第1部分 第1模块 第3讲 整式及因式分解(精练册)-【夺冠百分百】2025年中考数学冲刺复习PPT

第3讲　整式及因式分解 考点一 代数式及其求值(10年10考,2023年2次单独考查) 1.(2023河北1题)代数式-7x的意义可以是 ( ) A.-7与x的和 B.-7与x的差 C.-7与x的积 D.-7与x的商 2.(2018河北12题)用一根长为a(单位:cm)的铁丝,首尾相接围成一个正方形.要将它按如图的方式向外等距扩1(单位:cm),得到新的正方形,则这根铁丝需增加 ( ) A.4 cm B.8 cm C.(a+4)cm D.(a+8)cm C B 目录 上页 首页 下页 ‹#› 3.(2016河北18题)若mn=m+3,则2mn+3m-5nm+10=　　　　.  4.(2023河北18题)根据表中的数据,写出a的值为　　　　,b的值为　　　　.  5.(2021河北20题)某书店新进了一批图书,甲、乙两种书的进价分别为4元/本、10元/本.现购进m本甲种书和n本乙种书,共付款Q元. (1)用含m,n的代数式表示Q; (2)若共购进5×104本甲种书及3×103本乙种书,用科学记数法表示Q的值. 　x结果代数式 2 n 3x+1 7 b a 1 1 -2 解:由题意可得Q=4m+10n. 解:将m=5×104,n=3×103代入(1)中代数式得Q=4×5×104+10×3×103=2.3×105. 目录 上页 首页 下页 ‹#› 6.(2022河北20题)整式3(-m)的值为P. (1)当m=2时,求P的值; (2)若P的取值范围如图所示,求m的负整数值. 解:根据题意得,P=3×(-2)=3×(-)=-5. 解:由数轴知,P≤7, 即3(-m)≤7, 解得m≥-2, ∵m为负整数, ∴m=-1或m=-2. 目录 上页 首页 下页 ‹#› 考点二 整式的运算(10年21考,2024最新考查) 7.(2022河北1题)计算a3÷a得a?,则“?”是 ( ) A.0 B.1 C.2 D.3 8.(2021河北2题)不一定相等的一组是 ( ) A.a+b与b+a B.3a与a+a+a C.a3与a·a·a D.3(a+b)与3a+b 　 C D 目录 上页 首页 下页 ‹#› 9.(2016河北2题)下列计算正确的是 ( ) A.(-5)0=0 B.x2+x3=x5 C.(ab2)3=a2b5 D.2a2·a-1=2a 10.(2024河北2题)下列运算正确的是( ) A.a7-a3=a4 B.3a2·2a2=6a2 C.(-2a)3=-8a3 D.a4÷a4=a D C 目录 上页 首页 下页 ‹#› 11.(2020河北2题)墨迹覆盖了等式“x3 x=x2(x≠0)”中的运算符号,则覆盖的是 ( ) A.+ B.- C.× D.÷ 12.(2019河北6题)小明总结了以下结论:①a(b+c)=ab+ac;②a(b-c)=ab-ac;③(b-c)÷a=b÷a-c÷a(a≠0);④a÷(b+c)=a÷b+a÷c(a≠0).其中一定成立的个数是 ( ) A.1 B.2 C.3 D.4 D C 目录 上页 首页 下页 ‹#› 13.(2020河北11题)若k为正整数,则()k= ( ) A.k2k B.k2k+1 C.2kk D.k2+k 14.(2017河北4题)= ( ) A. B. C. D. A B 目录 上页 首页 下页 ‹#› 15.(2018河北13题)若2n+2n+2n+2n=2,则n= ( ) A.-1 B.-2 C.0 D. 16.(2024河北8题)若a,b是正整数,且满足=,则a与b的关系正确的是 ( ) A.a+3= 8b B.3a=8b C.a+3=b8 D.3a=8+b A A 目录 上页 首页 下页 ‹#› 17.(2018河北4题)将9.52变形正确的是( ) A.9.52=92+0.52 B.9.52=(10+0.5)(10-0.5) C.9.52=102-2×10×0.5+0.52 D.9.52=92+9×0.5+0.52 C 目录 上页 首页 下页 ‹#› 18.(2024河北15题)“铺地锦”是我国古代一种乘法运算方法,可将多位数乘法运算转化为一位数乘法和简单的加法运算.淇淇受其启发,设计了如图1所示的“表格算法”,图1表示132×23, 运算结果为3 036.图2表示一个三位数与一个两位数相乘,表格中部分数据被墨迹覆盖,根据图2中现有数据进行推断,正确的是 ( ) A.