第2模块 第7讲 一元二次方程及其应用(精讲册)-【夺冠百分百】2025年中考数学冲刺复习PPT

第7讲　一元二次方程及其应用 【2022课标要求】 1.理解配方法,能用配方法、公式法、因式分解法解数字系数的一元二次方程. 2.会用一元二次方程根的判别式判别方程是否有实根及两个实根是否相等. 3.了解一元二次方程的根与系数的关系. 4.能根据具体问题的实际意义,检验方程解的合理性. 目录 上页 首页 下页 ‹#› 考点一、一元二次方程的概念 1.定义:在整式方程中,只含有①　　　未知数,并且未知数的最高次数是②　　　的方程叫作一元二次方程.  2.一般形式:一元二次方程的一般形式是③　　　　　　 　　.  3.方程的根:使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的根(或解). 温馨提示:要注意二次项系数a不能等于0这一条件.因为a=0时,不含二次项,就不是一元二次方程. 一个 2 ax2+bx+c=0(a≠0) 目录 上页 首页 下页 ‹#› 考点二、一元二次方程的解法 直接开平方法 可解形如(x+m)2=n(n≥0)的方程,解是④　　　　　　　  配方法 把方程配方为(x+h)2=k的形式,再两边开平方求解 公式法 利用求根公式x=⑤　　　　　　　(b2-4ac≥0)求解  因式分解法 将方程化为a(x+m)(x+n)=0的形式,则x1=⑥　　　,x2=⑦　　　  温馨提示:运用配方法解一元二次方程时,必须把二次项系数化为1再配方. x=±-m 　 -m -n 目录 上页 首页 下页 ‹#› 考点三、一元二次方程根的判别式 对于关于x的方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式b2-4ac: 1.b2-4ac>0⇔方程有两个⑧　　　 的实数根.  2.b2-4ac=0⇔方程有两个⑨　　　 的实数根.  3.b2-4ac<0⇔方程⑩　　　实数根.  失分警示:应用根的判别式b2-4ac时注意隐含条件a≠0. 不相等 相等 没有 目录 上页 首页 下页 ‹#› 考点四、一元二次方程的根与系数的关系☆2022年版课标新增考点 1.设x1,x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根,则x1+x2= ⑪　　　,x1x2= ⑫　　　.  2.设x1,x2是一元二次方程x2+px+q=0的两个根,则x1+x2= ⑬　　　,x1x2= ⑭　　　.  温馨提示:应用根与系数的关系时,一定要注意隐藏条件,即a≠0,b2-4ac≥0. - 　 -p q 目录 上页 首页 下页 ‹#› 考点五、一元二次方程的实际应用 1.增长率问题 增长率设为x,增长次数是n,增长前是a,增长后是b,则有 　　　　=b.  2.销售利润问题 利润=售价-进价,利润率=×100%. 销售总利润=每件产品利润×销售数量. 温馨提示:列一元二次方程解决实际问题必须检验，舍掉不合要求的解. a(1+x)n 目录 上页 首页 下页 ‹#› 3.面积类问题 解不规则图形的面积问题时,把不规则图形转化成规则图形,找出变化前后面积之间的关系,列一元二次方程求解. 4.循环问题 设参加游戏的人数为x,单循环问题:游戏次数=x(x-1);双循环问题:游戏次数=x(x-1). 目录 上页 首页 下页 ‹#› 1.已知关于x的一元二次方程x2-4tx+3t2+2t-1=0. (1)当t=3时,解这个方程; (2)试判断这个一元二次方程根的情况,并说明理由; 解:当t=3时,原方程化为x2-12x+32=0, 整理,得(x-8)(x-4)=0, x-8=0,或x-4=0, 所以x1=8,x2=4. 解:方程有两个实数解. 理由如下: b2-4ac=(-4t)2-4(3t2+2t-1)=16t2-12t2-8t+4=4t2-8t+4=4(t-1)2, 当t=1时,b2-4ac=0,方程有两个相等的实数解; 当t≠1时,b2-4ac>0,方程有两个不相等的实数解; 综上所述,方程有两个实数解. 目录 上页 首页 下页 ‹#› (3)如果方程的一个根是2,求t的值和方程的另一个根; (4)x1,x2是这个方程的两个实数根,若n,t为正整数,且x1=nx2,求n的值; 解:当x=2时,将x=2代入x2-4tx+3t2+2t-1=0可得4-8t+3t2+2t-1=0, 整理,得t2-2t+1=0,解得t=1, 将t=1代入x2-4tx+3t2+2t-1=0,可得x2-4x+4=0, 解得x1=x2=2,故知t的值为 1,另一个根也为2. 解:解方程,得x=3t-1,或x=t+1, ∵x1=nx2, ∴3t-1=n(t+1),或t+1=n(3t-1), 当3t-1=n(t+1)时,n=3-, ∵n,t为正整数, ∴当t+1=2时,n=1;当t+1=4时,n=2; 当t+1=n(3t-1)时,n=t=1,不满足条件,舍去. 