第3模块 第12讲 二次函数的图象和性质(精讲册)-【夺冠百分百】2025年中考数学冲刺复习PPT

第12讲　二次函数的图象和性质 【2022课标要求】 1.通过对实际问题的分析,体会二次函数的意义. 2.能画二次函数的图象,通过图象了解二次函数的性质,知道二次函数系数与图象形状和对称轴的关系. 3.会求二次函数的最大值或最小值,并能确定相应自变量的值. 4.知道二次函数和一元二次方程之间的关系,会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解. 目录 上页 首页 下页 ‹#› 考点一、二次函数的概念 1.形如y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0)的函数叫作二次函数,其中x是自变量. 2.二次函数解析式的三种形式 (1)一般式:y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a≠0). (2)顶点式:y=a(x-h)2+k(a,h,k是常数,a≠0),其中顶点坐标为①　　　　　,对称轴为②　　　　　,当x=h时,y有最值为③　　　.  (3)交点式:y=a(x-x1)(x-x2)(a,x1,x2为常数,a≠0),其中x1,x2是抛物线与x轴交点的横坐标. 失分警示:利用二次函数的定义解题时,尤其是含有字母系数的函数,应特别留意二次项的系数a是否为0.. (h,k) 直线x=h k 目录 上页 首页 下页 ‹#› 考点二、二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质☆重点 温馨提示:讨论二次函数的增减性,一定要指明是在对称轴的左边还是右边.. - (-,) 　 减小 增大 增大 减小 目录 上页 首页 下页 ‹#› 考点三、二次函数一般式中的系数与函数图象的关系 目录 上页 首页 下页 ‹#› 考点四、二次函数y=a(x-h)2+k的平移 温馨提示:平移前后,抛物线的开口方向、开口大小不变,即a的值不变,只是顶点坐标发生了变化,因此可以用点的平移来代替抛物线的平移. a(x-h+m)2+k a(x-h-m)2+k a(x-h)2+k+n a(x-h)2+k-n 目录 上页 首页 下页 ‹#› 考点五、二次函数与一元二次方程、不等式的关系 1.二次函数与一元二次方程的关系 (1)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交点的横坐标,就是一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根. (2)当Δ=b2-4ac>0时,抛物线与x轴有 　　　个不同的公共点;当Δ=b2-4ac=0时,抛物线与x轴有 　　　个公共点;当Δ=b2-4ac<0时,抛物线与x轴 　　　公共点.  2.二次函数与一元二次不等式的关系 设抛物线y=ax2+bx+c(a>0)与x轴交于(x1,0),(x2,0)两点(x1<x2),则不等式ax2+bx+c>0的解集为x<x1或x>x2,不等式ax2+bx+c<0的解集是x1<x<x2. 温馨提示:一元二次方程与一元二次不等式是二次函数y=ax2+bx+c当y=0或y>0(y<0)时的特殊情况. 两 一 没有 目录 上页 首页 下页 ‹#› 考点六、用待定系数法确定二次函数的解析式☆重点 1.若已知抛物线上三点坐标,可设出一般式 　　　　　　　　,利用待定系数法求得a,b,c.  2.若已知抛物线的顶点坐标,则可设出顶点式 　　　　　　 ,其中顶点为(h,k),对称轴为直线x=h.  3.若已知抛物线与x轴的交点坐标,则可采用交点式 　　　　　 　　,其中与x轴的交点坐标为(x1,0)和(x2,0).  温馨提示:用待定系数法确定二次函数解析式要先设出解析式,再列出有关系数的方程,求出未知系数的值,最终解析式要化成一般式. y=ax2+bx+c y=a(x-h)2+k y=a(x-x1)(x-x2) 目录 上页 首页 下页 ‹#› 1.