“20”左边的数是16 B.“20”右边的“□”表示5 C.运算结果小于6 000 D.运算结果可以表示为4 100a+1 025 图1 图2 D 目录 上页 首页 下页 ‹#› 19.(2018河北20题)嘉淇准备完成题目: (1)她把“□”猜成3,请你化简:(3x2+6x+8)-(6x+5x2+2); (2)她妈妈说:“你猜错了,我看到该题标准答案的结果是常数.”通过计算说明原题中“□”是几. 化简:(□x2+6x+8)-(6x+5x2+2). 发现系数“□”印刷不清楚. 解: (3x2+6x+8)-(6x+5x2+2)=3x2+6x+8-6x-5x2-2=-2x2+6. 解: (□x2+6x+8)-(6x+5x2+2)=( □-5)x2+6, ∵最终结果是常数,∴□-5=0,∴□=5. 目录 上页 首页 下页 ‹#› 20.(2023河北21题)现有甲、乙、丙三种矩形卡片各若干张,卡片的边长如图1所示(a>1).某同学分别用6张卡片拼出了两个矩形(不重叠无缝隙),如图2和图3,其面积分别为S1,S2. (1)请用含a的式子分别表示S1,S2,当a=2时,求S1+S2的值; (2)比较S1与S2的大小,并说明理由. 解:由题图可知S1=(a+2)(a+1)=a2+3a+2,S2=(5a+1)×1=5a+1, 当a=2时,S1+S2=4+6+2+10+1=23. 解:S1>S2, 理由:∵S1-S2=a2+3a+2-5a-1=a2-2a+1=(a-1)2,又∵a>1, ∴(a-1)2>0,∴S1>S2. 目录 上页 首页 下页 ‹#› 21.(2020河北21题)有一电脑程序:每按一次按键,屏幕的A区就会自动加上a2,同时B区就会自动减去3a,且均显示化简后的结果.已知A,B两区初始显示的分别是25和-16,如图,如第一次按键后,A,B两区分别显示: (1)从初始状态按2次后,分别求A,B两区显示的结果; (2)从初始状态按4次后,计算A,B两区代数式的和,请判断这个和能为负数吗,说明理由. 解:A区:25+a2+a2=25+2a2, B区:-16-3a-3a=-16-6a. 解:25+4a2+(-16-12a)=4a2-12a+9. A,B两区代数式的和不能为负数.理由如下:4a2-12a+9=(2a-3)2≥0, ∴这个和不能是负数. 目录 上页 首页 下页 ‹#› 22.(2019河北21题)已知:整式A=(n2-1)2+(2n)2,整式B>0. [尝试]化简整式A. [发现]A=B2,求整式B. 解:A=(n2-1)2+(2n)2 =n4-2n2+1+4n2 =n4+2n2+1 =(n2+1)2. 解:∵A=B2,B>0, ∴B==n2+1. 目录 上页 首页 下页 ‹#› [联想]由上可知,B2=(n2-1)2+(2n)2,当n>1时,n2-1,2n,B为直角三角形的三边长,如图. 填写下表中B的值: 解:∵2n=8,∴n=4,∴B=n2+1=42+1=17. ∵n2-1=35,∴B=n2+1=37. ∴填表如下: 直角三角形三边 n2-1 2n B 勾股数组Ⅰ   8 17 勾股数组Ⅱ 35   37 目录 上页 首页 下页 ‹#› 23.(2022河北22题)发现:两个已知正整数之和与这两个正整数之差的平方和一定是偶数,且该偶数的一半也可以表示为两个正整数的平方和. 验证:如,(2+1)2+(2-1)2=10为偶数.请把10的一半表示为两个正整数的平方和; 探究:设“发现”中的两个已知正整数为m,n,请论证“发现”中的结论正确. 解:验证:10的一半为5, 5=1+4=12+22, 探究:两个已知正整数之和与这两个正整数之差的平方和一定是偶数,且该偶数的一半也可以表示为两个正整数的平方和.理由如下: (m+n)2+(m-n)2 =m2+2mn+n2+m2-2mn+n2 =2m2+2n2 =2(m2+n2), 故两个已知正整数之和与这两个正整数之差的平方和一定是偶数,且该偶数的一半也可以表示为两个正整数的平方和. 目录 上页 首页 下页 ‹#› 24.(2017河北22题)发现:任意五个连续整数的平方和是5的倍数. 验证:(1)(-1)2+02+12+22+32的结果是5的几倍? (2)设五个连续整数的中间一个为n,写出它们的平方和,并说明是5的倍数; 解:验证: (-1)2+02+12+22+32=1+0+1+4+9=15,15÷5=3, ∴(-1)2+02+12+22+32的结果是5的3倍. 