第4模块 第16讲 相似三角形(精讲册)-【夺冠百分百】2025年中考数学冲刺复习PPT

第16讲　相似三角形 【2022课标要求】 1.了解比例的基本性质、线段的比、成比例的线段;通过建筑、艺术上的实例了解黄金分割. 2.通过具体实例认识图形的相似.了解相似多边形和相似比. 3.掌握基本事实:两条直线被一组平行线所截,所得的对应线段成比例. 4.了解相似三角形的判定定理:两角分别相等的两个三角形相似;两边成比例且夹角相等的两个三角形相似;三边成比例的两个三角形相似.*了解相似三角形判定定理的证明. 5.了解相似三角形的性质定理:相似三角形对应线段的比等于相似比;面积比等于相似比的平方.(不要求证明) 6.了解图形的位似,知道利用位似可以将一个图形放大或缩小. 7.会利用图形的相似解决一些简单的实际问题. 目录 上页 首页 下页 ‹#› 考点一、比例线段的相关概念及性质 1.成比例线段:对于四条线段a,b,c,d.如果其中两条线段的比(即它们长度的比)与另两条线段的比相等.如=(即ad=bc),我们就说这四条线段是成比例线段,简称比例线段. 2.比例的性质:(1)如果=,那么ad=①　　　　;  (2)如果=,那么=②　　　　;  (3)如果==…=(b+d+…+n≠0),那么=③　　　　.  3.黄金分割:在线段AB上,点C把线段AB分成两条线段AC和BC(AC>BC),如果=,那么称线段AB被点C黄金分割,点C叫作线段AB的黄金分割点,AC与AB的比叫作黄金比,黄金比为,线段AB有2个黄金分割点C和C′,且它们关于线段中点中心对称. bc 　 　 目录 上页 首页 下页 ‹#› 考点二、平行线分线段成比例 1.基本事实:两条直线被一组平行线所截,所得的对应线段④　　　　.  2.推论:平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线),所得的对应线段⑤　　　　.  考点三、相似多边形 1.定义:两个边数相同的多边形,如果它们的角分别⑥　　　　,边⑦　　　　,那么这两个多边形叫作相似多边形.  2.性质:相似多边形的对应角⑧　　　　,对应边⑨　　　　,周长比等于相似比,面积比等于相似比的平方.  成比例 成比例 相等 成比例 相等 成比例 目录 上页 首页 下页 ‹#› 考点四、相似三角形☆重点 1.相似三角形的判定 (1)平行于三角形一边的直线和其他两边相交,所构成的三角形与原三角形⑩　　　　.  (2)三边 　　　　的两个三角形相似.  (3)两边成比例且 　　　　相等的两个三角形相似.  (4)两 　　　　分别相等的两个三角形相似.  (5)斜边和一条直角边 　　　　的两个直角三角形相似. 2.相似三角形的性质 (1)相似三角形对应高的比、对应中线的比与对应角平分线的比都等于 　　　　,即对应线段的比等于相似比. (2)相似三角形周长的比等于 　　　　,面积的比等于 　　　　　　.   温馨提示:直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似. 相似 成比例 夹角 角 成比例 相似比 相似比 相似比的平方 目录 上页 首页 下页 ‹#› 考点五、图形的位似 失分警示:位似图形是相似的一种特殊形式,位似图形一定是相似图形,但相似图形不一定是位似图形.位似图形具有相似图形的所有性质. 4.已知位似中心和位似比可以作出两个位似图形,并且它们两个关于位似中心成中心对称. 相似 位似中心 同一点 同一条直线上 (kx,ky) (-kx,-ky) 目录 上页 首页 下页 ‹#› 1.如图,已知AD∥BE∥CF,它们依次交直线l1,l2,l3于点A,B,C和点D,E,F和点Q,H,P,l2与l3相交于DE的中点G,若=. (1)如果EF=10,求DE,DF的长; 解:∵AD∥BE∥CF, ∴==, ∴=, ∴DE=4, ∴DF=DE+EF=4+10=14. 目录 上页 首页 下页 ‹#› (2)在(1)的条件下,如果QG=3,求PH的长. 通用通法 (1)若已知条件中有平行线,求两条线段的比或某条线段的长度,常考虑应用平行线分线段成比例的性质求解;(2)应用定理时,看清平行线组,找准对应线段,防止出错. 解:∵G是DE的中点,AD∥BE,QG=3, ∴==, ∴QH=6. ∵AD∥BE∥CF, ∴=, ∴=, ∴PH=15. 目录 上页 首页 下页 ‹#› 变式:(变换图形)如图,已知:△ABC中,DE∥BC. (1)若AD=2 cm,DB=3 cm,AE=1 cm,求EC的长; (2)若AB=5 cm,AD=2 cm,AC=4 cm,求EC的长. 解:∵DE∥BC, ∴=, ∴=, ∴EC= cm. 解:∵DE∥BC, ∴=, 即=, ∴AE= cm; ∴EC=AC-AE=4-=(cm). 目录 上页 首页 下页 ‹#› 2.如图1、图2,在△ABC中,AB=AC=5,BC=8,点M,N分别在AB,BC上,且AM=CN=2.