第4模块 第14讲 几何初步及平行线、相交线(精讲册)-【夺冠百分百】2025年中考数学冲刺复习PPT

第14讲　几何初步及平行线、相交线 目录 上页 首页 下页 ‹#› 【2022课标要求】 1.直线、射线、线段、角 (1)会比较线段的长短,理解线段的和、差,以及线段中点的意义. (2)掌握基本事实:两点确定一条直线. (3)掌握基本事实:两点之间线段最短. (4)理解两点间距离的意义,能度量和表达两点间的距离. (5)理解角的概念,能比较角的大小;认识度、分、秒等角的度量单位,能进行简单的单位换算,会计算角的和、差. 目录 上页 首页 下页 ‹#› 2.相交线与平行线 (1)理解对顶角、余角、补角等概念,探索并掌握对顶角相等、同角(或等角)的余角相等、同角(或等角)的补角相等的性质. (2)理解垂线、垂线段等概念,能用三角板或量角器过一点画已知直线的垂线. (3)掌握基本事实:同一平面内,过一点有且只有一条直线与已知直线垂直. (4)理解点到直线的距离的意义,能度量点到直线的距离. (5)识别同位角、内错角、同旁内角. (6)理解平行线的概念. (7)掌握平行线基本事实Ⅰ:过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行. (8)掌握平行线基本事实Ⅱ:两条直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么这两条直线平行. (9)探索并证明平行线的判定定理:两条直线被第三条直线所截,如果内错角相等(或同旁内角互补),那么这两条直线平行. 目录 上页 首页 下页 ‹#› (10)掌握平行线的性质定理Ⅰ:两条平行直线被第三条直线所截,同位角相等.*了解定理的证明. (11)探索并证明平行线的性质定理Ⅱ:两条平行直线被第三条直线所截,内错角相等(或同旁内角互补). (12)能用三角板和直尺过已知直线外一点画这条直线的平行线. (13)了解平行于同一条直线的两条直线平行. (14)理解角平分线的概念,探索并证明角平分线的性质定理:角平分线上的点到角两边的距离相等;反之,角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上. (15)理解线段垂直平分线的概念,探索并证明线段垂直平分线的性质定理:线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等;反之,到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上. 目录 上页 首页 下页 ‹#› 3.定义、命题、定理 (1)通过具体实例,了解定义、命题、定理、推论的意义. (2)结合具体实例,会区分命题的条件和结论,了解原命题及其逆命题的概念.会识别两个互逆的命题,知道原命题成立其逆命题不一定成立. (3)知道证明的意义和证明的必要性,知道数学思维要合乎逻辑,知道可以用不同的形式表述证明的过程,会用综合法的证明格式. (4)了解反例的作用,知道利用反例可以判断一个命题是错误的. (5)通过实例体会反证法的含义. 目录 上页 首页 下页 ‹#› 考点一 、直线、射线和线段 1.直线、射线和线段的区别与联系   端点 属性 表示方法 联系 直线 无 无长度,不可度量 用两个大写字母表示(射线的表示要注意:端点字母在前,方向字母在后),直线和线段也可以用一个小写字母表示 射线、线段是直线的一部分 射线 1个 无长度,不可度量 线段 2个 有长度,可度量 目录 上页 首页 下页 ‹#› 2.基本事实 (1)经过两点有一条直线,并且只有①　　　　直线(两点确定一条直线);  (2)两点的所有连线中,②　　　　最短(两点之间,线段最短).  3.两点的距离:连接两点间的线段的长度,叫作这两点的距离. 4.线段的和与差:在线段AC上取一点B,则有AB+BC=AC;AB=AC-BC;BC=AC-AB. 5.线段的中点:点M把线段AB分成相等的两条线段AM与MB, 点M叫作线段AB的中点.