运行路线的抛物线与第一次形状相同,且最大高度为1.21 m, ∴设乒乓球第二次弹起运行路线的抛物线解析式为y2=-(x-h)2+1.21, 把B(1.4,0)代入解析式,得0=-(1.4-h)2+1.21,解得 h1=2.5,h2=0.3 (舍去), ∴乒乓球第二次弹起运行路线的抛物线解析式为y2=-(x-2.5)2+1.21; 当y2=0时,则-(x-2.5)2+1.21=0,解得x1=3.6,x2=1.4(舍去); 当y2=0.4时,则-(x-2.5)2+1.21=0.4,解得x1=3.4,x2=1.6(舍去). ∴当3.4≤x≤3.6时,小强确保获胜. 即小强将木板立在距斜坡底端O大于等于3.4 m,小于等于3.6 m时,才能确保自己获胜. 目录 上页 首页 下页 ‹#› —— 基础过关练 —— 1.(2023浙江丽水)一个球从地面竖直向上弹起时的速度为10米/秒,经过t(秒)时球距离地面的高度h(米)适用公式h=10t-5t2,那么球弹起后又回到地面所花的时间t(秒)是 ( ) A.5 B.10 C.1 D.2 2.(2024河北唐山曹妃甸区模拟)某商店销售一批头盔,售价为每顶80元,每月可售出200顶.在“创建文明城市”期间,计划将头盔降价销售,经调查发现:每降价1元,每月可多售出20顶.已知头盔的进价为每顶50元,则该商店每月获得最大利润时,每顶头盔的售价为 ( ) A.50元 B.90元 C.80元 D.70元 D D 目录 上页 首页 下页 ‹#› 3.(2024河北石家庄桥西区二模)如图,某农场计划修建三间矩形饲养室,饲养室一面靠现有墙(墙可用长≤20 m),中间用两道墙隔开,已知计划中的修筑材料可建围墙总长为60 m,设饲养室宽为x m,占地总面积为y m2,则三间饲养室总面积y有 ( ) A.最小值200 m2 B.最小值225 m2 C.最大值200 m2 D.最大值225 m2 C 目录 上页 首页 下页 ‹#› 4.九年级(2)班计划在劳动实践基地内种植蔬菜,班长买回来8米长的围栏,准备围成一边靠墙(墙足够长)的菜园,为了让菜园面积尽可能大,同学们提出了围成矩形、等腰三角形(底边靠墙)和半圆形这三种方案,最佳方案是 ( ) A.方案1 B.方案2 C.方案3 D.方案1或方案2 5.如图,以一定的速度将小球沿与地面成一定角度的方向击出时,小球的飞行路线是一条抛物线.若不考虑空气阻力,小球的飞行高度h(单位:m)与飞行时间t(单位:s)之间具有函数关系:h=-5t2+20t,则当小球飞行高度达到最高时,飞行时间t=　　　　s. C 2 目录 上页 首页 下页 ‹#› 6.(2023山东滨州)某广场要建一个圆形喷水池,计划在池中心位置竖直安装一根部带有喷水头的水管,使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1 m处达到最高,高度为3 m,水柱落地处离池中心的水平距离也为3 m,那么水管的设计高度应为　　　　m.  7.(2024甘肃)如图1为一汽车停车棚,其棚顶的横截面可以看作是抛物线的一部分,如图2是棚顶的竖直高度y(单位:m)与距离停车棚支柱AO的水平距离x(单位:m)近似满足函数关系y=-0.02x2+0.3x+1.6的图象,点B(6,2.68)在图象上.若一辆厢式货车需在停车棚下避雨,货车截面看作长CD=4 m,高DE=1.8 m的矩形,则可判定货车　　　　完全停到车棚内(填“能”或“不能”).  图1 　图2 　 能 目录 上页 首页 下页 ‹#› 8.(2024河南)从地面竖直向上发射的物体离地面的高度h(m)满足关系式h=-5t2+v0t,其中t(s)是物体运动的时间,v0(m/s)是物体被发射时的速度.社团活动时,科学小组在实验楼前从地面竖直向上发射小球. (1)小球被发射后　　　　s时离地面的高度最大(用含v0的式子表示);  (2)若小球离地面的最大高度为20 m,求小球被发射时的速度; (3)按(2)中的速度发射小球,小球离地面的高度有两次与实验楼的高度相同.小明说:“这两次间隔的时间为3 s.”已知实验楼高15 m,请判断他的说法是否正确,并说明理由. 解:当t= 时,h=20.-5×()2+v0×=20,解得v0=20. 答:小球被发射时的速度是20 m/s. 解:小明的说法不正确. 理由如下:由(2),得h=-5t2+20t. 当h=15时,15=-5t2+20t,解得t1=1,t2=3. ∵3-1=2(s),∴小明的说法不正确. 目录 上页 首页 下页 ‹#› 9.(2024山东烟台)每年5月的第三个星期日为全国助残日,今年的主题是“科技助残,共享美好生活”.康宁公司新研发了一批便携式轮椅计划在该月销售.根据市场调查,每辆轮椅盈利200元时,每天可售出60辆;单价每降低10元,每天可多售出4辆.公司决定在成本不变的情况下降价销售,但每辆轮椅的利润不低于180元.