第4模块 第17讲 等腰三角形与直角三角形(精讲册)-【夺冠百分百】2025年中考数学冲刺复习PPT

第17讲　等腰三角形与直角三角形 【2022课标要求】 1.理解等腰三角形的概念,探索并证明等腰三角形的性质定理:等腰三角形的两个底角相等;底边上的高线、中线及顶角平分线重合.探索并掌握等腰三角形的判定定理:有两个角相等的三角形是等腰三角形.探索等边三角形的性质定理:等边三角形的各角都等于60°.探索等边三角形的判定定理:三个角都相等的三角形(或有一个角是60°的等腰三角形)是等边三角形. 2.理解直角三角形的概念,探索并掌握直角三角形的性质定理: 直角三角形的两个锐角互余,直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.掌握有两个角互余的三角形是直角三角形. 3.探索勾股定理及其逆定理,并能运用它们解决一些简单的实际问题. 目录 上页 首页 下页 ‹#› 考点一、等腰三角形 温馨提示:(1)等腰三角形的顶角与底角、腰与底不确定时要分类讨论;(2)“三线合一”中的角平分线必须是顶角的,中线和高线必须是底边上的. 相等 垂直平分 相等 等边对等角 中线 高 三线合一 相等 等角对等边 目录 上页 首页 下页 ‹#› 考点二、等边三角形 三 60° 三 相等 60° 目录 上页 首页 下页 ‹#› 考点三、直角三角形☆重点 温馨提示:能够成为直角三角形三条边长的三个正整数,称为勾股数. 互余 一半 一半 平方和 平方 a2+b2=c2 直角 目录 上页 首页 下页 ‹#› 1.概念学习:若经过一个三角形某一顶点的一条直线可把它分成两个小等腰三角形,那么我们称这个三角形为过该顶点的生成三角形. (1)如图,在△ABC中,∠BAC=90°,∠B=67.5°,点D在线段AC的垂直平分线上,请问△ABC是否是生成三角形?请你说明理由.     解:∵∠BAC=90°, ∠B=67.5°, ∴∠C=90°-∠B=90°-67.5°=22.5°, ∵点D在线段AC的垂直平分线上,∴AD=CD, 即△ACD为等腰三角形, ∴∠C=∠CAD=22.5°,∴∠ADB=∠C+∠CAD=22.5°+22.5°=45°, ∴∠DAB=180°-∠ADB-∠B=180°-45°-67.5°=67.5°, ∴BD=AD,即△ABD为等腰三角形,∴AD将△ABC分成两个等腰三角形. ∴根据生成三角形的定义,△ABC是生成三角形. 目录 上页 首页 下页 ‹#› (2)若△ABC是过顶点B的生成三角形,∠C是其最小的内角,且BC是其中一个小等腰三角形的底边,∠A是另一个小等腰三角形的底角,请探求∠A与∠C之间的关系. 图1 图2 解:如图1所示,当BD=CD=AB时, ∴∠C=∠CBD,∠A=∠ADB, ∵∠ADB=∠C+∠CBD=2∠C=∠A,∴∠A=2∠C, 如图2,当CD=BD=AD时,则∠C=∠CBD,∠A=∠ABD, ∴∠ABC=∠ABD+∠CBD=∠A+∠C, 又∵∠A+∠C+∠ABC=180°,∴∠A+∠C=90°. 综上所述,∠A=2∠C或∠A+∠C=90°. 通用通法 要证明三角形是等腰三角形必须得到两边相等,而得到两边相等的方法主要有:(1)通过等角对等边得到两边相等;(2)通过三角形全等得到两边相等;(3)利用线段垂直平分线的性质得到两边相等. 目录 上页 首页 下页 ‹#› 2.(2024河北唐山路南区二模)等边△ABC的边长为2,P为△ABC内一点,连接BP,PC,延长PC到点D,使CD=PC. (1)如图1,延长BC到点E,使CE=BC,连接AE,DE. ①求证:BP∥DE; 图1 证明:在△DEC和△PBC中, ∴△DEC≌△PBC(SAS), ∴∠DEC=∠PBC, ∴BP∥DE. 目录 上页 首页 下页 ‹#› ②若BP⊥AC,求∠AED的度数; 图1 解:延长AC交ED的延长线于点F,如图1所示: ∵△ABC为等边三角形, ∴BC=AC,∠ACB=60°. 又∵CE=BC, ∴AC=CE, ∴∠CAE=∠CEA. ∵∠CAE+∠CEA=∠ACB=60°, ∴∠CAE=∠CEA=30°. 由①可知:BP∥DE, ∵BP⊥AC, ∴DE⊥AC,即∠F=90°. 又∵∠ECF=∠ACB=60°, ∴∠CED=90°-∠ECF=30°, ∴∠AED=∠CEA+∠CED=30°+30°=60°. 目录 上页 首页 下页 ‹#› (2)如图2,连接AD,若BP⊥AD,BP=1,则AD=　　　　.  方法提炼 等边三角形是特殊的等腰三角形,各边相等,各角相等为证全等和角计算提供条件. 图2 目录 上页 首页 下页 ‹#› 3.如图,在△ABC中,AD是BC边上的高线,CE是AB边上的中线,DG⊥CE于点G,CD=AB,连接DE. (1)求证:CG=EG; 证明:∵AD⊥BC, ∴∠ADB=90°. ∵E是AB的中点, ∴DE=BE=AB. 又∵CD=AB, ∴CD=DE. ∵DG⊥CE, ∴EG=GC. 目录 上页 首页 下页 ‹#› (2)已知BC=13,CD=5. ①求△BEC的面积; 解:①过点E作EF⊥BC,垂足为F, ∵BC=13,DC=5, ∴BD=BC-DC=8. ∵BE=DE,EF⊥BD, ∴DF=BD=4, 在Rt△EFD中,DE=DC=5, ∴EF===3, ∴△BEC的面积=BC·EF=×13×3=, ∴△BEC的面积为. 目录 上页 首页 下页 ‹#› ②求DG的长. 解:∵EF=3,CF=CD+DF=5+4=9, ∴CE===3. ∵△CDE的面积=CD·EF=×5×3=, ∴△CDE的面积=CE·DG=, ∴×3×DG=, ∴DG=. 目录 上页 首页 下页 ‹#› (3)求证:∠B=2∠BCE. 证明:∵DE=BE, ∴∠B=∠EDB. ∵DE=DC, ∴∠DEC=∠DCE, ∴∠EDB=2∠BCE, ∴∠B=2∠BCE. 易错警示 应用勾股定理要注意: (1)分清直角边与斜边,无法判断的情况下要分情况讨论; (2)应用方程思想,当已知一边的长和另外两边的关系时,常设出未知数列方程求解. 目录 上页 首页 下页 ‹#› $$