几何语言:AM=③　　　　=AB.  失分警示:所有的距离都是指相关线段的长度，不要把线段当成距离. 一条 线段 BM 目录 上页 首页 下页 ‹#› 考点二、角的有关概念 1.1周角=2④　　　　=4⑤　　　　=360°;1°=⑥　　　　′,1′=⑦　　　　″.  2.角平分线:从角顶点出发的一条射线把一个角分成两个相等的角,这条射线叫作这个角的平分线. 3.余角和补角 温馨提示:互余(或互补)都是针对两个角而言,它们反映的是角的数量关系,与位置无关. 余角 定义 如果两个角的和等于90°,那么这两个角互余 性质 同角或等角的余角⑧　　　  补角 定义 如果两个角的和等于180°,那么这两个角互补 性质 同角或等角的补角⑨　　　  平角 直角 60 60 相等 相等 目录 上页 首页 下页 ‹#› 考点三、相交线与垂线 1.对顶角的性质:对顶角相等. 2.邻补角的性质:互为邻补角的两个角之和等于180°. 3.垂线的性质 (1)在同一平面内,过一点有且只有⑩　　　　条直线与已知直线垂直.  (2)垂线段最短. 4.“三线八角” 如右图,∠1与∠2是同位角,∠2与∠3是 　　　　,∠2与∠4是 　　　 　.  温馨提示:对顶角是成对出现的同时具有特殊位置关系和数量关系的角. 温馨提示:(1)垂线是一条直线,不可度量长度;(2)垂线段是一条线段,可度量长度;(3)点到直线的距离:直线外一点到这条直线的垂线段的长度. 一 内错角 同旁内角 目录 上页 首页 下页 ‹#› 考点四、平行线的性质及判定 温馨提示:平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系;平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系. 一 相等 互补 目录 上页 首页 下页 ‹#› 考点五、命题与反证法 题设 结论 正确 错误 假 结论 题设 反例 目录 上页 首页 下页 ‹#› 考点六、角平分线与线段垂直平分线 1.角平分线性质定理及其逆定理 (1)角的平分线上的点到角两边的距离 　　　　.  (2)角的内部到角两边的距离相等的点在 　　　　　　　　.  2.线段垂直平分线性质定理及其逆定理 (1)线段垂直平分线上的点到线段的两个端点 的距离 　　　　.  (2)到线段两端点距离相等的点在这条线段的 　　　　　　上.  温馨提示:(1)三角形三个内角的平分线交于一点 (即内心)，这一点到三角形三边的距离相等； (2) 三角形三边的垂直平分线交于同一点 (即外心)，这一点到三角形三边顶点的距离相等. 相等 角的平分线上 相等 垂直平分线 目录 上页 首页 下页 ‹#› 1.【特例感知】 (1)如图1,已知线段MN=30 cm,AB=2 cm,点C,D分别是AM,BN的中点.若AM=16 cm,求CD; 解:∵MN=30 cm,AB=2 cm,AM=16 cm, ∴BN=MN-AB-AM=30-2-16=12(cm), ∵点C,D分别是AM,BN的中点, ∴AC=AM=×16=8(cm),BD=BN=×12=6(cm). ∴CD=AC+AB+BD=8+6+2=16(cm). 图1 目录 上页 首页 下页 ‹#› 【知识迁移】 (2)我们发现角的很多规律和线段一样.如图2,已知∠AOB在∠MON内部转动,射线OC和射线OD分别平分∠AOM和∠BON. ①若∠MON=150°,∠AOB=30°,求∠COD的度数. 图2 ①解:∵OC和OD分别平分∠AOM和∠BON, ∴∠AOC=∠AOM,∠BOD=∠BON. ∴∠AOC+∠BOD=∠AOM+∠BON=(∠AOM+∠BON). 又∵∠MON=150°,∠AOB=30°, ∴∠AOM+∠BON=∠MON-∠AOB=150°-30°=120°. ∴∠AOC+∠BOD=60°. ∴∠COD=∠AOC+∠BOD+∠AOB=60°+30°=90°. 