第2模块 第8讲 一元一次不等式(组)及其应用(精讲册)-【夺冠百分百】2025年中考数学冲刺复习PPT

第8讲　一元一次不等式(组)及其应用 【2022课标要求】 结合具体问题,了解不等式的意义,探索不等式的基本性质;能用不等式的基本性质对不等式进行变形;能解数字系数的一元一次不等式,并能在数轴上表示出解集;会用数轴确定两个一元一次不等式组成的不等式组的解集;能根据具体问题中的数量关系,列出一元一次不等式,解决简单的实际问题.建立模型观念. 目录 上页 首页 下页 ‹#› 考点一、不等式的基本概念及性质 1.不等式的基本概念 (1)不等式的定义 用不等号表示①　　　关系的式子叫不等式,如x+>0等.  (2)不等式的解、解集 能使不等式成立的②　　　　 的值叫不等式的解;满足不等式成立的未知数的 ③　　　　的值组成这个不等式的解的④　　　,简称不等式的⑤　　　.  2.不等式的性质 (1)不等式的性质1:如果a>b,那么a±c⑥　　　b±c.  (2)不等式的性质2:如果a>b,c>0,那么ac⑦　　　bc(或⑧　　 ).  (3)不等式的性质3:如果a>b,c<0,那么ac⑨　　　bc(或⑩　　 ).  失分警示:应用不等式的性质3时,要注意不等号改变方向. 不等 未知数 所有 集合 解集 >  > > < < 目录 上页 首页 下页 ‹#› 考点二、一元一次不等式(组)及其解法 1.一元一次不等式定义 含有一个未知数,未知数的次数是 　　　　的不等式,叫作一元一次不等式.  2.解一元一次不等式的步骤 (1)去分母;(2)去括号;(3)移项,合并同类项;(4)系数化为1. 3.一元一次不等式组 一般地,关于 　　　　个未知数的几个一元一次不等式合在一起,就组成一个一元一次不等式组.  失分警示:(1)在去分母时,注意不要漏乘不含分母的项;(2)在最后系数化为1时,要注意不等号的方向. 1 同一 目录 上页 首页 下页 ‹#› 4.一元一次不等式组的解集情况 由两个一元一次不等式组成的不等式组的解集有四种情况,如表所示:已知0<a<b. 温馨提示:(1)用数轴表示解集时,有等号用实点,无等号用圆圈,大于向右拐,小于向左拐;(2)不等式组的解集是各不等式解集的公共部分,含有字母时,要注意,对字母的取值进行讨论. x>b x<a a<x<b 无解 目录 上页 首页 下页 ‹#› 考点三、一元一次不等式的实际应用☆重点 1.关键是找出题目中的不等关系,要着重抓住题目中的关键词,如“大于”“小于”“至少”“至多”“不少于”“最多”等. 2.列一元一次不等式解应用题的步骤 (1)审题;(2)设出未知数;(3)找出不等关系;(4)列出不等式(组);(5)解不等式(组);(6)检验并写出答案. 目录 上页 首页 下页 ‹#› 1.定义一种新运算“a☆b”为:当a≥b时,a☆b=a-b:当a<b时,a☆b=a+b. 例如:3☆(-4)=3-(-4)=7,(-6)☆3=-6+3=-3. (1)填空:(-5)☆(-4)=　 ;  (2)若(3x-2)☆(2-x)=6,求x的值; -9 解:由题意,分两种情形. ①当3x-2≥2-x时,即x≥1, (3x-2)☆(2-x)=3x-2-(2-x)=6. ∴x=2.5>1,符合题意. ②当3x-2<2-x时,即x<1, (3x-2)☆(2-x)=3x-2+(2-x)=6. ∴x=3>1,不符合题意. 综上,x=2.5. 目录 上页 首页 下页 ‹#› (3)若(2m+1)☆(m-2)>2, (ⅰ)求m的取值范围; 解:由题意,分两种情形. ①当2m+1≥m-2时,即m≥-3, (2m+1)☆(m-2)=(2m+1)-(m-2)>2. ∴m>-1. 故此时m>-1. ②当2m+1<m-2时,即m<-3, (2m+1)☆(m-2)=(2m+1)+(m-2)>2. ∴m>1. 故此时无解. 综上,m>-1. 目录 上页 首页 下页 ‹#› (ⅱ)在数轴上表示m的取值范围; (ⅲ)求m的最小整数解. 解:其在数轴上表示为: 解: M的最小整数解为0. 通用通法 求不等式的解集,系数化为1时不等式的两边除以负数,不等号的方向要改变.解不等式(组)求解集的方法有两种:口诀法和数轴法.在数轴上表示解集时要注意“空心”圆圈与“实心”圆点的区别. 目录 上页 首页 下页 ‹#› 2.阅读理解: 材料一:对于任意实数a,我们规定[a]表示不大于a的最大整数.例如:[-1.4]=-2,[5.7]=5,[3]=3. 材料二:对于任意实数x,y,我们定义一种新运算M(x,y)=x+y,等式右边是通常的四则运算,由这种运算得到的数我们称之为线性数,记为M(x,y),其中x,y叫作线性数的一个数对. (1)[π]=　　　　,M(3,4)=　　　　;  (2)如果[]=5,求满足条件的所有整数x; (3)若线性数M([5x-2],x)的值为1,求x的取值范围; 3 7 解:由题意,得5≤<6, 解得13≤x<16, ∴满足条件的所有整数为13,14,15. 解:由题意,得[5x-2]+x=1, ∴[5x-2]=1-x, ∴1-x≤5x-2<2-x, 解得≤x<. 