第4模块 第18讲 锐角三角函数及其应用(精讲册)-【夺冠百分百】2025年中考数学冲刺复习PPT

第18讲　锐角三角函数及其应用 【2022课标要求】 1.利用相似的直角三角形,探索并认识锐角三角函数(sin A,cos A,tan A),知道30°,45°,60°角的三角函数值. 2.会使用计算器由已知锐角求它的三角函数值,由已知三角函数值求它的对应锐角. 3.能用锐角三角函数解直角三角形,能用相关知识解决一些简单的实际问题. 目录 上页 首页 下页 ‹#› 考点一、锐角三角函数的概念 温馨提示:锐角三角函数的值是一个比值,没有单位,它只与角的大小有关,而与三角形的三边长无关. 　 　 　 目录 上页 首页 下页 ‹#› 考点二、特殊角的三角函数值   温馨提示:锐角的正弦、正切值随着角度的增大(或减小)而增大(或减小).锐角的余弦值随着角度的增大(或减小)而减小(或增大). 　 　 　 目录 上页 首页 下页 ‹#› 考点三、解直角三角形☆重点 1.在直角三角形中,由已知元素求其余未知元素的过程叫作解直角三角形. 2.直角三角形的边角关系(在Rt△ABC中,∠C为直角,∠A,∠B,∠C所对的边分别为a,b,c): (1)三边关系:⑦　　　　　　.(2)两锐角关系:∠A+∠B=90°.  (3)边角关系:sin A=cos B=,cos A=sin B=,tan A=,tan B=. a2+b2=c2 目录 上页 首页 下页 ‹#› 3.解直角三角形的几种常见类型 温馨提示:解直角三角形时,已知的两个元素中至少要有一条边. 　 sin A= 目录 上页 首页 下页 ‹#› 考点四、解直角三角形的应用☆重点 1.俯角、仰角 在视线与眼睛所在的水平线所成的锐角中,视线在水平线⑩　　　　的角叫作仰角,视线在水平线 　　　　的角叫作俯角.    2.坡度(坡比)、坡角 坡面的垂直 　　　　h和 　　　 　　l之比叫坡度(坡比),用字母i表示,坡面与水平面的夹角α叫坡角,坡度i=tan α=,坡度越大,坡角越大,坡面越陡.  上方 下方 高度 水平宽度 目录 上页 首页 下页 ‹#› 3.方向角 指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的角叫作方向角. 温馨提示:东北方向指北偏东45°方向,东南方向指南偏东45°方向,西北方向指北偏西45°方向,西南方向指南偏西45°方向. 目录 上页 首页 下页 ‹#› 1.(2024河北承德兴隆期末)如图,在四边形ABCD中,∠DCB=∠B=90°,对角线CA⊥AD,AB=8,BC=6,点P为折线BA—AD上的点. (1)求AD的长; 图1 备用图 备用图 解:∵∠B=90°,AB=8,BC=6, ∴AC=10. ∵∠DCB=∠B=90°, ∴DC∥AB, ∴∠DCA=∠CBA. ∵CA⊥AD, ∴∠DAC=∠B, ∴△DAC∽△CBA, ∴=,即=, ∴AD=. 目录 上页 首页 下页 ‹#› (2)若点P在∠ACB的平分线上,求AP的长; 解:如图,设AP=x,则PB=AB-AP=8-x,过点P作PH⊥AC, ∵CP为∠ACB的平分线,∠B=90°, ∴PH=PB=8-x. ∵∠CAB=∠CAB,∠AHP=∠B, ∴△APH∽△ACB, ∴=,即=, ∴AP=5. 目录 上页 首页 下页 ‹#› (3)若AP=2,求tan∠PCB的值. 