解: 验证:设五个连续整数的中间一个为n, 则其余的四个整数分别是n-2,n-1,n+1,n+2, 它们的平方和为(n-2)2+(n-1)2+n2+(n+1)2+(n+2)2=n2-4n+4+n2-2n+1+n2+n2+2n+1+n2+4n+4=5n2+10=5(n2+2), ∵n是整数,∴n2+2是整数, ∴任意五个连续整数的平方和是5的倍数. 目录 上页 首页 下页 ‹#› 延伸:任意三个连续整数的平方和被3除的余数是几呢?请写出理由. 解:任意三个连续整数的平方和被3除的余数是2. 理由:设三个连续整数的中间一个数为m,则其余的2个整数是m-1,m+1, 它们的平方和为(m-1)2+m2+(m+1)2 =m2-2m+1+m2+m2+2m+1 =3m2+2, ∵m是整数.∴m2是整数, ∴任意三个连续整数的平方和被3除的余数是2. 目录 上页 首页 下页 ‹#› 考点三 因式分解(10年3考) 25.(2020河北3题)对于①x-3xy=x(1-3y),②(x+3)(x-1)=x2+2x-3.从左到右的变形,表述正确的是 ( ) A.都是因式分解 B.都是乘法运算 C.①是因式分解,②是乘法运算 D.①是乘法运算,②是因式分解 26.(2023河北6题)若k为任意整数,则(2k+3)2-4k2的值总能 ( ) A.被2整除 B.被3整除 C.被5整除 D.被7整除 C B 目录 上页 首页 下页 ‹#› 27.(2020河北9题)若=8×10×12,则k= ( ) A.12 B.10 C.8 D.6 B 目录 上页 首页 下页 ‹#› 【新题型·新考法】 1.(学科融合·化学)(2024重庆A卷)烷烃是一类由碳、氢元素组成的有机化合物质,如图是这类物质前四种化合物的分子结构模型图,其中灰球代表碳原子,白球代表氢原子.第1种如图①有4个氢原子,第2种如图②有6个氢原子,第3种如图③有8个氢原子……按照这一规律,第10种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是 ( ) A.20 B.22 C.24 D.26 B 目录 上页 首页 下页 ‹#› 2.(应用意识)(2024湖南益阳一模)在日常生活中如取款、上网等都需要密码,有一种用“因式分解”法产生的密码记忆方便.原理是:如对于多项式x4-y4,因式分解的结果是(x-y)(x+y)(x2+y2),若取x=9,y=9,则各个因式的值是x-y=0,x+y=18,x2+y2=162,于是就可以把“018162”作为一个六位数的密码.对于多项式x3-xy2,取x=50,y=20,用上述方法产生的密码不可能是 ( ) A.503070 B.507030 C.307040 D.703050 C 目录 上页 首页 下页 ‹#› —— 基础过关练 —— 1.(2024河南)计算()3的结果是( ) A.a5 B.a6 C.aa+3 D.a3a 2.(2024河北张家口二模)下列计算正确的是 ( ) A.a2+a3=a B.a2+b2=2a2b2 C.a3+a3=2a3 D.a3+a3=2a6 D C 目录 上页 首页 下页 ‹#› 3.(2024江苏盐城)下列运算正确的是 ( ) A.a6÷a2=a4 B.2a-a=2 C.a3·a2=a6 D.(a3)2=a5 4.若非零实数x满足2x+ax=-x,则a的值为 ( ) A.1 B.3 C.-1 D.-3 5.(2024四川广安)若x2-2x-3=0,则2x2-4x+1=　　　　.  A D 7 目录 上页 首页 下页 ‹#› 6.(河北特色考法)珍珍将形状相同、大小相等的长方形A,B和形状相同、大小相等的长方形C,D按如图所示摆放,拼成一个中间含正方形的大长方形. (1)若长方形A的长为3,宽为1,设中间正方形的边长为x,用含x的式子表示长方形C的面积为　　　 　;(结果需化简)  (2)若长方形A的周长增加a,则拼成的大长方形的周长将增加　　　　.  -x2+2x+3 2a 目录 上页 首页 下页 ‹#› 7.(2024河北保定竞秀区二模)在综合实践活动中,老师让用一张周长为20 cm的矩形纸片制作一个无盖长方体盒子,应该如何设计?已知该矩形纸片的一条边长为a cm. (1)该矩形纸片的另一边长为　　　　cm;  (2)如图1,甲同学在四个角分别剪去了边长为1 cm的四个小正方形,此时该纸片制作的无盖长方体盒子的体积为　　　　 cm3;如图2,乙同学在四个角分别剪去了边长为2 cm的四个小正方形,此时该纸片制作的无盖长方体盒子的体积为　 　　 　   cm3;  (3)甲同学和乙同学谁设计的盒子容积更大?