目录 上页 首页 下页 ‹#› (4)已知关于x,y的二元一次方程M(x,y)=m,M(x,-y)=21-4m,组成的方程组的解是正整数,且关于x的不等式组有且仅有2个整数解,求整数m的值. 解:根据规定,可得 ①+②得2x=21-3m,即x=, ①-②得2y=5m-21,即y=. ∵二元一次方程组的解是正整数, ∴ 解得≤m≤, ∴m=5或6. 目录 上页 首页 下页 ‹#› 当m=5时,x=3,y=2, 当m=6时,x=1.5不符合题意,舍去; ∴m=5. 由不等式组得<x≤6. ∵关于x的不等式组有且仅有2个整数解, ∴4≤<5, 解得5≤m<, ∴m的值是5. 故m的值是5. 目录 上页 首页 下页 ‹#› 通用通法 根据给定解集或整数解确定待定系数的取值范围的步骤: (1)将待定系数看作常数,分别求出不等式组中各个不等式的解集; (2)结合所提供的解集或整数解,依据不等式解集的确定方法,得出待定字母的大致范围; (3)验证特殊值(即临界点)是否满足要求,得出最后答案. 目录 上页 首页 下页 ‹#› 3.(2024福建漳州模拟)下面是某数学兴趣小组探究用不同方程解决实际问题的讨论片段,请仔细阅读,并解决相应的问题. 如图是练习册上的一道例题,墨水覆盖了条件的一部分. [情境引入] 小明通过查看例题的解析发现:“设A种品牌足球的单价为x元,则列出一元一次方程:25x+50(x-30)=4 500”. (1)根据题意,例题中被覆盖的条件是　　　　(填序号);  ①A种品牌足球的单价比B种品牌足球的单价低30元 ②A种品牌足球的单价比B种品牌足球的单价高30元 中招体育考试足球是非常重要的一个项目,某中学为此专门开设了“足球大课间活动”,学校现决定购买A种品牌的足球25个,B种品牌的足球50个,共花费4 500元,已知 ,求A,B两种品牌足球的单价各多少元. ② 目录 上页 首页 下页 ‹#› (2)根据所列方程“25x+50(x-30)=4 500”,求A,B两种品牌足球的单价; [迁移类比] (3)小军看了解析后对比发现,二元一次方程组能够更直接地表示出等量之间的关系,从而解决该问题,请你列出方程组并求A,B两种品牌足球的单价; [拓展探究] 解:解方程25x+50(x-30)=4 500, 解得x=80, ∴80-30=50(元). 答:A种品牌足球的单价为80元,B种品牌足球的单价为50元. 解:设A种品牌足球的单价为x元,B种品牌足球的单价为y元, 根据题意,得 解得 答:A种品牌足球的单价为80元,B种品牌足球的单价为50元. 目录 上页 首页 下页 ‹#› (4)老师在例题的条件下,增设了一个问题:根据需要,学校决定再次购进A,B两种品牌的足球50个,恰逢体育用品商店搞“优惠促销”活动,A种品牌的足球单价打8折,B种品牌的足球单价优惠4元.若此次学校购买A,B两种品牌足球的总费用不超过2 750元,且购买A种品牌的足球不少于23个,请通过计算,设计一种符合购买要求且节约资金的购买方案. 解:设购买A种品牌的足球m个,则购买B种品牌的足球(50-m)个, 依题意,得 解得23≤m≤25, 又∵m为正整数, ∴m可以为23,24,25, ∴共有3种购买方案. 方案1:购买A种品牌的足球23个,B种品牌的足球27个,所需总费用为80×0.8×23+(50-4)×27=2 714(元); 方案2:购买A种品牌的足球24个,B种品牌的足球26个,所需总费用为80×0.8×24+(50-4)×26=2 732(元); 方案3:购买A种品牌的足球25个,B种品牌的足球25个,所需总费用为80×0.8×25+(50-4)×25=2 750(元); ∵2 714<2 732<2 750, ∴为了节约资金,学校应选择方案1:购买A种品牌的足球23个,B种品牌的足球27个. 目录 上页 首页 下页 ‹#› 通用通法 列一元一次不等式(组)解应用题步骤: 根据不等关系列出不等式,求出实际问题的取值范围;或列出不等式组,再求出其整数解.在方案选择类问题中则根据整数解确定方案,通常有几个符合条件的未知数的值就有几种方案. 目录 上页 首页 下页 ‹#› 4.(2023河北石家庄新华区一模)每年的6月5日为世界环保日,为了提倡低碳环保,某公司决定购买节省能源的新设备,现有甲、乙两种型号的设备可供选购,经调查:购买3台甲型设备比购买2台乙型设备多花16万元;购买2台甲型设备比购买3台乙型设备少花6万元. (1)求甲、乙两种型号设备的价格; 解:设每台甲型设备的价格为x万元,每台乙型设备的价格为y万元, 依题意,得解得 答:每台甲型设备的价格为12万元,每台乙型设备的价格为10万元. 目录 上页 首页 下页 ‹#› (2)公司决定购买甲、乙两种型号的设备共10台,且该公司经预算决定购买节省能源的新设备的资金不超过110万元,你认为该公司甲种型号的设备至多购买几台? 解:设购买m台甲型设备,则购买(10-m)台乙型设备, 依题意,得12m+10(10-m)≤110,解得m≤5. 又∵m为正整数,∴m的最大值为5. 答:该公司甲种型号的设备至多购买5台. 目录 上页 首页 下页 ‹#› $$