(2024河北石家庄新华区模拟)如图,x轴上依次有A,B,D,C四个点,且AB=BD=DC=2,从点A处向右上方沿抛物线y=-(x+2)(x-6)发出一个带光的点P. (1)求点A的横坐标,且在图中补画出y轴; (2)通过计算说明点P是否会落在点C处,并补全抛物线; 解:令y=0,则-(x+2)(x-6)=0, 解得x=-2或6, ∴A(-2,0), ∴点A的横坐标为-2.补画y轴如图. 解:由(1)可知抛物线与x轴的另一个交点为(6,0), ∵A(-2,0),AB=BD=DC=2, ∴C(4,0), ∴点P不会落在点C处, 补全抛物线如图所示. 目录 上页 首页 下页 ‹#› (3)求抛物线的顶点坐标和对称轴; (4)在x轴上从左到右有两点E,F,且EF=2,从点F向上作GF⊥x轴,且GF=1,在△GFE沿x轴左右平移时,必须保证沿抛物线下落的点P能落在边EG (包括端点)上,直接写出点G横坐标的最大值与最小值. 解:∵y=-(x+2)(x-6)=-(x-2)2+16, ∴抛物线的顶点为(2,16),对称轴为直线x=2. 解:当y=1时,1=-(x+2)(x-6),解得x=2±, ∴抛物线经过(2+,1), Rt△EFG中,∠EFG=90°,EF=2,FG=1, ∴当点E与(6,0)重合时,点G的横坐标的值最大,最大值为8, 当点G与(2+,1)重合时,点G的横坐标最小,最小值为2+, ∴点G横坐标的最大值为8,最小值为2+. 目录 上页 首页 下页 ‹#› 变式:(由顶点式确定对称轴换为由两点式确定对称轴)(2024河北沧州一模)若抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)经过A(1,0),B(3,0)两点,则抛物线的对称轴为直线 ( ) A.x=1 B.x=2 C.x=3 D.x=4 B 目录 上页 首页 下页 ‹#› 2.如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的顶点为A(1,),且经过点 B(-1,),交y轴于点C,点D在抛物线上,且直线CD∥x轴. (1)求a,b,c的值; 解:设抛物线为y=a(x-1)2+, 把点B(-1,)代入,得=a(-1-1)2+, 解得a=, ∴抛物线的解析式为 y= (x-1)2+=x2-x+2, ∴b=-1,c=2. 目录 上页 首页 下页 ‹#› (2)求线段CD的长; 解:把x=0代入y=x2-x+2,得y=2, ∴点C的坐标为(0,2). ∵点D在抛物线上,且直线CD∥x轴, ∴2=x2-x+2, 解得x1=0,x2=2, ∴点D的坐标为(2,2), ∴CD=2. 目录 上页 首页 下页 ‹#› (3)过点(4,0)作平行于y轴的直线与抛物线交于点E,抛物线在点C,E之间的部分(包括点C,E)记作图象W,若图象W向下平移m(m>0)个单位长度与直线AD有唯一的公共点时,请求出m的取值范围. 解:当x=4时,y=×42-4+2=6, ∴点E的坐标为(4,6). 设直线AD的解析式为y=dx+n. ∵点A的坐标为(1,),点D的坐标为(2,2), ∴∴ ∴直线AD的解析式为y=x+1. 当x=0时,y=x+1=×0+1=1, ∵2-1=1, ∴图象W向下平移1个单位长度时,点C在直线AD上. 当x=4时,y=x+1=×4+1=3, ∵6-3=3, ∴图象W向下平移3个单位长度时,点E在直线AD上. ∴当1<m≤3时,图象W向下平移m个单位长度与直线AD有唯一的公共点. 目录 上页 首页 下页 ‹#› 变式:(从一步平移到两步平移)将抛物线y=x2-2x+2所在的平面直角坐标系进行平移,得到y=(x-3)2+2,下列平移正确的是 ( ) A.先向右平移2个单位长度,再向上平移1个单位长度 B.先向左平移2个单位长度,再向上平移1个单位长度 C.先向左平移2个单位长度,再向下平移1个单位长度 D.先向右平移2个单位长度,再向下平移1个单位长度 通用通法 (1)平移顶点法:将原解析式顶点找出,平移得到新顶点,代回顶点式得解析式; (2)一般式直接法:左加右减自变量,上加下减常数项. C 目录 上页 首页 下页 ‹#› 3.