综上所述,n的值为1或2. 目录 上页 首页 下页 ‹#› (5)若3(+)=10x1x2,求t的值. 解:对于关于x的一元二次方程x2-4tx+3t2+2t-1=0. 由一元二次方程根与系数的关系,可得x1+x2=4t,x1x2=3t2+2t-1, ∴+=(x1+x2)2-2x1x2=10t2-4t+2, ∵3(+)=10x1x2, ∴3(10t2-4t+2)=10(3t2+2t-1),解得t=. 目录 上页 首页 下页 ‹#› 通用通法 解一元二次方程的方法选择: (1)若给定的方程为x2=n或(x+m)2=n(n≥0)型时,选用直接开平方法; (2)若给定的方程(或者变形后)右边为0,左边能因式分解,选用因式分解法; (3)若给定的方程右边为0,左边不能因式分解时,一般选用公式法; (4)对于二次项系数化为1后,一次项系数是偶数(即形如“x2+2kx+m=0”)的一元二次方程,采用配方法比较简单. 易错警示 已知一元二次方程的根的情况,求方程二次项系数中所含字母参数的取值范围时,除了考虑b2-4ac的符号,还要考虑二次项系数不为0这个前提条件. 目录 上页 首页 下页 ‹#› 变式1:(变换条件)已知a,c互为倒数,则关于x的方程ax2-x+c=0(a≠0)根的情况是　　　 　.  变式2:(逆向思维)(2023河北石家庄新华区模拟)若关于x的一元二次方程kx2-3x-=0有两个不相等的实数根,则整数k的最小值是 ( ) A.-2 B.-1 C.0 D.1 变式3:(变换条件)(2023湖北中考)已知一元二次方程x2-3x+k=0的两个实数根为x1,x2,若x1x2+2x1+2x2=1,则实数k=　　　　.  无实数根 D -5 目录 上页 首页 下页 ‹#› 2.综合实践——用矩形纸板制作长方体盒子 如图1,有一块矩形纸板,长为30 cm,宽为16 cm,要将其四角各剪去一个同样大小的正方形,折成图2所示的底面积为240 cm2的无盖长方体盒子.(纸板厚度忽略不计) (1)求将要剪去的正方形的边长. 解:设剪去的正方形的边长为x cm, 根据题意列方程为(30-2x)(16-2x)=240, 解得 x1=20,x2=3, 当x=20时,30-2x<0,16-2x<0, 所以不符合题意舍去, 答:剪去正方形的边长为3 cm. 目录 上页 首页 下页 ‹#› (2)如图3,小明先在原矩形纸板的两个角各剪去一个同样大小的正方形(阴影部分),经过思考他发现,再剪去两个同样大小的矩形后,可将剩余部分折成一个有盖的长方体盒子. ①请你在图3的矩形纸板中画出示意图(用阴影表示将要剪去的矩形并用虚线表示折线); ②若折成的有盖长方体盒子的表面积为412 cm2,请计算剪去的正方形的边长. 解:画出的图形如图所示: 解:设剪去的正方形的边长为y cm. 根据题意可列方程为30×16-2y2-2×y=412, 解得y1=-17(舍),y2=2, 答:剪去的正方形的边长为2 cm. 目录 上页 首页 下页 ‹#› (3)把长方形硬纸板的四角剪去四个相同的小长方形,折成一个有盖的长方体收纳盒,如图4所示.若EF和HG两边恰好重合且无重叠部分,盒子的底面积为60 cm2,问可否把家里一个玩具机械狗收纳入内?机械狗的实物图和尺寸大小如图5,请通过计算判断玩具机械狗能否完全放入该收纳盒. 解:玩具机械狗不能完全放入该收纳盒.理由如下: 设剪去小长方形的宽为b cm(b<15),则折成的有盖的长方体收纳盒的底面长为(30-2b)cm,宽为(46-4b)cm, 根据题意,得(30-2b)(46-4b)=60, 整理,得2b2-53b+330=0, 解得b1=10,b2=16.5>15(不符合题意,舍去), ∴30-2b=30-20=10(cm),46-4b=46-4×10=6(cm), ∴折成的有盖的长方体收纳盒的长为10 m,宽为6 m,高为5 cm. ∵10>8,6=6,5<7, ∴玩具机械狗不能完全放入该收纳盒. 目录 上页 首页 下页 ‹#› (4)已知该矩形包装盒的生产成本为4元/个,市场调研发现:如果以10元/个销售,每天可以售出200个.为了减少库存,厂家决定降价销售,根据近期销售情况发现,销售单价每降低0.1元,销售量就会增加 20个,在尽可能减少库存的情况下,该厂家将售价定为多少元时,每天的销售利润为2 400元? 解:设每个售价为a元,则销售量为[200+20×10(10-a)]个,则 (a-4)[200+200(10-a)]=2 400, 整理,得a2-15a+56=0, 解得a1=7,a2=8, 但是要尽可能减少库存, ∴a=8不符合题意,取a=7, 答:该厂家将售价定为每个7元时,每天的销售利润为2 400元. 目录 上页 首页 下页 ‹#› 通用通法 目录 上页 首页 下页 ‹#› $$