设每辆轮椅降价x元,每天的销售利润为y元. (1)求y与x的函数关系式;每辆轮椅降价多少元时,每天的销售利润最大?最大利润为多少元? 解:y=(200-x)(60+4×)=-0.4x2+20x+12 000 =-0.4(x2-50x+625)+12 250 =-0.4(x-25)2+12 250. ∵200-x≥180,∴x≤20. ∴当x=20时,利润最大,最大利润为-0.4(20-25)2+12 250=12 240(元). 故y与x的函数关系式为y=-0.4x2+20x+12 000;每辆轮椅降价20元时,每天的销售利润最大,最大利润为12 240元. 目录 上页 首页 下页 ‹#› (2)全国助残日当天,公司共获得销售利润12 160元,请问这天售出了多少辆轮椅? 解:12 160=-0.4(x-25)2+12 250, 解得x1=40(不合题意,舍去),x2=10. ∴售出轮椅的辆数为60+4×=64(辆). 故这天售出了64辆轮椅. 目录 上页 首页 下页 ‹#› —— 素养提升练 —— 1.(2024河北张家口一模)如图是一款抛物线形状的落地灯示意图,防滑螺母C为抛物线支架的最高点,灯罩D距离地面1.5 m,最高点C距灯柱的水平距离为1.6 m,灯柱AB=1.5 m,若茶几摆放在灯罩的正下方,则茶几到灯柱的距离AE为 ( ) A.3.2 m B.0.32 m C.2.5 m D.1.6 m A 目录 上页 首页 下页 ‹#› 2.(2024天津)从地面竖直向上抛出一小球,小球的高度h(单位:m)与小球的运动时间t(单位:s)之间的关系式是h=30t-5t2(0≤t≤6).有下列结论: ①小球从抛出到落地需要6 s; ②小球运动中的高度可以是30 m; ③小球运动2 s时的高度小于运动5 s时的高度. 其中,正确结论的个数是 ( ) A.0 B.1 C.2 D.3 C 目录 上页 首页 下页 ‹#› 3.某食品零售店新上架一款冷饮产品,每个成本为8元,在销售过程中,每天的销售量y(个)与销售价格x(元/个)的关系如图所示,当10≤x≤20时,其图象是线段AB,则该食品零售店每天销售这款冷饮产品的最大利润为　　　　元.(利润=总销售额-总成本)  4.如图,水池中心点O处竖直安装一水管,水管喷头喷出抛物线形水柱,喷头上下移动时,抛物线形水柱随之竖直上下平移,水柱落点与点O在同一水平面.安装师傅调试发现,喷头高2.5 m时,水柱落点距点O 2.5 m;喷头高4 m时,水柱落点距点O 3 m.那么喷头高 　m 时,水柱落点距点O 4 m. 121 8 目录 上页 首页 下页 ‹#› 5.(河北特色考法)一个装满水的水杯竖直放置在水平桌面MN上时的纵向截面如图1所示,其左右轮廓线AC,BD都是抛物线L的一部分,已知水杯底部AB宽为4 cm,水杯高度为12 cm,杯口直径CD为8 cm,且CD∥MN,以杯底AB的中点为原点O,以MN为x轴,AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系. (1)轮廓线AC,BD所在的抛物线L的解析式为　　　　　　　　;  (2)将水杯绕点A倾斜倒出部分水,杯中水面CE∥MN,如图2,当倾斜角∠BAN=30°时,水面宽度CE=　　　　cm.  图1　 图2 y=x2-4 14 目录 上页 首页 下页 ‹#› 6.(一题练透)(2024四川南充)2024年“五一”假期期间,阆中古城景区某特产店销售A,B两类特产.A类特产进价50元/件,B类特产进价60元/件.已知购买1件A类特产和1件B类特产需132元,购买3件A类特产和5件B类特产需540元. (1)求A类特产和B类特产每件的售价各是多少元? (2)A类特产供货充足,按原价销售每天可售出60件.市场调查反映,若每降价1元,每天可多售出10件(每件售价不低于进价).设每件A类特产降价x元,每天的销售量为y件,求y与x的函数关系式,并写出自变量x的取值范围; 解:由题意,设每件A类特产的售价为x元,则每件B类特产的售价为(132-x)元. ∴3x+5(132-x)=540,∴x=60, ∴每件B类特产的售价132-60=72(元). 答:A类特产的售价为60元/件,B类特产的售价为72元/件. 解:∵每降价1元,每天可多售出10件, ∴y=60+10x=10x+60(0≤x≤10). 目录 上页 首页 下页 ‹#› (3)在(2)的条件下,由于B类特产供货紧张,每天只能购进100件且能按原价售完.设该店每天销售这两类特产的总利润为w元,求w与x的函数关系式,并求出每件A类特产降价多少元时总利润w最大,最大利润是多少元?(利润=售价-进价) 解:由题意, ∵w=(60-50-x)(10x+60)+100×(72-60) =-10x2+40x+1 800=-10(x-2)2+1 840. ∵-10<0, ∴当x=2时,w有最大值1 840, ∴A类特产每件售价降价2元时,每天销售利润最大,最大利润为1 840元. 目录 上页 首页 下页 ‹#› $$