请说明理由. (10-a) (-a2+10a-16) (-2a2+20a-48) 解:甲同学.理由如下: (-a2+10a-16)-(-2a2+20a-48) =-a2+10a-16+2a2-20a+48 =a2-10a+32 =(a-5)2+7>0, 所以甲同学设计的盒子容积更大. 目录 上页 首页 下页 ‹#› 8.(2024河北邯郸邯山区三模)有一电脑AI程序如图所示,能处理整式的相关计算,已知输入整式A=k-1,整式C=2k2+k-3后,屏幕上自动将整式B补齐,但由于屏幕大小有限,只显示了整式B的一部分:B=2k+　　. (1)嘉淇想:把B设为2k+m,再利用A·B=C来解决问题,请利用嘉淇的想法求程序自动补全的整式B; 解:A·B=(k-1)(2k+m)=2k2+mk-2k-m=2k2+(m-2)k-m, ∵A·B=C=2k2+k-3, ∴2k2+(m-2)k-m=2k2+k-3, ∴m-2=1,解得m=3, 即程序自动补全的整式B=2k+3. 目录 上页 首页 下页 ‹#› (2)在(1)的条件下,嘉淇发现:若k为任意整数,整式B2-2C的值总能被某个大于1的正整数整除,求这个正整数的值. 解:∵B2-2C=(2k+3)2-2(2k2+k-3) =4k2+12k+9-(4k2+2k-6)=10k+15=5(2k+3), 若k为任意整数,则2k+3为整数, ∴整式B2-2C的值总能被5整除. 目录 上页 首页 下页 ‹#› —— 素养提升练 —— 1.(2024重庆B卷)用菱形按如图所示的规律拼图案,其中第①个图案中有2个菱形,第②个图案中有5个菱形,第③个图案中有8个菱形,第④个图案中有11个菱形,…,按此规律,则第⑧个图案中,菱形的个数是 ( ) A.20 B.21 C.23 D.26 2.(2024四川内江)一个四位数,如果它的千位与十位上的数字之和为9,百位与个位上的数字之和也为9,则称该数为“极数”.若偶数m为“极数”,且是完全平方数,则m=　　　 　.  C 1 188或4 752 目录 上页 首页 下页 ‹#› 3.(2024河北唐山古冶区二模)如果一个四位自然数的各数位上的数字互不相等且均不为0,满足-=,那么称这个四位数为“递减数”. 例如:四位数4 129,∵41-12=29,∴4 129是“递减数”. (1)判断四位数5 324是不是“递减数”; (2)若一个“递减数”为,求这个“递减数”; 解:∵53-32=21≠24, ∴5 324不是“递减数”. 解:由题意,得10a+3-31=12,解得a=4, 故这个“递减数”是4 312. 目录 上页 首页 下页 ‹#› (3)若一个“递减数”的前三个数字组成的三位数与后三个数字组成的三位数的和能被9整除,直接写出满足条件的递减数的最大值.   解:由题意,得10a+b-(10b+c)=10c+d. ∴10a-9b-11c=d, ∴100a+10b+c+100b+10c+d =100a+10b+c+100b+10c+10a-9b-11c =110a+101b =99 (a+b)+11a+2b, ∴是整数, 当a=9时,此时b只能取0,不符合题意,舍去; 当a=8时,b=1,此时71-11c=d,c取9或8或7时,均不符合题意,只有c=6时,d=5, 故符合条件的最大值是8 165. 目录 上页 首页 下页 ‹#› 4.(2024四川凉山州)阅读下面材料,并解决相关问题: 如图是一个三角点阵,从上向下数有无数多行,其中第一行有1个点,第二行有2个点,……,第n行有n个点……容易发现,三角点阵中前4行的点数之和为10. (1)探索:三角点阵中前8行的点数之和为　　　　,前15行的点数之和为　　　　,那么,前n行的点数之和为　　　　;  (2)体验:三角点阵中前n行的点数之和　　　　(填“能”或“不能”)为500;  (3)运用:某广场要摆放若干种造型的盆景,其中一种造型要用420盆同样规格的花,按照第一排2盆,第二排4盆,第三排6盆,…,第n排2n盆的规律摆放而成,则一共能摆放多少排? 36 120 不能 解:由题知, 前n排盆景的总数可表示为n(n+1), 令n(n+1)=420, 解得n1=-21,n2=20. 因为n为正整数, 所以n=20, 即一共能摆放20排. 目录 上页 首页 下页 ‹#› $$