第4模块 第15讲 三角形的基本性质及全等三角形(精讲册)-【夺冠百分百】2025年中考数学冲刺复习PPT

第15讲　三角形的基本性质及全等三角形 【2022课标要求】 1.理解三角形及其内角、外角、中线、高线、角平分线等概念,了解三角形的稳定性. 2.探索并证明三角形的内角和定理.掌握它的推论:三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和. 3.证明三角形的任意两边之和大于第三边. 4.理解全等三角形的概念,能识别全等三角形中的对应边、对应角. 5.掌握基本事实:两边及其夹角分别相等的两个三角形全等. 6.掌握基本事实:两角及其夹边分别相等的两个三角形全等. 7.掌握基本事实:三边分别相等的两个三角形全等. 8.证明定理:两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等. 9.探索并掌握判定直角三角形全等的“斜边、直角边”定理. 10.探索并证明三角形的中位线定理. 目录 上页 首页 下页 ‹#› 考点一、三角形的概念和分类 1.定义:在同一平面内,由不在同一条直线上的三条线段①　　　 　相接所组成的图形叫作三角形.  2.三角形的分类 温馨提示:等边三角形属于等腰三角形，具有等腰三角形的一切性质. 首尾顺次 等边 直角三角形 目录 上页 首页 下页 ‹#› 考点二、三角形的边和角的关系☆重点 1.三边关系:三角形的任意两边之和④　　　　第三边,任意两边之差⑤　　　第三边.  2.角的性质 (1)内角和定理:三角形的内角和等于⑥　　　　.  (2)外角和定理:三角形的外角和等于⑦　　　　.  (3)三角形的一个外角等于与它⑧　　　　的两个内角之和.  (4)三角形的一个外角⑨　　　　与它不相邻的任何一个内角.  3.三角形具有稳定性. 温馨提示:三角形的外角大于与它“不相邻”的内角，与其“相邻”的内角是互补的. 大于 小于 180° 360° 不相邻 大于 目录 上页 首页 下页 ‹#› 考点三、与三角形有关的重要线段 温馨提示:(1)三角形的角平分线是线段不是射线;(2)三角形的一条中线可以把三角形分成两个等底同高的三角形. 内心 三边 内部 直角边 外部 一半 目录 上页 首页 下页 ‹#› 考点四、全等三角形☆重点 1.全等形的定义 能够完全重合的两个图形叫作全等形. 2.全等三角形的定义 能够完全重合的两个三角形叫作全等三角形. 3.全等三角形的性质 (1)全等三角形的对应边 　　　　,对应角 　　　　.  (2)全等三角形的对应边的中线相等,对应角的角平分线相等,对应边的高线相等. (3)全等三角形的周长 　　　　,面积 　　　　.  温馨提示:平移或旋转前后的图形是全等图形，故对应的角相等，对应的边相等. 相等 相等 相等 相等 目录 上页 首页 下页 ‹#› 4.全等三角形的判定 (1)三边分别相等的两个三角形全等,简写成“边边边”或“SSS”. (2)两边和它们的 　　　　分别相等的两个三角形全等,简写成“边角边”或“SAS”.  (3)两角和它们的 　　　　分别相等的两个三角形全等,简写成“角边角”或“ASA”.  (4)两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等,简写成“角角边”或“AAS”. (5)斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等,简写成“斜边、直角边”或“HL”. 失分警示:两边的其中的一条边的对角分别相等的两个三角形不一定全等. 夹角 夹边 目录 上页 首页 下页 ‹#› 1.如果一个三角形的一边长为5 cm,另一边长为2 cm,若第三边长为x cm. (1)第三边x的范围为　　　　　.  (2)当第三边长为奇数时,求出这个三角形的周长,并指出它是什么三角形(按边分类). (3)当第三边长为偶数时,求出这个三角形的周长. 3<x<7 解:∵第三边的长为奇数, ∴第三边的长为5 cm. ∴三角形的周长=5+5+2=12(cm). ∵三角形两条边的长为5 cm,另外一条边的长为2 cm, ∴这个三角形是底边和腰不相等的等腰三角形. 