点P从点M出发沿折线MB-BN匀速移动,到达点N时停止;而点Q在边AC上随点P移动,且始终保持∠APQ=∠B. (1)若点P在MB上. ①求证:=; 图1　　 图2 证明:∵点P在MB上,∠APQ=∠B, ∴PQ∥BC, ∴=. 目录 上页 首页 下页 ‹#› ②当PQ将△ABC的面积分成上下4∶5两部分时,求MP的长. 解:∵PQ将△ABC的面积分成上下4∶5两部分, ∴=, ∴=. ∵PQ∥BC, ∴△APQ∽△ABC, ∴=. ∵AB=5, ∴AP=. ∵AM=2, ∴MP=AP-AM=. 目录 上页 首页 下页 ‹#› (2)设点P移动的路程为x. ①当x=5时,求CQ的长; 解:当x=5时,点P在BC上,且BP=2+5-5=2, ∴PC=BC-BP=6. ∵∠APC=∠B+∠BAP=∠APQ+∠CPQ,∠APQ=∠B, ∴∠BAP=∠CPQ. ∵AB=AC, ∴∠B=∠C, ∴△ABP∽△PCQ, ∴=,即=, ∴CQ=. 目录 上页 首页 下页 ‹#› ②当PQ与△ABC的边平行时,请直接写出x的取值范围. 解:0≤x<3或x=.理由如下: ∵点Q在AC上,当PQ∥BC时, ∴0≤x<3; 当PQ∥AB时,∠BAP=∠APQ, .∵AB=AC, ∴∠B=∠C. 又∵∠APQ=∠B, ∴∠BAP=∠C, ∴△ABP∽△CBA, ∴=,即=, ∴BP=, ∴x=3+=. 目录 上页 首页 下页 ‹#› 3.晚上小凯在广场上散步,如图,在广场两盏路灯AB,CD的照射下,地面上形成了他的两个影子EH,EG.已知光源B,D的高均为10 m,小凯的身高EF为1.5 m,两盏路灯相距40 m,A,C,E,G,H在同一平面内. (1)当影子EG长为6 m时,求此时小凯到路灯CD的距离EC; 解:∵EF∥CD, ∴△GFE∽△GDC, ∴GE∶GC=EF∶CD. ∵GE=6 m,EF=1.5 m,CD=10 m, ∴6∶(6+EC)=1.5∶10, 解得EC=34 m. 目录 上页 首页 下页 ‹#› (2)连接GH,判断GH与AC的位置关系,并说明理由; 解:如图, 由(1)可得EH∶HA=GE∶GC=EF∶CD=1.5∶10, ∴HE∶AE=GE∶CE. 又∠GEH=∠CEA, ∴△GHE∽△CAE, ∴∠ACE=∠HGE, ∴GH∥AC. 目录 上页 首页 下页 ‹#› (3)小凯向上跳起再落下,该过程中GH最长达到9 m,直接写出小凯跳起的最大高度. 解: m.理由如下: 同(2)可得△GHE∽△CAE, ∴GH∶AC=GE∶EC. ∵GH=9 m,AC=40 m,CE=34, ∴GE∶EC=GH∶AC=9∶40, ∴GE∶GC=9∶40, ∴GE=. 又△GFE∽△GDC, 设最大高度为x, ∴x∶DC=GE∶GC, ∴x∶10=∶(+34), 解得x=, ∴小凯头顶离地面的最大高度 m. 目录 上页 首页 下页 ‹#› 变式:(变换方法)小明和小华利用阳光下的影子来测量一建筑物顶部旗杆的高.如图所示,在某一时刻,他们在阳光下,分别测得该建筑物OB的影长OC为16 m,OA的影长OD为20 m,小明的影长FG为2.4 m,其中O,C,D,F,G五点在同一直线上,A,B,O三点在同一直线上,且AO⊥OD,EF⊥FG.已知小明的身高EF为1.8 m,求旗杆的高AB. 解:∵AD∥EG,∴∠ADO=∠EGF. ∵∠AOD=∠EFG=90°,∴△AOD∽△EFG, ∴=,即=,∴AO=15 m. 同理,得△BOC∽△AOD, ∴=,即=, ∴BO=12 m, ∴AB=AO-BO=15-12=3(m). 答:旗杆的高AB是3 m. 目录 上页 首页 下页 ‹#› 通用通法 应用三角形相似解决实际问题的步骤: (1)建立数学模型,把实际问题转化为数学问题; (2)找到相似三角形并证明; (3)由相似三角形对应边成比例列出等式,代入数据计算; (4)不能直接计算时可设出未知数,列方程求解. 目录 上页 首页 下页 ‹#› 4.如图,在平面直角坐标系中,△ABC各顶点的坐标分别是A(4,8),B(4,4),C(10,4),△A1B1C1与△ABC关于原点O位似,A,B,C的对应点分别为A1,B1,C1,其中B1的坐标是(2,2). (1)△A1B1C1和△ABC的相似比是　　　;  (2)请画出△A1B1C1; (3)BC边上有一点M(a,b),在B1C1边上与点M对应点的坐标是　　　　;  (4)△A1B1C1的面积是　　　　.  解:如图所示,△A1B1C1即为所求. (a,b) 3 目录 上页 首页 下页 ‹#› 变式:(原点异侧)如图,在平面直角坐标系中,△ABC与△A′B′C′位似,位似中心为原点O,相似比为1∶2,若点C(-2,3),则点C′的坐标为 ( ) A.(6,-3) B.(3,-6) C.(4,-6) D.(6,-4) 通用通法 (1)确定位似中心的方法:各对应点连线所在直线的交点是位似中心;(2)以一点为位似中心把图形放大或缩小时,要考虑到两种情况:位似图形在位似中心的同侧;位似图形在位似中心的两侧.所作出的两个位似图形关于位似中心成中心对称. C 目录 上页 首页 下页 ‹#› $$