目录 上页 首页 下页 ‹#› ②请你猜想∠AOB,∠COD和∠MON三个角有怎样的数量关系,并说明理由. 解:∠COD=(∠MON+∠AOB).理由如下: ∵OC和OD分别平分∠AOM和∠BON, ∴∠AOC=∠AOM,∠BOD=∠BON. ∴∠AOC+∠BOD=∠AOM+∠BON=(∠AOM+∠BON). ∴∠COD=∠AOC+∠BOD+∠AOB =(∠AOM+∠BON)+∠AOB =(∠MON-∠AOB)+∠AOB. =(∠MON+∠AOB). 目录 上页 首页 下页 ‹#› 【类比探究】 (3)如图3,∠AOB在∠MON内部转动,若∠MON=150°,∠AOB=30°,∠MOC=m∠AOC,∠NOD=m∠BOD,求∠COD的度数.(用含有m的式子直接表示计算结果) 图3 解:∵∠MON=150°,∠AOB=30°, ∴∠AOM+∠BON=120°, ∵∠MOC=m∠AOC,∠NOD=k∠BOD, ∴∠AOM=∠MOC+∠AOC=(1+m)∠AOC, ∠BON=∠NOD+∠BOD=(1+m)∠BOD, ∴∠AOC+∠BOD=, ∴∠COD=∠AOC+∠BOD+∠AOB=+30°. 目录 上页 首页 下页 ‹#› 2.【问题情境】已知,∠1=∠2,EG平分∠AEC交BD于点G. 【问题探究】 (1)如图1,∠MAE=50°,∠FEG=10°,∠NCE=70°,试判断EF与CD的位置关系,并说明理由; 图1　 解:EF∥CD.理由如下: ∵∠1=∠2, ∴AB∥EF, ∴∠AEF=∠MAE. ∵∠MAE=50°,∠FEG=10°, ∴∠AEF=50°,∠AEG=∠AEF+∠FEG=60°. ∵EG平分∠AEC, ∴∠CEG=∠AEG=60°, ∴∠CEF=∠CEG+∠FEG=60°+10°=70°. ∵∠NCE=70°, ∴∠NCE=∠CEF, ∴EF∥CD. 目录 上页 首页 下页 ‹#› 【问题解决】 (2)如图2,∠MAE=150°,当AB∥CD,∠NCE=80°时,求∠FEG的度数; 图2 解:∵∠1=∠2, ∴AB∥EF, ∴∠FEA+∠MAE=180°. ∵∠MAE=150°, ∴∠FEA=30°. ∵EG平分∠AEC, ∴∠CEG=∠AEG=∠FEA+∠FEG=∠FEG+30°, ∴∠FEC=∠CEG+∠FEG=2∠FEG+30°. ∵AB∥CD,AB∥EF, ∴EF∥CD, ∴∠NCE+∠FEC=180°. ∵∠NCE=80°, ∴2∠FEG+30°+80°=180°, ∴∠FEG=35°. 目录 上页 首页 下页 ‹#› 【问题拓展】 (3)如图2,若AB∥CD,试说明∠MAE=2∠FEG+∠NCE. 解:∵∠1=∠2, ∴AB∥EF, ∴∠FEA+∠MAE=180°. ∵EG平分∠AEC, ∴∠CEG=∠AEG=∠FEA+∠FEG, ∴∠FEC=∠CEG+∠FEG=2∠FEG+∠FEA. ∵AB∥CD,AB∥EF, ∴EF∥CD, ∴∠FEC+∠NCE=180°, ∴2∠FEG+∠FEA+∠NCE=180°, ∴∠MAE+∠FEA=2∠FEG+∠NCE+∠FEA, ∴∠MAE=2∠FEG+∠NCE. 目录 上页 首页 下页 ‹#› 3.如图,在①AE平分∠BAC,②∠CAE=∠CEA,③AB∥CD中试选取其中两个作为已知条件,能够说明剩下的第三个成立. 你选取　　　　　和　　　　作为已知条件,能说明　　　　成立(填写序号);并说明其成立的理由.  解:选取①②作为已知条件,能说明③成立, ∵AE平分∠BAC, ∴∠CAE=∠BAE. ∵∠CAE=∠CEA, ∴∠BAE=∠CEA, ∴AB∥CD. 故答案为①,②,③. 选取①③作为已知条件,能说明②成立, ∵AE平分∠BAC, ∴∠CAE=∠BAE. ∵AB∥CD, ∴∠BAE=∠CEA, ∴∠CAE=∠CEA. 故答案为①,③,②. 选取②③作为已知条件,能说明①成立, ∵AB∥CD, ∴∠BAE=∠CEA. ∵∠CAE=∠CEA, ∴∠BAE=∠CAE, ∴AE平分∠BAC. 故答案为②,③,①. 目录 上页 首页 下页 ‹#› $$