解:分两种情况: 当点P在AB边上,如图,  则PB=6,则tan∠PCB==1, 当点P在AD边上,如图,过点P作PE⊥BC于点E,作PF⊥BA交BA的延长线于点F, ∵∠B=90°, ∴四边形PFBE为矩形, ∴PF=BE,PE=BF. ∵∠F=∠B=∠PAC, ∴∠PAF+∠APF=∠PAF+∠CAB=90°, ∴∠APF=∠CAB,∴△APF∽△CAB, ∴==,即==, ∴PF=,AF=, ∴CE=CB-BE=6-=,PE=BF=AB+AF=8+=, ∴tan∠PCB==, 综上所述,tan∠PCB=或1. 目录 上页 首页 下页 ‹#› 通用通法 解直角三角形时,首先要明确已知哪些边角,要求哪些边角,根据已知的条件能否直接用三角函数或勾股定理求出,当不能直接求出时,可以通过作辅助线求解.解直角三角形时所作的辅助线往往是一条垂线,通过所作的垂线构造出“双直角三角形”,然后借助三角形边角之间的关系解决问题. 目录 上页 首页 下页 ‹#› 2.(2024浙江宁波模拟)【问题背景】 一旗杆直立(与水平线垂直)在不平坦的地面上(如图1).两个学习小组为了测量旗杆的高度,准备利用附近的小山坡进行测量估算. 【问题探究】 如图2,在坡角点C处测得旗杆顶点A的仰角∠ACE的正切值为3,山坡上点D处测得顶点A的仰角∠ADG的正切值为.斜坡CD的坡比为1∶2.4,两观测点CD的距离为26 m. 图1　 图2 目录 上页 首页 下页 ‹#› 学习小组成员对问题进行如下分解,请探索并完成任务. 任务1:计算C,D两点的垂直高度差. 图1 解:过点D作DH⊥CF,垂足为H, ∵斜坡CD的坡比为1∶2.4, ∴设DH=x米,则CH=2.4x米. 在Rt△CDH中,CD==2.6x(米), ∵CD=26米,∴2.6x=26, 解得x=10, ∴DH=10米,CH=24米, ∴C,D两点的垂直高度差为10米. 目录 上页 首页 下页 ‹#› 任务2:求顶点A到水平地面的垂直高度. 图2 解:延长AB交FE的延长线于点M,延长DG交AB于点N, 由题意得NM=DH=10米,DN=MH, 设CM=x米, ∵CH=24米, ∴DN=MH=CM+CH=(x+24)米, 在Rt△ACM中,tan∠ACM=3, ∴AM=CM·tan∠ACM=3x(米), 在Rt△ADN中,tan∠ADN=, ∴AN=DN·tan∠AND=(x+24)米. ∵AM=AN+MN,∴3x=(x+24)+10, 解得x=12.9, ∴AM=3x=38.7(米), ∴顶点A到水平地面的垂直高度为38.7米. 目录 上页 首页 下页 ‹#› 【问题解决】 为了计算得到旗杆AB的高度,两个小组在共同解决任务1和2后,采取了不同的方案: 小组一:在坡角点C处测得旗杆底部点B的仰角∠BCE的正切值为; 小组二:在山坡上点D处测得旗杆底部点B的俯角∠GDB的正切值为. 任务3:请选择其中一个小组的方案计算旗杆AB的高度. 解:若选择小组一的方案. 在Rt△BCM中,tan∠BCM=,CM=12.9米, ∴BM=CM·tan∠BCM=12.9×=8.6(米), ∴AB=AM-BM=38.7-8.6=30.1(米), ∴旗杆AB的高度为30.1米. 目录 上页 首页 下页 ‹#› 若选择小组二的方案. 在Rt△DNB中,tan∠NDB=,DN=MH=CM+CH=12.9+24=36.9(米), ∴BN=DN·tan∠NDB=36.9×=2.46(米), 在Rt△ADN中,tan∠AND=, ∴AN=DN·tan∠ADN=36.9×=28.7(米), ∴AB=AN+BN=28.7+2.46=31.16(米), ∴旗杆AB的高度为31.16米. 目录 上页 首页 下页 ‹#› $$