解:∵第三边长为偶数,设第三边的长为x cm,则根据题意可得5-2<x<5+2,即3<x<7, ∴x的值为4或6,当x=4时,这个三角形的周长为5+4+2=11(cm), 当x=6时,这个三角形的周长为5+6+2=13(cm), 即当这个三角形第三边的长是偶数时,这个三角形的周长为11 cm或13 cm. 目录 上页 首页 下页 ‹#› (4)若AB=2 cm,BC=5 cm,已知BD是△ABC的中线,△ABD的周长为9 cm,求△BCD的周长. (5)化简|x+1|-|x-8|-2|x-2|. 解:若AB=2 cm,BC=5 cm,已知BD是△ABC的中线,△ABD的周长为9 cm, 则BD+AD=BD+DC=9-2=7(cm), 于是△BCD的周长为BC+BD+DC=5+7=12(cm). 解:由(1)可知3<x<7,于是|x+1|-|x-8|-2|x-2|=x+1-(8-x)-2(x-2)=x+1-8+x-2x+4=-3. 通用通法 (1)判断三条线段能否组成三角形,关键看这三条线段长度是否满足较小的两条线段长度之和大于最长的线段长度; (2)已知三角形两边长度求第三边长度范围的方法:根据三角形三边关系列出不等式组,然后解不等式组,确定取值范围. 目录 上页 首页 下页 ‹#› 2.如图,在△ABC中,BE是角平分线,点D在边AB上(不与点A,B重合),CD与BE交于点O. (1)若CD是中线,BC=4,AC=3,则△BCD与△ACD的周长差为　　　　;  (2)若∠ABC=64°,CD是高,求∠BOC的度数; (3)若∠A=80°,CD是角平分线,求∠BOC的度数. 1 解:∵CD是△ABC的高, ∴∠CDB=90°. ∵∠ABC=64°,BE是△ABC的角平分线, ∴∠ABE=∠ABC=×64°=32°, ∴∠BOC=∠CDB+∠ABE=90°+32°=122°. 解:∵∠A=80°, ∴∠ABC+∠ACB=180°-∠A=180°-80°=100°, ∵BE,CD是△ABC的角平分线, ∴∠OBC=∠ABC,∠OCB=∠ACB, ∴∠OBC+∠OCB= (∠ABC+∠ACB)=×100°=50°, ∴∠BOC=180°-(∠OBC+∠OCB)=180°-50°=130°. 目录 上页 首页 下页 ‹#› 3.(2024河北邢台模拟)(1)【问题情境】课外兴趣小组活动时,老师提出了如下问题:如图1,在△ABC中,若AB=13,AC=9,求BC边上的中线AD的取值范围. 小明在组内经过合作交流,得到了如下的解决方法,延长AD至点E,使DE=AD,连接BE,容易证得△ADC≌△EDB,再由“三角形的三边关系”可求得AD的取值范围是　　　　　.  解后反思:题目中出现“中点”“中线”等条件,可考虑延长中线构造全等三角形,把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形之中. 图1 2<AD<11 目录 上页 首页 下页 ‹#› (2)【初步运用】如图2,AD是△ABC的中线,BE交AC于点E,交AD于点F,且∠FAE=∠AFE.若AE=4,EC=3,求线段BF的长. 图2 图2 解:延长AD到点M,使AD=DM,连接BM,如图2, ∵AD是△ABC中线, ∴BD=DC, 在△ADC和△MDB中, ∴△ADC≌△MDB(SAS), ∴BM=AC,∠CAD=∠M. ∵∠AFE=∠FAE,∴AE=EF=4, ∴AC=AE+CE=7,∴BM=AC=7, ∴∠CAD=∠AFE. ∵∠AFE=∠BFD,∴∠BFD=∠CAD=∠M, ∴BF=BM=AC,即BF=7. 目录 上页 首页 下页 ‹#› (3)【拓展提升】如图3,在△ABC中,D为BC的中点,DE⊥DF分别交AB,AC于点E,F.求证:BE+CF>EF. 图3 图3 证明:如图3,延长ED到点G,使GD=ED,连接CG,GF,  ∵D是BC边上的中点, ∴CD=BD, 在△CDG和△BDE中, ∴△CDG≌△BDE(SAS), ∴CG=BE. ∵CG+CF>GF, ∴BE+CF>GF. ∵DE⊥DF,GD=ED, ∴DF垂直平分EG, ∴GF=EF, ∴BE+CF>EF. 目录 上页 首页 下页 ‹#› $$