(2024河北张家口一模)某课外小组利用几何画板来研究二次函数的图象,给出二次函数解析式y=x2+bx+c,通过输入不同的b,c的值,在几何画板的展示区内得到对应的图象. (1)若输入b=2,c=-3,得到如图1所示的图象,求顶点C的坐标及抛物线与x轴的交点A,B的坐标; 图1　 图2 解:y=x2+bx+c, 当b=2,c=-3时,y=x2+2x-3=(x+1)2-4, ∴顶点C的坐标为(-1,-4); 当y=0时,x2+2x-3=0,即(x+3)(x-1)=0, 解得x1=-3,x2=1, ∴A(-3,0),B(1,0). 目录 上页 首页 下页 ‹#› (2)已知点P(-1,10),Q(4,0). ①若输入b,c的值后,得到如图2的图象恰好经过P,Q两点,求出b,c的值; 解:抛物线恰好经过P,Q两点, 则 解得 目录 上页 首页 下页 ‹#› ②淇淇输入b,嘉嘉输入c=-1,若得到二次函数的图象与线段PQ有公共点,求淇淇输入b的取值范围. 解:当c=-1时,y=x2+bx-1, 当x=0时,y=-1, ∴抛物线过点(0,-1), 当x=-1时,y=1-b-1=-b, 当点(-1,-b)在点P上方,或与点P重合时,抛物线与线段PQ有公共点, 即-b≥10, 解得b≤-10; 当x=4时,y=16+4b-1=4b+15, 当点(4,15+4b)在点Q上方,或与点Q重合时,抛物线与线段PQ有公共点, 即15+4b≥0,b≥-; 综上,b≤-10或b≥-. 目录 上页 首页 下页 ‹#› 通用通法 抛物线的图象与系数的关系: (1)由抛物线开口方向确定a的符号; (2)由对称轴的位置和a的符号确定b的符号,若对称轴在y轴左侧,则a,b同号;若对称轴在y轴右侧,则a,b异号; (3)由抛物线与y轴交点的位置确定c的符号; (4)由抛物线与x轴的公共点个数确定b2-4ac的符号; (5)由图象上的点(1,a+b+c),(-1,a-b+c),(2,4a+2b+c),(-2,4a-2b+c)等点的位置确定对应点的纵坐标的符号. 目录 上页 首页 下页 ‹#› 4.(2024河南周口郸城四模)如图,抛物线y=-x2+mx与直线y=x+b交于点A和点B,直线AB与y轴交于点C(0,-2). (1)求抛物线的解析式及顶点坐标. 解:由题意,将点C(0,-2)代入y=x+b,得b=-2, ∴y=x-2. 当y=0时,x-2=0,解得 x=2, ∴点B(2,0). 将点B(2,0)代入y=-x2+mx 得-22+2m=0, ∴解得m=2. ∴抛物线的解析式为y=-x2+2x. ∵y=-x2+2x=-(x-1)2+1, ∴顶点坐标为(1,1). 目录 上页 首页 下页 ‹#› (2)求点A的坐标,并结合图象直接写出关于x的不等式-x2+mx≤x+b的解集. 解:∵直线 y=x-2与抛物线y=-x2+2x的交点在第三象限, ∴-x2+2x=x-2. ∴x=2(不符合题意,舍去)或x=-1. ∴y=-3. ∴点A的坐标为 (-1,-3). 观察图象,得不等式-x2+mx≤x+b的解集为x≤-1或x≥2. 目录 上页 首页 下页 ‹#› (3)若关于x的方程-x2+mx=n在-1≤x≤2的范围内只有一个实数根或两个相等的实数根,直接写出n的取值范围. 解:由题意,方程-x2+mx=n在-1≤x≤2 的范围内只有一个实数根可以理解为抛物线y=-x2+2x与直线y=n在-1≤x≤2的范围内只有一个交点. 如图,当-3≤n<0时,直线y=n与抛物线y=-x2+2x始终只有一个交点; 当直线y=n经过抛物线顶点时,直线y=n与抛物线y=-x2+2x只有一个交点, ∴n的取值范围为-3≤n<0或n=1. 目录 上页 首页 下页 ‹#› 通用通法 一元二次方程和一元二次不等式都是二次函数的特殊情况,若y=0,二次函数为一元二次方程;若y>0或y<0,二次函数为一元二次不等式,因此结合二次函数图象所提供的信息,可直接写出相应方程(或不等式)的解(或解集). (1)若顶点在原点,可设为y=ax2; (2)若对称轴是y轴(或顶点在y轴上),可设为y=ax2+c; (3)若顶点在x轴上,可设为y=a(x-h)2; (4)若抛物线过原点,可设为y=ax2+bx; (5)若已知任意三个点的坐标,可设为y=ax2+bx+c; (6)若已知顶点(h,k),可设为顶点式y=a(x-h)2+k; (7)若已知抛物线与x轴的两交点坐标为(x1,0),(x2,0),可设为交点式y=a(x-x1)(x-x2). 目录 上页 首页 下页 ‹#› $$