第3模块 第13讲 二次函数的实际应用(精讲册)-【夺冠百分百】2025年中考数学冲刺复习PPT

第13讲　二次函数的实际应用 【2022课标要求】 会利用二次函数解决实际问题. 目录 上页 首页 下页 ‹#› 考点、二次函数的应用☆重点 1.二次函数y=ax2+bx+c的最值 (1)如果a>0,当x=①　　　　时,函数有最小值,最小值为y=②　　　　.  (2)如果a<0,当x=③　　　　时,函数有最大值,最大值为y=④　　　　.  - 　 - 目录 上页 首页 下页 ‹#› 2.常见的问题 常见类型 关键步骤 抛物线型问题 建立方便求解析式的平面直角坐标系,找到图象上三点的坐标,用待定系数法求二次函数的解析式 销售利润问题 厘清各个量之间的关系,找出等量关系求得解析式,根据要求确定函数的最值或建立方程求解 图形面积问题 利用几何知识用变量x表示出图形的面积y,根据要求确定函数的最值或建立方程求解 温馨提示:(1)求函数的最值时,要注意实际问题中自变量的取值限制对最值的影响.若对称轴的取值不在自变量的取值范围内,则最值在自变量取值的端点处取得; (2)建立平面直角坐标系的标准是易于求二次函数的解析式. 目录 上页 首页 下页 ‹#› 1.(2024河北邢台威县模拟)某超市一段时期内对某种商品经销情况进行统计分析:得到该商品的销售数量P(件)由基础销售量与浮动销售量两个部分组成,其中基本销售量保持不变,浮动销售量与售价x(元/件,50<x<200)成正比例,销售过程中得到的部分数据如下: (1)求P与x之间的函数关系式; 售价x 8 10 销售数量P 96 95 解:由题意,设P=b+kx. 又∵当x=8时,P=96,x=10时,P=95, ∴ ∴ ∴P=-x+100. 目录 上页 首页 下页 ‹#› (2)当该商品销售数量为40件时,求每件商品的售价; (3)设销售总额为W,求W的最大值. 解:由题意,得40=-x+100, ∴x=120. 答:该商品销售数量为40件时,每件商品的售价为120元. 解:由题意,得W=x(-x+100)=- (x-100)2+5 000. ∵a=-<0, 又50<x<200, ∴当x=100,W最大,最大值为5 000元. 目录 上页 首页 下页 ‹#› 通用通法 应用二次函数模型解决实际问题的步骤: (1)根据题意确定二次函数的解析式; (2)根据已知条件确定自变量的取值范围; (3)利用二次函数的性质和自变量的取值范围确定最大(小)值,注意二次函数的最大值不一定是实际问题的最大值,要结合自变量的取值范围确定最值. 目录 上页 首页 下页 ‹#› 2.(2024河北邯郸丛台区模拟)高楼火灾越来越受到重视,某区消防中队开展消防技能比赛,如图,在一废弃高楼距地面10 m的点A和其正上方点B处各设置了一个火源.消防员来到火源正前方,水枪喷出的水流看作抛物线的一部分(水流出口与地面的距离忽略不计),第一次灭火时,站在水平地面上的点C处,水流恰好到达点A处,且水流的最大高度为12 m.待A处火熄灭后,消防员退到点D处,调整水枪进行第二次灭火,使水流恰好到达点B处,已知点D到高楼的水平距离为12 m,假设两次灭火时水流的最高点到高楼的水平距离均为3 m.建立如图所示的平面直角坐标系. (1)求消防员第一次灭火时水流所在抛物线的解析式; 解:由题意可知:第一次灭火时水流最高点的坐标为(3,12), 设水流所在抛物线的解析式为y=a(x-3)2+12, ∵点A(0,10)在抛物线上, ∵10=a(0-3)2+12, 解得a=-, ∴y=-(x-3)2+12, 答:消防员第一次灭火时水流所在抛物线解析式为y=-(x-3)2+12. 目录 上页 首页 下页 ‹#› (2)若两次灭火时水流所在抛物线的形状相同,求A,B之间的距离; 解:两次灭火时水流所在抛物线的形状相同,且水流的最高点到高楼的水平距离均为3 m, ∴可设第二次灭火时水流所在抛物线的解析式为y=-(x-3)2+c, ∵由题意可知该抛物线过点(12,0), ∴0=-(12-3)2+c, 解得c=18, ∴y=-(x-3)2+18, 令x=0,则y=16, ∴B(0,16), ∵A(0,10), ∴AB=16-10=6, 答:A,B之间的距离为6 m. 目录 上页 首页 下页 ‹#› (3)若消防员站在到高楼水平距离为9 m的地方,想要扑灭距地面高度12~18 m范围内的火苗,当水流最高点到高楼的水平距离始终为3 m时,直接写出a的取值范围. 解:由题意,可知灭火过程中y与x始终满足y=a(x-3)2+h, 将(9,0)代入后可得0=36a+h, ∴h=-36a, ∴y=a(x-3)2-36a, 当抛物线过点(0,12)时,12=a(0-3)2-36a, 解得a=-; 当抛物线过点(0,18)时,18=a(0-3)2-36a, 解得a=-; ∴-≤a≤-; 答:当水流最高点到高楼的水平距离始终为3 m时,a的取值范围是-≤a≤-. 目录 上页 首页 下页 ‹#› 3.如图,三孔桥横截面的三个孔都呈抛物线形,两个小孔形状、大小都相同.正常水位时,大孔水面宽度AB为10 m,顶点M距水面6 m(即MO=6 m),小孔顶点N距水面4 m(即NC=4 m),建立如图所示的平面直角坐标系. (1)求出大孔抛物线的解析式; (2)现有一艘船高度是4.5 m,宽度是4 m,为了保证安全,船顶距离桥拱顶部至少0.5 m,则这艘船在正常水位时能否安全通过拱桥大孔? 解:设大孔抛物线的解析式为y=ax2+6, 把点A(-5,0)代入,得25a+6=0, 解得a=-, ∴大孔抛物线的解析式为y=-x2+6. 解:当x=2时,y=-x2+6=-×22+6=, ∵-4.5=>0.5, ∴这艘船在正常水位时能安全通过拱桥大孔. 目录 上页 首页 下页 ‹#› (3)当水位上涨到刚好淹没小孔时,求出此时大孔的水面宽度EF. 解:由NC=4 m,可知点F的纵坐标为4, 代入y=-x2+6,得-x2+6=4, 解得x=±, 由抛物线对称性可知点E为(-,4),点F为(,4), ∴EF= m. 答:大孔的水面宽度EF为 m. 通用通法 解决抛物线型实际问题: (1)用待定系数法确定抛物线解析式; (2)把实际问题转化为点的坐标,代入解析式求解. 目录 上页 首页 下页 ‹#› $$